Разработка урока по алгебре и началам математического анализа в 11 классе на тему

Урок алгебры и основ математического анализа в 11 классе

Тема урока: Решение уравнений и доказательство неравенств нестандартными методами.

Цель урока: Организация деятельности учащихся по решению уравнений и доказательству неравенств нестандартными методами.

Задачи урока:

а) обучающая: формирование навыков решения алгебраических задач нестандартными методами;

б) развивающая: развитие умений анализировать, сравнивать, строить аналогии при доказательстве математических утверждений, нахождении корней уравнений;

в) воспитывающая: формирование устойчивого интереса к предмету, к решению конкурсных, навыков исследовательской работы, коммуникативных умений..

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности; установления внутрипредметных связей.

Оборудование: Интерактивная доска.

Ход урока:

1. Организационный момент (приветствие, объявление темы, цели, задач урока, разбиение на группы).

2. Решение нестандартных задач (групповая работа)

а) объяснение материала «Применение тригонометрии в алгебре»

№1. Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям . Доказать, что .

Решение: Поскольку то существуют такие и , что Имеем Следовательно,

№2. Известно, что Вычислить

Решение: положим Отсюда Из условия следует, что Далее,

Ответ: 0.

№3. Доказать, что при и имеет место неравенство

Решение:

С учетом того, что можем положить где Тогда достаточно доказать неравенство т.е. Так как и то и Отсюда

№4. Решить уравнение

Решение: т.к. то положим . Тогда исходное уравнение становится таким Переходим к равносильной системе

Отсюда где n и k - целые.

Очевидно подходят только и

Ответ:

№5. Решить систему

Решение: . и .

отсюда возведем в квадрат и сложим, отсюда ,

Учитывая, что и , т.е. Тогда . Значит

Ответ:

б) «Применение векторов в алгебре»

№6. Числа a, b, c, d удовлетворяют условиям . Доказать, что

Решение:

Рассмотрим два вектора и Очевидно, имеет место следующее неравенство или в координатной форме Именно это последнее неравенство является ключом к решению. Отметим, что равенство достигается при условии коллинеарности векторов и .

Пусть векторы и такие, что и . Тогда с учетом условия , . Кроме того, Имеем

№7.Решить уравнение

Решение: введем векторы Тогда левая часть уравнения равна то левая часть уравнения не превосходит 2.

Оценим правую часть. Имеем Следовательно, исходное уравнение равносильно систем

Этот корень удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ:

№8. Решить уравнение

Решение:

Введем векторы и

Оценим левую часть Так как равенство возможно лишь при условии коллинеарности векторов и , то решения (если они существуют) следует искать среди решений уравнения имеющего (в этом несложно убедиться) единственный корень Проверка показывает, что удовлетворяет исходному уравнению

Ответ.

№9. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены параллелограммы АА₁В₁В, ВВ₂С₁С, СС₂А₂А. Могут ли отрезки А₁А₂, В₁В₂, С₁С₂ быть сторонами некоторого треугольника?

Решение:

Покажем, что . (см. рис.). Действительно, имеем . Кроме того,

С₂

В₂

Возможен случай, когда векторы коллинеарны. В этом случае сумма двух рассматриваемых отрезков равна третьему и треугольник построить нельзя.

№10.Доказать где А, В, С - углы треугольника.

Решение: пусть - единичные векторы коллинеарные сторонам АВ, ВС, СА треугольника АВС соответственно. Рассмотрим очевидное неравенство Имеем или откуда и следует .

в) О решений уравнений вида

Наряду с уравнением , где - некоторая функция (1) можно рассмотреть уравнение (2). Уравнение (1) проще уравнения (2), поэтому попытаемся это использовать для решения (2). Примем без доказательства следующие утверждения:

1. Любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).

2. Пусть функция строго возрастает на множестве Х и пусть для любого , тогда уравнения (1) и (2) равносильны на множестве Х.

№10. Решить уравнение

Решение: Функция строго возрастает на множестве R, и для любого . Тогда на основании утверждения 2 исходное уравнение равносильно уравнению и имеет единственный корень . Следовательно, данное уравнение также имеет единственный корень .

Ответ: .

№11. Решить уравнение

Решение:

(1). Рассмотрим функцию она строго возрастает на множестве и для любого . Тогда по утверждению 2 уравнение (1) равносильно уравнению которое имеет три корня: Следовательно, данное уравнение имеет те же три корня.

Ответ: 1; 2; -3.

3. Задания для самостоятельного решения(индивидуальная работа)

№1. Решить уравнение

№2. Числа таковы , что Найти наибольшее и наименьшее значение выражения

№3. Пусть - плоские углы некоторого трехгранного угла. Доказать, что

4. Оценивание учебных достижений:

а)самооценка каждого(лист самооценки);

б)взаимооценка ( внутри малой группы);

в)оценка учителя.

5. Домашнее задание:

№1. Решить уравнение

№2. Решить уравнение

№3. Решить уравнение

№4. Решить уравнение

№5. Решить уравнение

5. Подведение итогов урока, рефлексия каждой микрогруппы, мнения 2-3 учеников класса.