Тема урока. Геометрическая прогрессия

Тип урока: урок изучения нового материала

Цели урока:

Образовательные: Познакомить учащихся с понятием геометрической прогрессии, формулой n -го члена геометрической прогрессии, формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии; сформировать у учащихся умение применять данные знания при решении стандартных задач.

Развивающие: Развивать умения учебно-познавательной деятельности:

- умение самостоятельно работать;

- умение выделять в материале главное;

- умение логически излагать мысли.

Воспитательные: Способствовать воспитанию ответственности, настойчивости в достижении определенных результатов обучения.

Структура урока:

1. Подготовительный этап

2. Объяснение нового материала

3. Отработка ЗУН по теме

4. Самостоятельная работа

5. Подведение итогов урока и домашнее задание.

6. Рефлексия

Ход урока

I. Устно:

1. Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте вспомним, что такое арифметическая прогрессия?

2. Сформулируйте точное определение арифметической прогрессии.

3. Как проверить, является ли последовательность чисел арифметической прогрессией?

4. Проверьте: является ли последовательность чисел арифметической прогрессией:

а) -2; -4; -6; -8 ….

б) -13; -3; 13; 23 ….

II . Объяснение нового материала

Работа в тетради: В тетради начертите таблицу.

арифметическая

прогрессия

На доске записаны шесть числовых последовательностей:

1. 1; 2; 3; 4; 5; 6 …

2. 2; 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002 …

3. 1;5;9;13;17 …

4. -4; -20; -100; -500 …

5. …

6. -2; -4; -6; -8; -10 …

Выпишите в первый столбик те последовательности, которые являются арифметическими прогрессиями.

арифметическая прогрессия ()

1) 1; 2; 3; 4; 5; 6 … d= 1

2) 1;5;9;13;17 … d= 4

3) -2; -4; -6; -8; -10 … d= -2

Во второй столбик выпишите все оставшиеся числовые последовательности:

арифметическая прогрессия ()

………………………

1) 1; 2; 3; 4; 5; 6 … d= 1

2) 1;5;9;13;17 … d= 4

3) -2; -4; -6; -8; -10 … d= -2

1) 2; 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002 …

2) -4; -20; -100; -500 …

3) …

Посмотрите на последовательности, которые записаны во втором столбике. Давайте выявим закон, по которому они составлены. (Попробуйте найти отношение двух соседних членов последовательности.)

Какова закономерность составления данных последовательностей?

Каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и тоже число.

Данные последовательности являются примерами последовательностей, которые называют геометрическими прогрессиями (в таблице вместо "……" записываем "геометрическая прогрессия"). Прочитайте по учебнику определение геометрической прогрессии и знаменателя геометрической прогрессии

Вернёмся к нашей таблице.

Найдите знаменатель q для геометрических прогрессий.

Давайте начертим в тетрадях следующую таблицу:

№ п/п

Прогрессии

Арифметическая

a_n

Геометрическая

bn

1

Определение

2

Формула n первых членов

3

Сумма n первых членов прогрессии

4

Свойства

Про арифметическую прогрессию мы с вами уже все знаем. Заполните соответствующий столбик.( ученики самостоятельно заполняют в тетрадях)

А теперь мы с вами займемся геометрической прогрессией. Учащиеся вместе с учителем заполняют все сведения геометрической прогрессии.

№ п/п

Прогрессии

Арифметическая

a_n

Геометрическая

bn

1

Определение

a_n+1=a_n+d

b_n+1=b_nq(q0, q1)

2

Формула n первых членов

a_n=a₁+d(n-1)

b_n=b₁q^n-1

3

Сумма n первых членов прогрессии

S_n= *n

S_n=

4

Свойства

a_n=

b_n=

бесконечно убывающая

1

S=

III. Зная эти формулы, можно решить много интересных задач

1.Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии:

(b_n) b₁=-1, q=

(10)

2.Найдите:

А)b_s- ? (-1)

Б)S₅ - ? (-31)

3.Между числами -2 и -128 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

(-8; -32)

4.Вычислить: 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 256 + 512.

Расставим этапы решения задачи в правильном порядке:

1. найти номер последнего члена прогрессии;

2. найти знаменатель или разность прогрессии;

3. вычислить искомую сумму;

4. определить вид прогрессии.

1. определить вид прогрессии.

2. найти знаменатель или разность прогрессии;

3. найти номер последнего члена прогрессии;

4. вычислить искомую сумму;

S₉=2*(2⁹ - 1)=2*511=1022

5. Два приятеля положили в банк по 10 000 рублей каждый, причем первый положил деньги на вклад с ежеквартальным начислением 10%, а второй - с ежегодным начислением 45%. Через год приятели получили деньги вместе с причитающимися им процентами. Кто получил большую прибыль?

Решение: вклад изменяется в одно и тоже число т.е. геометрическая прогрессия

1 приятель 2 приятель

b₁=10 000 b₁=10 000

4 квартала, т.е. найти b₅ в конце года, т.е. найти b₂

q=1,1 q=1,45

b₅=14 641 рубль, b₂= 14 500

Ответ: первый больше.

IV. Самостоятельная работа:

Вариант 1.

1. Последовательность -геометрическая прогрессия. Найдите , если =-24 и знаменатель q=0,5.

2. Дана геометрическая прогрессия , в которой =14, =7. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии.

3. Между числами 6 и 486 вставьте такие три числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Вариант 2.

1. Последовательность -геометрическая прогрессия. Найдите, если =625 и знаменатель q=-0,2.

2. Дана геометрическая прогрессия , в которой =-21, =7. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии.

3. Между числами 1,5 и 96 вставьте такие пять чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию

V.Подведение итогов и домашнее задание.

7. Рефлексия