Проект Аналогии в школьном курсе математики

Введение

Любой из нас имеет в своем обиходе слово «аналогия». При этом мы подразумеваем определенное сходство между предметами, объектами, или произвольными системами.

Термин «аналогия» произошел от греческого analogia - соответствие, сходство, соразмерность[2]. У древних математиков это означало совпадение отношений между числами. Сейчас под аналогией понимается предположение о том, что некоторому предмету присущи некоторые признаки на основе сходства с признаками другого предмета.

Различают два вида аналогии:

1. Аналогия свойств. Здесь сравниваются объекты (например, две теоремы), а некоторое их свойство переносится с одного объекта на его аналог.

2. Аналогия отношений. Здесь сравниваются группы объектов, а отношения между объектами внутри группы переносятся на другую группу, например курсы планиметрии и стереометрии в школьной математике.

Кроме этого аналогия условно делится на строгую, не строгую и ложную. В случае строгой аналогии мы получаем истинное заключение, во втором случае - вероятностное, и в третьем - неверное (ложное)[1].

Строгая аналогия находит свое место в научных изысканиях, в доказательствах. При решении алгебраических и других математических задач применяется алгоритмический метод, или же нестрогая аналогия, предполагается использование опорных задач.

Этот метод зачастую подводит к мысли о свойствах предмета, которые в дальнейшем опровергаются или подтверждаются опытным путем либо строгими доказательствами. Мы убеждаемся в том, что аналогия редко бывает всеобъемлющей.

В математике, изучаемой в школе, наблюдается аналогия при изучении таких программных вопросов, как «Формулы»; «Действия с натуральными числами» и «Действия с десятичными дробями»[3]; «Арифметическая прогрессия» и «Геометрическая прогрессия»; «Свойства плоских фигур» (планиметрия) и «Свойства пространственных фигур» (стереометрия).

Аналогия в математике может быть применена, когда решая некоторую задачу, мы ищем другую, более простую[4]. Так, при поиске решения задачи по стереометрии мы стараемся найти подобную ей задачу в планиметрии; например, условие задачи о диагоналях прямоугольного параллелепипеда отправляет нас к задаче о диагоналях прямоугольника.

Цель работы - установить аналогии в изучении учебных тем школьного курса математики.

Задачи:

1. Изучить учебную, методическую, энциклопедическую литературу.

2. Рассмотреть понятие аналогии, изучить виды аналогии.

3. Выделить свойства объектов, которые сравниваются, установить их взаимосвязь.

Объект исследования - аналогии в школьных учебниках математики.

Предмет исследования - геометрические фигуры и алгебраические формулы.

Методы исследования: анализ учебной, методической, энциклопедической, научно-популярной литературы; сравнительный анализ, выявление аналогий

Изучив понятие «аналогия», мы выдвинули гипотезу:

1)можно выводить алгебраические формулы по аналогии;

2)между планиметрическими и стереометрическими фигурами присутствует аналогия.

Данная гипотеза будет подтверждена или опровергнута результатом проведенного исследования.

Актуальность.

Предмет «математика» традиционно считается трудным для большинства учащихся. Установление аналогий помогает ученикам легче понять и быстрее запомнить новый материал.

Глава 1. Вывод формул по аналогии

ЗАДАЧА 1.Представить выражение (а + b) ² в виде многочлена

Решение. Построим квадрат со стороной (а + b). Тогда его стороны равны а + b. Площадь квадрата равна сумме S₁₊S₂+ S₃+ S₄:

b a

S₁

S₄

S₃

S₂

S₁

a

(а + b) ² = (а + b) (а + b) = S₁₊ S₂+ S₃+ S₄ =a² +ab + b² +ab = a² + 2ab + b²

ЗАДАЧА 2. Представить выражение в виде многочлена (а + b) ³

Решение. Построим прямоугольник со сторонами (а + b) и(а + b) ². Сторону(а + b) ² рассматриваем как сумму отрезков a², 2ab и b².

S₁

S₁a

S₆

S₅

S₄

S₁

S₂

S₁

S₁

S₃

a² 2ab b²

(а + b) ³= (а + b) (а + b) ² = S₁₊ S₂+ S₃+ S₄ + S₅+ S₆ = a³ +2 a²b+ab²+b³+2 ab²+a²b= =a³+3 a²b+3 ab²+ b³

ЗАДАЧА 3. Представить выражение (а + b) ⁴ в виде многочлена

Решение. Построим прямоугольник со сторонами (а + b) (а + b) ³ , при этом сторону

(а + b) ³ рассматриваем как сумму отрезков a³, 3 a²b, 3a b² и b³.

Тогда, (а + b) ⁴= (а + b) (а + b) ³ =S₁₊ S₂+ S₃+ S₄+S₅₊ S₆+ S₇+ S₈= a⁴+ 3 a³b+3 a²b²+ab³+b⁴+

+3a b³+3 a²b²+a³b³=a⁴+4a³b+6 a²b²+4ab³ + b⁴.

S₈

S₇

S₆

S₅

a

S₁

S₂

S₃

S₄

3 a²b 3a b² b³

a³ 3a²b 3ab² b³

Действуя аналогично, можно представить выражение (а + b) ⁿв виде многочлена, построив предварительно прямоугольник со сторонами (а + b) ^m и (а + b) ^{n -m}.

ЗАДАЧА 4. Записать выражение (a+b+c+d)² в виде суммы слагаемых.

Решение. Построим квадрат со стороной (a+b+c+d)

d

c

a

ad

bd

cd

d²

ac

bc

c²

cd

ab

b²

bc

bd

a²

ab

ac

ad

a b c d

Таким образом, (a+b+c+d)² = a²+b²+c²+2(ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd)

Глава 2. Шаг из планиметрии в стереометрию

Можно выделить достаточно много примеров аналогии между геометрическими фигурами, изучаемыми на уроках: параллелограмм - параллелепипед; прямоугольник -прямоугольный параллелепипед; квадрат - куб; окружность - сфера; круг - шар.

Параллелепипед - пространственный аналог параллелограмма. При рассмотрении свойств параллелепипеда проводятся следующие аналогии со свойствами прямоугольника и параллелограмма:

1. Свойство сторон - свойство граней (противоположные стороны параллелограмма равны - противоположные грани параллелепипеда равны)

2. Свойство диагоналей - свойство диагоналей (диагонали прямоугольника равны - диагонали прямоугольного параллелепипеда равны)[4].

3. Свойство углов параллелограмма - свойство углов параллелепипеда

Решая задачу по стереометрии мы используем аналогичный планиметрический чертеж, то есть переносим признаки стереометрического объекта на планиметрический. Например, задачи на вписанный в шар куб переносятся на их аналог - задачи на вписанный в круг квадрат.

Трехмерной аналогией треугольника является тетраэдр.

Например:

сторона треугольника - грань тетраэдра;

длина стороны - площадь грани;

вписанная окружность - вписанная сфера;

описанная окружность - описанная сфера; площадь - объем [5].

Аналогия наблюдается в следующей последовательности: а) задача, которую надо решить; б) опорная задача; в) решение опорной задачи; г) метод вспомогательной задачи; д) решение данной задачи[6]. Пример.

Задача, которую надо решить (а). Докажите, что сумма расстояний от любой точки М, находящейся внутри правильного тетраэдра SKPN до его граней неизменна.

Опорная задача (б). Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки M равностороннего треугольника KPN до его сторон неизменна[7].

Решение опорной задачи (в). Положим MK₁, MB₁, MC₁ - перпендикулярные отрезки к сторонам PN, KN, KP равностороннего треугольника KPN с длиной стороны а. Соединим точку M с вершинами треугольника KPN, что разделит его на треугольники MPN, MKN и MKP, тогда сумма их площадей будет величиной постоянной, которая равна площади треугольника KPN: S Δ MPN + S Δ MKN + S Δ MKP= S Δ KPN

PN·MK₁+KN·MB₁+KP·MC₁=S ΔKPN

a·MK₁+a·MB₁+a·MC₁=S ΔKPN

(MK₁₊ MB₁₊ MC₁)=a²/4

MK₁₊ MB₁₊ MC₁=a²/4

Метод опорной задачи (г). При решении был использован метод площадей, состоящий в том, что площадь одной и той же фигуры записывается различными способами, а затем находится требуемое с помощью математических выкладок.

Решение данной задачи (д). Проводя аналогичные рассуждения, тетраэдр SKPN с помощью точки M разбивается на четыре тетраэдра, сумма объемов которых равна объему данного тетраэдра. Решив аналогичную опорную задачу и проведя аналогичные выкладки, получим требуемое.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод аналогий, аналогичные умозаключения, аналогичные задачи занимают свою нишу на уроках математики. В учебниках математики аналогия прослеживается, начиная с 5-го класса в темах «Действия с натуральными числами» и «Действия с десятичными дробями» и заканчиваясь в планиметрии и стереометрии.

Аналогия подразумевает сравнение, а это побуждает наше мышление к активности, при сравнении понятий возникают новое, порой неожиданные гипотезы.

Установление взаимосвязи между объектами и группами объектов приподнимает мышление на высший уровень, знания упорядочиваются; изучаемый объект познается всесторонне, глубже, качественней.

Сравнивая объекты и их свойства, делаются предположения по аналогии и истинность последних в дальнейшем устанавливается. Таким образом, мы учимся выдвигать гипотезы, а также доказывать их, либо опровергать.

Гипотеза, выдвинутая по аналогии, может не подтвердиться полностью, или подтвердиться частично.

Вместе с тем существует большая вероятность того, что проводя аналогию между объектами, мы сделаем неверное заключение. Например, мы даем неверный ответ: «Через точку, принадлежащую прямой в пространстве можно провести перпендикуляр к этой прямой и только один» [7]. Кроме того, нередко допускается неверное умозаключение от (a + b)c = ac + bc к (a + b)²= a² + b².

Таким образом, метод аналогий должен предполагает глубокие, а не формальные, знания предмета, и тогда он способствует усвоению знаний и верному их применению.

Необходимо учитывать, что гипотезы, выдвинутые по аналогии, предполагают обязательное доказательство, ведь всегда существует вероятность того, что они окажутся неверными[8].

ЛИТЕРАТУРА

1. Пойа Д. Как решать задачу. - М. : Учпедгиз, 1959. - 208 с.

2. bibliofond.ru/view.aspx?id=84393

3. Математика Алдамуратова Т., Байшоланов Е. Атамура ,2010

4. ref.by/refs/49/10050/1.html

5. Геометрия 7 Кайдасов Ж., Досмаганбетова Г. 2012 Мектеп

6. Геометрия 11 Гусев В. Атамұра, 2011

7. Саранцева П. И., Лунина Л. С. Обучение аналогии // Математика в школе. - 1989. - №4.

8