Рабочий материал по теме Решение квадратных неравенств (8 класс)

Решение квадратных неравенств

Теоретическая часть

• Неравенство вида ах²+ bх+с>0 называется квадратным (могут быть использованы знаки < , , )

• Решить неравенство ах²+ bх+с>0 - это значит найти такие значения переменной х, при которых квадратный трехчлен ах²+ bх+с принимает положительные значения. Аналогичен смысл решения неравенств ах²+ bх+с<0, ах²+ bх+с0, ах²+ bх+с0.

• Значения квадратного трехчлена совпадают со значениями соответствующей квадратичной функции.

• Квадратные неравенства удобно решать на основе свойств соответствующей квадратичной функции f(x)= ах²+ bх+с.

Значит, при решении неравенства ах²+ bх+с>0 надо ответить на вопрос: «при каких значениях аргумента функция у= ах²+ bх+с. принимает положительные значения» , а при решении неравенства ах²+ bх+с<0 надо найти такие х, при которых соответствующая функция принимает отрицательные значения.

1. Вспомните свойства квадратичной функции, восполняя пробелы в тексте (устно)

У любой функции, в том числе и квадратичной, каждому значению аргумента х будет соответствовать определенное значение функции - у. Точки (х;у) образуют график функции. Графиком квадратичной функции является …., ветви которой будут направлены вверх, если …, и вниз, если ….

Квадратичная функция (как и любая другая) может сменить свой знак при переходе через точку, называемую ….. Таких точек у квадратичной функции может быть …., Это зависит от ….

Если при решении уравнения ах²+ bх+с=0 получаем два корня, то схема знаков квадратичной функции выглядит так: или так , это зависит от …

Если же дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то оно имеет …… и график квадратичной функции пересекает ось абсцисс … раз (точнее - касается оси х) и схема знаков функции выглядит так , если ветви направлены …. или , если ветви параболы направлены….. Парабола может и не пересекать ось х, если… . Тогда значения функции всегда положительны, если ветви параболы направлены … и значения функции всегда отрицательны, если ….

Поэтому, чтобы решить квадратное неравенство достаточно схему знаков соответствующей квадратичной функции

2. Составьте алгоритм решения квадратного неравенства, выбрав нужные для этого действия, указав порядок выполнения (карандашом)

Найти ООФ, найти ОЗФ, найти координаты вершины параболы, определить направление ветвей параболы, записать ось симметрии параболы, найти нули функции, найти точки пересечения графика с осью у, изобразить схему знаков функции,

изобразить схему монотонности функции, выписать промежутки знакопостоянства функции, выписать промежутки монотонности функции, выписать промежутки нужного знака

3. Анализ результатов, собеседование

Решение квадратных неравенств

Алгоритм решения

1. Преобразовать неравенство к виду ах²+ bх+с>0 или ах²+ bх+с<0

2. Перейти к квадратичной функции

3. Найти нули квадратичной функции

4. Построить схематично параболу, учитывая направление ветвей

5. С помощью параболы определить знаки на полученных промежутках

6. По знаку неравенства выбрать нужный промежуток и записать ответ

Пример. Решить неравенство (х+2)²-3х  6

1. Преобразуем неравенство к виду ах²+ bх+с0. Для этого раскроем скобки, перенесем слагаемые в левую часть и приведем подобные слагаемые:

х²+4х+4-3х  6,

х²+4х+4-3х-6 0,

х²+х-2 0

2. Перейдем к квадратичной функции: f(x)= х²+х-2, f(x)0.

3. Найдем нули квадратичной функции: f(x)=0, х²+х-2=0.

4) Построим схематично параболу, учитывая, что ее ветви направлены вверх:

Получим х₁=1, х₂=-2

5. Определим знаки на полученных промежутках:

+

+

-

х

х

-2

-2

1

1

5. Учитывая знак неравенства, выберем промежуток, где f(x)0:

f(x)0 при х(-; -2][1;+ )

Ответ: (-; -2][1;+ )

a>0,D>0

+

+

-

a>0, D=0

+

+

a>0, D<0

+

a<0, D>0

+

-

-

a<0, D=0

-

-

a

-<0, D<0

Решение квадратных неравенств

Практические задания

Δ №1-3, □№4-6, ○ №7

1. Какие из чисел -2; 0; 1 являются решением квадратного неравенства:

х²+6х+8<0, х²+х>0, 3х²-х+2>0?

2. Постройте схематично параболу у= х²+6х+9. Используя эскиз графика решите неравенства: х²+6х+9>0, х²+6х+9<0, х²+6х+90, х²+6х+90

3. Решите неравенство:

а) х²-16<0, х²-36>0, х²+5>0, х²+1<0

б) х²+7х<0, х²+3х>0, х²+х>0, х²-4.2х<0

в) х²-3х-40>0, 3х²+5х-2<0, х²+12х+40>0, -4х²+12х+9<0, х²-5х-50<0, 9х²+6х+1>0

4. Найдите множество решений неравенства:

1) х²<5, 2) 0,8х²>x, 3) (x-0.5)(x+1.2)0, 4) x(x-8)>(2x-1)²,

5) 3a(a-2)+1>(a-1)², 6) , 7)

5. Найдите целые решения неравенства:

х²+5х0, -х²+4>0, 3x-х²0, х²+7<0

6. При каких значениях х имеет смысл выражение:

, ,

7. Составьте квадратное неравенство решением которого является:

а) [-2;2] б) (0;3) в) (-;2)(5;+) г)  д) R

Контрольные вопросы:

1. Почему при решении квадратного неравенства в правой его части должен быть ноль?

2. Как можно упростить неравенство -0,5х²+х-3,1<0 , прежде чем его решать?

3. Почему при решении неравенства х²+6х(х-1)<0 надо раскрывать скобки, а при решении неравенства (х-6)(2-3х)>0 скобки раскрывать не нужно?

4. Почему неравенство вида aх²+bх<0 всегда имеет решения?

5. В каком случае квадратное неравенство не имеет решений? Приведите примеры.

6. В каком случае решением квадратного неравенства является одно число? Приведите примеры.

Решение квадратных неравенств

З1 Изобразив схематично график функции решите неравенства:

1) , ,

2) , ,

Выполните самостоятельно:

Δ № 547, 548 □ № 549 ○ №569

З2 Ответьте на вопросы:

1. Почему при решении квадратного неравенства в правой его части должен быть ноль?

2. Как можно упростить неравенство -0,5х²+х-3,1<0 , прежде чем его решать?

3. Почему при решении неравенства х²+6х(х-1)<0 надо раскрывать скобки, а при решении неравенства (х-6)(2-3х)>0 скобки раскрывать не нужно?

4. Почему неравенство вида aх²+bх<0 всегда имеет решения?

5. В каком случае квадратное неравенство не имеет решений? Приведите примеры.

6. В каком случае решением квадратного неравенства является одно число? Приведите примеры.

Выполните самостоятельно:

Δ № 546, 552 □ № 545 ○ №564

З3 На какие вопросы можно ответить, решив неравенство

1. При каких значениях х квадратный трехчлен принимает отрицательные значения?

2. При каких значениях аргумента график функции расположен выше оси х?

3. При каких значениях переменной выражение имеет смысл?

4. При каких значениях переменной значение выражения не меньше значений выражения ?

Выполните самостоятельно:

Δ №550, 559 □ № 560, 566 ○ №571, 563

Проверочная работа

Решение квадратных неравенств

Проверочная работа

1. Решите неравенства:

2. Найдите значения х, при которых квадратный трехчлен

принимает положительные значения принимает отрицательные значения

3. Найдите целые решения неравенства:

4. Докажите, что при любом значении а выражение

отрицательно положительно

5. Найдите решения неравенства?

6. Составьте квадратное неравенство, решением которого является указанное множество чисел:

а)(-3;0) а)(-;0][3;+)

б)R б) 