Разработка урока по алгебре на тему Решение уравнений

9 класс. Решение уравнений

Цели: 1) систематизировать сведения о рациональных уравнениях

2) познакомить учащихся с некоторыми приемами решения уравнений высших

степеней

3) обучить решению дробных уравнений

Ход урока

I Организационный момент

II Сообщение ученика об Аль-Хорезми

Выдающийся арабский ученый Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми (что означает - из Хорезма) жил и работал в IХ веке н.э. в Багдаде. Тогдашний багдадский правитель халиф аль-Мамун почитал ученость и покровительствовал наукам. По его велению в Багдаде был построен «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией, и в эту, по нашим нынешним понятиям, академию собрались почти все крупные ученые арабского халифата.

Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми был среди тех ученых, которым халиф поручил переводы греческих математических трудов, измерение дуги меридиана и ряд других научных работ. Его перу принадлежит много книг по математике и астрономии. Его арифметический труд был одним из источников, по которым впоследствии Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой счисления: аль-Хорезми разъяснил в ней индийскую систему записи чисел и изложил правила письменного счета в этой системе. Арабский оригинал этой книги утерян, но сохранился латинский перевод ХII века. Имя автора, в латинской транскрипции «Алгоризми», привело к появлению в языке математики слова «алгоритм», первоначально означавшему нумерацию по десятичной позиционной системе; впоследствии так стали называть труды, способствовавшие распространению в Европе индийского способа счёта, а затем, наконец, и сам этот счёт. В конечном итоге слово «алгоритм» стало обозначать совсем другое.

Другой знаменитый труд великого ученого по праву считается первой книгой по алгебре (само слово «алгебра» восходит к арабскому «аль-джебр», одному из терминов книги Аль-Хорезми). Это исследование, посвященное решению уравнений. Аль-Хорезми изучил линейные и квадратные уравнения, называл переменную «корнем» уравнения, квадрат переменной - просто «квадратом». Родоначальник алгебраической науки не знал, разумеется, никакой алгебраической символики, - до её создания оставалось ещё несколько столетий, - и всё свои выкладки описывал словами.

Приведем пример.

Задача. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х² + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Решение уравнений, чисто алгебраическое, подкреплялось для убедительности и геометрическим, - так, как решали свои арифметические задачи древние греки. Способ решения задачи излагался в виде рецепта. Так что человек, давший имя алгоритму, приводил в своих трудах только алгоритмы решения уравнений!..

ІІІ Сообщение ученика по теме «Уравнения»

Записывать и решать уравнения начали арабы в первом тысячелетии нашей эры. До тех пор решение задач было исключительно арифметическим - из многих действий. В тот момент, когда появилась блестящая идея находить неизвестное, записав соотношения, которыми оно связано с известными величинами, и затем, выразив это неизвестное из этих соотношений, родилась алгебра.

В те времена не было еще общепринятых теперь обозначений переменных буквами, а действий - знаками. Уравнения записывались словами. Но и в такой «словесной форме» уравнения существенно облегчали жизнь.

Применение уравнений упрощает решение задач, но самое замечательное то, что одним и тем же уравнением могут описываться совершенно разные ситуации. Научившись решать некоторый тип уравнений, можно справиться с целыми классами задач, описывающихся уравнениями этого типа.

Равенство вида А(х) = В(х), где А(х) , В(х) - выражения, зависящие от х, называют уравнением с неизвестным х. Если выражения А(х), В(х) рациональны (т.е. получаются из х и чисел с помощью операций сложения, умножения и деления), то уравнение А(х) = В(х) называют рациональным.

Число а называют корнем уравнения А(х) = В(х), если при замене буквы х этим числом получается верное числовое равенство, А(а) = В(а). Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что оно не имеет корней.

Прежде чем решать уравнение А(х) = В(х), полезно установить, какие значения может принимать неизвестное х. Для этого надо найти, при каких значениях х имеют числовое значение выражения А(х) и В(х). Совокупность таких значений называют областью допустимых значений х для данного уравнения. Пишут ОДЗ.

На последних уроках алгебры мы рассматривали решение целых и дробных уравнений. Для решения уравнений нами применялись следующие методы: разложение на множители, введение нового неизвестного.

Пример. Найдите действительные решения уравнения (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297.

Решение. (х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297 (х² + 4х - 5)(х² + 4х - 21) - 297 = 0. Введем обозначение: х² + 4х - 13 = у. Преобразуем уравнение к виду: (у - 8)(у + 8) - 297 = 0; у² - 64 - 297 = 0; у² = 361; у_1,2 = 19. Вернемся к исходной переменной, имеем:

1. х² + 4х- 13 = -19 х² + 4х +6=0 , D=-8, D0, нет действительных корней.

2. х² + 4х -13 = 19 х² + 4х - 32 = 0. Решим уравнение по теореме, обратной теореме Виета х₁ + х₂ = - 4 и х₁ х₂ = - 32. Откуда х₁ = - 8 , х₂ = 4.

Ответ: - 8; 4.

IV Сообщение ученика о способе решения целых уравнений, опирающийся на теорему Безу

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) - многочлен стандартного вида, называют, целым алгебраическим уравнением.

Теорема №1

Для того чтобы многочлен делился без остатка на двучлен (х - а), необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена. (Эту теорему называют теоремой Безу).

Теорема №2

Если уравнение а₀хⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x + a_n =0 имеет целые коэффициенты, причем свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

Пример. Решите уравнение 3х⁴ - 2х³ -8х² - х + 2 = 0.

Решение. 3х⁴ - 2х³ -8х² - х + 2 = 0 (1)

Делителями свободного члена являются числа - 1, 1, -2, 2. Подставляя число -1 в уравнение, находим, что левая часть уравнения обращается в нуль. Значит, х = - 1 корень уравнения.

3х⁴ - 2х³ - 8х² - х + 2 │ х + 1

3х⁴ + 3х³ 3х³ - 5х² - 3х + 2

5х³ - 8х²

5х³ - 5х²

- 3х² - х

- 3х² - 3х

2х + 2

2х + 2

0

Итак, 3х⁴ - 2х³ - 8х² - х + 2 = (х + 1)(3х³ - 5х² - 3х + 2).

Решим уравнение 3х³ - 5х² - 3х + 2 = 0. (2)

Делителями свободного члена являются числа 1; 2. Подставляя число 2 в уравнение (2), находим, что левая часть обращается в нуль. Значит, х = 2 корень уравнения.

3х³ - 5х² - 3х + 2 │ х - 2

3х³ - 6х² 3х² + х - 1

х² - 3х

х² - 2х

- х + 2

- х + 2

0

Итак, уравнение (1) примет вид:

3х⁴ - 2х³ - 8х² - х + 2 = (х + 1)(х - 2)(3х² + х - 1) = 0.

х + 1 = 0 или х - 2 = 0 или 3х² + х - 1=0

х = - 1 х = 2 D = 13, х =

Ответ: - 1; 2; ; .

V Сообщение ученика о решении возвратных уравнений

Уравнение вида a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. если a_n-k = a _k при k = 0; 1; 2; 3; … ; n.

Рассмотрим возвратное уравнении четвертой степени вида ах⁴ + вх³ + сх² + вх + а = 0, где а, в, с - некоторые числа, причем а0. Его удобно решать с помощью следующего алгоритма:

• разделить левую и правую части уравнения на х² (при этом не происходит потери решения, т.к. х = 0 не является корнем исходного уравнения при а0);

• группировкой привести полученное уравнение к виду а + с = 0;

• ввести новую переменную t = , тогда выполнено t² = , т.е. = t² - 2. В новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: аt² + bt + c - 2а = 0;

• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Пример №1. Решите уравнение х⁴ - 5х³ + 6х² - 5х + 1 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на х². После группировки получаем + 6 = 0. Замена t = позволяет свести это уравнение к квадратному уравнению t² - 5t + 4 = 0. Сумма коэффициентов уравнения равна нулю (1-5+4=0), то t₁ = 1, t₂ = = 4.

В результате имеем совокупность двух уравнений = 1 или = 4.

Приведем их к целому виду.

1. х² - х + 1 = 0 2) х² - 4х + 1 = 0

D = - 3, - 3 0 D₁ = 3, 3 0

нет действительных корней х = 2

Ответ: 2 - ; 2 + .

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:

• вдвое меньшей степени подстановкой = t;

• возвратное уравнение нечетной степени обязательно имеет корень х = - 1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен х + 1, приводится к возвратному уравнению четной степени.

Пример № 2. Решите уравнение 6х⁴ + 35х³ + 62х² + 35х + 6 = 0.

Решение. Разделим обе части уравнения на х². После группировки получаем

6 + 62 = 0. Полагая = у, получаем 6у² + 35у + 50 = 0, D=25, у₁ = - и у₂ = -.

1. = - 2) = -

2х² + 5х + 2 = 0 3х² + 10х + 3 = 0

D = 9, х₁ = - 2 и х₂ = - D = 64, х₃ = - 3 и х₄ = -

Ответ: -3; -; -2; -.

VI Сообщение ученика о решении дробных рациональных уравнений

Дробным рациональным уравнением называют уравнение, если левая или правая часть является дробным выражением.

Пример №1. Решите уравнение х² + .

Решение. Слева имеем сумму двух квадратов. Дополним эти два слагаемых до квадрата разности: х² - 2х + = 7. Свернем полный квадрат и в скобках приведем к общему знаменателю:

+ = 7,

+ 6 = 7.

Введем замену: = t.

Уравнение примет вид: t² + 6t - 7 = 0, t₁ = - 7, t₂ = 1.

1. = - 7 2) = 1

= 0

D= - 35, нет действительных корней D = 13, х =

х х

Ответ: , .

Пример №2. Решите уравнение + .

Решение. Если положить u = , v = , то получим уравнение u² + v² = u v. Перепишем это уравнение в виде 2u² - 5uv + 2v² = 0 (1). х = 1 не является корнем исходного уравнения, значит v 0. Поэтому мы можем обе части уравнения (1) разделить на v² (v 0). Выполнив деление, получим уравнение 2, замена = у.

2у² - 5у + 2 = 0, D= 9, у₁ = 2 и у₂ = .

Итак, = 2 или = .

Так как = , то имеем совокупность двух уравнений:

= 2 или = .

Решим их.

1. х² - х - 2 = 2х² +2х - 4 2) 2х² - 2х - 4 = х² + х - 2

х² + 3х - 2 = 0 х² - 3х - 2 = 0

D = 17 D = 17

х₁= , х₂ = . х₃= , х₄ = .

Ответ: , , , .

VII Подведение итогов урока