- Преподавателю
- Математика
- Конспект урока по математике для 9 класса Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
Конспект урока по математике для 9 класса Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
| Раздел | Математика |
| Класс | 9 класс |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Мартынова О.В. |
| Дата | 26.06.2014 |
| Формат | doc |
| Изображения | Есть |
Технологическая карта № 11
Блок: «Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов» - 17 часов
Интегрирующие дидактические цели
Обучающие и интеллектуально-развивающие цели
Обеспечивается усвоение темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» на уровне:
Знания - ученик должен знать:
-
употребляемые термины (синус, косинус, тангенс угла, вектор, модуль, скалярное произведение, углы и соответствующие стороны, пропорция, площадь);
-
определения синуса, косинуса, тангенса, вектора, скалярного произведения векторов, длины вектора;
-
теоремы Пифагора, синусов, косинусов, скалярного произведения векторов;
-
алгоритм решения произвольных треугольников;
Понимания - ученик должен понимать:
-
алгоритм нахождения сторон и углов треугольника с использованием теорем синусов и косинусов;
Применения - ученик должен уметь:
-
применять теоремы синусов и косинусов при решении типовых задач на вычисление неизвестных элементов (сторон, углов, площади треугольника, высоты, медианы, биссектрисы, проекции сторон);
-
находить скалярное произведение векторов, длины векторов;
Ученик может:
-
научиться решать треугольники различными способами;
-
ознакомиться с историей доказательства теорем синусов, косинусов, с историей скалярного произведения векторов.
Воспитательные цели сформулируйте самостоятельно.
| № по порядку | Тема учебного занятия, дата | Пункт учебника | Межпредметная связь (предмет, тема) | Тема учебного занятия, форма проведения
| Дидактические цели |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| Ученик должен знать |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 уровень (репродуктивный)
| 2 уровень (конструктивный) | 3 уровень (творческий) |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | Синус, косинус и тангенс угла | 93-94 |
| Изучение нового материала. Лекция. | Теорему Пифагора, понятия синуса, косинуса и тангенса угла прямоугольного треугольника, введённые в 8 классе (глава 7, § 4), как выводятся синус, косинус, тангенс для углов от 0º до 180º, основное тригонометрическое тождество и тождества: sin (90º - ) = cos , cos (90º - ) = sin при 0º 90º; sin (180º - ) = sin , cos (180º - ) = - cos при 0º 180º
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| Доказательство основного тригонометрического тождества и вышеуказанных тождеств. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | Синус, косинус и тангенс угла | 93-95 |
| Комбинированный. | Как выводятся синус, косинус, тангенс для углов от 0º до 180º, основное тригонометрическое тождество, указанные выше формулы приведения, формулы для вычисления координат точки (формулы (7) на стр. 240 учебника). Доказательство основного тригонометрического тождества, формул для вычисления координат точки. Доказательство факта: синусы смежных углов равны, косинусы смежных углов выражаются взаимно противоположными числами.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| Дидактические цели | Метод обучения (МО) | Форма орг-ции | Контроль | Литература | Примечание, | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ученик должен уметь | само- | взаимо- | учитель | администрация | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 ур-нь (репродуктивный) | 2 ур-нь (конструктивный) | 3 уровень (творческий) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |||||||||||||||||||||||||||
| Пользоваться теоремой Пифагора при введении понятий синуса, косинуса и тангенса для углов от 0º до 180º, применять основное тригонометрическое тождество и формулы приведения: sin (90º - ) = cos , cos (90º - ) = sin при 0º 90º; sin (180º - ) = sin , cos (180º - ) = - cos при 0º 180º при решении задач
| Объяснительно-иллюстративный | Коллективная работа, индивидуальная. |
|
| Математический диктант (см. прил. 11.1) |
| 1 2
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
| Доказывать основное тригонометрическое тождество и вышеуказанные формулы приведения. |
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
| Обосновать с помощью рисунка понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0º до 180º, отвечать на вопросы задачи типа № 1016, 1018(а), 1019(в). Доказывать основное тригонометрическое тождество и вышеуказанные формулы приведения. Доказывать, что синусы смежных углов равны, косинусы смежных углов выражаются | Репродуктивный, частично-поисковый. | Фронтальная, парная | Взаимопроверка теории по табл. стр. 203 2 |
|
|
| 1 2
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | Синус, косинус и тангенс угла | 93-95 |
| Урок применения знаний и умений. Практикум. | Понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0º до 180º, основное тригонометрическое тождество, формулы приведения, формулы для вычисления координат точки. Доказательство одного тригонометрического тождества, формул для вычисления координат точки.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 | Соотношения между сторонами и углами треугольника. | 96-97 |
| Изучение нового материала. Лекция. | Основную формулу вычисления площади треугольника Доказательство формулы площади треугольника
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| ||||||||||||||||||||||||||
| взаимно противоположными числами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| Обосновывать теоретический материал по настенной таблице (рис. 266 учебного пособия для учителя). Решать задачи типа № 1013-1019. Доказывать основное тригонометрическое тождество и формулы для вычисления координат точки, что синусы смежных углов равны, а косинусы смежных углов выражаются взаимно противоположными числами. Решать задачи из раздела «Дополнительные задачи» стр. 254 (учебник)
| Репродуктивный, частично-поисковый. | Фрон-тальная, индивидуальная. |
|
| Контролирующая самостоятельная работа (см. приложение 11.3) |
| 1 2
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| Вычислять площадь треугольника по формулам: Применять основную формулу площади треугольника | Проблемное изложение, репродуктивный. | Коллективная. |
|
| Математический диктант 2 с. 204 |
| 1 2
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| Доказательство теоремы, сформулированной в задаче № 1033. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | Соотношения между сторонами и углами треугольника.
| 97-98 | Физика (механика) «Равнодействующая сила» | Изучение нового материала, лекция. | Формулировку теорем синусов и косинусов. Доказательство теорем синусов и косинусов. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | Соотношения между сторонами и углами треугольника (решение треугольников) стр. 294. | 96-99 Прил. 2, стр. 294 1
|
| Применение знаний. Практикум. | Формулировку теорем о площади треугольника, теорему синусов и косинусов; знать, что значит «решить треугольник». Символическое обозначение элементов треугольника.
Понимать, что при вычислении углов треугольника предпочтительнее иногда использовать теорему косинусов, а не теорему синусов.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 7 | Соотношения между сторонами и углами треугольника | 100 | Геометрия, 8 кл. «Подобие треугольников» (расстояние до недоступной точки, высота предмета) | Урок-консультация. | Как определяются высота предмета и расстояние до недоступной точки на основе подобия треугольников с использованием формул тригонометрии. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| ||||||||||||||||||||||||||
| Доказывать теорему, сформулированную в задаче № 1033. |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| Применять теорему синусов и косинусов при решении типовых задач. Доказывать теорему синусов и обобщённую теорему Пифагора (теорему косинусов).
| Репродуктивный. Проблемное изложение. | Фрон-тальная, индивиду-альная. |
|
| Программир. контроль (см. прил. 11.5) |
| 1 2 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| Применять теорему синусов и косинусов при решении типовых задач на вычисление неизвестных элементов (№ 1021, 1023 (а, е, з), 1024 (а), 1027, 1028), символикой при оформлении решения задач, пользоваться таблицей-памяткой (рис. 267) 2 и таблицами В.М. Брадиса. Объяснять, почему при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов. Решать задачи типа 1025 (в), 1031. | Частично-поисковый. Репродуктивный. | Фрон-таль-ная, груп-повая. | Обучающая самостоят. работа с четырёхзначными таблицами Брадиса. Взаи-мопроверка по таблице-памятке. |
| Контролирующая сам. раб. (см. прил. 11.6) |
| 1 2 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| Определять высоту предмета и расстояние до недоступной точки на основе подобия треугольников с использованием формул тригонометрии (решать задачи типа № 1036-1038). Решать задачи типа № 1031, нестандартные задачи. | Метод проблемного изложения. | Коллективная. | Взаимопроверка таблицы-пам. 2 с. 206. |
|
|
| 1 2 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
| 8-9 | Соотношения между сторонами и углами треугольника (теорема синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием. | 96-100 |
| Урок обобщения и систематизации знаний. Семинарское занятие. | Формулировку теоремы о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов. Доказательство теоремы о площади треугольника, теорем синусов и косинусов. Доказательство теоремы, сформулированной в задаче № 1033. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 10 | Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. | 101-102 | Физика (механика) «Работа постоянной силы при перемещении тела из одной точки в другую» | Изучение нового материала. Лекция. | Определение вектора, сонаправленных векторов, коллинеарных и неколлинеарных векторов, понятие координат вектора, равных векторов, длины вектора. Что такое угол между векторами, обозначение угла между векторами, определение перпендикулярных векторов. Символическую запись перпендикулярных векторов, определения скалярного квадрата и обозначение скалярного произведения , что скалярное произведение векторов есть число (скаляр), условие перпендикулярности векторов. Условие перпендикулярности ненулевых векторов и обратную теорему.
В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, больше нуля, меньше нуля. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| ||||||||||||||||||||||||||
| Применять теорему о площади треугольника, теорему синусов и косинусов при решении задач типа № 1025 (а, е, з), 1030, 1031, 1058, 1061. Решать задачи типа № 1025 (в), 1035, 1034, 1063, 1062.
| Репродуктивный. Частично-поисковый. | Коллективная, индивидуальная. |
|
| Проверочная сам. раб. (см. приложение 11.9) |
| 1 2 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| Изображать сонаправленные, коллинеарные, неколлинеарные векторы; находить координаты вектора, его длину, символически записывать координаты вектора, его длину, угол между векторами, находить скалярное произведение ненулевых векторов, скалярный квадрат вектора (задачи типа № 1039, 1040, 1041, 1042).
Доказывать условие перпендикулярности векторов, равенство
| Объяснительно-иллюстративный. Репродуктивный. | Фронтальная.
Фронтальная. Индивидуальная. |
|
| Математический диктант 2 с. 207. Контролирующая самостоятельная работа 2 стр. 208. |
| 1 2 3 |
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
| 11 12 | Скалярное произведение векторов (скалярное произведение в координатах). | 103-104 |
| Изучение нового материала. Лекция. | Определение вектора, понятие координат вектора, равных векторов, длины вектора, теорему о разложении вектора по координатным векторам, правила действия над векторами, их свойства. Что такое скалярное произведение векторов, скалярный квадрат вектора; условие перпендикулярности векторов, формулу выражения скалярного выражения через координаты, следствия и свойства скалярного произведения.
Доказательство теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и его свойств.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 13 14 | Скалярное произведение векторов (скалярное произведение в координатах - применение к решению задач). | 103-104 |
| Комбинированный. | Какие два вектора называются перпендикулярными, что такое скалярное произведение двух векторов, в каком случае скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, больше нуля, меньше нуля. Формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, свойства скалярного произведения.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| ||||||||||||||||||||||||||
| Определять координаты вектора, длину вектора, раскладывать вектор по координатным векторам. Записывать условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами {x1; y1} , {x2; y2}. Записывать формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты, уметь формулировать свойства скалярного произведения векторов, применять правила действия над векторами, их свойства, определение скалярного произведения векторов, скалярного квадрата вектора; теорему о скалярном произведении векторов в координатах или следствия при решении задач типа № 1044 (а), 1047 (а), 1048. Выводить формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, доказывать свойства скалярного произведения векторов. Доказывать утверждение в № 1054 и решать задачи типа № 1052, 1053. | Репродуктивный. Частично-поисковый. | Коллективная. Индивидуальная. |
|
| Математический диктант 2 с. 208. Обучающая самостоятельная работа 2 стр. 209. |
| 1 2 3 11 12
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| Определять скалярное произведение векторов; записывать условия двух ненулевых векторов; формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты. Выводить формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты, формулировать свойства скалярного произведения векторов. | Репродуктивный. Частично-поисковый. | Фронтальная. Индивидуальная. |
|
| Контролирующая самостоятельная работа см. прил. 11.13 |
| 1 2 3 11 12
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| |||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| Доказательство теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и его свойств.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 15 16 | Скалярное произведение векторов в решении задач. | 93-94 |
| Уроки-консультации, коррекции знаний. Практикум.
| Удостовериться в знаниях, умениях, сформированных при изучении темы. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 17 | Контрольная работа № 2 |
|
| Урок проверки знаний и умений.
| Теоретический материал изученного раздела. |
| |||||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| ||||||||||||||||||||||||||
| Решать задачи типа № 1045, 1047, 1048. Выводить формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты, доказывать свойства скалярного произведения векторов. Доказывать утверждения, сформулированные в задачах типа № 1053, 1052, 1029, 1056, 1068, 1067, 1069. |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| Выявить уровень знаний, умений и навыков, сформированных при изучении темы. Решать задачи типа № 1044, 1047, 1048, 1050, 1051. Решать задачи типа № 1019, 1029*.
| Репродуктивный, частично-поисковый. | Фрон-тальная. Индивидуальная. Работа в парах. |
|
| Матем. диктант 2 с. 210.Зачет см. прил. 11.15. Проверочная работа с элементами тестирования см. прил. 11.16 |
| 1 2 3 11 12
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
| Выявить уровень знаний, умений и навыков, сформированных при изучении раздела. |
| Дифференцированная. Индивидуальная. |
|
| Контрольная работа см. приложение 11.17. |
| 2 3 12
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
, теорему о площади треугольника и теоремах синусов, основанных на формулах для вычисления координат точки, введённых в §95. 
и теоремы синусов. 
, использовать условие перпендикулярности векторов и обратную теорему при решении нестандартных задач. К уроку 11.1.
Математический диктант
Цель:
проверить степень усвоения учащимися понятий синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника, введенных в 8-ом классе.
1 вариант
2 вариант
-
Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см, 5 см. Найдите синус меньшего острого угла этого треугольника.
-
Стороны прямоугольного треугольника равны 5 м, 12 м, 13 м. Найдите тангенс большего угла этого треугольника.
-
Стороны прямоугольного треугольника равны 26 м, 24 м, и 10 м. Найдите тангенс большего острого угла треугольника.
-
Стороны прямоугольного треугольника равны 10 дм, 8 дм, и 6 дм. Найдите косинус меньшего острого угла этого треугольника.
-
Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противолежащий угол равен 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.
-
Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а противолежащий угол равен 45. Найдите гипотенузу этого треугольника.
-
Вычисляя синус острого угла прямоугольного треугольника, ученик получил число 1,05. Возможно ли это?
-
Вычисляя косинус острого угла прямоугольного треугольника, ученик получил число 2,07. Возможно ли это?
-
Найдите косинус острого угла, если его синус равен
.
-
Найдите синус острого угла, если его косинус равен
.
-
Найдите тангенс острого угла, если его синус равен
.
-
Найдите тангенс острого угла, если его косинус равен
.
-
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен
. Чему равен косинус второго острого угла этого треугольника?
-
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен
. Чему равен синус второго острого угла этого треугольника?
Критерии оценок: «3» - за любые 5 правильно выполненных заданий;
«4» - за любые 6 правильно выполненных заданий;
«5» - за все правильно выполненные задания.
К уроку 11.3.
Самостоятельная работа (контролирующего характера)
Цель:
проверить умения учащихся применять понятия синуса, косинуса, тангенса углов от 0 до 180, основного тригонометрического тождества и формулы вычисления координат точки при решении простейших задач.
1 вариант
2 вариант
-
Найдите
, если 
.
-
Найдите
, если 
.
-
Постройте А, если
.
-
Постройте А, если
.
-
Угол между лучом 0А, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью 0х равен . Найдите координаты точки А, если:
а) 0А = 3; = 45;
б) 0А = 5; = 150.
-
Угол между лучом 0А, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью 0х равен . Найдите координаты точки А, если:
а) 0А = 2; = 30;
б) 0А = 1; = 180.
-
Найдите угол между полуосью 0х, если точка А имеет координаты:
а) (2; 2); б) (- 
; 1).
-
Найдите угол между лучом 0А и положительной полуосью 0х, если точка А имеет координаты:
а) (0; 3); б) (- 
; ).
-
Найдите
, если 
и 090.
-
Найдите
, если 
и 90180.
-
Постройте А, если
.
-
Постройте А, если
.
Критерии оценок: «3» - за верно выполненные 1, 2, 3(а) задания;
«4» - за верно выполненные 1, 2, 3, 4 задания;
«5» - за верно выполненные 3(б), 4(б), 5, 6 задания.
К уроку 11.5.
Программированный контроль
по теме «Соотношения между сторонами
и углами треугольника»
Цель:
проверка навыков использования теоретических знаний, необходимых к уроку-практикуму по теме: «Решение треугольников»
Задание:
определите вид треугольника АВС
№
Условие
Вид треугольника
Прямоугольный
Остроугольный
Тупоугольный
Не существует
1
А = 80, В = 100, С = 20
2
А = 110, В = 20, С = 50
3
А = 4, В = 120, С = 18
4
а = 8, в = 10, с = 11
5
а = 10, в = 6, с = 8
6
а = 4, в = 7, с = 10
7
а = 4, в = 2, с = 18
8
а = 7, в = 3, с = 10
Критерии оценок: «3» - № 1, 2 и любые четыре задания из оставшихся;
«4» - № 1, 3 и пять любых заданий из оставшихся;
«5» - за верно выполненные задания.
К уроку 11.6.
Контролирующая самостоятельная работа
1 вариант
2 вариант
-
В треугольнике MNP m = 28, n = 35, p = 42. Найдите угол, лежащий против меньшей стороны.
-
В треугольнике ЕКP ЕР = 0,75,
Е = 40, К = 25. Найдите РК.
-
В треугольнике АВС в = 0,3,
А = 32, В = 70. Найдите:
а) неизвестные элементы треугольника;
б) площадь треугольника.
-
В треугольнике MNP m = 18, p = 12, М = 50. Найдите:
а) неизвестные элементы треугольника;
б) площадь треугольника.
-
*В треугольнике АВС АС = 8, ВС = 6, С = 50, АА1 и ВВ1 - медианты треугольника. Они пересекаются в точке 0. Найдите площадь треугольника А0В1.
-
*В треугольнике PKF PF = 4 см,
KF = 3 см, F = 25, РР1 и КК1 - медианты треугольника. Они пересекаются в точке 0. Найдите площадь треугольника Р0К1.
Критерии оценок: «3» - за любую верно решённую задачу;
«4» - за любые две верно решённые задачи,
одна из которых № 3;
«5» - за три решённые задачи,
за три решённые задачи с недочётом.
К уроку 11.9.
Обобщающий урок по теме:
«Теорема синусов и косинусов в задачах
с практическим содержанием»
Цель:
-
Обобщить знания, умения и навыки учащихся в решении задач с практическим содержанием.
-
Показать связь теории с практикой.
Ход урока
1. Учитель дает краткое вступление, напоминает учащимся, что они изучили теорему синусов, косинусов, решали задачи; говорит о цели данного урока, о применении знаний к решению задач с практическим содержанием.
2. Два ученика работают у доски по карточкам (на откидных досках).
Карточка № 1
Карточка № 2
1. В АВС сторона АВ = 8 см,
С = 60 В = 45.
Найдите сторону АС.
2. Сформулируйте теорему косинусов.
1. В АВС сторона АВ = 7 см,
В = 45 ВС = 5 см.
Найдите сторону АС.
2. Сформулируйте теорему синусов.
Три ученика работают по карточкам № 3-5 индивидуально.
| Карточка № 3 | Карточка № 4 | Карточка № 5 |
| В АВС сторона АВ = 4 см, С= 30 В = 45. Найдите сторону АС. В PQR сторона PQ = 7,5 м, QR = 9,4 cм, PR = 11,3 м. Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший? | В СDМ сторона СD = 10 см, D= 45 М = 60. Найдите сторону СМ. Стороны треугольника равны 7 см, 9 см. Может ли угол, противолежащий стороне 7 см, быть тупым? Почему? | В KPD сторона PD = 6 см, K= 60 P = 45. Найдите сторону KD. Стороны треугольника равны 8 см, 6 см. Может ли угол, противолежащий стороне 6 см, быть прямым? Почему? |
3. Остальные учащиеся в это время слушают сообщение на тему: «Геометрия в древних практических задачах» (журнал «Математика в школе», № 5. - 1995).
На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил, формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни.
Лишь много веков спустя учёными Древний Греции была создана теоретическая основа геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила своего значения, поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства.
Таким образом, написанные в древности, руководства по геометрии, содержащие «рецепты» решения практических задач, сопровождали человечество на протяжении всей истории существования.
Решение отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания. История хранит немало приёмов решения задач на нахождение расстояний, определение расстояний до кораблей, находящихся в море, - одна из таких задач, решаемая двумя способами. Предполагают, что оба способа принадлежат древнегреческому учёному, путешественнику и купцу Фалесу Милетскому (VI век до н.э.).
З
адача
1-ый способ основан на одном из признаков равенства треугольников. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель - в точке А. Требуется определить расстояние КА.
Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АВ=ВС. В точке С вновь построить, прямой угол, причём наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой.
Прямоугольные ВСD и ВAK равны, следовательно, СD = АК, а отрезок СD можно непосредственно измерить.
2
-ой способ, получивший название метода триангуляции, нашёл применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод состоит из трёх этапов.
1. Измерение углов и и расстояния АВ.
2. Построение АВК с углами и при вершинах А и В соответственно.
3. Учитывая подобие треугольников АВК и АВК, рассматриваем равенство: АК:АВ = АК: АВ, по известным длинам отрезков АВ и АВ нетрудно найти длину АК.
После этого сообщения учитель собирает самостоятельную работу учеников, а работающие у доски объясняют своё решение и отвечают на вопросы.
4. Решение задач на определение недоступных расстояний.
Задача № 1.
Для определения ширины непроходимого болота с вершины вертолёта, находящегося на высоте h, измерили углы и . Найдите ширину болота АВ.
Д
ано: СD DВ,
CAD = ,
CВD = , СD = h.
Найти АВ.
1. Из прямоугольного АDС находим: 
.
2. Из АВС по теореме синусов имеем 
; 
.
Ответ: 
.
Задача № 2.
В
ершина горы видна из точки А под углом 3842, а при приближении к горе на 200м вершина стала видна под углом 42. Найдите высоту горы.
Дано: АВ = 200м,
САВ = = 3842,
СВD = = 42, СD DА
Найти СD.
Решение:
1. Из СВА по теореме синусов имеем равенство: 
2. Угол - внешний угол АВС, поэтому = + , откуда = - .
3. 
.
4. Из СВD находим 
(м)
Ответ: 
м
Проверочная работа
Н
айти расстояние от точки А, находящейся на берегу, до корабля К.
Дано: А = , В = , АВ = а.
Найти АК.
Решение:
К = 180 - ( + ), из АВК по теореме синусов находим расстояние АК: 
, 
.
Н
айти расстояние от острова, находящегося на озере, до пункта В на берегу (остров О принят за точку).
Дано: А = ,
В = ,
АВ = в.
Найти ОВ.
Решение:
О = 180 - ( + ), из АОВ по теореме синусов находим расстояние ОВ: 
, 
.
5. Решение задач на движение
№ 1.
В
7 часов утра пассажирский самолёт вылетел из города А. После получасовой остановки в городе В в 8 часов 10 минут самолёт сделал поворот на 35 вправо и в 9 часов совершил посадку в городе С.
Найти расстояние между городами А и С, если средняя скорость самолёта на каждом участке полёта была равна 320км/час.
Дано: СВD = 35,
V = 320 км/час, t1 = 7 ч.,
t2 = 8 ч. 10 мин, t3 = 9 ч.
tост = 30 мин.
Найти АС.
Решение:
1. 
; 
(км)
2. 
; 
(км)
3. АВС + DВС = 180 (как смежные)
АВС = 180 - 35, АВС = 145
По теореме косинусов из АСВ находим АС:
АС2 = АВ2 + ВС2 - 2АВ ВС cos 145
Ответ: АС 458 км.
№ 2.
В
крышке парового цилиндра диаметром 350мм требуется просверлить 8 отверстий для болтов.
Найти расстояние между центрами отверстий, если эти центры должны отстоять от краёв крышки на 50 мм.
Дано: окр. (0; R), d = 350мм,
n= 8, AC = 50 мм,
окр. (В; r), окр. (А; r),
окр. (0; R1).
Найти АВ.
Решение:
-
R =3502 = 175 (мм).
-
АО = ОВ = 175 - 50 = 125 (мм).
-
АОВ = 45
По теореме косинусов из АОВ находим АВ2 = АО2 + ВО2 - 2АОВОcos
АВ2 = 9153 мм2, т.е. АВ 95,6 мм
6. Подведение итогов урока, домашнее задание § 97-100, № 1036-1038.
Примечание: при выполнении практической работы для более подготовленных учащихся можно дополнительно предложить следующие задачи:
№ 1.
Н
а горе находится башня, высота которой равна h. Некоторый предмет А у подножия горы виден с вершины В башни под углом к горизонту, а с её основания С - под углом .
Найдите высоту горы СH.
Найти расстояние между деревьями А и В, расположенными на другом берегу реки. Расстояние между С и D равно .