СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Скалярное произведение векторов

Здесь мы рассмотрим скалярное произведение векторов и некоторые задачи с его участием.

Напомним кратко основные сведения, которые мы знаем о векторах.

Мы знаем определение:

1) Вектор - это направленный отрезок.

Откуда появился вектор?

Из жизни. В жизни есть такие величины, для которых важны направления , например сила. Поэтому в математике ввели понятие вектор.

Что мы умеем делать с векторами, какие операции?

2) Операции с векторами:

а) сложение.

Мы умеем складывать векторы, например, находить равнодействующую силу двух векторов по правилу параллелограмма или треугольника.

б) умножение на число.

Умножение вектора на число. Это означает, что вектор можно ее умножить на число λ, т.е. увеличить или уменьшить его модуль в λ-раз и/или направить в противоположную сторону при λ<0.

3) Угол между векторами.

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Зная угол, можно вычислить скалярное произведение векторов. Это очень важная операция, и определение таково:

Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Как мы видим, скалярное произведение означает, что при перемножении двух векторов в результате получается скаляр, т.е. число, которое характеризует взаимное расположение векторов.

Проанализируем формулу скалярного произведения. Для этого рассмотрим важный частный случай, а именно перпендикулярность векторов.

Если угол между векторами и равен 90°, то cos(^)=0 и следовательно *=0.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0. Справедливо и обратное утверждение.

Пусть скалярное произведение ненулевых векторов равно 0. Это означает, что *=0, cos(^)=0, следовательно ^=90°

Получаем следующий важный вывод:

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

То есть, если два вектора ненулевые, их скалярное произведение равно нулю, значит, они перпендикулярны и наоборот.

Другой важный частный случай - коллинеарность векторов.

Коллинеарные векторы могут быть со-направленными либо противоположно-направленными.

Пусть векторы и сонаправленны. Это означает, что надеется положительное число или коэффициент λ такой, что вектор = λ*. Угол между такими векторами равен 0°, значит, cos(^)=1.

Следовательно, скалярное произведение по общей формуле - это произведение модулей векторов на косинус 0°, это просто произведение модулей || и ||.

Таким образом, если скалярное произведение векторов равно произведению их длин, то эти векторы сонаправлены.

Пусть векторы будут противоположно-направлены. Значит, 2-ой вектор можно получить из 1-го вектора, умножив 1-ый на λ, где λ<0;

cos(^)=180°, cos180°=-1

Итак, если скалярное произведение векторов равно произведению их модулей с противоположным знаком, то это означает, что векторы противоположно-направлены.

Следует научиться вычислять скалярное произведение не только в частных случаях, но и в более общих.

Для этого решим следующие задачи.

Вычислите скалярное произведение векторов и , если ||=2, ||=3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°

а) Дано: ||=2, ||=3, угол между ними 45°.

Найти: * - ?

Решение: *=||*||*cos(^). cos45° = .

Подставляем значения, *=2*3* = 3

Ответ: 3

б) Дано: ||=2, ||=3, угол между ними 90°.

Найти: * - ?

Решение: *=||*||*cos(^). сos90° = 0.

Подставляем значения, *=2*3*0 = 0.

Ответ: 0

Но можно вспомнить правило, свойство: скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

в) Дано: ||=2, ||=3, угол между ними 135°.

Найти: * - ?

Решение: *=||*||*cos(^). Вспомним, cos135°=cos(180°-45°)=-cos45°=-

Теперь нам все известно, чтобы вычислить скалярное произведение.

*=2*3*(-) = -3

Ответ: -3

Итак, мы рассмотрели скалярное произведение векторов.