- Преподавателю
- Математика
- Открытый урок: Показательные уравнения
Открытый урок: Показательные уравнения
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Чалабова Т.И. |
Дата | 11.02.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Тема: «Показательные уравнения»
Цель: 1) формирование навыков решения показательных уравнений, закрепление изученного-повторение теоретического материала , применение его на практике при решении поставленных задач , отработка умений и навыков самостоятельной работы 2) развитие вычислительных навыков, умений работать с тестами , содействовать развитию математического мышления учащихся 3) воспитание трудолюбия, аккуратности , взаимопонимания, способствовать развитию творческих способностей учащихся.
Тип урока : закрепление и совершенствование знаний.
Формы работы : - устная работа
-работа на доске и в тетрадях
- работа в парах
-самостоятельная работа
- выполнение теста
Методы работы: -словесный
-наглядный
-практический
Технологии: -игровые
-здоровьесберегающие
-информационные
Оборудование: - интерактивная доска
- презентация « Методы решения показательных уравнений»
Ход урока.
-
Организационный момент. Мотивация учебной деятельности
-
На экране слайд «Мало иметь хороший ум , важно уметь применять его» Рене Декарт.
-
Устные упражнения
-
На одном из рисунков изображен график функции . Укажите этот рисунок.
-
Найти множество значений функции:
а) ; б)
-
Упростить выражения:
а) 2х·23,5 ; б) ; в) ; г) 2х·3х
-
Решить уравнения:
а) 2х = 4 ; б) 5х = 1 ; в) πх = 0 ; г) 9х = -81 ; д) 2х = х+1
-
Выяснить, сколько корней имеет уравнение?
16|х| = 4
3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний . Показ слайдов Ученики записывают в тетрадях тему «Способы (алгоритмы) решения показательных уравнений». Общеклассная работа - разбор заданий у доски. Работа идет фронтально. Ученики называют каждый способ, записывают его название и совместно с учителем решают соответствующие уравнения, условия которых записаны заранее на доске.
I. Уравнивание оснований:
ах = ау
х = у
1) Задание с выбором ответа.
Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
а) (0;1) ; б) (1;2) ; в) (2;3) ; г) (3;4)
2) Решить уравнение:
81·2х - 16·3х = 0 ;
34·2х = 3х·24 ;
;
х = 4.
Ответ: 4.
II. Логарифмирование обеих частей уравнения.
aх = b
х = logab (b>0, a>0, a≠1)
Пример. Решить уравнение:
5х-8 = 9
х-8 = log59
х = 8+ log59
Ответ: 8+ log59
III. Вынесение общего множителя за скобки.
Примеры. Решить уравнения:
-
2х + 2х-1 + 2х-2 = 5х + 5х-1 + 5х-2
2х-2(22 + 2 + 1) = 5х-2(52 + 5 + 1)
2х-2·7 = 5х-2·31
x - 2 =
х = 2 +
Ответ: 2 +
IV. Введение вспомогательной переменной
(задания с кратким ответом и с развернутым ответом)
-
Записать корень уравнения или сумму корней: 52х - 4·5х - 5 = 0.
Пусть 5х = t (t>0), тогда уравнение примет вид:
t2 - 4t - 5 = 0
t1 = 5 ; t2 = -1 - посторонний корень, так как t>0.
Вернемся к переменной «х»: 5х = 5 ; х = 1.
Ответ: 1
-
0,5 ·4+2 - 35·2+12=0
Преобразим уравнение: 0,5 ·22(+ 2) - 35 · 2+12 = 0
-
0,5 · 22· 24 - 35 · 2 + 12 = 0
Введем замену: 2= t, (t > 0).
8 t2 - 35 t + 12 = 0
Вычислим корни при помощи дискриминанта, получим t1 = 4; t2 =
Вернемся к замене:
1) 2= 4 2) 2=
2= 22 Прологарифмируем эти части уравнения при
= 2 основании 2:
х = 4 = log2
т.к. log2 < 0 (функция возрастающая, значит, при
основании 2 значение логарифма для чисел, меньших единицы, будет отрицательным), то уравнение решений не имеет.
Ответ: 4.
V. Функционально-графический метод.
-
Решить уравнение: 2х = (ответ: корней нет)
б) 2х+1 = (ответ: х = 1)
в) 3х + 4х = 5х (ответ: х = 1)
4. Применение обобщенных знаний. Самостоятельная работа (разноуровневые варианты)
Образцы вариантов.
Базовый уровень (6 вариантов).
Эти задания выполняют учащиеся низкого и среднего уровней. Во время выполнения работы, если необходимо, помогать учащимся низкого уровня при решении примеров наводящими вопросами.
-
Решить уравнение: 33х+4 =
-
Решить уравнение: 32х-1 =
-
Найти корни уравнения: 49х·74-х =
-
Найти меньший корень уравнения:
1) -1 2) - 3) 1 4)
-
Найти наибольший корень уравнения:
-
0 2) 2 3) -2 4) 1
6) Найти значение выражения: (х1 - х2)2, где х1 и х2 - корни уравнения
-
Найти сумму корней уравнения:
49·72х - 50·7х +1 = 0
1) 1 2) 2 3) -2 4) 50
Повышенный уровень (6 вариантов).
Учащиеся этой группы должны представить краткий ответ на первые пять задач и развернутое решение последней задачи.
-
Найти корень уравнения: 36-8·6х = 1
-
Найти абсциссу точки пересечения графиков функций:
y = и y =
-
Найти значение выражения: 7х0 + 4, где х0 - корень уравнения
8·64х + 15·8х - 2 = 0
-
Решить уравнение: 10х - 5х-1·2х-2 = 950
-
Найти произведение корней уравнения:
-
Решить уравнение:
Во время самостоятельной работы берем по одному, наиболее подготовленному ученику, из первой и из второй группы и предлагаем выполнить им подобные варианты заданий на доске по карточкам.
По истечению времени учащиеся сдают работы.
5. Обсуждение решений задач представленных на доске (6 минут).
Учащиеся выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости коррективы.
6. Сообщение домашнего задания. Подведение итогов урока (2 минуты).
Для домашнего задания предлагается тест, цель которого - закрепить умения и навыки решать показательные уравнения. Прокомментировать некоторые задания (4, 9, 10).
-
Решить уравнение: 2х-1 + 2х+1 = 20
-
Найти произведение корней уравнения:
-
-
Сколько корней имеет уравнение:
-
52х + 4·5х - 5 = 0
-
23х·5х = 1600
-
29х+9·37х+3·56х = 720х+3
-
-
Решить систему уравнений:
-
Проверку этого теста можно провести перед следующим уроком по листам самопроверки, разобрав на доске наиболее трудные задания (по просьбе учащихся).
Учитель еще раз обращает внимание на те типы показательных уравнений, которые разбирались на уроке.
Разбор заданий (д/з)
-
2х-1 + 2х+1 = 20
2х-1(1 + 22) = 20
2х-1 = 4
x - 1 = 2
x = 3
Ответ: 3.
-
ОДЗ: хR
или 2х - 7 = 0
х = 3,5
Ответ: -4; 3,5; 4.
Корней нет, так как при любых х
-
ОДЗ: 4 - х2 ≥ 0
= 0 х2 - 4 ≤ 0
cos х + 0 или 4 - х2 = 0 (х - 2)(х + 2) ≤ 0
x = х = ±2 х
-2 ≤ ≤ 2,
-2 ≤
≤ n ≤ ,
Итак, уравнение имеет 4 корня.
-
52х + 4·5х - 5 = 0
5х = -5 или 5х = 1
Корней нет, т.к. 5х>0 х = 0
Ответ: х = 0.
-
23х·5х = 1600
8х·5х = 1600
40х = 402
x = 2
Ответ: 2.
-
29х+9·37х+3·56х = 720х+3
29х+9·37х+3·56х =
5х - 3 = 0
5х = 3
x = 0,6
Ответ: 0,6.
Очевидно, что 3х - 4 ≥ 0
|3х - 4| + =
3х - 4 + =
x = log36
Ответ: log36.
Пусть 3х = a, 3y = b, причем a > 0, b > 0
Система уравнений примет вид:
Вернемся к переменным «х» и «y»:
Ответ: (3;0); (0;3).
Заметим, что
Пусть , тогда причем t > 0
Уравнение примет вид:
t = 1
Вернемся к переменной «х»:
x = 0
Ответ: 0.
-
Найти абсциссы точек пересечения графиков функций:
-
Решить уравнение: 4·4х + (4х - 13)·2х + 3 - х = 0
-
Найти все значения параметра а, при которых уравнение: 4х - а·2х+1 - 3а2 + 4а = 0 имеет единственный корень.
Разбор заданий
Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, решим систему уравнений:
Пусть 2х = t (t > 0), получим уравнение:
3|t - 2| = - t2 + 6t - 2 t2 - 6t + 2 ≤ 0
-
T ≥ 2, 3t - 6 = - t2 + 6t - 2
t2 - 3t - 4 = 0
t1 = 4, t2 = -1 - посторонний корень
Вернемся к переменной «х»:
2х = 4
x = 2
-
tT < 2, -3t + 6 = - t2 + 6t - 2
t2 - 9t + 8 = 0
t1 = 1; t2 = 8 - посторонний корень
Вернемся к переменной «х»:
2х = 1
x = 0
Ответ: 0 и 2.
-
4·4х + (4х - 13)·2х + 3 - х = 0
Сделаем замену: 2х = t (t > 0)
Получим уравнение:
4t2 + (4х - 13)t + 3 - х = 0, в котором переменную «х» будем считать параметром. Решим это квадратное уравнение:
D = (4х - 13)2 - 4·4·(3 - х) = 16х2 - 88х + 121 = (4х - 11)2
Вернемся к переменной «х»:
-
2х =
x = -2.
-
2х = 3 - х
В левой части возрастающая функция, а в правой - убывающая, значит, уравнение имеет не более одного корня. Легко увидеть, что х = 1.
Ответ: -2; 1.
-
4х - а·2х+1 - 3а2 + 4а = 0
Пусть 2х = t (t > 0), получим уравнение:
t2 - 2at - 3a2 + 4a = 0
Если то уравнение не имеет действительных корней.
Если , то уравнение имеет 1 корень. Это возможно при a = 0 или
a = 1. При а = 0 t = 0, но это противоречит условию t > 0. При а = 1
(t - 1)2 = 0, t = 1 - удовлетворяет условию задачи.
Если , то уравнение имеет единственный положительный корень, если:
-
корни разных знаков;
-
если один корень положительный, а другой равен нулю.
Если x1 = 0, то -3а2 + 4а = 0; а = 0 или а =
При а = 0 нет выполнения условия. Рассмотрим а = , t = .
Наконец, если корни разных знаков, то
Ответ: а < 0, a = 1, a ≥ 1 .
Рефлексия
Дома выполнить 2 варианта тестов за 2014г