Лекция по математике Числовая функция, ее свойства и графики

Тема: Числовые функции, их свойства и графики

Тип урока: урок-лекция.

Целевая аудитория: обучающиеся 1 курса специальностей СПО 151031, 190631.

Цели урока:

• образовательные: систематизировать имеющиеся знания в области числовых функций и их свойств, научиться исследовать графики функций по их свойствам.

• развивающие: формировать умения анализировать свойства функций на основе имеющихся знаний, формировать аналитическое мышление, развивать навыки по применению знаний в различных ситуациях.

• воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: доска, проектор, экран. (Лекция построена исходя из реальных возможностей учебного кабинета. При наличии интерактивной доски необходимо работу с графиками проводить с ее помощью).

Приложение: презентация «Свойства числовой функции».

1. Организационный этап.

Приветствие, проверка присутствия на уроке, целеполагание.

2. Изложение теоретического материала

Определение: Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение: y = f(x),

где x - независимая переменная (аргумент), y - зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Способы задания функции.

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);

2. табличный способ (с помощью таблицы);

3. описательный способ (с помощью словесного описания);

4. графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

- область определения функции симметрична относительно нуля

- для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если

- область определения функции симметрична относительно нуля

- для любого х из области определения f(-x) = -f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁)< f(x₂).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁) > f(x₂).

Иными словами:

функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

4. Экстремумы

Точка Х_max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_max , выполнено неравенство f(х) f(X_max).

Значение Y_max=f(X_max) называется максимумом этой функции.

Х_max - точка максимума

У_max - максимум

Точка Х_min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_min , выполнено неравенство f(х) f(X_min).

Значение Y_min=f(X_min) называется минимумом этой функции.

X_min - точка минимума

Y_min - минимум

X_min, Х_max - точки экстремума

Y_min, У_max - экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х₁,Х₂,Х₃ - нули функции y = f(x).

Нули функции

Нулём функции y=f(x) называется такое значение аргумента x₀, при котором функция обращается в нуль.

Линейная функция y=kx+m

Графиком функции y=kx+m является прямая.

Свойства функции y=kx+m

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) возрастает, если k>0, убывает, если k<0;

3) не ограничена ни снизу, ни сверху;

4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5) функция непрерывна

6) E(f)=(−∞;+∞).

Функция y=kx²,k≠0

Графиком функции y=kx²,k≠0 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если k>0, и вниз, если k<0.

Свойства функции y=kx²,k≠0

Для случая k>0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) y_наим=0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[0;+∞);

7) выпукла вниз.

Свойства функции y=kx²,k≠0

Для случая k<0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) возрастает на луче (−∞;0], убывает на луче [0;+∞);

3) не ограничена снизу, ограничена сверху;

4) наименьшего значения не существует, y_наиб=0;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=(−∞;0];

7) выпукла вверх.

Функция y=k/x

Графиком функции является гипербола.

Свойства функции y=k/x

1) D(f)=(−∞;0)∪(0;+∞);

2) если k>0, то функция убывает на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞); если k<0, то функция возрастает на(−∞;0) и на (0;+∞);

3) не ограничена ни снизу, ни сверху;

4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5) функция непрерывна на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞);

6) E(f)=(−∞;0)∪(0;+∞).

Функция y= √x

Графиком функции y=√x является ветвь параболы.

Свойства функции y=√x

1) D(f)=[0;+∞);

2) возрастает;

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4)yнаим=0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[0;+∞);

7) выпукла вверх.

Функция y=|x|

Графиком функции является объединение двух лучей: y=x,x≥0 и y= −x, x≤0.

Свойства функции y=|x|

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) y_наим=0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[0;+∞).

Функция y=ax²+bx+c

Графиком функции y=ax²+bx+c является парабола с вершиной в точке (x₀;y₀), где x₀=−b/2a,y₀=f(x₀)=ax₀²+bx₀+c, и с ветвями направленными вверх, если a>0, и вниз, если a<0.

Свойства функции y=ax²+bx+c

Для случая a>0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убывает на луче (−∞;−b/2a], возрастает на луче [−b/2a;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) y_наим=y0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[y0;+∞);

7) выпукла вниз.

Для случая a<0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) возрастает на луче (−∞;−b/2a], убывает на луче [−b/2a;+∞);

3) не ограничена снизу, ограничена сверху;

4) наименьшего значения не существует, yнаиб=y0;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=(−∞;y0];

7) выпукла вверх.

3. Подведение итогов учебного занятия.

Контрольные вопросы:

1. Что такое числовая функция?

2. Назовите способы ее задания.

3. Назовите основные свойства числовой функции.

4. Перечислите элементарные функции, изученные на уроке.

4. Домашнее задание.

Пользуясь теоретическим материалом лекции (основными свойствами функции), выполнить следующее:

1) построить графики функций: а) y=3x² б) y=-5/x

2) Записать их свойства, используя построенные графики.

10