- Преподавателю
- Математика
- Некоторые приемы счета
Некоторые приемы счета
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Другие методич. материалы |
| Автор | Гатиятуллина Н.М. |
| Дата | 25.05.2014 |
| Формат | doc |
| Изображения | Нет |
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ СЧЕТА
-
СУММА НЕЧЕТНЫХ ЧИСЕЛ.
1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 62
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 72
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 82
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 = 92
Сохраняется ли и в дальнейшем эта закономерность? Рассмотрим рисунок.
Нам нужно найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 2n-1 и убедиться, что она равна n². Возьмем квадрат из n² клеток и заштрихуем клетки так, как показано на рисунке. n= 6. Сосчитаем количество клеток в них, начиная с левого верхнего угла. Первый участок состоит из 1, второй - из трех клеток, третий - из пяти клеток. Следовательно, последний - из 2n-1 клетки. Число клеток в квадрате равно 1 + 3 + 5 + … + 2n-1.
В данном случае при n= 6: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 = 36
-
ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ, ОКАНЧИВАЮЩИХСЯ НА 5.
152 = 225
252 = 625
352 = 1225
452 = 2025
552 = 3025
652 = 4225
752 = 5625
852 = 7225
952 = 9025
Пусть х - число десятков. Тогда пример выглядит следующим образом: (10х + 5)2 = 100х2 + 100х + 25 = 100х(х + 1) + 25.
Например, возведем в квадрат 35.
352 = 100 · 3 · 4 + 25
х(х + 1) - это количество десятков, т.е. 3, умноженное на следующее за тройкой число 4. Умножение на сто дает нам два нуля на конце, вместо которых мы приписываем число 25.
652 = 4225. 6 · (6 + 1) = 42. Приписываем 25.
-
СТАРИННЫЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ.
Пусть нужно умножить 56 · 34. Располагаем числа одно под другим.
5 6
| х |
3 4
6 · 4 = 24
5 · 3 = 15
5 · 4 + 6 · 3 = 20 + 18 = 38
-
X
5
6
3
4
1
5
2
4
+
2
0
1
8
1
9
0
4
Аналогично, умножим 41 · 32.
4 1
| х |
3 2
1 · 2 = 2
4 · 3 = 12
4 · 2 + 1 · 3 = 8 + 3 = 11
-
X
4
1
3
2
1
2
0
2
+
0
8
0
3
1
3
1
2
Этот прием умножения запоминается легко. Удобен он тем, что не нужно держать в голове числа.
-
ЕЩЕ ОДИН СТАРИННЫЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ
Рассмотрим пример: 64 · 17
-
6
4
1
7
3
2
3
4
1
6
6
8
8
1
3
6
4
2
7
2
2
5
4
4
1
1
0
8
8
Как поступить, если приходится делить на 2 нечетное число? В случае нечетного числа отбрасывают 1 и полученное четное число делят на 2. В конце к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа, которые записаны справа от нечетных чисел левого столбца.
Например: 56 · 17.
-
5
6
1
7
2
8
3
4
1
4
6
8
7
1
3
6
3
2
7
2
1
5
4
4
Обоснованность приема станет понятной, если рассмотреть следующие примеры.
7 · 136 = (6 + 1) · 136 = 6 · 136 + 136
3 · 272 = (2 + 1) · 272 = 2 ·272 + 272
Т.е. 136 и 272 - это те слагаемые, которые оказались утерянными за счет отбрасывания 1 от нечетного числа.
Итого: 56 ·17 = 544 + 272 + 136 = 952
-
ЕЩЕ ОДИН СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ БОЛЬШИХ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
98 · 97 = 9506
Дополнения до 100:
для 98 - это 2,
для 97 - это 3
98 97
2 3
(98 - 3) · 100 = 9500
2 · 3 = 6
9500 + 6 = 9506
Или:
(97 - 2) · 100 = 9500
2 · 3 = 6
9500 + 6 = 9506
98 · 97 = (100 - 2) · (100 - 3) = (10000 - (2 + 3) · 100) + 6
9500
(95 = 98 - 3 = 97 - 2)
Рассмотрим другой пример.
89 · 93 = (100 - 11) · (100 - 7) = (10000 - (11 + 7) · 100) + 77
8200
(82 = 89 - 7 = 93 - 11) -
УМНОЖЕНИЕ НА 11
При умножении на 11 нет необходимости писать пять строк. Достаточно написать число, которое умножаем на 11 еще раз, сдвинув на одну цифру влево. Например:
4581 · 11.
+ 4581
4581_
50391
Способы проверки действий с многозначными числами иногда тоже оказываются востребованными. Один из способов проверки - это способ «девятки»
-
СПОСОБ ПРОВЕРКИ СЛОЖЕНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Пусть требуется проверить правильность сложения следующего столбца
3627
+ 23490
1893
29010
Составляем в уме сумму цифр каждого из слагаемых (если в итоге получается сумма -двузначное число, то складываем снова цифры)
3 + 6 + 2 + 7 = 18 1 + 8 = 9
2 +3 +4 +9 +0 = 18 1 + 8 = 9
1 + 8 + 9 + 3 = 21 2 + 1 = 3
2 +9 +0 +1 +0 = 12 1 + 2 = 3
3627 9
+ 23490 + 9
1893 3
29010 3
Итого:
9 + 9 + 3 = 21 2 + 1 = 3
-
СПОСОБ ПРОВЕРКИ ВЫЧИТАНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Проверка вычитания выполняется точно так же, если принять уменьшаемое за сумму, а вычитаемое и разность - за слагаемые. Например:
_23490 _9
1893 3
21597 6
2 +3 +4 +9 +0 = 18 1 + 8 = 9
1 + 8 + 9 + 3 = 21 2 + 1 = 3
2 + 1 + 5 + 9 + 7 = 24 2 + 4 = 6
Итого: 9 - 3 = 6
-
СПОСОБ ПРОВЕРКИ УМНОЖЕНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Особенно удобен этот прием при проверке действия умножения
х3625 7
2629 1
32625 9
+ 7250 5
21750 6
7250 5
9530125 7
3 + 6 + 2 + 5 = 16 1 + 6 = 7
2 + 6 + 2 + 9 = 19 1 + 9 = 10 1+ 0 = 1
3 + 2 + 6 + 2 + 5 = 18 1 + 8 = 9
7 + 2 + 5 + 0 = 14 1 + 4 = 5
2 + 1 + 7 + 5 + 0 = 15 1 + 5 = 6
7 + 2 + 5 + 0 = 14 1 + 4 = 5 9 + 5 + 6 + 5 = 25 2 + 5 = 7
9 + 5 + 3 + 0 + 1 + 2 + 5 = 25 2 + 5 = 7
Итого: 7 · 1 = 7
Если при такой проверке будет обнаружена ошибка, то можно проверить способом девятки каждое частное произведение отдельно, а если ошибки здесь не окажется, то остается проверить лишь сложение частных произведений.