Открытый урок: Показательные уравнения

В практике подготовки и проведения ЕНТ  в каждом тесте всегда имеются задания на решение показательных уравнений , решение систем показательных уравнений.Поэтому на изучение этой темы уделяется особое внимание. При изучении данной темы , формируются навыки и умения решения    показательных уравнений и их систем , отрабатываются умения и навыки самостоятельной работы, умение работать с тестами.Развивается математическое мышление учащихся умение правильно применять формулы.Воспитывается трудолюбие...
Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Тема: «Показательные уравнения»


Цель: 1) формирование навыков решения показательных уравнений, закрепление изученного-повторение теоретического материала , применение его на практике при решении поставленных задач , отработка умений и навыков самостоятельной работы 2) развитие вычислительных навыков, умений работать с тестами , содействовать развитию математического мышления учащихся 3) воспитание трудолюбия, аккуратности , взаимопонимания, способствовать развитию творческих способностей учащихся.

Тип урока : закрепление и совершенствование знаний.

Формы работы : - устная работа

-работа на доске и в тетрадях

- работа в парах

-самостоятельная работа

- выполнение теста

Методы работы: -словесный

-наглядный

-практический

Технологии: -игровые

-здоровьесберегающие

-информационные

Оборудование: - интерактивная доска

- презентация « Методы решения показательных уравнений»

Ход урока.


  1. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности

  2. На экране слайд «Мало иметь хороший ум , важно уметь применять его» Рене Декарт.

  3. Устные упражнения


Открытый урок : Показательные уравнения


  1. На одном из рисунков изображен график функции Открытый урок : Показательные уравнения. Укажите этот рисунок.

Открытый урок : Показательные уравненияОткрытый урок : Показательные уравнения

  1. Найти множество значений функции:

а) Открытый урок : Показательные уравнения; б) Открытый урок : Показательные уравнения

  1. Упростить выражения:

а) 2х·23,5 ; б) Открытый урок : Показательные уравнения ; в) Открытый урок : Показательные уравнения; г) 2х·3х

  1. Решить уравнения:

а) 2х = 4 ; б) 5х = 1 ; в) πх = 0 ; г) 9х = -81 ; д) 2х = х+1

  1. Выяснить, сколько корней имеет уравнение?

16|х| = 4

3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний . Показ слайдов Ученики записывают в тетрадях тему «Способы (алгоритмы) решения показательных уравнений». Общеклассная работа - разбор заданий у доски. Работа идет фронтально. Ученики называют каждый способ, записывают его название и совместно с учителем решают соответствующие уравнения, условия которых записаны заранее на доске.

I. Уравнивание оснований:

ах = ау

х = у

1) Задание с выбором ответа.

Открытый урок : Показательные уравнения

Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

а) (0;1) ; б) (1;2) ; в) (2;3) ; г) (3;4)

2) Решить уравнение:

81·2х - 16·3х = 0 ;

34·2х = 3х·24 ;

Открытый урок : Показательные уравнения;

х = 4.

Ответ: 4.

II. Логарифмирование обеих частей уравнения.

aх = b

х = logab (b>0, a>0, a≠1)

Пример. Решить уравнение:

5х-8 = 9

х-8 = log59

х = 8+ log59

Ответ: 8+ log59

III. Вынесение общего множителя за скобки.

Примеры. Решить уравнения:

  1. 2х + 2х-1 + 2х-2 = 5х + 5х-1 + 5х-2

2х-2(22 + 2 + 1) = 5х-2(52 + 5 + 1)

2х-2·7 = 5х-2·31

Открытый урок : Показательные уравнения

x - 2 = Открытый урок : Показательные уравнения

х = 2 + Открытый урок : Показательные уравнения

Ответ: 2 + Открытый урок : Показательные уравнения

IV. Введение вспомогательной переменной

(задания с кратким ответом и с развернутым ответом)

  1. Записать корень уравнения или сумму корней: 5 - 4·5х - 5 = 0.

Пусть 5х = t (t>0), тогда уравнение примет вид:

t2 - 4t - 5 = 0

t1 = 5 ; t2 = -1 - посторонний корень, так как t>0.

Вернемся к переменной «х»: 5х = 5 ; х = 1.

Ответ: 1

  1. 0,5 ·4Открытый урок : Показательные уравнения+2 - 35·2Открытый урок : Показательные уравнения+12=0

Преобразим уравнение: 0,5 ·22(Открытый урок : Показательные уравнения+ 2) - 35 · 2Открытый урок : Показательные уравнения+12 = 0

  1. 0,5 · 22Открытый урок : Показательные уравнения· 24 - 35 · 2Открытый урок : Показательные уравнения + 12 = 0

Введем замену: 2Открытый урок : Показательные уравнения= t, (t > 0).

8 t2 - 35 t + 12 = 0

Вычислим корни при помощи дискриминанта, получим t1 = 4; t2 = Открытый урок : Показательные уравнения

Вернемся к замене:

1) 2Открытый урок : Показательные уравнения= 4 2) 2Открытый урок : Показательные уравнения= Открытый урок : Показательные уравнения

2Открытый урок : Показательные уравнения= 22 Прологарифмируем эти части уравнения при

Открытый урок : Показательные уравнения = 2 основании 2:

х = 4 Открытый урок : Показательные уравнения= log2Открытый урок : Показательные уравнения

т.к. log2Открытый урок : Показательные уравнения < 0 (функция возрастающая, значит, при

основании 2 значение логарифма для чисел, меньших единицы, будет отрицательным), то уравнение решений не имеет.

Ответ: 4.

V. Функционально-графический метод.


  1. Решить уравнение: 2х = Открытый урок : Показательные уравнения (ответ: корней нет)

б) 2х+1 = Открытый урок : Показательные уравнения (ответ: х = 1)

в) 3х + 4х = 5х (ответ: х = 1)

4. Применение обобщенных знаний. Самостоятельная работа (разноуровневые варианты)

Образцы вариантов.

Базовый уровень (6 вариантов).

Эти задания выполняют учащиеся низкого и среднего уровней. Во время выполнения работы, если необходимо, помогать учащимся низкого уровня при решении примеров наводящими вопросами.


  1. Решить уравнение: 33х+4 = Открытый урок : Показательные уравнения

  2. Решить уравнение: 32х-1 = Открытый урок : Показательные уравнения

  3. Найти корни уравнения: 49х·74-х = Открытый урок : Показательные уравнения

  4. Найти меньший корень уравнения: Открытый урок : Показательные уравнения

1) -1 2) -Открытый урок : Показательные уравнения 3) 1 4)Открытый урок : Показательные уравнения


  1. Найти наибольший корень уравнения: Открытый урок : Показательные уравнения

  1. 0 2) 2 3) -2 4) 1

6) Найти значение выражения: (х1 - х2)2, где х1 и х2 - корни уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

  1. Найти сумму корней уравнения:

49·7 - 50·7х +1 = 0

1) 1 2) 2 3) -2 4) 50

Повышенный уровень (6 вариантов).

Учащиеся этой группы должны представить краткий ответ на первые пять задач и развернутое решение последней задачи.


  1. Найти корень уравнения: 36-8·6х = 1

  2. Найти абсциссу точки пересечения графиков функций:

y = Открытый урок : Показательные уравнения и y = Открытый урок : Показательные уравнения

  1. Найти значение выражения: 7х0 + 4, где х0 - корень уравнения

8·64х + 15·8х - 2 = 0

  1. Решить уравнение: 10х - 5х-1·2х-2 = 950

  2. Найти произведение корней уравнения:

Открытый урок : Показательные уравнения

  1. Решить уравнение: Открытый урок : Показательные уравнения

Во время самостоятельной работы берем по одному, наиболее подготовленному ученику, из первой и из второй группы и предлагаем выполнить им подобные варианты заданий на доске по карточкам.

По истечению времени учащиеся сдают работы.

5. Обсуждение решений задач представленных на доске (6 минут).

Учащиеся выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят, при необходимости коррективы.

6. Сообщение домашнего задания. Подведение итогов урока (2 минуты).

Для домашнего задания предлагается тест, цель которого - закрепить умения и навыки решать показательные уравнения. Прокомментировать некоторые задания (4, 9, 10).

  1. Решить уравнение: 2х-1 + 2х+1 = 20

  2. Найти произведение корней уравнения: Открытый урок : Показательные уравнения

  3. Открытый урок : Показательные уравнения

  4. Сколько корней имеет уравнение: Открытый урок : Показательные уравнения

  5. 5 + 4·5х - 5 = 0

  6. 2·5х = 1600

  7. 29х+9·37х+3·5 = 720х+3

  8. Открытый урок : Показательные уравнения

  9. Решить систему уравнений: Открытый урок : Показательные уравнения

  10. Открытый урок : Показательные уравнения

Проверку этого теста можно провести перед следующим уроком по листам самопроверки, разобрав на доске наиболее трудные задания (по просьбе учащихся).

Учитель еще раз обращает внимание на те типы показательных уравнений, которые разбирались на уроке.

Разбор заданий (д/з)

  1. 2х-1 + 2х+1 = 20

2х-1(1 + 22) = 20

2х-1 = 4

x - 1 = 2

x = 3

Ответ: 3.

  1. Открытый урок : Показательные уравненияОДЗ: хОткрытый урок : Показательные уравненияR

Открытый урок : Показательные уравненияили 2х - 7 = 0

Открытый урок : Показательные уравнениях = 3,5

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Ответ: -4; 3,5; 4.

  1. Открытый урок : Показательные уравнения

Корней нет, так как Открытый урок : Показательные уравнения при любых х

  1. Открытый урок : Показательные уравненияОДЗ: 4 - х2 ≥ 0

Открытый урок : Показательные уравнения= 0 х2 - 4 ≤ 0

cos х + 0 или 4 - х2 = 0 (х - 2)(х + 2) ≤ 0

x = Открытый урок : Показательные уравнения х = ±2 х Открытый урок : Показательные уравнения

-2 ≤ Открытый урок : Показательные уравнения ≤ 2, Открытый урок : Показательные уравнения

-2Открытый урок : Показательные уравнения Открытый урок : Показательные уравненияОткрытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения ≤ n ≤ Открытый урок : Показательные уравнения, Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Итак, уравнение имеет 4 корня.

  1. 5 + 4·5х - 5 = 0

5х = -5 или 5х = 1

Корней нет, т.к. 5х>0 х = 0

Ответ: х = 0.

  1. 2·5х = 1600

8х·5х = 1600

40х = 402

x = 2

Ответ: 2.

  1. 29х+9·37х+3·5 = 720х+3

29х+9·37х+3·5 = Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

5х - 3 = 0

5х = 3

x = 0,6

Ответ: 0,6.

  1. Открытый урок : Показательные уравнения

Очевидно, что 3х - 4 ≥ 0

|3х - 4| + Открытый урок : Показательные уравнения = Открытый урок : Показательные уравнения

3х - 4 + Открытый урок : Показательные уравнения = Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

x = log36

Ответ: log36.

  1. Открытый урок : Показательные уравнения

Пусть 3х = a, 3y = b, причем a > 0, b > 0

Система уравнений примет вид:

Открытый урок : Показательные уравнения

Вернемся к переменным «х» и «y»:

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Ответ: (3;0); (0;3).

  1. Открытый урок : Показательные уравнения

Заметим, что Открытый урок : Показательные уравнения

Пусть Открытый урок : Показательные уравнения, тогда Открытый урок : Показательные уравненияпричем t > 0

Уравнение примет вид:

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

t = 1

Вернемся к переменной «х»:

Открытый урок : Показательные уравнения

x = 0

Ответ: 0.

  1. Найти абсциссы точек пересечения графиков функций:

Открытый урок : Показательные уравнения

  1. Решить уравнение: 4·4х + (4х - 13)·2х + 3 - х = 0

  2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение: 4х - а·2х+1 - 3а2 + 4а = 0 имеет единственный корень.

Разбор заданий

  1. Открытый урок : Показательные уравнения

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, решим систему уравнений:

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Пусть 2х = t (t > 0), получим уравнение:

Открытый урок : Показательные уравненияОткрытый урок : Показательные уравнения

3|t - 2| = - t2 + 6t - 2 t2 - 6t + 2 ≤ 0

  1. T ≥ 2, 3t - 6 = - t2 + 6t - 2

t2 - 3t - 4 = 0

t1 = 4, t2 = -1 - посторонний корень

Вернемся к переменной «х»:

2х = 4

x = 2

  1. tT < 2, -3t + 6 = - t2 + 6t - 2

t2 - 9t + 8 = 0

t1 = 1; t2 = 8 - посторонний корень

Вернемся к переменной «х»:

2х = 1

x = 0

Ответ: 0 и 2.

  1. 4·4х + (4х - 13)·2х + 3 - х = 0

Сделаем замену: 2х = t (t > 0)

Получим уравнение:

4t2 + (4х - 13)t + 3 - х = 0, в котором переменную «х» будем считать параметром. Решим это квадратное уравнение:

D = (4х - 13)2 - 4·4·(3 - х) = 16х2 - 88х + 121 = (4х - 11)2

Открытый урок : Показательные уравнения

Вернемся к переменной «х»:

  1. 2х = Открытый урок : Показательные уравнения

x = -2.

  1. 2х = 3 - х

В левой части возрастающая функция, а в правой - убывающая, значит, уравнение имеет не более одного корня. Легко увидеть, что х = 1.

Ответ: -2; 1.

  1. 4х - а·2х+1 - 3а2 + 4а = 0

Пусть 2х = t (t > 0), получим уравнение:

t2 - 2at - 3a2 + 4a = 0

Открытый урок : Показательные уравнения

Если Открытый урок : Показательные уравнениято уравнение не имеет действительных корней.

Если Открытый урок : Показательные уравнения, то уравнение имеет 1 корень. Это возможно при a = 0 или

a = 1. При а = 0 t = 0, но это противоречит условию t > 0. При а = 1

(t - 1)2 = 0, t = 1 - удовлетворяет условию задачи.

Если Открытый урок : Показательные уравнения, то уравнение имеет единственный положительный корень, если:

  1. корни разных знаков;

  2. если один корень положительный, а другой равен нулю.

Если x1 = 0, то -3а2 + 4а = 0; а = 0 или а = Открытый урок : Показательные уравнения

При а = 0 нет выполнения условия. Рассмотрим а = Открытый урок : Показательные уравнения, t = Открытый урок : Показательные уравнения.

Наконец, если корни разных знаков, то

Открытый урок : Показательные уравнения

Открытый урок : Показательные уравнения

Ответ: а < 0, a = 1, a ≥ 1Открытый урок : Показательные уравнения .

Рефлексия

Дома выполнить 2 варианта тестов за 2014г







© 2010-2022