- Преподавателю
- Математика
- Тестовые задания по математике
Тестовые задания по математике
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Тесты |
Автор | Дуйсенова А.А. |
Дата | 25.01.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Вариант 1
1.Длина прямоугольника равна b дм , а ширина составляет 0,2 его длины Найдите периметр прямоугольника. Составьте выражение по условию задачи .
А) 12b B) 6b C) 5b2 Д) 2.4 b2 Е)2.4 b
2. Найдите делимое , если частное равно 31, делитель равен 16.
А) 492 И) 496 С) 493 Д) 495 Е) 494
3. Сплав олова и свинца весит 15 кг . Сколько в сплаве олова и свинца , если вес олова составляет веса свинца?
А) 9,675 кг ; 5,425 кг В) 10 кг ; 5 кг
С) 8,375 кг ; 6,625 кг Д) 9,625 кг ; 5,375 кг Е) 9,375 кг 5,625 кг
4. решите уравнение :
А) 2,5 В) 5,5 С) 2 Д) 3,5 Е) 3
5. Решите неравенство : 4х-2х2-5≥0
А) (1;6) В) ( 3;5) С) ( 6; 4) Д) нет решений Е) (1;8)
6. упростите :
А) 1 В) 0 С) 2 Д)-2 Е) -1
7. Решить уравнение :
A) B) C) Д) Е)
8. Катет прямоугольного треугольника равен 5 см , гипотенуза равна 13 см . Найдите площадь треугольника .
А) 24 см2 В) 12 см2 с) 30 см2 Д) 65 см2 Е) 60 см2
9. Найдите периметр треугольника МРК,если М(6;-8) , Р(13;-1) и К(-2; 7)
А) 34+5 В) А) 51+ С) 17+6 Д) 18+4 Е) 34+7
10. Решите уравнение :
А) 4,25 В) 5,25 С) 5,26 Д) 4,26 Е) 6,26
11. Дано уравнение х2+7х+1=0 Найдите сумму квадратов его корней
А) 25 В) 51 С) 47 Д) 65 Е) 49
12. решите уравнение : log3(3x-8)=2-x
А) 2 В) -1;2 С) 2;3 Д) 9 Е) -1
13.Решите систему неравенств :
А) (-∞;+∞) В) [3;7) C) [3;7] Д)( 3;7] Е) нет решения
14. Решите уравнение :
А) 2,5;4,5 В) 2;3 С) 7;-1 Д) -11 ; 17 Е)
15. В арифметической прогрессии , а сумма первых восьми членов равна 120 . Найдите первый член и разность прогрессии .
А) В) С) Д) Е)
16.Найдите область определения функции : f(x)
А) х>0 B) x≤0 C) x≥1 Д) x>1 Е) x≤1
17. Найдите значение производной при х=, если f(x)=cos(2x+
А) 144- В) 145 С) 144+ Д) 144 Е) 143
18. Задана функция f(x)= ,найдите
А) В) С) Д) Е)
19. В окружности диаметр и хорда взаимно перпендикулярны ,причем диаметр делит точкой их пересечения на два равных отрезка по 4 м. А расстояние от точки пересечения диаметра и хорды до центра окружности 3 м. Найдите длину окружности .
А) 5π м В) 2π м С) 25π м Д) 10π м Е) π м
20. Решите систему уравнений :
А) (3;4) В) (1;2) С) (-2;-3) Д) (2;3) Е) (4;5)
21.Упростите :
А) tg B) ctg1 C) tg1 Д)sin1 Е) cos1
22.Найдите решение неравенства : 0<cosx≤
A) B)
C) Д)
Е)
23. Вычислить :
Е
24. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1 B1 C 1D1 E1 F1 диагонали B1 F и B1 E равны соответственно 8 см и 10 см , тогда площадь основания этой призмы равна:
А) 54 В) 36 С) 9 Д) 64 Е) 52
25. Правильная четырехугольная призма вписана в шар . Найдите высоту призмы , если радиус 5 см , а ребро основания призмы 6 см .
А) 8 см В) С) Д) Е) см
Вариант 2
-
Из 1800 кирпичей ,необходимых для строительства ,2% сломались при разгрузке . Сколько целых кирпичей привезли на стройку ?
А) 1765 В) 1754 С) 1763 Д) 1760 Е) 1764
2. Упростите выражение :
А) В) С) Д) Е)
3. С двух участков площадью 80 га и 120 га собрали 7200 ц зерновых. Сколько центнеров зерновых собрали с 1 га на каждом участке, если с каждых 3 га первого участка собрали на 10 ц зерновых больше , чем с 2 га второго участка .
А) 50ц; 50ц В) 40ц; 50ц С) 20ц ; 30 ц Д) 35 ц ; 45 ц Е) 30 ц ; 40 ц
4. Решите систему неравенств :
А) (-∞;-2) В) [-2;+∞) C) (-∞;3] Д) (-2;3) Е) [-2;3]
5. Решите неравенство :
А) (-∞;0) В) (4; +∞) С) ( 0;3) Д) (0;∞) Е) (-∞; -4 )
6. Упростите выражение
А) 5 В) 2 С) 1 Д) 4 Е) 3
7. решите уравнение : 6 cos2x+5 cos
B)
C) Д)
Е) нет решений
8. Найдите область определения функции : у=
А) (-∞;1) В) (-∞; +∞) С) [1;+∞) Д) (1; +∞) Е) (-1 ;+∞)
9. Найдите площадь ромба , если известны две его вершины : А( 6;6) и С( -10 ; -10) а длина одной диагонали равна 8
А) 132 В) 142 С) 130 Д) 128 Е) 144
10. Сократите дробь :
А) В) С) Д) Е)
11. Решите уравнение :
А) 1;6 В) -4; 3 С) -3 ; 6 Д) -4 ; -3 Е) -3 ;4
12. решите уравнение
А) 1 В) С) Д) 7 Е) 2
13 . Решите уравнение :
А) В) С) Д)
Е))
14.Решите уравнение :
А)1 В) 5 С) -1 Д) 4 Е) 2
15. Найдите знаменатель геометрической прогрессии , если
А) В) -1 С) Д) -1 , Е) 1
16. Найдите производную функции f(x)=
A) B) C) Д) Е)
17. Написать уравнение касательной к графику функции у= в точке с абсциссой х0=1
А) у=3х+2 В) у= -2х+3 С) у=х-2 Д) у= 2х-3 Е) у= -х-2
18. В правильный треугольник вписана окружность , радиус которой равен 5 . Тогда медиана этого треугольника равна :
А)25 В) 10 С) 15 Д) 5 Е) 20
19. В треугольнике АВС известно , что АК- биссектриса . Найти ВК .
А) В) С ) Д) Е)
20. Решить систему уравнений :
А) (1;-3), (-5;-1) В) (-1;3), (7 ;-1) С) (-1; 0) , (5 ; 0) Д) (-1 ;-3 ) ,(-5 ; 1) Е) (0;5) ,(-2 ; 8)
21. Вычислите tg, если tg и tg(
А) 2 В) 1 С) -3 Д) 3 Е) -2
22.решите неравенство : 2 cosx-1≥0
A) B) C)
Д) нет решений Е)
23. При каких значениях а площадь фигуры , ограниченной линиями у=х3,у=0, х=а, а>0 , равна 64
А) 3 В) 4 с) 5 Д) 6 Е) 2
24. Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды равновелико основанию . Найти площадь основания пирамиды , если ее боковое ребро равно 5
А) 13 В) 10 С) 10 Д) 12 Е) 12
25 . Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и боковой гранью равен 300. Найдите длину стороны основания , если радиус вписанного в пирамиду шара равен 1 см .
А) В) 6 см С) 3 Д) Е) 2
Вариант3
-
Вычислить : (6,25 :5+1,25 )
А) 7,5 В) 1,5 С)15 Д) 75 Е ) 0,15
2. Сократите дробь :
А) В) С) Д) Е)
3. На пошив 6 палаток нужно 120 м брезента в шириной 1,2 м . Сколько метров брезента шириной в 1,5 м надо на пошив 4 таких палаток?
А) 62 м В) 64м С) 60м Д) 63 м Е) 61 м
4. Найдите при каких значениях переменной значения двучлена 11х+3 меньше значения двучлена
5х-6
А) х<1,5 B) x C) x<-1,5 Д) х>1,5 Е) х>-1,5
5. Решите неравенство : >16
А) (-∞;-4) В) (1;4) С) (-∞;1) Д) (-4; 1) Е) (-4 ; -1)
6. Упростите выражение :
А) В) 0 С) Д) Е)
7. Найдите значение выражения : cos(2arctg1)
А) В)1 С) Д) -1 Е) 0
8. Найдите наименьшее значение функции у=х2-6х+11
А) -4 В) 2 С) 1 Д) 3 Е) 0
9. Какие из данных пар прямых параллельны между собой ?
А) у= и у=-0,5х+9 В) у=5х-4 и у = 0,2 х+7 С) у= -3х+7 и у = 3х+7
Д) у= и у= Е) у= и у= -0,25 х+7
10. Пешеход прошел путь за 2,5 часа , двигаясь со скоростью 3,6 км/ч. Сколько времени потратить пешеход, чтобы пройти этот же путь со скоростью 4,5 км/ч
А) 2,5 ч В) 2ч С) 1,5 ч Д) 3,2 ч Е) 3,125 ч
11. Решите уравнение : х3-3х2+х-3=0
А) -1 В) 3 С)-3 Д) 1 Е) 2
12. Решить систему уравнений :
А) (0;8) В) (-9;3) С) (2;6) Д) (4;8) Е) (6; 2)
13. Вычислите :
А) 8 В) 18 С) 27 Д) 9 Е) 3
14. Решите систему :
А) ( В) С) Д) Е)
15. найдите три первых члена арифметической прогрессии , у которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа .
А)1,9,17 В)3,9,15 С) 4,6,8 Д) 1,5,9 Е) 5,8,11
16.Найдите производную функции f(x) =
А) В) С) Д) Е)
17. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
А) возрастает(-∞;-1]; убывает [-1;0]
B) возрастает убывает
С) убывает (-∞;-1] возрастает[-1;0]
Д) убывает (-∞;-1] возрастает
Е) возрастает (-∞; 4] убывает [4;+∞)
18. В треугольнике АВС АС= 10 см ,С=300. В=480. Найдите сторону АВ .
А) 10sin780 B) C) 10 sin300 Д) 5cos300 Е) 5 sin480
19 В трапеции АВСД АД и ВС -основания , АД: ВС =2:1. Точка Е-середина стороны ВС . Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника АЕД равна 100 см2
А) 75 см2 В) 300 см2 С) 200 см2 Д)250 см2 Е) 150см2
20. Решите систему Уравнений :
А) (2;-1) ,(-1;1) В) (1;2) С) (-1;2),(2;-1) Д) (-2;1) ,(-1;2) Е) (-1;3) ,(1;-1)
21. Найдите значение выражения :если ctg=-2
A) В) С) Д) Е)
22.Решите неравенство : cos2x+5cosx+3≥0
А) В) С)
Д) Е)
23. Для функции f(x)=2+sinx найти первообразную F(x) , график которой проходит через точку М(0;1)
А) 2x-cosx+1 B) 2x+cos-1 C) 2x+cosx+1 Д) 2x-cosx+2 Е) 2x+cosx
24. Угол между боковой гранью и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 450. Объем пирамиды равен .Найти сторону основания пирамиды.
А) 3, В) 2 С) 3,1 Д) 2,5 Е) 2,4
25. В основании наклонной призмы ромб с диагональю равной 24 см и стороной равной 37 см. Определите объём призмы , если перпендикулярное сечение , проходящее через большую диагональ ромба, имеет площадь равную 1400см2
А) 16800 см3 В) 17600 см3 С) 14200 см3 Д) 14800 см3 Е) 21280 см3
Вариант 4
1.Чему равен НОД суммы и разности чисел 16 и 4? А) 10 В)4 С)8 Д)12 Е) 20
2. Разложите на множители : х3-1
А) (х+1)(х2-2х+1) В) (х-1)(х2-х+1) С) (х-1)(х2+х+1) Д) (х+1)(х2+х+1) Е) (х+1)(х2-х+1)
3.Сумма цифр двузначного числа равна 6 . Отношение этого числа к числу, у которого переставлены цифры, равно Найдите эти числа.
А) 33;33 В)15;51 С) 41;14 Д) 32;25 Е) 24;42
4.Решить неравенство : <5
A)(0;1] B) (0;+∞) C)(-1;1) Д)(-5;5) Е)(0;2)
5. Найдите область определения функции : у=log2 (x-12)
A)[12;+∞) В) (12;+∞) С(-∞;12] Д) (-12;+∞) Е) (-∞; 12 )
6.Упростите выражение :
А) -1-2tg2x B) tg4x C) tg2x Д) -1 Е) 1
7. Решите уравнение : 2 cos(
А) πn, nВ) С) Д) Е)n,n
8.Найдите область определения функции : у= 2х+3
А)(-∞;3) В) (-∞;+∞) С) (2;3) Д) (2;+∞) Е) (-∞; 2)
9. Длины векторов a и b равны 16 и 9 , а угол между ними 600. Найти их скалярное произведение.
А) 86 В) 84 С) 72 Д) 96 Е) 144
10. Сократить дробь
А) В) С) -2 Д)Е) 2
11. Решите уравнение :
А) -2;3. В) -3 ;2 С) -6 ; 1 Д) -1;6 Е) 2;3
12. В каких координатных четвертях лежит график функции f(x)= 2x-1
А) І и ІV В) Iи III С) II и III Д) III и IV , Е) I и II
13. Решите уравнение : ( lg(x+20)-lgx)logx 0,1=-1
А) 5 В)-4 ;5 С) 4 Д) -5 ; 4 Е) 10
14. Укажите промежуток , которую принадлежат корни уравнения
А) (-10 ;7) В) [-3;10) C) [-7;3) Д) Е) (-∞; -10)
15. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии , у которой четвертый член равен (-16) , а первый член равен 2.
А) -40 В) -48 С) -46 Д) -42 Е) -44
16. Найдите производную функции f(x) = (3x-4)ln(3x-4)
A) В) 3(1+ln(3x-4)) C) 3ln(3x-4) Д) 1+ln(3x-4) E)
17. Для функции у=, найдите : а) все критические точки .б) точки минимума и точки максимума.
А) а)х1=0; б)точек минимума и максимума нет
В) а) х1=0,х2=3 ; б) хmin=x1 , xmax= x2
C) а) х1=-1,х2=1 ; б) хmax=x1 , xmin= x2
Д) а) х1=-3,х2=3 ; б) хmin=x1 , xmax= x2
Е) а) х1=-3,х2=0,х3=3 ; б) хmax=x1 , xmin= x2, xmax=x3
18. Угол между высотами параллелограмма , проведенными из вершины тупого угла ,равен 750, тогда острый угол параллелограмма составляет :
А) 360 В) 450 С) 600 Д) 300 Е) 750
19. Площадь круга равна 4. Найдите длину окружности .
А) 3π В) 8π С) 4π Д) 6π Е) 2π
20 Решить систему уравнений .
А) (3;0) (- В)(-3;3),(0;0) С) (3;0) , (- Д) (0;3) , ( Е) (0;-3) , (
21. Упростить выражение : 2cos200cos 400 - cos 200
В) - С) -1 Д) 0 Е) 1
22. Решить неравенство :
А) < x≤ π+2πn,nZ B) x ≤ π+2πn,nZ C) - x ≤ +2πn,nZ
Д) - x ≤ +πn,nZ Е) x ≤ +πn,nZ
23. Найдите все первообразные для функции у (х) =
А) . В) . С)
Д) Е)
24. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 2:3, а диагональное сечение есть квадрат с площадью 169 , тогда объём параллелепипеда равен:
А) 1014 В) 845 С) 1012 Д) 742 Е) 945.
25. Найдите следующее число 1;2;6;24;120......
А) 500 В) 600 С) 720 Д) 1840 Е) 900
Вариант 5
-
Вычислите : 5(89,1-83,7:2,7)
А) 414,5 В)10 С) 134 Д) 165 Е ) 290,5
2. Упростите выражение :3а-(а-1) +(2а-5)
А) 6 В) -6 С) 4а-6 Д) 4а-4 Е) 5а-4
3.Решите уравнение : 49х+1=(
А) -1,5 В) С) - Д) -0,5 Е) 0,5
4. Решите неравенство : -5х2+45 >0
A) (9;+∞) B) (-3 ;3) C) (-∞;9) Д) (-∞;-3) Е) (3 ; +∞)
5. Решите неравенство :
А) -2<x<0 В) x>-3 С) 0<x<3 Д) x<-3 Е) -3<x<0
6. Вычислите :
-
B)1 C) Д) -1 Е)
7. Решите уравнение :
A) B) C) Д)
Е)
8. Найдите все первообразные функции у= 8х3-е2х
А) 24 х2-2е2х+С В) х4-е2х+С С) х4- е2х+С Д) 2х4-2е2х+С Е) 2 х4- е2х+С
9.Два угла трапеции равны 1230 и 710. Определите меньший угол .
А) 590 В)540 С) 670 Д) 690 Е ) 570
10.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби :
А) В) 4( С) 4( Д) Е) 4()
11. Решите уравнение 2х4-52х2+50=0
А) 1;5 В) -1;-5; 1;25 С) -5;-1; 1;5 Д) 1;25 Е) -25 ; -5; -1;1
12. Токарь и его ученик должны были изготовить за смену 65 деталей . Благодаря тому, что токарь перевыполнил план на 10%,а ученик -на 20%, они изготовили 74 детали. Сколько деталей по плану должны были изготовить за смену токарь и сколько - его ученик?
А) 40;25 В) 50;15 С) 20;45 Д) 35;30 Е) 25 ;50
13. Вычислите 9log36-1,5
А) В) С) 2,5 Д)1,5 Е)
14. Пусть (х0;у0)- решение системы , найдите 2х0-у0
А)2,8 В) 2,6 С) 1,8 Д) 1,6 Е) 2,2
15 . Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, для которой в2-в1=-4, в3-в1=8
А)-20 В) 2 С) 61 Д) 0 Е) 30
16. Найдите наименьший положительный период функции : у= 1+cos
А) 2 В) 4 С) π Д) 2π Е) 4π
17. Дана функция у(х)= Найдите
А) 1- В)5+ С)1+ Д)5- Е)5+
18. Дана функция у= ln(3x+2) Составьте уравнение касательной к графику функции в точке х0=0
А)у= 2+ln B) y= C) y-3+ln2x=0 Д) y+ Е)y=2+ln3х,
19. Площадь круга, описанного около прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см , равна .
А) 28π см2 В) 192π см2 С) 200π см2 Д) 400π см2 Е) 100π см2
20. Решите систему уравнений :
А) (0;2) , (-5;5) В) (-4 ; -1) , ( 9; - С) (-1;-2) ,(- Д) (-9 ; -,(4;1) Е) (3;1) ,(-3; -1)
21 . Вычислите :tg90-tg630+tg810-tg270
А) 4 В) 6 С) 3 Д) 5 Е) 2
22. Решить неравенство. Sin24x-cos24x > -0,5
A) , B)
C) , Д) , Е)
23.Объем куба равен 16см2.Найдите радиус окружности , описанной вокруг грани куба .
А) 2 см В) см С) 2 см Д) 3 см Е) см
24 Если полная поверхность правильной треугольной призмы равна 8, а боковое ребро , то объем этой призмы равен .
А) 6 В) 8 С) 5 Д) 3 Е) 4
25. Которой сейчас час,если оставшейся час суток вдвое больше пршедшей?
А) 8 ч В) 12 ч С) 10 ч Д) 6 ч Е) 14 ч
ключ
варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
вариант1
е
в
е
с
д
е
в
с
е
в
с
а
д
с
с
с
а
д
д
в
с
с
с
а
е
вариант2
е
д
е
д
е
а
д
с
д
д
в
д
в
а
д
с
в
с
д
в
с
а
в
с
в
вариант3
в
в
в
с
е
а
е
в
а
в
в
е
в
в
в
д
в
в
е
в
а
с
д
в
а
вариант4
в
с
е
е
в
е
д
в
с
в
с
в
а
в
д
в
д
е
с
д
а
е
а
а
с
вариант5
е
д
с
в
в
в
а
е
е
с
с
а
а
в
с
в
с
в
е
д
а
а
а
д
а
Цели урока:
Образовательные:
-
Познакомить обучающихся с нестандартными методами решения тригонометрических уравнений.
-
Научиться решать тригонометрические уравнения различными методами.
Развивающие:
-
Развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные:
-
Привитие интереса к математике.
-
Активность, мобильность, умение общаться.
Тип урока: Комбинированный.
Оборудование: ноутбук, проектор, экран, презентация, карточки для самостоятельной работы, лист самооценки.
План
-
Организационный момент.
-
Приветствие.
-
Тема урока:
-
Цель урока:
-
-
Мотивация учебной деятельности. (Презентация) (Слайд 3-6)
«Тригонометрия" происходит от греческого слова τριγουο треугольник и греческого μετρειν измерять, т.е. означает измерение треугольников. Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.
- Одной из наиболее важных тем тригонометрии является решение тригонометрических уравнений, с которыми мы познакомились в этом учебном году. Эта тема очень актуальна и важна, т.к. входит в вопросы переводного экзамена в 10 кл. и широко представлена на ЕНТ в 11 кл.
-
Актуализация опорных знаний (Слайд 7-12)
(Получают листы самооценки)
1. Для успешного усвоения новой темы вы должны уметь решать простейшие тригонометрические уравнения вида: cos t = а, а≤1; sin t = а, а≤1, tg t = а,
ctg t = а
Назовите формулы корней для уравнения вида cos t = а , а≤1
Назовите формулы корней для уравнения вида sin t = а, а≤1
Назовите формулы корней для уравнения вида tg t = а
Назовите формулы корней для уравнения вида ctg t = а
3. Для успешного решения сложных тригонометрических уравнений необходимо знать алгоритм решения квадратного уравнения. и теорему Виета.
-
Изучение нового материала. (Слайд 13-18)
Сегодня на уроке мы рассмотрим основные методы решения сложных тригонометрических уравнений.
1. Метод приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям.
Пример.
2 cos(3x - π/4) = -√2.
Решение.
cos(3x - π/4) = -√2/2.
3x - π/4 = ±(π - π/4) + 2πn, n Є Z;
3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом приведения к простейшим тригонометрическим уравнениям:
1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.
2. Найти аргумент функции по формулам:
3. Найти неизвестную переменную.
2. Метод введения новой переменной.
Пример.
2 cos 2 x - cos x - 1 = 0
Решение:
t =cos x
2t2 - t -1 = 0
D = 9
t1 = 1 t2 = 1/2
cos x = 1 cos x = 1/2
Ответ: x= 2πn, n Є Z x=π/3 +2πn,, n Є Z.
Cформулируйте алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.
1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.
2. Обозначить полученную функцию переменной t .
3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.
4. Сделать обратную замену.
5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.
3. Метод понижения порядка уравнения.
Формулы понижения степени:
sin2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);
cos2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).
Пример.
cos 2x + cos2 x = 5/4.
Решение.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 · cos 2x = 3/4;
cos 2x = 1/2;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.
1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:
2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.
4. Приведение уравнения к виду tg x =a
Однородные уравнения.
Пример.
5sin2 x + 3sin x · cos x - 4 = 0.
Решение.
1) 5sin2 x + 3sin x · cos x - 4(sin2 x + cos2 x) = 0;
5sin2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos2 x = 0;
sin2 x + 3sin x · cos x - 4cos2 x = 0/cos2 x ≠ 0.
2) tg2 x + 3tg x - 4 = 0.
3) Пусть tg x = t, тогда
t2 + 3t - 4 = 0;
t = 1 или t = -4, значит
tg x = 1 или tg x = -4.
Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом приведения к виду
tg x =a
1. Привести данное уравнение к виду
a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)
или к виду
б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).
2. Разделить обе части уравнения на
а) cos x ≠ 0;
б) cos2 x ≠ 0;
и получить уравнение относительно tg x:
а) a tg x + b = 0;
б) a tg2 x + b tg x + c = 0.
3. Решить уравнение известными способами.
5. Разложение на множители.
Алгоритм решения:
1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.
2. Решить полученное уравнение известными методами.
Пример.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Решение.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;
Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.
Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π - π/3) + 2πk, k Є Z.
В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
V. Домашнее задание.
Самостоятельная работа (находится в архиве)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1в
2в
10 класс Тема : Простейшие тригонометрические уравнения и их решения
Вопросы:
-
При каком значении а уравнение cosx=a имеет решение?
-
Назовите формулу нахождения корней уравнения вида cosx=a.
-
Какими будут решения уравнений cosx=1, cosx=-1, cosx=0?
-
Чему равняется arccos(-a)?
-
При каком значении а уравнение sinx=a имеет решение?
-
Назовите формулу нахождения корней уравнения вида sinx=a.
-
Какими будут решения уравнений sinx=1, sinx=-1, sinx=0.
-
Чему равняется arcsin(-a)?
-
Какой формулой выражается решение уравнения tgx=a?
-
Чему равняется arctg(-a)?
-
Какой формулой выражается решение уравнения ctgx=a?
-
Чему равняется arcctg(-а)?
-
. Вычислите: А). arcsin(-) Б) arccos в)аrctg . arcctg
-
Решите уравнения :sin2x=0. cos2x=1. cos(-)=1. sin(-)=-1. tg2x=.
10 класс Тема : Простейшие тригонометрические уравнения и их решения
Вопросы:
-
При каком значении а уравнение cosx=a имеет решение?
-
Назовите формулу нахождения корней уравнения вида cosx=a.
-
Какими будут решения уравнений cosx=1, cosx=-1, cosx=0?
-
Чему равняется arccos(-a)?
-
При каком значении а уравнение sinx=a имеет решение?
-
Назовите формулу нахождения корней уравнения вида sinx=a.
-
Какими будут решения уравнений sinx=1, sinx=-1, sinx=0.
-
Чему равняется arcsin(-a)?
-
Какой формулой выражается решение уравнения tgx=a?
-
Чему равняется arctg(-a)?
-
Какой формулой выражается решение уравнения ctgx=a?
-
Чему равняется arcctg(-а)?
-
. Вычислите: А). arcsin(-) Б) arccos в)аrctg . arcctg
-
Решите уравнения :sin2x=0. cos2x=1. cos(-)=1. sin(-)=-1. tg2x=.
1 вариант
2 вариант
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
За двумя зайцами погонишься, ни одного не поймаешь
Семь раз отмерь, один раз отрежь.
не имей сто рублей, а имей сто друзей..
Одна голова - хорошо, а две - лучше