Урок по геометрии на тему Подготовка к ГИА

Геометрические задачи при подготовке к ГИА

Учитель: Панкратова Н.П.

vЗадача 1: Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке К. Через точку К проведена прямая, параллельная диагонали АС и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла ВАС. Решение: Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Значит, центр окружности точка О лежит на диагонали АС. Треугольники АВС и КВЕ подобны. Так как площади этих треугольников равны 9 и 1 соответственно, то коэффициент подобия равен 3. = .

А K В

™

Е

D С

Точка пересечения диагоналей ромба АС и ВD - точка М.

Треугольники ОКВ и ОМВ равны ( ОК = ОМ и гипотенуза ОВ - общая).

Отсюда, КВ=ВМ.

Из прямоугольного треугольника АМВ имеем = = = .

Ответ: .

Задача 2: Через точку D основания АВ равнобедренного треугольника АВС проведена прямая СD, пересекающая описанную около треугольника АВС окружность в точке Е. Найдите АС, если СЕ=3 и DE=DC.

Решение: Углы САВ и СВА равны ( углы в основании равнобедренного треугольника). Вписанные углы СВА и СЕА опираются на одну хорду АС, значит, они равны. Треугольники DАС и АЕС подобны (углы DАС и АЕС равны, угол при вершине С - общий).

С

DDА В

Е

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: . Отсюда АС = .

Ответ:

Задача 3: Дана трапеция АВСD с основаниями АВ = a и ВС = b. Точки М и N лежат на сторонах АВ и СD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ АС пересекает этот отрезок в точке О. Найдите MN, если известно, что площади треугольников АМО и СNО равны.

Решение:

В C

OM N

A D

1. Из равенства площадей треугольников АМО и СNО следует

МО∙AO = ON∙OC

2. Треугольники МАО и ВАC подобны по двум углам.

Имеем пропорциональность сторон.

= = 1 + =

3. Треугольники СON и CAD подобны по двум углам.

Имеем пропорциональность сторон.

= = 1 + =

4. Учитывая, что , получим

Учитывая, что MO + ON = MN, получим

MN² = ab, MN =

Ответ: