- Преподавателю
- Математика
- Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике, по теме «Решение неравенств функционально-графическим способом»
Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике, по теме «Решение неравенств функционально-графическим способом»
| Раздел | Математика |
| Класс | 11 класс |
| Тип | Другие методич. материалы |
| Автор | Хусаинова Д.Д. |
| Дата | 28.08.2015 |
| Формат | docx |
| Изображения | Есть |
Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ
по математике, по теме
«Решение неравенств функционально-графическим способом»
Учитель математики Хусаинова Диляра Дамировна.
-
Примерное планирование учебного времени. Всего 11 часов.
-
№
Количество часов
Содержание
1
1
Использование области определения функции.
2
1
Использование непрерывности функции. Обобщение метода интервалов.
3
1
Использование монотонности функций.
4
1
Использование ограниченности функций. Метод оценки. Неотрицательность функций.
5
1
Применение свойств модуля.
6
1
Применение классических неравенств.
7
2
Метод рационализации.
8
1
Графический метод.
9
2
Итоговая проверочная работа.
-
План-конспект урока.
Тема: Рационализация неравенств.
Цель урока: устранить трудности, связанные с непосредственным применением метода интервалов к трансцендентным неравенствам.
Раздаточный материал: таблица №1, ряд следствий.
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство G(x) ˅ 0 равносильно неравенству F(x) ˅ 0 на области определения выражения F(x).
Таблица №1. Замена некоторых типовых выражений:
-
№
Выражение F(x)
Выражение G(x)
1
1a
1b
− 1 (a
(a
(a
2
2a
2b
(h
(h
(h
3
(g ≠1,f ≠ 1) (f−1)(g−1)(h
4
4a
(h>0) 
(h − 1)(f − g)
(h − 1)f
5
−
(f>0, g>0) (f - g)h
6
(f − g)( f+ g)
Рассмотренный метод рационализации обобщается на произведение и частное любого числа типовых выражений.
Перечислим ряд следствий (с учетом области определения неравенства):
- ·
˅ 0 
(h−1)(f−1)(p−1)(g−1)˅0 -
˅ 0 (fg
) -
˅ 0 f - g ˅ 0 -
-
(a - 1)(
В указанных равносильных переходах символ « ˅ » заменяет один из знаков неравенств:
≥ ; ≤ ; 
.
Докажем справедливость замен, представленных в таблице №1.
Доказательство:
1.Пусть
> 0, т.е. 
, причем а
, а
1, f > 0, g >0. (1)
Если 0 < a <1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g. Значит, выполняется система неравенств 
откуда следует неравенство
(a
, верное на области определения выражения F = 
Если a > 1,то f > g.Следовательно, имеет место неравенство (a.
Обратно, если выполняется неравенство (a на области (1), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств:
Из каждой системы следует неравенство , т.е. > 0. Аналогично рассматриваются неравенства вида F< 0, F≤ 0, F≥ 0.
2.Пусть некоторое число a > 0, a ≠ 1, тогда имеем
= 
=
. Знак последнего совпадает со знаком выражения 
или (h.
3.Т.к. 
−
= 
=
= 
,то используя замены 2a, 2b, получаем , что знак последнего совпадает со знаком выражения (f−1)(g−1)(h.
4.Из неравенства > 0 следует, что 
Пусть число a > 1, тогда
или (f−g)
. Отсюда с учетом замены 1b и условия a >1 получаем: (f -g)(a−1)(h−1) >0, (f−g)(h−1) >0.
5.Доказательство аналогично доказательству 4.
6.Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств
и 
Выполнить упражнения: в соответствии с методом рационализации замените неравенство на равносильное ему неравенство на области допустимых значений переменной.
а) 
,
b) 
,
c) 
d) 
< 0.
Решить неравенство: 1) 
≤ 
.
Решение:
Область допустимых значений неравенства задается системой:
Или 
≤ ,
Далее используем метод рационализации:
(x+7
(x + 6)(x +3) (x −4) ≤ 0.
− + − +
//////////////////-6 -3 //////////////////////4 x
( − ∞; −6]∪[−3 ;4] .
Учитывая О.Д.З.:
//////////////////////////// /////////////////////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ x
-7 -6 -3 0 1 4
Ответ: (−7 ; −6)∪[
.
2) 
Решение. Область допустимых значений неравенства задается условиями:
///////////////// //////////////// /////////////////////// ////////////////////////////// x
−1 
0 1
О.Д.З. (−∞ ; − 1)∪( −
.
Далее используем метод рационализации:
(1−x
+3x + 1 
,
−x(
+3x + 1− 1 +2x -x2) ≥ 0,
x( x2 +5x) ≤ 0,
x2( x + 5) ≤ 0.
-
+ +
////////////// x
−5 0
Учитывая О.Д.З. x ϵ (−∞ ; −5]
Ответ: (−∞ ; −5].
3) 
.
Решение. Область допустимых значений неравенства задается условиями:
x ϵ (−2; 1)∪(1 ; 2).
Далее используем метод рационализации:
(2 - x − 1)(x+2 −1)(x +3 −1)(3 - x −1) ≤ 0,
(1 - x)(x +1)(x + 2)(2 -x) ≤ 0.
+ − + − +
///////////////////// /////////////////////// x
−2 −1 1 2
Учитывая О.Д.З.:
х ϵ (− 2; −1] ∪ (1; 2).
Ответ: (− 2; −1] ∪ (1; 2).
Задания для самостоятельного решения:
а) 
≥
; Ответ:
; 
)
б) 
Ответ: (0 ; 0,5) ∪( 2; 3)
в) 
; Ответ: (
г) 
Ответ: (
]
д) 
; Ответ: (
; 5 ]
Проверочная работа.
-
( −∞ ; 1) ∪ (2 ; 4 ] -
> 
( 0; 1) -
(2 ; 5) -
≤ 0 (
+1; 1 + 
] -
|x3+ 2x2 + 8x - 7 | ≤ x3 + 4x2 - 8x + 7 [- 3; 1] ∪ [7 ; +∞)
-
<
(0; 2).