Конспект урока Общие методы решения уравнений 11 класс

«Общие методы решения тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений».

Цели урока:

образовательная: повторение теоретического материала, связанного с решениями уравнений; проверка умений применять изученный материал при решении тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений;

развивающая: развитие умений выявлять закономерности и обобщать, навыков самоконтроля;

воспитательная: воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов, чувства солидарности и уважительного отношения друг к другу.

Тип урока: урок обобщающего повторения.

Форма проведения: работа в группах.

Оборудование: компьютер, мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал (карточки с заданиями).

Ход урока.

I.Организационный момент.

Приветствие учащихся, мобилизация внимания.

(Класс разбит на группы по 6 человек в каждой. Это группы постоянного состава, в них входят учащиеся с разным уровнем подготовки. Ученик с самым высоким уровнем знаний является консультантом в группе, к нему могут обратиться за помощью все члены этой группы).

II. Проверка домашнего задания.

Консультанты в группе проверяют домашнее задание и ставят оценки.

III. Актуализация опорных знаний.

Учитель: Ребята, сегодня мы постараемся вспомнить, уравнения какого вида были изучены нами в 10-11 классах, повторить общие стандартные методы их решения, формулы и правила, необходимые для их решения. В течение всего урока вы будете поэтапно работать самостоятельно, в случае необходимости можете обратиться за помощью к консультантам в группах.

• Итак, уравнения какого вида были изучены? (Тригонометрические, показательные, логарифмические).

• Напомните, пожалуйста, общие стандартные методы их решения. (Решение простейших уравнений, уравнений, сводящихся к простейшим с помощью тождественных преобразований, метод замены и введения новой переменной.)

IV. Повторение и обобщение темы.

Первый этап.

Учитель: Ребята, решая тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения, практически всегда на последнем этапе все сводится к решению уравнений простейшего вида, поэтому очень важно уметь их решать. Давайте вспомним виды простейших уравнений, формулы и правила их решения. (Учащиеся вспоминают, после этого на экране появляется слайд №2).

Вид простейшего уравнения

Решение (общая формула)

sinx = a

|a|≤1, x=(-1)^karcsin a+πk, kϵZ.

|a|>1, уравнение решений не имеет.

cosx = a

|a|≤1, x=±arccos a+2πk, kϵZ.

|a|>1, уравнение решений не имеет.

tgx = a

x = arctg a +πk, kϵZ.

a^x = b

если b>0, b=a^x0, x=x_0;

если b≠ a^x0, то x=log_ab;

если b≤0, уравнение решений не имеет.

log_ax = b

a>0, a≠1, x=a^b;

Решите устно:(На интерактивной доске появляется слайд №3 с заданиями. Учащиеся в произвольном порядке выбирают уравнения и устно решают их, это значительно экономит время на уроке.)

cos x = 1/2 2^x = 8 log₉x = 2

sin x = - √2/2 3^x = 81 log₃x = -4

tg x = -1 2^x = 1/32 log₃₂x = 1/5

ctg x = √3 3^x = 243 log_x125 = 3

tg x = - 1/√3 2^x = 256 log₉x = -1/2

cos x = - √3/2 3^x = 1/3√27 log₅x = 4

sin x = √3/2 5^x = 1/125 log₂x = 6

ctg x = 0 5^x = 625^1/4 log₈₁x = -1/3

Учитель: А сейчас, ребята, приступайте к выполнению задания на карточке №1.

( Группа получает карточку №1 с одинаковыми заданиями для членов одной группы. В группе учащиеся могут обсуждать ход решения, но консультанты отмечают активность обучающихся и правильность их суждений для итогового оценивания в конце урока.)

Карточка №1

Карточка №1

2cosx=-1

√3tgx=-1

sin(2x-π/3)=√2/2

3^x+3=9

2^{x^2-x}=4

log₂(3x+1)=3

2sinx=1

√3tgx=3

cos(3x+ π/4)=1/2

3^-x+2=1/9

3^{2x-x^2}=27

log_1/7(x-3)=-2

Карточка №1

Карточка №1

2sinx=-√3

1/√3ctgx=1

sin( π/6-4x)=-√3/2

2^2x-1=8

5^{x^2+5x}=125

log_1/2(3-4x)=-3

√2cosx=1

tg5x=0

cos(1/3x- π/6)=-1/2

2^4-3x=16

6^{x^2-2x}=216

log_1/3(5x-2)=-2

Карточка №1

2cosx=√3

4ctgx=0

cos(5x+π/3)=√3/2

5^2x-3=125

3^{x^2-4x+2}=1/3

log₃(6x+1)=2

Второй этап.

Учитель: А теперь рассмотрим уравнения, которые, в ходе решения, будут сведены к простейшему виду с помощью тождественных преобразований. Но, о чем следует помнить, применяя этот метод решения уравнений? ( Следует помнить о том, что заменять данное выражение необходимо таким выражением, которое будет определено на области определения исходного или на более широком множестве, так как в противном случае может произойти потеря корней.)

Например, рассмотрим уравнение log₃x² = 10.

Преобразования, не приводящие к потере корней: Преобразования, приводящие к потере корней.

2 log3|x|= 10 2 log₃x = 10

log₃ |x| = 5 log₃ x = 5

|x| = 3⁵x = 3⁵

x₁ = 243 x = 243

x₂ = -243

(На интерактивной доске появляется слайд №4 с заданиями.)

Решите уравнения: (Учащиеся работают у доски. Первая, третья и пятая группы решают уравнения с нечетными номерами, вторая и четвертая - с четными.)

1. cos 3x + cos(4π-3x) = 1

2. sin (x/3) cos(x/3) = -√3/4

3. cosx+cos5x = 0

4. sin3xcos5x-sin5xcos3x = 0,5

5. cos²2x = 3/4

6. (1/8)^x·2^{x^2} = 1/4

7. 3^{x^2-7x+31} : 3^{3x^2-4x-1} = 1

8. 3^log₃^(x+3) = 15

9. log_0,5(x-1)+log_0,5(x-2) = log_0,5(x=2)

10. 0,5log₄(x-3)+log₄(x-3)² = 5/2

Учитель: Приступайте к выполнению задания на карточке №2. (Время ограничено.)

Карточка №2

Карточка №2

tg(π+x)-2tg( 2π-x)+tg(7π+x)=1

3^4x-9-81^0,5x-7=3^-2/3

2log₃ x=log₃x³ +1

cosxcos4x-sin4xsinx=0,5

8^1/3log₂^{(x^2 -4)}=5

((1/7)^{0,5x^2-5x})²·49^-4x+2=7

Карточка №2

Карточка №2

cos² 2x=sin²2x-√3/2

log_1/3(x²-9)²=log_1/3( x²-9)-3

(1/4)^log_0,25^{(3^x-2)}=7

√5^{x^2-3x+1}:√5^{2x^2-3}=1

sin5x=sin3x

13^log₁₃^√x-1=1

Карточка №2

log_1/2(2x^2+x)=log_1/2(x+2)+1

4sin²3x=1-cos6x

(0,5^x-3)⁴•2^x=0,25

Третий этап.

Учитель: Одним из основных стандартных методов решения уравнений является метод замены переменной. В чем заключается данный метод? (Учащиеся отвечают.)

(На экране появляется слайд №5)

Если уравнение имеет вид af²(x)+bf(x)+c=0, где a≠0, то при его решении выполняют замену f(x)=t, приводящую к квадратному уравнению at²+bt+c=0. Решение квадратного уравнения представляет собой стандартную ситуацию. Если квадратное уравнение имеет решение, то выполняют переход к исходной переменной.

Решим уравнение sin²x-sinx-2=0

План решения и пояснения.

Запись решения.

1. Выполним замену переменной, т.к. данное уравнение имеет вид af²(x)+bf(x)+c=0.

Запишем получившееся уравнение.

sinx=t

t²-t-2=0

Решим уравнение относительно t.

D=9. D>0, 2 корня. t₁=2; t₂=-1.

Вернемся к исходной переменной.

sinx=2 и sinx=-1

Решений нет, т.к.|2|>1. x=-π/2+2πk, kϵZ

Запишем ответ.

Ответ: x=-π/2+2πk, kϵZ

(На интерактивной доске появляется слайд № 6 с заданиями.)

Решите уравнения:

1. tg²x+tgx-2=0

2. 2^2x+1+ 3∙ 2^x -2=0

3. 2log₂²x-3log₂x-1=0

4. cos²x+3,5sinx+1=0

5. 25^x-3∙5^x+10=0

6. log²_0,5x+6log_0,5 (x/2)+2=0

Учитель: А сейчас приступайте к выполнению заданий на карточке №3. (Время ограничено.)

Карточка №3

Карточка №3

2sin²x+3sinx+1=0

8•2^2x-6•2^x+1=0

log_1/32x+log_1/32x-6=0

3tg²3x+4tg3x+1=0

5•0,2^2x+9•0,2^x-2=0

log²_√2x-7log_√2x+10=0

Карточка №3

Карточка №3

cos²4x=cos4x+2

5•(1/5)^2x-14(1/5)^x-3=0

log²₄(x-2)+3log₄(x-2)=-2

sin²(x/5)=6-sin(x/5)

(1/4)^2x+4•(1/4)^x=-5

log²_0,5(x-1)-2log_0,5(x-1)-3=0

Карточка №3

tg² x/4 - 3tg x/4 = -5

0,5^2x-3•0,5^x+2=0

lg²x-lgx-6=0

Четвертый этап.

Учитель: Последний общий стандартный метод решения уравнений, который мы повторим сегодня, это метод разложения на множители. При его применении мы будем использовать правило равенства произведения нулю. Сформулируйте его, пожалуйста. (Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.)

В чем заключается метод разложения на множители? (Если уравнение вида f(x) =0 удается преобразовать к виду f₁(x)∙f₂(x)=0, то задача сводится к решению двух уравнений f₁(x)=0 и f₂(x)=0.)

Кроме того, следует отметить, что разложить на множители можно разными способами: вынесением общего множителя, способом группировки, используя ФСУ.

(На экране появляется слайд №7)

Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

h(x)•f(x)+h(x)•g(x)=0 <=> h(x)•(f(x)+g(x))=0 <=>

где D(y)-область определения уравнения.

Решим уравнение √x∙sinx+√x∙cosx=0.(1)

План решения и пояснения.

Запись решения.

1. Выясним область определения уравнения.

В записи уравнения есть выражение, содержащее квадратный корень. Его область определения - промежуток [о;+∞).

√x определен при x≥0.

2.Вынесем за скобки общий множитель в левой части уравнения.

(1) <=>√x(sinx+cosx)=0 (2)

3.Применим условие равенства нулю произведения, решим полученную совокупность.

(2) <=>

4. Запишем ответ.

Ответ: 0; - π/4+ πk, где kϵZ.

Решите уравнения: (На интерактивной доске появляется слайд № 8 с уравнениями.)

2^2x-16∙2^x=0

(2^x-3)(2^2x+3∙2^x+9)=5

√16-x² • sinx=0

Учитель: Выполните, пожалуйста, задание на карточке №4. (Те учащиеся, кто раньше справится с заданиями, могут приступить к выполнению домашней зачетной работы.)

Карточка №4

Карточка №4

sin²x+sinxcosx=0

ln²x-2lnx+1=0

4cos²(x-π/6)-3=0

7^3x+3•7^2x+3•7^x=0

cos²x+cosxsinx=0

lg²x-4lgx+4=0

4sin²(x-π/3)-3=0

0,5^3x -3•0,5^2x+2•0,5^x=0

Карточка №4

Карточка №4

tgxcos²x+tgx=0

log₃²x-2log₃ x+1=0

2cos²(x-π/4)-1=0

5^3x- 6•5^2x+5•5^x=0

2sinxcosx-√2sinx=0

9ln²x-6lnx+1=0

3tg²(x-π/6)-1=0

-3^3x+2•3^2x+3•3^x=0

Карточка №4

sin⁴x-cos⁴ x=0

log₂²x-6log₂x+9=0

ctg²(x-π/3)-3=0

4^3x-5•4^2x+4•4^x=0

Зачетная работа

Решите уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

1. 0,7^2sinx+√3=1

2. (1/4)^x=√1/8

3. 2^{x^2}/4^x=8

4. (5/12)^x•(6/5)^x-1=(0,3)^-1

5. (3/2)^2-2x-(8/27)^x-2=0

6. 2•3^x+1-6•3^x-1-3^x=9

7. 5^{x^2+x}•2^{x^2+x}=4•100^x

8. 5^2x-1+2^2x-5^2x+2^2x+2=0

9. 7^2x-6•7^x+5=0

10. 4•3^x-9•2^x=5•6^x/2

Решите уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

1. log₂(4x-1)=4

2. log₂₅(9-x)=-1/2

3. 7^log₇^{x^2}=25

4. log₂x+log₂(x+1)=1

5. log₃²(x²+3)+log₃(x²+3)=2

6. 2log₃x=log₃x³+1

7. log₆(x²-x)=1-log₆3

8. log₄²x²+9log₂x=10

9. log₇x-log_x (1/7)=2

10. log₃(x²+5/x+2)=log₃(x²+5)-3

Решите тригонометрические уравнения.

1. √2sin(3x-π/3)=1

2. sin(8π+2x)-sin(12π-2x)=-1

3. cosxcos4x-sin4xsinx=0,5

4. sin⁴(x/2)-cos⁴(x/2)=√2/2

5. cos7x=cos5x

6. √2cos²(x/3)-cos(x/3)=√2

7. 3tg²x+4tgx=-1

8. sin³x-cos³x=0

9. 2cos²x+5sinx+1=0

10. 2cos²x+2cos(π/4)cosx-2cos²π=0

Примечание: консультанты в течение всего урока постепенно проверяют решения по карточкам, и в конце урока оценивают работу учащихся, учитывая то, сколько раз обучающийся обращался за помощью к консультанту и насколько он был активен, работая в группе.

IV. Итог урока.

Учитель: Итак, ребята, сегодня мы повторили с вами основные стандартные методы решений уравнений. Закрепили умения решать тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения стандартными методами. На следующем уроке мы повторим нестандартные методы решений данных уравнений, рассмотрим задания из вариантов ЕГЭ.

(Слайд № 9)

А сейчас подведите итог урока сами, продолжив фразы:

«На уроке я узнал...»

«На уроке я повторил...»

«На уроке я закрепил...»

«На уроке я научился...»

«Сегодняшнему уроку я поставлю оценку …, за ….».

Выставление и комментирование оценок за урок консультантами.

V. Задание на дом.

Дома необходимо выполнить зачетную работу (дети получают карточку с заданиями) по данной теме и отчитаться на уроке - зачёте перед итоговой контрольной работой.