Конспект урока-семинара

по теме

«Правильные многогранники»

2 урока

Выполнила: учитель математики

Выродова М.А.

Нижний Новгород
2012

Учебные задачи:

1. Показать связь с природой и другими науками:

• Познакомить учащихся с примерами различных видов симметрии в природе, технике, архитектуре и других сферах жизни человека.

• Познакомить учащихся с примерами правильных многогранников встречающихся в живой и неживой природе, в других науках.

2. Дать представление о пространственных фигурах и частных видах многогранников:

   • Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников: правильные и полуправильные.

   • Познакомить учащихся с новым видом многогранников: звездчатые (правильные не выпуклые) многогранники.

   • «Открытие» учащимися теоремы Эйлера.

   • Сформировать умение находить элементы симметрии правильных многогранников.

   • Отработать приемы построения правильных многогранников на основе куба.

Диагностируемые цели:

ученик знает:

• Определение правильного выпуклого многогранника.

• О существовании пяти видов правильных многогранников.

• Теорему Эйлера (без доказательства).

• О существовании симметрии в пространстве.

• О существовании полуправильных и звездчатых многогранников.

ученик умеет:

• Характеризовать каждый вид правильного многогранника.

• Определять элементы симметрии правильных многогранников.

• Строить правильные многогранники на основе куба.

План семинара:

1. Актуализация знаний.

2. Понятие правильных многогранников. Виды правильных многогранников (сообщение учеников).

3. Исследовательская работа «Формула Эйлера».

4. Построение правильных многогранников на основе куба:

   • Построение тетраэдра;

   • Построение октаэдра;

   • Построение икосаэдра;

   • Построение додекаэдра (сообщение учеников).

5. Элементы симметрии правильных многогранников:

• Элементы симметрии тетраэдра и куба;

• Элементы симметрии октаэдра (сообщение учеников).

  7. Полуправильные и звездчатые многогранники:

     • Тела Пуансо - Кеплера;

     • Тела Архимеда (сообщения учеников).

  8. Связь геометрии с природой и другими науками.

Замечание:

Предполагается, что план семинара, названия докладов были вывешены за 2-3 недели до самого семинара. Все это время ученики готовились под руководством учителя. В ходе подготовки к семинару проводятся консультации для того, чтобы учитель знал, что будут говорить ученики (заслушиваются на консультациях планы, фрагменты, а порой и сообщения учеников, вносятся соответствующие коррективы и согласуются с содержанием семинара).

Домашним заданием для всего класса было повторение темы «Правильные многоугольники. Их элементы симметрии».

Формирование групп:

Для проведения данного семинара класс разбивается на 5 групп (по 4-5 человек), каждая из которых выбирает задание из общего плана семинара. Работа учеников, как при подготовке к семинару, так и на самом уроке групповая, так как обязательным условием данного семинара является наглядность, поэтому группам помимо сообщений необходимо подготовить свое выступление, которое будет сопровождаться либо плакатами с рисунками, либо моделями, либо презентациями. (Таким образом, во время подготовки к уроку и на выступлении будет задействовано несколько учеников группы). Группы формируются по уровню математических способностей, например, п.2, 6, 7 предлагаются слабым ученикам и ученикам с гуманитарными способностями, п. 4, 5 для сильных учеников, требуется большая подготовка.

В каждой группе назначается ответственный. Это необходимо для того, чтобы он мог организовать работу и, в дальнейшем, оценить обстановку (например, в том, кто какое участие принял в подготовке к уроку-семинару). Формировать группы по дружеской привязанности не следует, так как друзья не смогут дать объективной оценки.

Литература к семинару:

1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия, учебник (10-11 классы)

2. Вернер А.Л., Карп А.П. Математика (10 класс)

3. Журнал "Математика в школе", №1, 1996г, с.47

4. Винниджер. Модели многогранников. М., 1975.

5. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.-5-е изд.- М.: Просвещение, 1997.

6. Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983.

7. Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.

8. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., 1988.

Оценивание результатов:

Учитель, проводя консультации к уроку-семинару, имеет представление о подготовке учащихся к семинару. Исходя из этого, учителю проще оценить результаты учеников, а также ему следует обратить внимание и на выступления учеников. Важно в начале заслушать мнение класса о подготовке каждой группы, но решающее слово будет слово учителя. Он ставит общую оценку всей группе. Старший в группе или вся группа принимает решение о том, что эту оценку должны получить все члены группы или есть те, кто заслужил меньше. Большую оценку, чем оценка учителя, ставить нельзя. (Например, группа 1 получает оценку 4, каждый член группы получает оценку не выше 4, ниже можно).

Текст курсивом принадлежит учителю.

Мы заканчиваем изучать весьма большую тему «Многогранники». В ней мы познакомились с понятием многогранника, с частными видами многогранников, такими как призма, пирамида, параллелепипед. Среди них мы выделяли их особые виды, которые называли правильными. Так, мы знакомы с правильной пирамидой (и ее частным видом - правильным тетраэдром), правильным параллелепипедом - кубом.

А есть ли другие многогранники, которые тоже могут являться правильными? Если есть, то сколько их? Это мы и будем выяснять сегодня.

В течение прошедших двух недель вы готовились к сегодняшнему уроку-семинару. Вам были предложены сообщения, которые вы готовили в группах.

Итак, тема урока «Правильные многогранники».

Геометрия, как и вся математика в целом, пронизана аналогиями. Так в стереометрии, которую мы сейчас с вами изучаем, много понятий, аналогичных тем, которые мы рассматривали в планиметрии.

Например, плоскость аналогична прямой, тетраэдр - треугольнику, куб - квадрату и т.д. Когда мы только начинали изучать многогранники, мы вспоминали их планиметрический аналог - многоугольники. Сейчас мы собираемся познакомиться с правильными многогранниками, поэтому для начала нужно вспомнить, что такое правильный многоугольник.

• Дайте определение правильного прямоугольника.

• Правильные многоугольники имеют элементы симметрии, перечислите их.

• Дайте определение точек симметричных относительно прямой.

• Дайте определение фигуры симметричной относительно прямой.

• Дайте определение точек симметричных относительно точки.

• Дайте определение фигуры симметричной относительно точки.

I вариант: выполняет построение элементов симметрии правильного треугольника.

II вариант: выполняет построение элементов симметрии квадрата (работа с цель повторения, а не проверки и оценивания остаточных знаний).

• Какие элементы симметрии имеет треугольник?

• Какие элементы симметрии имеет квадрат?

• Другие правильные многоугольники имеют элементы симметрии?

• Опишите закономерность между количеством углов многоугольника и расположением и расположением осей симметрии.

• Опишите закономерность существования центра симметрии в зависимости от количества углов многоугольника.

Как уже было сказано, понятие правильного многоугольника весьма близко понятию правильного многогранника. Про эти замечательные фигуры поведают нам (...)и (…). Во время рассказа мы с вами заполним таблицу1.

Таблица 1.

Виды правильных многогранников

Число

Вид грани

Ребер

Вершин

Граней

Тетраэдр

4

4

6

Куб

6

8

12

Октаэдр

8

6

12

Додекаэдр

12

20

30

Икосаэдр

20

12

30

(сообщение)

Понятие правильного многогранника. Виды правильных многогранников.

(Определение правильного многогранника)

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Примером правильного многогранника является куб: он является выпуклым многогранником, все его грани - равные квадраты, в каждой вершине сходятся три ребра, и все двугранные углы куба прямые. Правильный тетраэдр также является правильным многогранником.

Может показаться, что вторая часть определения является лишней и достаточно сказать, что выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон. Достаточно ли этого на самом деле?

Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!). Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых - четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным. Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях.

Возникает вопрос: сколько существует различных типов правильных многогранников?

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники. Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n - угольники при n≧6.

В самом деле, угол правильного n - угольника при n≧6 не меньше 120˚. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани - правильные n - угольники при n≧6 , то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120˚· 3 = 360˚. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360˚.

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники.

Правильный тетраэдр (рис. 1) составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180˚.

Рис. 1
Правильный октаэдр (рис. 2) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240˚.

Рис. 2

Правильный икосаэдр (рис. 3) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300˚.

Рис. 3

Куб (гексаэдр) (рис. 4) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270˚.

Рис. 4

Правильный додекаэдр (рис. 5) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324˚.

Рис. 5

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «эдра» - грань «тетра» - 4 «гекса» - 6 «окта» - 8 «икоса» - 20 «додека» - 12.

(Ученик демонстрирует развертки.)

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу № 1.

Исследовательская работа «Формула Эйлера»

Проанализируйте таблицу № 1. Установите зависимость между числом ребер, вершин и граней правильных многогранников! По-видимому, нет. Например, в столбце «грани» казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 12, 12 + 2 20). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце «рёбра» закономерности тоже не видно.

Рассмотрим сумму чисел в двух столбцах «грани» и «вершины» (см. табл. № 2).

Таблица 2.

Правильный многогранник

Число

Граней и вершин (Г + В)

Ребер (Р)

Тетраэдр

4 + 4 = 8

6

Куб

6 + 8 = 14

12

Октаэдр

8 + 6 = 14

12

Додекаэдр

12 + 20 = 32

30

Икосаэдр

20 + 12 = 32

30

Можно ли теперь заметить какую-либо закономерность?

Попробуйте ее сформулировать.

Запишем её так: «Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 », т.е.

Г + В = Р + 2

Итак, мы вместе «открыли» формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Запомните эту формулу, она пригодится вам для решения некоторых задач.

Мы познакомились с правильными многогранниками, выяснили, сколько их существует… Правда, выяснили мы это только теоретически. А практически их существование еще не доказали. А как это сделать? Нужно построить их модели. Понятно, что мы легко можем построить модель куба. А вот как построить модель, какого-нибудь другого правильного многогранника? Оказывается, что все правильные многогранники довольно легко строятся с помощью куба. А как? Об этом нам расскажет (…).

(сообщение)

Построение правильных многогранников на основе куба.

Одним из способов построения правильных многогранников, а именно правильных тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, является построение их на основе куба.

Задача 1. Построить правильный тетраэдр.

Решение. Пусть дан куб ABCDA₁В₁С₁D₁ . Рассмотрим какую-либо его вершину, например, А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину, противоположную А- вершины куба B₁, C₁, D₁. Точки А, В₁, С₁, D являются вершинами правильного тетраэдра. Действительно, каждый из отрезков АВ₁ , В₁С₁, C₁D, AD, B₁D и АС₁, очевидно, служит диагональю одной из граней куба, а потому все эти отрезки равны. Отсюда следует, что в

треугольной пирамиде с вершиной А и основанием B₁C₁D все грани - правильные треугольники, следовательно, эта пирамида - правильный тетраэдр. Этот тетраэдр вписан в данный куб.

Полезно заметить, что другие четыре вершины куба являются вершинами второго правильного тетраэдра A₁BCD₁ , равного первому и также вписанного в данный куб. Следовательно, можно построить ровно два (различных, но равных друг другу) правильных тетраэдра, вписанных в данный куб.

Задача 2. Построить правильный октаэдр, вписанный в данный куб.

Решение. Куб и октаэдр обладают свойством двойственности, то есть могут быть получены друг из друга простым способом: центры граней одного являются вершинами другого. Используем это свойство, а именно докажем, многоугольник с вершинами в центрах граней куба - правильный октаэдр.

Этот многогранник имеет 6 вершин (у куба 6 граней), 12 ребер, и 8 граней - треугольников. Таким образом, можно утверждать, что построенное тело - октаэдр.

Для доказательства того, что он правильный, надо установить равенство всех ребер октаэдра (чем будут доказаны правильность и равенство всех граней октаэдра) и сходимость в каждой вершине одинакового числа ребер. Проектируя ребра построенного многогранника на плоскость, проходящую через центры боковых граней куба, находим, что проекции их равны, следовательно, равны и ребра многогранника. В каждой вершине сходятся 4 ребра, так как каждый из центров граней куба можно соединить с четырьмя соседними.

Итак, мы доказали, что полученное тело - правильный октаэдр. Очевидно, задача имеет единственное решение.

Задача 3. Построить правильный икосаэдр вписанный в куб.

Решение. Проанализируем, предположим, что икосаэдр вписан в куб; так как противоположные ребра икосаэдра параллельны, скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны, у икосаэдра 12 вершин, то на каждой грани куба расположено по две вершины икосаэдра. Из соображений симметрии они будут лежать на средних линиях граней куба.

Пусть A, B, C, D -вершины икосаэдра; ребро куба равно 1, ребро икосаэдра равно x. Обозначим: LC=y, тогда 1 = x + 2y, где 1 - ребро куба. Рассмотрим CLK:CL=y, LK =1/2, тогда CK*CK= y*y + (1/4) . Рассмотрим треугольник ABC - это грань икосаэдра: CK - высота, тогда CK*CK=3*x*x*2/4. Получим систему: x+2*y=1

4y*y - 3x*x =-1

Решив систему, получим два значения: y₁=(3+v5)/4 и y₂=(3 - v5)/4. Но y₁›1, т.е. больше стороны куба; y₂=0.2 - есть искомое решение. Итак, y=(3-v5)/4, это формула конструктивная, т.е. все вершины и сам икосаэдр построить можно.

Используя куб, можно построить додекаэдр, который около него описывается. На иллюстрации показано, как это делается.

Надо заметить, что построение правильного многогранника, вписанного в куб, весьма часто встречается в практических задачах. И кроме всего прочего, доказывает существование 4 из 5 правильных многогранников: тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра. И, что самое интересное, не доказывает существование самого куба. Но его существование мы уже с вами доказали в теме: «Перпендикулярность в пространстве».

Чем же столь интересны правильные многогранники? Наверное, своей красотой. А красота в геометрии зачастую связана с понятием, которое сегодня уже упоминалось - понятием симметрии. О симметрии в правильных многогранниках нам расскажет (…). Во время рассказа, мы с вами заполним таблицу 3.

Таблица 3.

Правильные многогранники

Элементы симметрии

Центр

Ось

Плоскость

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

(сообщение)

Элементы симметрии правильных многогранников.

Симметрия относительно плоскости (или зеркальная симметрия) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону плоскости, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону плоскости, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны плоскости симметрии и делятся ею пополам. Эта плоскость называется плоскостью симметрии.

Симметрия относительно точки или центральная симметрия - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам.

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость , проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру CD правильного тетраэдра ABCD, является плоскостью симметрии. Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.

Куб имеет один центр - точку пересечения его диагоналей. Прямые а и b, проходящие соответственно через центры противоположных граней и середины двух противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются его осями симметрии. Куб имеет девять осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии куба является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Куб имеет девять плоскостей симметрии.

Октаэдр имеет один центр симметрии - точку пересечения его диагоналей. Прямые, проходящие через диагонали и середины противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются его осями симметрии. Октаэдр имеет девять осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии- точка пересечения его осей симметрии. Плоскостью симметрии октаэдра является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Октаэдр имеет девять плоскостей симметрии. Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через противоположные вершины, шесть - через середины ребер.

Элементы симметрии додекаэдра: додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии. Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Элементы симметрии икосаэдра: правильный икосаэдр имеет 15 осей симметрии, каждая из которых проходит через середины противоположных параллельных ребер. Точка пересечения всех осей симметрии икосаэдра является его центром симметрии.

Плоскостей симметрии также 15. Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, лежащие в одной плоскости, и середины противолежащих параллельных ребер.

Вот теперь мы много узнали о правильных многогранниках: и сколько их, и как их строить, и какие элементы симметрии они имеют…

Но, мы все время говорим о выпуклых многогранниках и незаслуженно забываем о многогранниках невыпуклых, а среди них тоже есть правильные. Кроме того, среди всего многообразия многогранников, есть ряд таких, которые вроде и не являются правильными, но очень к ним близки. Вот о таких интересных многогранниках нам сейчас и поведают (…) и (…).

(сообщение)

ТЕЛА ПУАНСО- КЕПЛЕРА

звездчатые многогранники (правильные невыпуклые многогранники).

• Французский математик Пуансо в 1810 году построил четыре правильных звездчатых многогранника: малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.

• Два из них знал И. Кеплер (1571 - 1630 гг.).

• В 1812 году французский математик О. Коши доказал, что кроме пяти «платоновых тел» и четырех «тел Пуансо» больше нет правильных многогранников.

Большой икосаэдр

Грани большого икосаэдра - пересекающиеся треугольники.

Вершины большого икосаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.

Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.

Малый звездчатый додекаэдр

Грани малого звездчатого додекаэдра - пентаграммы, как и у большого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются пять граней. Вершины малого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.

Малый звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.

Большой додекаэдр

Грани большого додекаэдра - пересекающиеся пятиугольники.

Вершины большого додекаэдра совпадают с вершинами описанного икосаэдра.

Большой додекаэдр был впервые описан Луи Пуансо в 1809 г.

Большой звездчатый додекаэдр

Грани большого звездчатого додекаэдра - пентаграмы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.

Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г.

(сообщение)

ТЕЛА АРХИМЕДА

Полуправильные однородные выпуклые многогранники.

Многогранник называется полуправильным, если в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер (как у правильных многогранников), и все его грани - правильные многоугольники, но не все равны между собой.

Архимедовыми телами называются выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов (этим они отличаются от платоновых тел).

Эти многогранники были впервые рассмотрены Архимедом (поэтому их называют еще архимедовыми) в 111 в. до н. э. в недошедшем до нас сочинении, его работа дошла до нас только через сочинения других авторов. Все эти многогранники были вновь открыты и описаны в эпоху Ренессанса. Известный немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571 - 1630) в книге «Гармония мира» в 1619 г. полностью восстановил потерянную информацию о них.

Простейшим примером архимедова многогранника может служить архимедова призма, т. е. правильная n-угольная призма с квадратными боковыми гранями.

Другой пример - так называемая п-угольная архимедова антипризма. Она может быть получена, если одно из оснований правильной n-угольной призмы (n>4) повернуть вокруг оси призмы на угол - и затем соединить отрезками каждую вершину этого основания с ближайшими вершинами другого основания; при этом высота призмы должна быть подобрана так, чтобы эти отрезки оказались равными стороне основания (иначе говоря, боковые грани антипризмы должны быть правильными треугольниками). Меняя n, мы получим две бесконечные серии архимедовых многогранников - призм и антипризм.

Как показал Иоганн Кеплер, существуют (кроме рассмотренных выше серий призм и антипризм) еще 14 различных типов простых архимедовых многогранников их можно разбить на пять групп.

Первая группа:

Пять многогранников, которые получаются из пяти платоновых тел в результате их усечения.

Усечение добавляет новые грани для каждой существующей вершины и превращает существующие n-угольники в 2n-угольники (например, квадраты - в восьмиугольники).

Перечислим все многогранники, полученные усечением: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр. Если возможно отсечь углы на такую глубину, которая превращает все грани в правильные многоугольники, что обычно подразумевается, то получится полуправильный многогранник.

Вторая группа:

Благодаря свойству двойственности существует еще два полуправильных многогранника их называют квазиправильными многогранниками. Это название означает, что гранями этого многогранника являются правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена гранями другого типа. Эти два тела называются кубоктаэдр и икосододекаэдр. Как следует из их названий, каждый из этих многогранников имеет нечто общее с каждым из пары двойственных правильных многогранников. Их получают также как и усеченные архимедовы тела отсечением пирамид, но количество сторон в каждой грани при этом остается прежним. Например, кубооктаэдр можно получить и из куба, и из октаэдра, если соединить середины ребер.

У кубооктаэдра 6 квадратных граней, остальные 8 граней - правильные треугольники. В каждую вершину сходятся два квадрата и два треугольника.

Третья группа:

Труднее получить следующие четыре Архимедовых тела: ромбокубоктаэдр, ромбоикосододекаэдр, ромбоусеченный куб, ромбоусеченный додекаэдр (у некоторых авторов названия отличаются, это связано с переводами на русский язык оригинальных латинских названий). Эти многогранники можно вписать в платоновы тела, являющиеся их прообразами, но получить их простым усечением нельзя.

Четвертая группа:

Курносый куб и курносый додекаэдр. Термин "курносый" означает, что каждую грань многогранника окружили треугольниками или, что каждое ребро заменили парой треугольников, а в каждой вершине добавили еще один многоугольник. Для них характерно несколько повернутое положение граней. В результате эти многогранники, в отличие от предыдущих, не имеют плоскостей симметрии, но имеют оси симметрии. Так как плоскостей симметрии нет, то зеркальное отражение такого тела не совпадает с исходным телом, и поэтому существуют по две формы каждого из них - "правая" и "левая", отличающиеся так же, как правая и левая руки.

Пятая группа:

Существует и еще один многогранник, открытый лишь в XX веке, который некоторые ученые причисляют к полуправильным, а некоторые - нет. Он называется псевдоромбокубоктаэдр. Спорный вопрос заключается в том, что в нем нарушена симметрия, поэтому он не соответствует некоторым определениям полуправильных многогранников. Он может быть получен из ромбокубоктаэдра, если повернуть одну из восьмиугольных чаш на 45°.

Л. Кэрролл сказал: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные, нам расскажут (…).

(сообщение)

Правильные многогранники в философской картине мира Платона.

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 - ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Ко времени Платона в античной философии уже созрела концепция четырех элементов (стихий) - первооснов материального мира: огня, воздуха, воды и земли. Атомам земли Платон придает форму куба, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью. Атомам воды - форму икосаэдра, т.к. вода отличается текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр - наиболее «катящийся». Атомам воздуха - форму октаэдра, ибо воздух движется взад и вперед и и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны. Атомам огня - форму тетраэдра как наидолее острого, мечущегося в разные стороны. Мировой эфир - вся вселенная, атомам которой придается форма додекаэдра, как наиболее близкого к шару - самому совершенному по форме телу.

тетраэдр октаэдр икосаэдр куб додекаэдр

(огонь) (воздух) (вода) (земля) (весь мир)

Этим объясняются такие названия, которые получили правильные многогранники: «космические фигуры», «идеальные фигуры», «Платоновы тела».

(сообщение)

Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли.

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (рис.7). Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Оказывается, что правильные многогранники повсюду, и мы, сами того не замечая, ими, просто окружены. Послушаем сообщение (…).

Сообщение «Правильные многогранники и природа»

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии ( Circjgjnia icosahtdra ) по форме напоминает икосаэдр.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись.

Известно, что она растворима в воде, служит

проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Молодцы вы хорошо сегодня подготовились.

Теперь выполните небольшой тест "Правильные многогранники" (цель - проверить знания, полученные на уроке):

1. Сколько существует видов правильных многогранников?

• 13

• 5

• 4

• Много

2. Какие правильные многогранники имеют по 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии?

• Тетраэдр

• Икосаэдр

• Додекаэдр

• Октаэдр

3. Какой из математиков установил соотношения между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника?

• Платон

• Архимед

• Эйлер

• Кеплер

4.Согласно теории о связи структуры Земли с правильными многогранниками, проекции каких вписанных в земной шар фигур проступают в земной коре?

• Икосаэдр

• Гексаэдр

• Додекаэдр

• Октаэдр

5. Кто автор философской картины мира, где главную роль играют правильные многогранники?

• Эйлер

• Кеплер

• Архимед

• Платон

Правильные ответы подчеркнуты.

Давайте подведем итоги урока:

С каким новым типом многогранников вы познакомились на уроке?

Какую закономерность между вершинами, ребрами и гранями многогранника вы «открыли»?

Что еще нового вы узнали на этом уроке?

Понравился ли вам семинар?

Чем понравился?

Что вам запомнилось?

Записываем домашнее задание (оно дифференцированное): всем прочитать §3, затем более слабые или творческие ученики (учитель называет, кто выполняет это домашнее задание) №721-725 - выполнить любые 2-3 модели многогранников, для более сильных учеников п.29^* учебника разобрать и выучить доказательство теоремы Эйлера. Все ученики смогут, тем самым получить оценку.

Раздаточный материал каждому ученику:

Тема урока:

__________ ____________ ___________ ___________ ___________

Таблица 1.: Элементы правильных многогранников.

Виды правильных многогранников

Число

Вид грани

Ребер

Вершин

Граней

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Таблица 2.: Формула Эйлера.

Правильный многогранник

Число

Граней и вершин (Г + В)

Ребер (Р)

Тетраэдр

Куб

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

Вывод:

Построение правильных многогранников на основе куба:

Элементы симметрии правильных многогранников.

Таблица 3.: Элементы симметрии правильных многогранников.

Правильные многогранники

Элементы симметрии

Центр

Ось

Плоскость

Тетраэдр

Куб

Октаэдр