ПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО МАТЕМАТИКЕ 1-5 ЛАСС

ПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО МАТЕМАТИКЕ 1-5 ЛАСС

Сложение чисел.

• a+b=c, где a и b-слагаемые, c-сумма.

• Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Вычитание чисел.

• a-b=c, где a-уменьшаемое, b-вычитаемое, c-разность.

• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

• Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Умножение чисел.

• a·b=c, где a и b-сомножители, c-произведение.

• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Деление чисел.

• a:b=c, где a-делимое, b-делитель, c-частное.

• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное.

• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Законы сложения.

• a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).

• (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

Таблица сложения.

• 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.

• 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Законы умножения.

• a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).

• (a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

• (a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).

• (а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

Таблица умножения.

2·1=2; 3·1=3; 4·1=4; 5·1=5; 6·1=6; 7·1=7; 8·1=8; 9·1=9.

2·2=4; 3·2=6; 4·2=8; 5·2=10; 6·2=12; 7·2=14; 8·2=16; 9·2=18.

2·3=6; 3·3=9; 4·3=12; 5·3=15; 6·3=18; 7·3=21; 8·3=24; 9·3=27.

2·4=8; 3·4=12; 4·4=16; 5·4=20; 6·4=24; 7·4=28; 8·4=32; 9·4=36.

2·5=10; 3·5=15; 4·5=20; 5·5=25; 6·5=30; 7·5=35; 8·5=40; 9·5=45.

2·6=12; 3·6=18; 4·6=24; 5·6=30; 6·6=36; 7·6=42; 8·6=48; 9·6=54.

2·7=14; 3·7=21; 4·7=28; 5·7=35; 6·7=42; 7·7=49; 8·7=56; 9·7=63.

2·8=16; 3·8=24; 4·8=32; 5·8=40; 6·8=48; 7·8=56; 8·8=64; 9·8=72.

2·9=18; 3·9=27; 4·9=36; 5·9=45; 6·9=54; 7·9=63; 8·9=72; 9·9=81.

2·10=20; 3·10=30; 4·10=40; 5·10=50; 6·10=60; 7·10=70; 8·10=80; 9·10=90.

Делители и кратные.

• Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. (Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-делители числа 24, т. к. 24 делится на каждое из них без остатка) 1-делитель любого натурального числа. Наибольший делитель любого числа - само это число.

• Кратным натурального числа b называют натуральное число, которое делится без остатка на b. (Числа 24, 48, 72,…-кратны числу 24, так как делятся на 24 без остатка). Наименьшее кратное любого числа - само это число.

Признаки делимости натуральных чисел.

• Числа, употребляемые при счете предметов (1, 2, 3, 4,…) называют натуральными числами. Множество натуральных чисел обозначают буквой N.

• Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными цифрами. Числа, запись которых оканчивается четными цифрами, называют четными числами.

• Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называют нечетными цифрами. Числа, запись которых оканчивается нечетными цифрами, называются нечетными числами.

• Признак делимости на число 2. Все натуральные числа, запись которых оканчивается четной цифрой, делятся на 2.

• Признак делимости на число 5. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, делятся на 5.

• Признак делимости на число 10. Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0, делятся на 10.

• Признак делимости на число 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

• Признак делимости на число 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

• Признак делимости на число 4. Если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4, то и само данное число делится на 4.

• Признак делимости на число 11. Если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11, то и само число делится на 11.

Простые и составные числа.

• Простым называют число, которое имеет только два делителя: единицу и само это число.

• Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

• Число 1 не относится ни к простым числам, ни к составным числам.

• Запись составного числа в виде произведения только простых чисел называется разложением составного числа на простые множители. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

НОД (Наибольший общий делитель).

• Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.

• Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел. Пример. НОД(24, 42)=2·3=6, т. к. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, их общие простые множители 2 и 3.

• Если натуральные числа имеют только один общий делитель-единицу, то эти числа называют взаимно простыми.

НОК (Наименьшее общее кратное).

• Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.

• Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.

• Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Обыкновенная дробь.

b-знаменатель дроби, показывает, на сколько равных частей разделили;

a-числитель дроби, показывает, сколько таких частей взяли. Дробная черта означает знак деления.

Иногда вместо горизонтальной дробной черты ставят наклонную, и обыкновенная дробь записывается так: a/b.

• У правильной дроби числитель меньше знаменателя.

• У неправильной дроби числитель больше знаменателя или равен знаменателю.

Основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Сокращение обыкновенной дроби.

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Смешанное число.

• Число, состоящее из целой части и дробной части, называется смешанным числом.

• Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо разделить числитель дроби на знаменатель, тогда неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток - числителем дробной части, а знаменатель останется тот же.

• Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить целую часть смешанного числа на знаменатель, к полученному результату прибавить числитель дробной части и записать в числителе неправильной дроби, а знаменатель оставить тот же.

Координатный луч.

• Луч Ох с началом отсчета в точке О, на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом.

• Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки. Например, А(3). Читают: точка А с координатой 3.

Приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю.

• Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.

• Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Сравнение обыкновенных дробей.

• Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.

• Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.

• Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.

Действия над обыкновенными дробями.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей.

• Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.

• Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.

• Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.

• Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

• При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

Умножение обыкновенных дробей.

• Произведение двух обыкновенных дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей данных дробей.

• Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить тот же.

• Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными числами.

• При умножении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.

• Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Деление обыкновенных дробей.

• Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

• При делении смешанных чисел их сначала обращают в неправильные дроби.

• Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это натуральное число, а числитель оставить тот же. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).

• Чтобы найти число по его дроби, нужно разделить на эту дробь число, ей соответствующее.