Организация дифференцируемого процесса обучения на уроках математики в ОСОШ

Организация дифференцируемого процесса обучения на уроках математики в ОСОШ

(на примере выпускных классов ОСОШ №77)

1. Дифференциация в организации структуры учебного процесса.

Классно-видовая структура и распределение часов (в неделю) в выпускных классах имеют следующий вид:

- 11 «д» - ускоренное обучение (10-11), дневной режим посещения и

- 11 «е» - ускоренное обучение (10-11), вечерний режим посещения

алгебра и начала анализа I п/г (10кл.) 3 часа II п/г (11кл.) - 3 часа,

геометрия I п/г (10кл.) 1 час II п/г (11кл.) - 2 часа, консультационно-зачетные уроки (КЗУ) - 1 час;

- 12 «а» - очная форма получения общего образования, дневной режим посещения:

алгебра и начала анализа - 1 час,

геометрия - 1 час, практикум по математике - 2 часа,

консультационно-зачетные уроки (КЗУ) - 1 час;

- 12 «б» - очная форма получения общего образования, вечерний режим посещения:

алгебра и начала анализа - 1 час,

геометрия - 1 час,

практикум по математике - 2 часа,

консультационно-зачетные уроки (КЗУ) - 1 час;

- 12 «в» - заочная форма получения общего образования, вечерний режим посещения:

алгебра и начала анализа - 1 час,

геометрия - 1 час,

консультационно-зачетные уроки (КЗУ) - 1 час;

(предусмотрена возможность открытия группы 12 «г» с дневным режимом посещения);

- 12 ИО - индивидуальное обучение:

алгебра и начала анализа - 1 час,

геометрия - 1 час;

- 12 «э1» - экстернат внутренний: по программе подготовки экстернов;

- 12 «э2» - экстернат внешний (техникум):

подготовка к ЕГЭ по расписанию группы выходного дня - 2 часа.

При реализации очной формы получения общего образования учебный план открытой школы предусматривает введение практикума.

Введение в учебный план практикума дает возможность более детальной проработки учебного материала, позволяет освоить пропущенные или трудно дающиеся темы, проходимые на уроках, ликвидировать пробелы в знаниях учебного материала прошлых лет, лучше подготовиться к ЕГЭ.

Учебным планом открытой школы так же предусматривается наличие консультационно-зачетных уроков (КЗУ), на которых используются различные виды групповых и индивидуальных консультаций, направленных на адаптацию учащихся к учебе в непривычных для них условиях, повышению мотивации к учению, реализацию образовательных требований базового и повышенного уровня.

12«э2» класс образуют учащиеся Гуманитарного техникума экономики и права. Занятия проводятся в выходные дни (группа выходного дня) согласно расписанию и по договоренности с учителями - предметниками.

2. Дифференциация в организации учебно-познавательной деятельности учащихся.

С точки зрения дифференциации в организации учебно-познавательной деятельности учащихся необходимо рассмотреть зачётную систему. Основой организации учебного процесса является зачетная система, при которой основной контролируемой единицей обучения становится не урок, а зачетный блок. Целесообразность подачи материала не мелкими дозами, а крупными блоками связана с процессами усвоения. В крупном блоке легче установить логические связи, удобнее выделить ведущую мысль и донести ее до сознания учащихся. Внутри такого зачетного блока выделяются групповые консультации, которые дополняются индивидуальными, изучение блока завершается зачетом.

Такая организация учебного процесса создает благоприятные условия для осуществления индивидуального подхода к учащимся. Этот подход отражен в тематическом планировании, которое разработано на основе учебных программ, соответствующих обязательному содержанию образования и соответствуют учебному плану вечерней школы.

Тематическое планирование, выделение зачетных периодов, сроки контрольных работ и зачетов по каждому 12 классу приведены в приложении (см. приложение 1 и 2). Тематическое планирование для классов ускоренного обучения 10-11 также приведены в приложении (см. приложение 3).

Иначе говоря, весь материал учебного предмета предъявляется учащимся в структуре блоков, по каждому из которых каждый учащийся в конечном итоге должен получить отметку «Зачтено». После этого она может быть переведена в пятибалльную систему. (При так называемом дифференцированном зачете).

Формирование учебных групп разного темпа обучения.

Весьма специфично выстраивается учебный процесс открытой школы по темпу обучения. Требование «строить обучение в таком темпе, который исключал бы явления неоправданного повторения, топтания на месте, а позволял быстро устанавливать связи между отдельными элементами учебного материала, систематизировать и обобщать знания» предполагает в принципе единый темп обучения, базирующийся на относительной однородности контингента учащихся. Имея дело с весьма пестрой дидактической запущенностью, различным возрастом и социальным опытом своих учащихся, ОСОШ нарушает одно из главных положений классно-урочной системы и предлагает обучение в различном темпе. При этом формирование учебных групп разного темпа обучения происходит с учетом специфики подготовленности учащихся, развитости учебно-познавательных способностей и мотивов учебной деятельности.

В этом подходе, в частности, открытая (сменная) общеобразовательная школа реализует особенности своего видения еще одного классического требования - необходимости «дифференцированного подхода к учащимся с разным уровнем учебной подготовленности».

В 10-ых и 11-ых классах нашей ОСОШ №77 традиционно формируются группы ускоренного обучения. Учащиеся таких групп имеют возможность заниматься в ускоренном темпе, готовясь к сдаче зачетов по темам 10-ого, 11-ого и начала 12-ого классов на уроках практикума, а также на консультационно-зачетных уроках (КЗУ).

Использование различных типов групповых консультаций на КЗУ.

1) Консультации при изучении каждого зачетного блока:

- вводные групповые консультации.

Проводятся в начале каждого зачетного раздела. Задача - познакомить учащихся с планом всей работы по зачетному разделу, рассказать о требованиях к знаниям по разделу, дать инструктаж: как работать с учебником, сборниками заданий, таблицами, справочным материалом, как лучше организовать свое время и использовать его для занятий, что делать, если приходится пропускать занятия.

Учащимся выдается «листок-памятка» (см. приложение 4), который дает представление о структуре и последовательности изучаемого материала, времени сдачи каждого зачетного раздела, материалах учебника по заданным темам, дополнительной учебной литературе (в том числе о сборниках для подготовки к ЕГЭ), домашних заданиях к каждой теме.

- групповые консультации по изучению нового материала.

Краткое его выборочное изложение. Задача - подготовить учащихся к восприятию нового материала, отобрать вопросы и задания для домашней самостоятельной работы. Материал может подаваться в форме объяснения, лекции, беседы, инструктажа.

Для реализации на консультациях используется «информационный раздаточный материал» (см. приложение 5). Это специальные карточки - помощь учащимся, позволяющая восстановить или обобщить необходимые знания. Каждая карточка посвящена отдельному фрагменту учебной теории. Они могут быть использованы при актуализации знаний материала предыдущих занятий, а также позволяют конкретному ученику в очень короткое время (если он пропустил занятие или несколько уроков), повторить учебный материал. Отсылать учащихся к учебнику, в данном случае нерационально, потому что им придется просмотреть, возможно, материал нескольких параграфов и выбрать необходимое. Это займет много времени. А в «информационном раздаточном материале» учебный материал тщательно отобран, разбит на самостоятельные блоки, наглядно оформлен в виде графической информации, таблиц. Применение «информационного раздаточного материала» в значительной степени облегчает учащимся процесс усвоения знаний, создает своеобразную зрительную опору для прочного запоминания.

- групповые консультации по выработке умений и навыков.

Главная задача - тщательно отобрать тематический материал разной сложности, учитывая уровень подготовленности учащихся. Основной вид деятельности - самостоятельная работа учащихся в сочетании с индивидуальной помощью учителя, учитывающего уровень подготовленности и способности. Этот вид работы позволяет каждому ученику совершенствовать свои знания, умения и навыки в необходимом для него темпе.

Самостоятельная работа учащихся, может использоваться в любой составляющей учебного цикла. Планируя самостоятельную работу учащихся на уроке и вне его, важно определить посильность (доступность) заданий в рамках учебной группы и в индивидуальных вариантах. Здесь на помощь приходит анализ уровня подготовленности учащихся и их психологических особенностей. Для определения уровня подготовленности учащихся используются результаты входного мониторинга, проведенных контрольных работ, текущего тестирования. Психологические особенности устанавливаются в результате беседы с самими учащимися и с их классным руководителем.

Дозировка самостоятельной работы обеспечивает необходимую успешность деятельности каждого ученика и сопутствующее восстановление учебной мотивации. По мере восстановления учебных навыков и ликвидации дидактической запущенности учитель ориентирует самостоятельную работу учащихся на освоение новых знаний и умений, отвечающих требованиям стандарта. Особое внимание уделяется демонстрации и усвоению учащимися образцов и алгоритмов самостоятельной работы в классе и вне класса.

Для формирования у учащихся основных умений и навыков используются «карточки самостоятельной работы» (см. приложение 6).

Задания дифференцированы по уровню сложности: только овладев базовыми знаниями и умениями, можно выполнять задания повышенной сложности. Применение «карточек самостоятельной работы» способствует поэтапному и дифференцированному устранению пробелов в знаниях и умениях отдельных учащихся. Для учащихся с большими пробелами в знаниях по данной теме применяется «раздаточный материал с образцами решений» (см. приложение 7).

Разнообразие заданий позволяет использовать карточки также при объяснении нового материала, проведении семинаров, и при организации самостоятельной работы учащихся дома (что имеет существенное значение в условиях работы с учащимися, пропускающими занятия).

- групповые консультации обобщения знаний.

Основная задача - систематизация и обобщение знаний, которые учащиеся приобретают в результате самостоятельной работы в классе и дома. Такая консультация необходима для подготовки к контрольной работе, зачету, тестированию. Форма проведения такой консультации может быть различной (беседа, семинар, устная проверка - опрос). Подготовка к такому занятию проводится индивидуально, парно, группой, что позволяет сократить время на его проведение и увеличить активность присутствующих.

Необходимо отметить, что главная цель групповых консультаций не в том, чтобы дать учащимся весь фактический материал курса, а в том, чтобы выработать у них навыки самостоятельной работы, способствовать активизации познавательной деятельности учащихся и подготовке их к дальнейшему самообразованию в ходе осуществления профессиональной деятельности.

2) Консультации групп ускоренного обучения.

На консультационно-зачетных уроках осуществляется помощь учащимся групп ускоренного обучения в изучении и сдаче материала 10 - 12 классов для перевода их во втором полугодии в выпускной класс. Используется весь раздаточный материал, используемый при изучении каждого зачетного блока, описанный выше. Учащиеся, успешно справившиеся со всем объемом учебного материала, переводятся в 12-ый класс.

С точки зрения дифференциации в организации контроля знаний обратимся к понятию «входной мониторинг».

Дидактическая запущенность - серьезный барьер для восстановления учебной деятельности. Она то и составляет первую заботу открытой школы, принимающей нового ученика после перерыва в учебе, после кризиса обучения в детской школе, или после того и другого, вместе взятых. На первой же стадии возобновления обучения (а, строго говоря, еще на подступах к нему) необходимо как можно более точно выявить характер и структуру запущенности и спланировать деятельность педагога и учащегося по ликвидации пробелов в знаниях и умениях.

Опыт работы в ОСОШ показывает, что нередко в классах основной, а то и средней школы приходится иметь дело с учащимися, имеющими пробелы в знаниях даже за курс начальной школы (довольно типичны, к примеру, ошибки на применение таблицы умножения). При этом дидактическая запущенность всегда сугубо индивидуальна.

Процесс выявления реальных пробелов в структуре подготовки почти всегда связан с негативными эмоциями. Во-первых, выявляемый реальный уровень знаний и умений обычно оказывается гораздо ниже уровня самооценки учащихся. Во-вторых, неприятно сказывается публичный характер вскрытия недостатков, на которых ранее не сосредотачивалось внимание окружающих, да и самой личности. В-третьих, в связи со вскрытием реального объема и характера необходимой дополнительной работы в сфере повторения давно вроде бы изученного, ослабевает и без того невысокая мотивация к возобновлению учебной деятельности.

В практике вечерних и открытых школ для выявления дидактической запущенности учащихся производится диагностика школьных знаний и навыков, выявляются затруднения и их причины при выполнении различных заданий. Ведется наблюдение особенностей поведения учащегося. Определяются структура учебной запущенности и необходимые пути её устранения, уровень владения счета, решения задач, типичные затруднения и т.д.

Все остальное фиксируется и учитывается лишь попутно, по мере обнаружения и в силу реальных возможностей педагогов, не имеющих специальной подготовки в области коррекционной педагогики, но обладающих практическим опытом работы с такими учащимися.

Зачетная система учета и контроля.

Формы проведения зачетов определяются учителем и могут быть устными, письменными и комбинированными.

Осуществляя индивидуальный подход на зачете, необходимо большое внимание уделять контролю и учету знаний учащихся. Учащиеся на вводных групповых консультациях к зачету знакомятся с планированием материала по темам, сроками сдачи контрольных работ и зачета, требованиями к знаниям и умениям по данному разделу. Успешность работы по каждой теме зачетного раздела фиксируется учителем в «журнале зачетов».

Контроль предусматривает активную работу на групповых консультациях, выполнение контрольной работы, а также систематическое выполнение домашних заданий во всем темам зачетного раздела, на основании чего выставляется итоговая зачетная оценка.

Заполнение «журнала зачетов» позволяет дифференцированно проводить зачет. Зная о такой системе учета знаний, учащиеся своевременно отвечают устно, пишут контрольные работы, выполняют домашние задания. Оценка «Зачет» таким учащимся выставляется по результатам текущей успеваемости. После этого она может быть переведена в пятибалльную систему.

Учащиеся, плохо посещающие занятия, сдают устный зачет по всему материалу зачета. При подготовке к зачету учащиеся заранее могут ознакомиться с содержанием контрольных работ и зачетных вопросов. Для контроля знаний по определенным темам на зачете могут также использоваться «карточки самостоятельной работы» (см. приложение 6).

Приложение 1

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

12 класс - алгебра и начала анализа 1ч, геометрия 1ч, практикум 2ч, КЗУ 1ч (в неделю)

12 заочная группа - алгебра и начала анализа 1ч, геометрия 1ч, КЗУ 1ч (в неделю)

№

п/п

Наименование и содержание раздела

Количество часов

Уроки

Контрольные работы или зачеты для заочных.групп

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 36 часов

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10 - 11.

1.

Обобщение понятия степени.

4

1 (вх. монит.)

1.1.

Корень n-ой степени и его свойства.

1.2.

Решение иррациональных уравнений.

2

1.3.

Степень с рациональным показателем.

1

2.

Показательная функция.

8

1 (конец ноября)

2.1.

Показательная функция.

2

2.2.

Решение показательных уравнений и неравенств.

4

2.3.

Решение систем уравнений, содержащих показательную функцию.

1

3.

Логарифмическая функция.

11

1 (конец февраля)

3.1.

Логарифмы и их свойства.

3

3.2.

Логарифмическая функция. Понятие об обратной функции.

2

3.3.

Решение логарифмических уравнений и неравенств.

4

3.4.

Решение систем уравнений, содержащих логарифмическую функцию.

1

4.

Производная показательной и логарифмической функции.

7

1 (конец марта)

4.1.

Производная и первообразная показательной функции. Исследование функций. Вычисление площадей.

3

4.2.

Производная логарифмической функции. Первообразная функции 1/х. Исследование функций. Вычисление площадей.

3

5.

Повторение курса алгебры и начал анализа. Подготовка к ЕГЭ.

6

ГЕОМЕТРИЯ 36 часов

Погорелов А.В. Геометрия 10-11.

1.

Повторение.

3

1 (вх. монит.)

1.1.

Многогранники. Фигуры вращения.

2

1.2.

Вписанные и описанные многогранники

1

2.

Объемы многогранников.

8

1 (сер. ноября)

2.1.

Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем призмы.

3

2.2.

Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды.

3

2.3.

Объемы подобных тел.

1

3.

Объемы тел вращения.

9

1 (конец января)

3.1.

Объем цилиндра.

2

3.2.

Объем конуса, усеченного конуса.

2

3.3.

Объем шара, шарового сегмента, сектора. Решение задач.

4

4.

Поверхности тел вращения.

7

1 (конец марта)

4.1.

Площадь боковой поверхности цилиндра.

2

4.2.

Площадь боковой поверхности конуса.

2

.

Площадь сферы.

2

5.

Повторение курса стереометрии.

9

1 (май)

Приложение 2

ПРАКТИКУМ 72 часа Сборники МИОО и ФИПИ 2011 и 2012 годов для подготовки к ЕГЭ.

Рабочие тетради по математике «ЕГЭ 2011,ЕГЭ 2012».

1.

Задачи на составление уравнений (В13).

18

зачет

1.1.

Текстовые задачи на движение.

6

1.2.

Текстовые задачи на производительность

2

1.3.

Задачи на концентрацию, смеси, сплавы.

2

1.4.

Задачи на проценты, части, доли.

2

1.5.

Другие текстовые задачи.

6

2.

Задачи прикладного содержания (В12).

18

2.1.

Задачи, приводящие к линейным и квадратным уравнениям и неравенствам.

5

2.2.

Задачи, приводящие к степенным и тригонометрическим уравнениям и неравенствам.

4

2.3.

Задачи, приводящие к рациональным и иррациональным уравнениям и неравенствам.

5

2.4.

Задачи, приводящие к показательным и логарифмическим уравнениям и неравенствам.

4

3.

Задачи на объемы и площади поверхности пространственных фигур.

20

зачет

4.

Подготовка к ЕГЭ. Диагностические и тренировочные работы.

16

Программа 12 ИО (индивидуальное обучение по медицинским показаниям) аналогична программе 12 заочной группы, сроки контрольных работ могут варьироваться.

Ускоренное обучение: 1) Программа 10-11. Класс ускоренного обучения: первое полугодие - 10 класс, второе полугодие - 11 класс (см. приложение 6);

2) Первое полугодие - программа первого полугодия 11 класса, второе полугодие (после сдачи всего необходимого учебного материала) - программа второго полугодия 12 класса;

3) Первое полугодие - программа первого полугодия 10 класса, второе полугодие (после сдачи всего необходимого учебного материала) - программа второго полугодия 12 класса.

Приложение 3

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Ускоренное обучение (10-11)

Алгебра и начала анализа.

Учебник: Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала анализа 10 - 11»,

№

п/п

Наименование и содержание раздела

Количество часов

уроки

Зачеты/к.р.

1 семестр (10 класс) - 51 час. (3 часа в неделю)

Повторение (функции, графики и основные свойства функций).

2

Вх.монитор.

1.

Тригонометрические функции.

5

1

1.1.

Определение и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

2

1.2.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

1

1.3.

Графики тригонометрических функций.

2

2.

Производная функции.

9

1

2.1.

Понятие о производной.

2

2.2.

Правила вычисления производных.

3

2.3.

Производная сложной функции.

2

2.4.

Производные тригонометрических функций.

2

3.

Применения непрерывности и производной.

8

1

3.1.

Применения непрерывности. Метод интервалов.

2

3.2.

Геометрический смысл производной.

1

3.3.

Касательная к графику функции.

2

3.4.

Приближенные вычисления.

1

3.5.

Производная в физике и технике.

2

4.

Применения производной к исследованию функции.

8

1

4.1.

Признак возрастания - убывания функции.

2

4.2.

Критические точки функции, максимумы и минимумы.

2

4.3.

Исследование функций и построение их графиков.

2

4.4.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

2

5.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

11

1

5.1.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

1

5.2.

Решение простейших тригонометрических уравнений.

2

5.3.

Решение простейших тригонометрических неравенств.

1

5.4.

Использование формул тригонометрии для решения тригонометрических уравнений.

5

5.5.

Примеры решения систем тригонометрических уравнений.

2

6.

Обобщение материала 10 класса.

3

К.р. за 10 кл

2 семестр (11 класс) - 57 часов. (3 часа в неделю)

1.

Первообразная и интеграл.

8

1

1.1.

Определение первообразной.

1

1.2.

Основное свойство первообразной.

1

1.3.

Три правила нахождения первообразной.

2

1.4.

Площадь криволинейной трапеции.

2

1.5.

Интеграл. Формула Ньютона -Лейбница.

1

1.6.

Применения интеграла.

1

2.

Обобщение понятия степени.

5

1

2.1.

Корень n-ой степени и его свойства.

1

2.2.

Решение иррациональных уравнений.

2

2.3.

Степень с рациональным показателем.

2

3.

Показательная функция.

5

1

3.1.

Показательная функция.

1

3.2.

Решение показательных уравнений и неравенств.

3

3.3.

Решение систем уравнений, содержащих показательную функцию.

1

4.

Логарифмическая функция.

8

1

4.1.

Логарифмы и их свойства.

2

4.2.

Логарифмическая функция.

2

4.3.

Решение логарифмических уравнений и неравенств.

3

4.4.

Решение систем уравнений, содержащих логарифмическую функцию.

1

5.

Производная показательной и логарифмической функции.

7

1

5.1.

Производная показательной функции. Исследование функций. Вычисление площадей.

3

5.2.

Производная логарифмической функции. Исследование функций. Вычисление площадей.

3

5.3.

Степенная функция и ее производная.

1

6.

Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа.

17

Итоговая к.р.

Геометрия.

Учебник: Погорелов А.В. «Геометрия 10 - 11»

№

п/п

Наименование и содержание раздела

Количество часов

уроки

Зачеты/к.р.

1 семестр (10 класс) - 17 часов. (1 час в неделю)

1.

Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

3

1

1.1.

Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

1

1.2.

Параллельные прямые в пространстве. Признак параллельности прямых.

1

1.3.

Признак параллельности прямой и плоскости.

1

2.

Параллельность плоскостей.

3

1

2.1.

Признак параллельности плоскостей.

1

2.2.

Свойства параллельных плоскостей.

1

2.3.

Изображение пространственных фигур на плоскости.

1

3.

Перпендикулярность прямых и плоскостей.

5

1

3.1.

Перпендикулярность прямых в пространстве. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

1

3.2.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости.

1

3.3.

Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

2

3.4.

Признак перпендикулярности плоскостей. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

1

4.

Декартовы координаты и векторы в пространстве.

3

1

4.1.

Декартовы координаты в пространстве.

1

4.2.

Расстояние между точками. Координаты середины отрезка.

1

К.р. за 10 кл.

2 семестр (11 класс) - 38 часов. (2 часа в неделю)

4.3.

Векторы в пространстве. Действия над векторами в пространстве. (Продолжение)

2

1.

Углы между прямыми и плоскостями в пространстве.

4

1

1.1.

Угол между скрещивающимися прямыми.

1

1.2.

Угол между прямой и плоскостью.

1

1.3.

Угол между плоскостями.

1

1.4.

Площадь ортогональной проекции многоугольника.

1

2.

Многогранники.

7

1

2.1.

Двугранный угол. Многогранник. Правильные многогранники.

1

2.2.

Призма. Сечение призмы плоскостью.

1

2.3.

Правильная призма.

1

2.4.

Параллелепипед.

1

2.5.

Пирамида.

1

2.6.

Подобие пространственных фигур. Усеченная пирамида.

1

2.7.

Правильная пирамида.

1

3.

Тела вращения.

6

1

3.1.

Цилиндр. Сечения цилиндра плоскостями.

1

3.2.

Вписанная и описанная призмы.

1

3.3.

Конус. Сечения конуса плоскостями.

1

3.4.

Вписанная и описанная пирамиды.

1

3.5.

Шар. Сечение шара плоскостью.

1

3.6.

Касательная плоскость к шару.

1

4.

Объемы многогранников.

4

1

4.1.

Понятие объема. Объем призмы.

2

4.2.

Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды. Объемы подобных тел.

2

5.

Объемы и поверхности тел вращения.

6

1

5.1.

Объем цилиндра.

1

5.2.

Объем конуса.

1

5.3.

Объем шара, шарового сегмента и сектора.

1

5.4.

Площадь боковой поверхности цилиндра.

1

5.5.

Площадь боковой поверхности конуса.

1

5.6.

Площадь сферы.

1

6.

Обобщающее повторение курса стереометрии.

3

Итоговая к.р

Приложение 4

№

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10 - 11.

§§

учебника

сроки

зачета

1.

Иррациональные уравнения.

§9

начало октября

2.

Показательная функция.

§10

конец ноября

3.

Логарифмическая функция.

§10

конец февраля

4.

Вычисление производных. Производная показательной и логарифмической функции.

§8, 11

начало апреля

5.

Тренировочные работы для подготовки к ЕГЭ

раздат. материал

май

ГЕОМЕТРИЯ

Погорелов А.В. Геометрия 10-11.

1.

Многогранники.

§19

конец сентября

2.

Фигуры вращения.

§20

середина октября

3.

Объемы многогранников.

§21

середина ноября

4.

Объемы и поверхности тел вращения.

§22

конец марта

Приложение 5

Точки максимума и минимума функции.

Точка экстремума - общее название для точки минимума и точки максимума. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x). Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Необходимое условие существования экстремума: если - точка экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, то есть . В этом случае касательная, проведенная к графику функции будет параллельна оси ОХ.

Достаточное условие существования экстремума: если функция y=f (x) непрерывна в точке и при переходе через производная меняет знак , то - точка экстремума.

Признак минимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке и производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

Признак максимума функции: если функция y=f (x) непрерывна в точке и производная меняет знак с плюса на минус , то - точка максимума.

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, необходимы следующие шаги:

1. Отметить на координатной оси границы определения функции и нули производной.

Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f'(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f'(x₀) ≥ 0 или f'(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f'(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f'(x) ≤ 0.

2. Там, где знак нуль производной меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Пример. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Решение. Отметим на оси границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Ответ: −3

Задача 1. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Приложение 6

Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Задача 5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Приложение 7

Задача 1. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение. Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = −1 − (−3) = 2; Δy = y₂ − y₁ = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Ответ: 2

Задача 2. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение. Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 3 − 0 = 3; Δy = y₂ − y₁ = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Ответ: −1

Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение. Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x₂ − x₁ = 5 − 0 = 5; Δy = y₂ − y₁ = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Ответ: 0

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать - достаточно взглянуть на график.

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Решение. Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус - это точка максимума.

Ответ: 5

Задача 5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Решение. Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Ответ: 14

Задача 6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение. Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f'(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины: l₁ = − 6 − (−8) = 2;l₂ = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l₂ = 5.