Развитие познавательного интереса к изучению математики

(из опыта работы учителя математики
муниципального общеобразовательного учреждения «Лесно-Конобеевская средняя школа»
Закурдаевой Натальи Сергеевны)

Содержание

Введение

Глава I. Психолого-педагогические основы формирования познавательного интереса.

1. Интерес и познавательный интерес.

2. Группы проявлений познавательного интереса.

3. Формирование мотивации учения.

4. Воспитание познавательного интереса.

5. Организация деятельности, формирующей познавательный интерес.

6. Способы и условия укрепления познавательного интереса.

7. Распознавание интереса.

8. Преодоление отрицательного отношения к учению.

Глава II. Формирование познавательного интереса в обучении математике.

1. Проблемное обучение на уроках математики.

2. Решение задач как стимул возникновения интереса к математике.

3. Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию математических закономерностей.

4. Занимательность в обучении.

5. Историзм на уроках математики.

6. Понимание материала учащимися.

7. Типология уроков как основа развития познавательного интереса.

8. Самостоятельные работы как важный фактор развития интереса к математике.

9. Умение ставить вопросы.

10. Внеклассная работа по математике.

Литература

Введение

Вопрос о роли интереса в обучении волновал педагогов и воспитателей с давних пор.

Средневековая педагогика, провозглашая вслед за философией своего времени идеал аскетизма, отказ от земных радостей, отвергала необходимость интереса в обучении. Обучение в средневековой школе было проникнуто духом суровости, атмосферой мистицизма, отказом от потребностей жизни.

В период гуманизма, когда было провозглашено право личности на радость жизни, педагоги подчёркивали необходимость учитывать интересы детей, требовали, чтобы обучение было привлекательным.

В борьбе со схоластикой и средневековым аскетизмом великий чешский педагог Я.А. Коменский отводил интересу в обучении значительное место. На титульном листе своей «Великой дидактики» он указал, что обучение должно быть «сокращённым, приятным, основательным», что «организация и способ обучения должны доставлять детям… - больше досуга, радостей и прочного успеха». Интерес к познанию Коменский считал важнейшей чертой человека, которую следует развивать.

Своеобразную трактовку получил вопрос об интересе в обучении и у представителей теории естественного воспитания. «Непосредственный интерес - вот великий двигатель - единственный, который ведёт верно и далеко», - писал Руссо в своём воспитательном трактате. Интерес в его педагогической системе является краеугольным камнем обучения.

Идея естественного воспитания в новых условиях и на основе огромного внимания к развитию творческих сил личности была полтора века спустя развита в педагогической системе Л.Н. Толстого, который восставал против формализма, догматизма в бучении, против палочной дисциплины современной ему зарубежной и русской школы. В Яснополянской школе содержание, методы и вся организация работы были подчинены интересам детей. Интересы детей должны были быть положены в основу каждого урока, и если не было непосредственных интересов к тому или иному занятию, он считал обучение бесполезным.

У Гербарта и его последователей интерес в обучении является и целью и средством. Будучи целью обучения, интерес определяет отбор общеобразовательного материала.

К.Д. Ушинский рассматривал интерес как мотив учебной деятельности. Интерес, по Ушинскому, - не только средство успешного обучения, - это стимул нравственного воспитания.

Д.И. Писарев отвергал искусственную занимательность обучения, подчёркивая в противовес этому необходимость интереса, основанного на активной работе мысли.

Современная дидактика, опираясь на новейшие достижения педагогики и психологии, видит в интересе большие возможности и для обучения, и для развития, и для формирования личности ученика в целом.

Познавательный интерес является могучей движущей силой самостоятельного приобретения знаний. Виднейшие отечественные педагоги пришли к выводу, что знания, усвоенные без интереса, по принуждению, вскоре забываются; усвоенные с интересом запоминаются надолго и легко воспроизводятся.

Сформированный интерес к учению, к тому или иному школьному предмету резко повышает успеваемость. Интерес сказывается и на прочности знаний, и на их оперативности, мобильности, умении применять их на практике.

Возникший у школьника познавательный интерес содействует общему психическому развитию, расширению кругозора и дальнейшему его умственному продвижению. Интерес повышает интенсивность мыслительной работы, мобилизует внимание, снимает утомление - всё это приводит к повышению качества усваиваемых знаний, к их расширению и углублению.

Познавательный интерес побуждает учащихся к самостоятельному приобретению знаний, к дальнейшему самообразованию.

Таким образом, интерес, который помогает ребёнку охватить различные явления, оказывается движущим мотивом не только для восприятия предмета, но и для развития мышления и способствует самообразованию. Следовательно, перед каждым учителем встаёт задача формирования и развития интереса к обучению в целом и к каждому предмету в отдельности.

Здесь рассматриваются психолого-педагогические основы формирования познавательного интереса (глава I) и основные направления работы учителя по развитию интереса к изучению математики (глава II).

Глава 1

Психолого-педагогические основы формирования

познавательного интереса.

1. Интерес и познавательный интерес.

Что же такое интерес? Известный исследователь проблемы интереса М.Ф. Беляев указывает, что понятие «интерес» обнимает громадное количество процессов, имеющих кроме некоторых общих характерных черт и много отличных, специфических. Сюда относят интерес ребёнка к играм, движениям; интерес к загадочному, новому, таинственному; интерес игрока к выигрышу; интерес к шахматам, футболу, различным зрелищам; интерес к романам и повестям, к увлекательным приключениям и историям. Тем же понятием «интерес» обозначается интерес школьника к учебным предметам, интерес художника к искусству, учёного - к науке, рабочего - к своему труду и т.д.

О самом разнообразном употреблении термина «интерес» писали Л.И. Божович, Н.А. Беляева и другие исследователи. Они указывали, что обычно в одном понятии смешивается совершенно различное содержание, включённое в разнообразные виды деятельности - игру, развлечения, учение, науку, производственную работу и т.п. Более того, интересом называют различные состояния человека - и увлечение делом, и любовь к деятельности, и склонность к различным профессиям, то есть любое положительное отношение к деятельности, предмету, любому объекту.

Чтобы чётко различить интерес от сходных понятий, нужно проанализировать его структуру. В ходе исследований выяснилось, что интерес во всех его видах и на всех этапах развития характеризуется тремя обязательными моментами:

1. положительной эмоцией по отношению к деятельности;

2. наличием познавательной стороны этой эмоции, т.е. радостью познания;

3. наличием непосредственного мотива, идущего от самой деятельности, т.е. деятельность сама по себе привлекает и побуждает ею заниматься.

Какая же разница между интересом и познавательным интересом? Ведь всякий интерес познавателен; в нём присутствует радость познавания и познания. Без познавательного компонента интереса нет. Обычно познавательным интересом называют частный случай интереса - интерес к учебной деятельности, к приобретению знаний, к науке.

О наличии у учащихся познавательного интереса можно судить по некоторым признакам, которые следует разделить на три группы.

Первую группу признаков интереса характеризуют активное включение в учебную деятельность, жадное восприятие познавательного материала, отсутствие отвлечений, сильная сосредоточенность на заинтересовавшем материале, преобладание непроизвольного внимания, возникновение вопросов в процессе учебной деятельности. На интересном уроке учащиеся сидят, не шелохнувшись, они обычно игнорируют даже помехи - не отвлекаются; при отсутствии же интереса отвлечения постоянны. Желание как можно дольше заниматься данным предметом, нежелание прекратить занятие, урок также очень показательны для интереса. С разочарованием учащиеся встречают звонок, прерывающий интересный урок. Важнейший критерий возникшего познавательного интереса - появление вопросов в процессе учебной деятельности.

Вторая группа признаков интереса связана с изменением поведения учащихся в результате возникшего у них интереса вне урока. После урока школьники не расходятся, а окружают учителя, задавая вопросы или высказывая собственные суждения по интересующей проблеме. Нередко беседы и споры возникают между самими учащимися. Учащиеся добровольно и охотно берут и выполняют задание для самостоятельной работы, выступают с докладами, сообщениями, читают дополнительную литературу.

Третья группа признаков интереса связана с изменением всего образа жизни учащихся, возникающим под влиянием интереса к той или иной деятельности. Учащиеся дома сами читают познавательную литературу, всё свободное время уделяют интересующему их предмету.

I.Группы проявлений познавательного интереса

Первая группа проявлений интереса. Учитель раскрывает перед учениками смысл своего предмета или отдельную тему, отдельный вопрос так последовательно, увлекает содержанием настолько, что ученики слушают, не отрываясь; их увлекает непосредственное, радостное узнавание нового. Интерес безусловно возник - учащимся хочется больше узнать по этой теме, они задают вопросы и радуются полученным ответам. Но вот урок кончился, и учащиеся не возвращаются больше к, казалось, заинтересовавшей их теме. Это было временное эпизодическое переживание интереса. На этом интерес может исчерпаться и так и останется временным переживанием.

Но учитель снова приходит в класс и ведёт новый урок. Он пробуждает активность учеников, побуждает их искать ответы на вопросы. И так от раза к разу. Интерес закрепляется, становится устойчивым. Переживание обобщается, становится эмоционально-познавательным отношением к предмету, которое побуждает учащихся интересоваться поставленными на уроке проблемами и после того, как отзвенел звонок с урока. Это вторая группа проявлений интереса.

Если появившийся интерес поддерживать дома, если свободное время посвящать приобретению дополнительных знаний, если посещать кружок, тогда интерес может стать направленностью личности. Это третья группа проявлений интереса. Стойкий личностный интерес - это высший этап развития личности.

Большая роль в формировании устойчивого познавательного интереса принадлежит внеклассной и внешкольной работе. Это должна быть творческая, опытная, поисковая, исследовательская работа.

В старших классах это теоретический, умственный поиск, в младших - более практический, действенный, связанный с изучением реальных объектов.

На первых порах работа в кружке может привлечь школьника, особенно младшего, неожиданностью оформления, игровыми моментами, но за ними обязательно должна раскрываться серьёзная познавательная мысль. Это происходит во время поиска решения нестандартных задач, поиска новых способов решения известных типов задач, новых сведений, переживания новых встреч, несущих новую информацию.

Возникновению и развитию интереса содействует выполнение ряда условий:

1. создание благоприятных объективных, материальных предпосылок (оборудование уроков и т.п.);

2. обеспечение самых необходимых предварительных знаний и умений;

3. Подготовка психологических предпосылок в виде:

• положительного эмоционального отношения к деятельности, предмету, учителю;

• сознательного отношения к предмету (понимания его практического значения, перспектив развития).

Всё это происходит:

а) под руководством учителя, систематически организующего поиск силами учащихся;

б) при организации дружного коллектива, нацеленного на решение общих задач, принимаемых коллективом.

В этих условиях решение одних вопросов рождает другие; интерес становится неисчерпаемым.

Если учитель встречается с устойчивым познавательным интересом, то его работа по формированию стойкого интереса как направленности личности сводится в основном к систематическому наблюдению за работой учащегося, рекомендации соответствующей литературы, которая могла бы пробуждать у учащегося всё новые вопросы, открывать перед ним новые горизонты познания. Но если устойчивого интереса нет, если имеется лишь эпизодическое переживание интереса, приходится последовательно проходить весь путь от подготовки почвы до организации систематической самостоятельной поисковой работы.

1. Формирование мотивации учения

Изучение мотивации - это выявление её реального уровня и возможных перспектив, зоны её ближайшего развития у каждого ученика и класса в целом. Результаты становятся основой для планирования процесса формирования.

Формирование мотивов учения - это создание в школе условий для появления внутренних побуждений (мотивов, целей, эмоций) к учению, осознания их учеником и дальнейшего саморазвития им своей мотивационной сферы.

Изучать и формировать мотивацию ученика учитель вполне может и сам, не дожидаясь прихода школьного психолога.

Изучение и формирование мотивации учения должны иметь объективный характер, с одной стороны, и осуществляться в гуманной, уважительной к личности ученика форме - с другой.

При изучении и формировании мотивации важно видеть процесс становления мотивации, зону её ближайшего развития. Поэтому учителю важно выявлять не только успешность выполнения задания, но и затруднения ребёнка в нём.

Психологическое изучение и формирование мотивации учащихся можно проводить как на заданиях с неучебным содержанием (шахматные задачи, головоломки), так и на заданиях с учебным содержанием.

Важной стороной изучения и формирования мотивации учащихся является обеспечение гуманных отношений между учителем и учеником. При этом желательно ориентироваться на следующие требования:

1. главной задачей является контроль за ходом психического развития детей с целью коррекции обнаруживаемых отклонений;

2. при изучении психологических особенностей конкретного ребёнка надо сравнивать его не с другими детьми, а с ним самим;

3. очень важно изучать и формировать мотивацию не только у неуспевающих и трудновоспитуемых учащихся, но и у каждого, даже внешне благополучного ребёнка;

4. в ходе изучения мотивации учения школьников учителю надо обладать психологической грамотностью;

5. формировать мотивацию - не означает заложить готовые мотивы и цели в голову учащегося, а означает поставить его в такие условия и ситуации развёртывания активности, где бы желательные мотивы и цели складывались и развивались бы с учётом и в контексте прошлого опыта, индивидуальности, внутренних устремлений самого ученика.

По мнению А.К. Марковой, формированию мотивации способствуют занимательность изложения (занимательные примеры, опыты, парадоксальные факты); необычная форма преподнесения материала, вызывающая удивление у учащихся; эмоциональность речи учителя; познавательные игры, ситуации спора и дискуссии; анализ жизненных ситуаций, разъяснение общественной и личностной значимости учения и использования школьных знаний в будущей жизни; умелое применение учителем поощрения и порицания.

Как мотив учения познавательный интерес имеет ряд преимуществ перед другими мотивами, которые могут существовать вместе и наряду с ним (мотив самоутверждения, стремление быть в коллективе, профессиональные, широкие социальные мотивы и др.):

1. По данным исследований, познавательный интерес фигурирует среди других мотивов учения школьника как мотив, которому отдаётся предпочтение;

2. Особенностью познавательного интереса как мотива учения школьника является то, что в нём как бы совмещается план «знаемых» и «реальных» мотивов (А.Н. Леонтьев);

3. Ещё одной особенностью познавательного интереса является также и то, что он раньше и более ясно, чем другие мотивы, осознаётся школьниками;

4. Познавательный интерес как мотив можно охарактеризовать термином «бескорыстный». Познавательный интерес можно, пожалуй, приравнять к стремлению человека к искусству, к эстетическому в действительности;

5. Будучи сильным мотивом учения, познавательный интерес существенно меняет саму деятельность: влияет на её характер, протекание и результат;

6. Познавательный интерес не обособлен, он развивается в кругу других мотивов и взаимодействует с ними.

4. Воспитание познавательного интереса

Приступить к формированию интереса сразу, без подготовки соответствующей почвы - значит обречь свою работу на неудачу.

Самая первая необходимость, которая возникает у учителя, желающего воспитать у учеников познавательный интерес, - создание материальных условий для успешного обучения. Это заботливое оборудование урока, без которого не может нормально осуществляться обучение, в том числе обстановка, располагающая к занятиям, организация жизни класса, упорядоченность работы. Наряду с материальными условиями подготавливается «умственная почва». Это важнейшее обстоятельство, обеспечивающее воспитание познавательного интереса. Только на определённом уровне накопления предварительных знаний, навыков и хотя бы простейших умственных операций возможно воспитывать интерес. Для формирования познавательного интереса нужно приобрести некоторые знания. Чтобы у детей появился интерес к первоначальным знаниям, необходимо использовать на уроке элементы занимательности. Она может хоть на некоторое время привлечь детей к занятиям, открыть их сердца учению. Занимательность урока может быть достигнута яркими наглядными пособиями, эффектным оформлением, неожиданными опытами, занятными подробностями, не обязательными для запоминания, дидактическими играми. Занимательность важна нам потому, что она может хотя бы на короткий срок обеспечить внимание. Всё это помогает на первых порах приохотить детей к учению и создать у них некоторый, пусть элементарный, запас знаний.

В самом начале воспитания интереса необходимо проверить те представления, с которыми дети приходят в школу или на урок, те первичные знания и интересы, тот личный опыт, за который можно «зацепиться», чтобы новые умения и знания сделались «своими» и были усвоены. Важно дополнить, уточнить знания, внести нужные коррективы, тогда уже можно на них опираться. Опытный учитель опирается также на интересы детей, возникшие раньше (к животным, растениям, технике, рисованию и т.д.), чтобы использовать их в учебной деятельности и приохотить детей к учению. При этом важно учесть уровень знаний и умственных навыков учащихся каждого класса, каждого данного возраста и уровень возможностей их обобщения, осмысления, подготавливая учеников к восприятию того нового, что несёт с собой каждая ступень обучения.

Не менее важным для привлечения детей к накоплению знаний и расширению круга представлений в изучаемой области оказалось обогатить учащихся новыми яркими впечатлениями, создать необходимый новый опыт, облегчающий восприятие знаний по данному предмету или данному разделу. Для этого полезны посещения музеев и других учреждений культуры, заводов, лабораторий, встречи с интересными людьми - источником живой и действенной информации.

Однако и всего этого ещё недостаточно. Параллельно должна идти подготовка «нравственной почвы», т.е. создание у учащихся положительного отношения к учению и школе. Для этого существуют два пути. Один путь - создание положительных переживаний, связанных со всем тем, что сопровождает усвоение данного предмета, раздела, темы, т.е. формирование эмоционально-положительного отношения к учению. Этот путь особенно важен при полном отсутствии интереса к учению или к какой-либо области знания.

Особенное значение в формировании положительного отношения к учению вообще, к школьным предметам в частности имеет личность учителя. Его облик (даже внешность, одежда, причёска), манера общения, отношение к детям - всё это с самого начала влияет на отношение детей не только к учителю и его урокам, но и к школе и к учению в целом.

В процессе подготовки почвы для формирования интереса большое значение имеет показ учителем образцов работы, которые созданы на основе достижений изучаемой отрасли знания. Демонстрация неожиданных решений сложных математических задач воодушевляет учащихся, создаёт то положительное эмоциональное переживание, «зацепившись» за которое можно воспитать подлинный интерес к предмету.

Этой же цели служат историко-научные знания, рассказы об истории наиболее замечательных научных открытий.

Огромную роль в создании положительного эмоционального отношения к учебному труду играет детский коллектив. Очень часто истоки интереса к предмету находятся в совместной работе с любимыми товарищами.

Немалую роль играет и отношение родителей к деятельности детей, подростков, юношей. Внимание старших, своевременная помощь, поддержка, одобрение содействуют развитию увлечения, успеху деятельности. А успех - сильнейший помощник интереса, он создаёт положительные переживания, становясь побудителем и вдохновителем творческой активности. Говоря о роли успеха в развитии интереса, необходимо учитывать следующее. Важно, каким трудом добыт успех. Слишком лёгкая работа, хотя и приводит к успеху, но не даёт настоящего удовлетворения; она может скоро наскучить. Однако и слишком трудная работа, приводя к неуспеху и отрицательным эмоциям, не способствует возникновению интереса. Трудное, но преодолимое делает работу увлекательной и радостной: в этом уже содержится залог будущего интереса к ней.

Другой путь подготовки почвы для интереса - воспитание сознательного отношения к учению понимания его значимости. Его личного общественного смысла. Этот путь идёт иногда вслед за первым путём, а чаще вслед за ним. Наибольшее значение имеет он в среднем и особенно в старшем школьном возрасте.

Без любви к учению и понимания смысла учебной работы трудно воспитать познавательный интерес.

Сознательного отношения к учению учитель достигает показом значения своего предмета и вообще учения, знаний для каждого человека.

Внеклассная работа, проводимая учителями, имеет неоценимое значение в подготовке почвы для развития познавательных интересов. Формирование познавательных интересов - важнейшая задача внеклассной работы.

4. Организация деятельности, формирующей
   познавательный интерес.

Как всякий психический процесс познавательный интерес формируется в деятельности. На фоне общего положительного отношения к учению, к учебной деятельности, к лицам и объектам, участвующим в ней, сама учебная деятельность детей, организованная учителем, завершает формирование познавательного интереса. Для пробуждения и развития интереса эта деятельность должна быть особым образом организована.

После проведения анализа большого количества уроков были выявлены черты интересных (т.е. вызывающих интерес учеников) и неинтересных уроков.

Неинтересные уроки характеризуются тем, что активен на них в основном учитель. Знания на таком уроке преподносятся учащимся, как правило, «в готовом виде». Если учитель и ставит вопросы, то тут же сам на них отвечает или получает от учеников ответы, требующие от них в основном знания фактов. Он сам делает выводы, которые учащиеся записывают в тетради, или же вместе с учащимися делает вывод на основе уже сформулированных закономерностей. Учитель не привлекает опыт учащихся, их личные наблюдения, не апеллирует к их смекалке, сообразительности, самостоятельности.

Он сам ставит опыты, которые чаще служат иллюстрацией к уже изложенным положениям, а не отправным пунктом для постановки проблемы. Сам учитель выполняет и рисунки, чертежи на доске. Разбор задач, которые решают учащиеся, работа учителя с учеником у доски идёт почти индивидуально. Остальные в лучшем случае пассивно следят за ответом, поднимают руки только при фактических ошибках отвечающего. Домашние задания на таком уроке также не требуют творчества учащихся, поиска дополнительных сведений. Активность учащихся на таком уроке минимальна. Они почти не задают вопросов. Если вопросы и возникают, то только по поводу неточно понятого материала. Поскольку учитель обращается к классу в основном с вопросами, не требующими самостоятельного размышления, предполагающими только буквальный ответ по ранее изложенному материалу, учащиеся привыкают к усвоению «готовых» знаний и не пытаются заглянуть в глубь вопроса. Они механически записывают рассказ учителя и сделанные им выводы. Нередко их стремление записывать за учителем он прерывает: «Это есть в учебнике». Учащиеся, однако, продолжают записывать, чтобы не обращаться к учебнику. Ответы учащихся при опросе чаще всего формальны, безынициативны. Наглядные средства, демонстрация опытов, как правило, привлекают их внимание, но ненадолго, не вызывают пытливости. Рассмотрев новые пособия или аппаратуру и обменявшись впечатлениями, учащиеся вновь уходят от существа урока, так как вокруг этих пособий и демонстраций учитель не развёртывает живого обсуждения, не использует их для постановки познавательных задач. На таком уроке много отвлечений, посторонних разговоров. Решение задач многие ученики стремятся списать с доски. Отдельные учащиеся, которые имеют специальный интерес к предмету, возникший помимо уроков этого учителя, ведут себя иначе, хотя интереса к уроку у них не возникает. Результатом таких уроков являются формальные, поверхностные знания, неумение их обосновать и творчески, гибко и оперативно применить, неумение объяснить факты с помощью теории или показать, как теоретические положения применяются на практике.

Основная роль в воспитании интереса принадлежит способу организации учителем деятельности учащихся. В зависимости от того как организована познавательная деятельность, решается судьба интереса. Наиболее благоприятные для пробуждения и развития познавательного интереса условия возникают тогда, когда учитель не «преподносит», не излагает материал в готовом виде, а организует самостоятельную деятельность учащихся.

Для всех уроков, вызывающих интерес, общими с психологической точки зрения являются следующие моменты: возникновение противоречия между известными прежде закономерностями и сообщаемыми новыми фактами, «вживание» учащихся в поставленную задачу или вопрос или рождение у них своего вопроса, пробуждение потребности и желания его решить, понять противоречивые факты с т очки зрения изучаемых закономерностей. Учащиеся входят в ситуацию поиска ответа на вопрос или решения задачи, стремятся к раскрытию научной «загадки». Так они вовлекаются в поисковую деятельность, эмоционально положительно окрашенную. Возбуждению у учащихся познавательного интереса способствует ряд приёмов. Учитель привлекает противоречивые факты, которые возбуждают у учащихся вопросы и стремление их решить; затем он организует поиск решения вопроса и осуществляет его совместно с учащимися. Для того, чтобы вопрос ставился не только учителем (вначале и это необходимо), но и возникал у самих учащихся, учитель старается столкнуть прежние представления учащихся с новыми для них фактами. Возникают новые вопросы, которые побуждают учащихся к дальнейшей самостоятельной работе.

Познавательная задача охотнее принимается учащимися, если всем ходом предшествующей работы подготовлена соответствующая почва - созданы положительное отношение к работе, взаимное доверие учителя и учащихся, расположение к учителю и его предмету. Коллективность решения задачи, её совместное обсуждение также способствуют активизации умственного поиска учащихся.

Урок-исследование с элементами экспериментирования, подтверждающего или опровергающего предположения, высказанные учащимися, или экспериментальное решение возникших у них вопросов, опытная проверка выраженных ими сомнений неизбежно приводит к возникновению познавательного интереса. Это не значит, что поисковые задачи должны решаться на всех уроках. Однако, периодическое включение в урок решения познавательных задач или исследовательского метода необходимо. Ученики получат знания и при иных условиях, но они не приобретут ни умения самостоятельно мыслить, ни желания самостоятельно приобретать знания в дальнейшем. Хотя бы иногда участвуя в самостоятельном, заинтересованном мысленном поиске, учащиеся лучше усваивают материал.

4. Способы и условия укрепления познавательного интереса

Укреплению познавательного интереса способствует выполнение следующих главных условий:

• максимальная опора на мыслительную деятельность учащихся»

• ведение учебного процесса на оптимальном уровне развития учащихся;

• эмоциональная атмосфера обучения, положительный эмоциональный тонус учебного процесса;

• благоприятное общение в учебном процессе.

Исходя из перечисленных условий, можно назвать следующие конкретные способы укрепления познавательного интереса.

1. Нахождение таких приёмов и средств, таких ярких сравнений, сопоставлений, живых, образных описаний, которые помогут запечатлеть в сознании и чувствах учащихся факты, понятия, определения, выводы, играющие наиболее значительную роль в системе знаний.

2. Создание на уроке при помощи специальных вопросов, развёрнутой беседы проблемной ситуации, побуждающей учеников к активному размышлению, обдумыванию. Нужно учить школьников ставить проблему и разрешать её.

3. Использование многообразных средств самостоятельной работы учащихся. Нужно учить школьников активно оперировать знаниями и пользоваться ими, вооружать их общими и специальными умениями, которые позволяют применять одни знания для приобретения других.

4. При решении любой познавательной задачи необходимо использовать средства коллективной работы на уроке, опираться на активность большинства учащихся. Учитывая индивидуальные особенности учеников, нужно использовать все уровни активизации учебной работы, постепенно переводя школьников от подражательной, воспроизводящей активности к творческой.

5. Всемерно побуждая детей к творческим работам, следует исходить из того, чтобы каждая работа, с одной стороны, стимулировала бы школьника к решению познавательной задачи, поставленной перед всем классом, с другой стороны - развивала бы специальные способности и склонности каждого ребёнка.

4. Распознавание интереса

Учителю очень важно знать, какие стороны, приёмы обучения вызывают интерес, какие оставляют его нейтральным, а какие вовсе гасят интерес к учению.

Нужно сказать о том, что педагогика ещё не располагает такими объективными методами, которые могли бы с достоверностью замерить и наличие, и интенсивность познавательного интереса.

Проявлением интереса учащихся в учебном процессе является их интеллектуальная активность, о которой можно судить по следующим показателям:

• вопросы ученика, обращённые к учителю;

• стремление учащихся по собственному побуждению участвовать в деятельности, в обсуждении поднятых на уроке вопросов, в дополнениях, поправках ответов товарищей, в желании высказать свою точку зрения;

• активное оперирование приобретённым багажом знаний и умений;

• стремление поделиться с другими (товарищами, учителем) новой, свежей информацией, почерпнутой из различных источников за пределами обучения.

Эмоциональный настрой деятельности ученика также является показателем его познавательного интереса.

По своим наблюдениям учитель может установить такие эмоциональные переживания, свидетельствующие о наличии интереса, как удивление, гнев, сопереживание, адекватные содержанию приобретаемых знаний.

Параметром показателей познавательного интереса учащихся являются регулятивные процессы, которые во взаимодействии с эмоциональным настроем выражены в особенностях протекания познавательной деятельности учащихся. Прежде всего они проявляются в сосредоточенности внимания и слабой отвлекаемости.

Весьма ясным показателем познавательного интереса является поведение ученика при затруднениях. Устойчивый и достаточно глубокий интерес обычно сопряжён со стремлениями преодолеть трудности, попробовать различные пути для разрешения сложной задачи.

Даёт знать об интересе к знаниям и стремление к завершённости учебных действий.

Распознавание познавательного интереса возможно не только в сфере учебной деятельности, но и за её пределами, так как школьник руководствуется интересом не только на уроках. Наоборот, свободная деятельность его в ещё большей мере раскрывает характер и глубину познавательного интереса.

4. Преодоление отрицательного отношения
   к учению

Не всякий ребёнок, подросток, юноша - в силу своей предшествующей биографии, сложившихся особенностей личности - поддаётся тем средствам, которые использует учитель для создания психологических предпосылок интереса. Нередко все усилия педагога как бы наталкиваются на преграду. Тщетным оказывается и мастерство преподавания. Чаще отрицательное отношение к учению и школе наступает в результате педагогических ошибок учителя и родителей.

Как преодолеть отрицательное отношение к учению? Н.А. Беляева (г. Иркутск) провела специальное исследование, в котором выясняла причины отрицательного отношения к учению. При этом было установлено следующее.

У одних школьников не были сформированы трудовые навыки, они не умели трудиться, и трудовое усилие их пугало. Многие из этих детей не умели распределить своё время, организовать домашние задания, не умели слушать учителя.

У других детей оказались большие пробелы в знаниях из-за частых пропусков занятий.

У третьих отсутствовало сознательное стремление к учению, к выполнению обязанностей школьника. Им ничего не стоило не выучить уроки, пропустить занятия, пойти вместо школы в кино.

У четвёртых оказалось смещение интересов в сторону от учебной деятельности. Они увлекались разведением кроликов, чтением литературы о морских путешественниках и т.п.

Для того чтобы восстановить у этих детей правильное отношение к учению, необходимо было устранить причины, породившие описанные отклонения. К каждому случаю требовалось подойти индивидуально. Обнаружив пробелы, неподготовленность детей к усвоению знаний или неумение учиться, необходимо было помочь этим детям вместе с родителями целесообразно организовать их жизнь и деятельность, выбрать распорядок дня. Затем надо спланировать постепенную ликвидацию пробелов, составив программу работы по прежде пройденному материалу. Важнейшим условием успешности проводимой работы было прекращение непрерывных упрёков и наказаний в школе и дома, поощрение каждого достижения. По отношению к детям, интересы которых ушли в сторону от школы и учения, применялись другие меры. Их привлекали вместе с их кроликами, моделями кораблей, растениями и т.д. в школьные живые уголки, кружки, обеспечив им соответствующее время для этих занятий, а иногда, опираясь на эти интересы, «подводили» их к учебным предметам.

Редко удавалось достичь успеха проработкой на собраниях. Чаще эта мера ещё больше усугубляла отрицательное отношение к школе и учению. Лучше влияла доверительная индивидуальная беседа с учеником. Задушевная беседа с учащимися иногда делает буквально переворот в его сознании, если, конечно, проводит её умелый, чуткий воспитатель.

Ещё одной важной причиной отрицательного отношения школьников к учению является непонимание некоторыми педагогами мотивов поведения учащихся. Нередко, выяснив причины того или иного поступка, педагог упрекает школьника в небрежности, лености, легкомыслии, приписывает ему кажущиеся, а в действительности не существующие мотивы. Эти упрёки и обвинения далеко не всегда бывают справедливы. Несправедливое обвинение создаёт между учеником и учителем взаимное непонимание. На таком фоне воспитывать интерес к учению невозможно.

Глава 2

Формирование познавательного интереса в обучении математике

1. Проблемное обучение на уроках математики

Особенно поддерживает и укрепляет положительные мотивы учения, интерес к знаниям, поисковая деятельность, основанная на использовании проблемности, исследования, элементах творчества самих детей. Познавательный интерес может возникнуть, если сообщение темы урока создаёт проблемную ситуацию, настраивающую учащихся на активные поиски зависимостей между явлениями, на отыскание их причин.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Урок в 11 классе по теме «Объём шара»

«Вы пришли на рынок. В этот день все весы неожиданно вышли из строя. Вы хотите купить арбуз. Продавцов двое. Один продаёт арбузы радиусом 3 дм, а другой - радиусом 1 дм. Что вы купите за одну и ту же цену: один большой арбуз или три маленьких арбуза?»

После вывода формулы объёма шара учащиеся удивлены неожиданностью результата: оказывается объём одного большого арбуза равен объёму 27 маленьких.

2. Урок в 6 классе по теме «Длина окружности»

В болоте-царстве водяной

Издал указ свой травяной:

«Кругом лишайники и мох,

Наш омут грязен стал и плох!

Мне не хватает красоты,

Хотел я посадить цветы

Вокруг владенья своего,

Я ж знаю радиус его.

Лукавый леший мне сказал,

Чтобы длину я отыскал

Болота-царства и тогда,

Если ответ будет готов,

Он даст мне нужное количество цветов.

Того, кто решит мне эту задачу,

Придворным математиком сразу назначу!»

3. Урок в 5 классе по теме «Умножение десятичных дробей»

Урок можно начать со сказки:

«В тридевятом царстве, в тридесятом государстве жил-был царь. У него было три сына. У старшего сына жена была боярская дочь, у среднего - купеческая, а у младшего - царевна-лягушка.

Решил царь испытать невесток, проверить их знания по математике. И приказал соткать ковёр площадью 6,25 м. У старшей невестки ковёр был длиной 3 м, а шириной - 2 м; у средней - 1,5 м и 4 м; а у царевны лягушки - 2,5 м и 2,5 м.

Задумался царь, как вычислить площади ковров.

Давайте ему поможем, ребята!»

Однако не всякая проблемная ситуация порождает процесс мышления. Он не возникает в частности, когда поиск путей решения проблемной ситуации не посилен для учащихся на данном этапе обучения в связи с их неподготовленностью к необходимой деятельности.

Это чрезвычайно важно учесть, чтобы не включать в учебный процесс непосильных задач, способствующих не развитию самостоятельного мышления, а отвращению от него и ослаблению веры в свои силы.

Необходимо иметь в виду следующие требования к полноценной проблемной ситуации:

1. прозрачность (возможность в явном виде показать ученику, чего именно ему не хватает для решения задачи, т.е. сделать акцент на необходимость вводимого именно сейчас знания);

2. простота решения после введения новой теории и невозможность решения в старых условиях;

3. привлекательность (возбуждение интереса и желания решить задачу).

Как можно начать урок

Начало урока. На этом этапе необходимо использовать преимущественно те приёмы активизации, которые обеспечивают подведение учащихся к осознанию необходимости усвоения нового материала или выполнения определённого задания. И чем не навязчивей действовать, тем большего результата можно достичь в решении этой задачи. Планируя способ включения учеников в урок, нужно думать о создании мотивационной основы их работы. Известно, что именно творческие, причём посильные задания наиболее цепко держат внимание ребят. При этом опора и радость, которую получат дети от сделанных на уроке открытий и, главное, открытий своих возможностей, способностей, поможет создать мотивационную основу для истоков творческой, созидательной деятельности.

Помогает в поиске построения начала урока осознание того, что сложность, доступная для ребят, и новизна - основные причины интереса.

Известный педагог Шацкий пишет, что учение без препятствий, без трудностей вызывало бы мало интереса у школьников, ослабило бы переживания положительных эмоций, лишило бы чувства радости от преодоления трудностей.

Новизна в первую очередь связана с содержанием информации и способами её подачи. Особенно это необходимо учитывать в 5-6 классах, так как в этом возрасте школьники всё ещё выясняют, кто из них самый-самый. Поэтому в этих классах необходимо давать в начале урока различные примеры на проявление наблюдательности, внимания, выдумки, фантазии. Такие упражнения для них превращаются в проверку умственных возможностей и носят характер соревнования.

На практических, лабораторных работах внимание, интерес гарантированы. Нет проблем в организации мотивационного момента и на уроках повторения, когда ребята работают парами или небольшими группами, и на уроках устной контрольной работы, и на уроках-«бенефисах», когда два ученика рассказывают решение творческой задачи, предложенной только им для домашнего анализа. На всех этих занятиях новизна связана с необычной формой подачи информации. Вообще выбор формы изложения нового материала находится целиком во власти учителя, зависит от его знаний, умений, мастерства, от его вкуса. При этом нельзя не учитывать, что ребята быстро привыкают к одному методу преподавания и устают от однообразия организации их деятельности на уроке, а новое начало позволит избежать этого, даже если вся остальная часть урока построена традиционно.

Перечислю некоторые способы организации начала урока.

1. Предлагается задача, которая решается только с опорой на жизненный опыт ребят, на их смекалку.

2. Деётся задача на тренировку памяти, наблюдательности, на поиск закономерностей по материалу, хорошо усвоенному школьниками.

3. На доске записаны уравнения и ответы к ним, среди которых есть как верные, так и неверные. Предлагается проверить их.

4. На доске дан чертёж к сложной задаче и методом «мозгового штурма» осуществляется поиск её решения.

5. Если на дом было задано сочинить сказку или составить математический кроссворд, то естественно начать урок с представления наиболее удачных работ.

6. Рассматривается некоторая математическая проблема, которая ещё не обсуждалась в классе. Ученики намечают план поиска её решения.

7. На доске выполнены чертежи к домашним задачам (обычно перед уроком геометрии) По готовым чертежам обсуждаются их решения.

Рассмотрим пример организации работы учащихся в начале урока в 6 классе.

Предлагается задание: «Начертите в тетради квадрат, сторона которого 3 см». Образец даётся на доске. Затем показывается квадрат (рис.1)

Рис. 1

Учащиеся должны обнаружить закономерность его составления и запомнить все числа (на это даётся одна минута), а затем по команде записать их в своём квадрате.

Обнаружены такие интересные закономерности составления таблицы:

а) по углам квадрата стоят последовательно числа, кратные 9, начиная с нуля, а между ними их среднее арифметическое;

б) по периметру квадрата стоят числа, первое из которых 0, а каждое следующее на больше предыдущего и так до 27;

в) числа больше числа соответственно в 2,3,4,5,6 раз.

Итог. Появление на уроках игры, которая обычно предлагалась на внеклассных занятиях, - неожиданность. Такое начало урока позволяет включить в работу весь класс, кроме того, способствует тренировке зрительной памяти, наблюдательности, учит поиску закономерностей составления таблицы, а также помогает отрабатывать действия с дробями.

Вступительная часть урока может быть и такой по содержанию, что учитель даёт учащимся обычные, неприметные на первый взгляд, факты в научном освещении.

Пример. Урок геометрии можно начать с того, что попросить детей вспомнить о некоторых окружающих их предметах.

«Постараемся вспомнить, какие известные вам геометрические фигуры и тела вы видели дома, на улице. Назовите предметы и определите, какую геометрическую фигуру они вам напоминают».

Учащиеся называют крышку стола, окно, стену дома, напоминающие по форме прямоугольники. Сиденье табуретки - квадрат, Обеденный стол - круг или прямоугольник, шкаф - параллелепипед.

Учитель предлагает найти геометрические тела в классе.

Затем сравнивают изготовленные детьми из бумаги прямоугольники, квадраты с моделями геометрических тел и устанавливается. Что границей геометрического тела является поверхность, а границей поверхности - линия.

Подобное введение к уроку пробуждает у учащихся интерес. Оно помогает им установить тесную связь жизненного опыта с системой получаемых на уроке знаний. После такого урока дети обычные вещи будут подвергать геометрическому анализу (крыша дома - треугольник, ствол берёзы - цилиндр).

Многие уроки, как правило, учителя начинают с устной работы. Но далеко не всегда эта работа становится действительно началом основной деятельности на уроке. Если это есть изучение нового материала, то целью устной работы является не только восстановление в памяти нужных вопросов теории, но и направление мысли ребят на познание нового.

Вопросы учителя, отражённые в плане урока, тогда эффективны, когда, с одной стороны, организуют деятельность ребят, направляя её на получение очерченных программой знаний, умений, навыков, с другой стороны, не сковывают их мысль, инициативу, творчество.

2. Решение задач как стимул возникновения
   интереса к математике

В современной методике обучения математике до сих пор существует сильная тенденция сведения роли задач к воспитательной: пояснить, помочь усвоить и закрепить изученный школьниками теоретический материал или сформировать у них определённые математические навыки. На решение задач с более широкими дидактическими целями современная практика обучения ориентирована слабо. Независимо от методических установок и реализуемых возможностей решение задач постоянно является ведущим стимулом возникновения у учащихся интереса к изучению математики.

Интерес к математике через решение задач вырабатывается тогда, когда школьнику понятен смысл поставленной задачи, когда предложенная ему задача интересна по содержанию, форме или методу решения, когда ему предоставляется возможность в процессе решения задачи самому подумать, проявить сообразительность, инициативу, элементы творчества. Такие условия обычно возникают при решении нестандартной для учащегося задачи, задачи, ход решения которой школьнику неизвестен, то есть задачи, решение которой не может быть достигнуто применением одних лишь известных учащимся алгоритмов (правил, формул, теорем и т.п.), а требует догадки и сообразительности.

Сравним две задачи.

Задача 1. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы в 30º и 50º. Вычислите углы этого параллелограмма.

Задача 2. В неравнобедренном треугольнике точка пересечения биссектрисой противоположной стороны лежит между точками пересечения этой стороны высотой и медианой, выходящими из той же вершины. Доказать.

Решение первой задачи является простым применением теории, для решения второй нужна развитая интуиция и владение общими методами поиска решения.

Рассматриваемые задачи должны по возможности иметь интересный и привлекательный для учащихся характер, вызывать желание доискаться до решения.

Сравним две задачи.

Задача 3. Построить квадрат, если даны его центр O и две точки М и N, принадлежащие двум его противоположным сторонам.

Задача 4. От изгороди, некогда огораживавшей квадратный участок земли, осталось два столбика, стоящие на его противоположных сторонах, да чучело в центре участка. Как восстановить изгородь?

Не вызывает сомнения, что задача 4 вызовет у школьников больший интерес. При одинаковом с задачей 3 решении она интригует детей своей фабулой.

Эффективный подбор задач способствует развитию у школьников любви и интереса к их решению и, как результат, к изучению математики. Поэтому учитель должен с вниманием относиться как к выбору той или иной задачи, так и к её внешнему оформлению.

Высоко ценятся учащимися и значительно повышают интерес к рассматриваемой задаче и такие её качества, как «поучительность». Если задача уже самим своим содержанием несёт новый для учащихся математический факт, который может пригодиться в будущем, это несомненное достоинство задачи, выделяющее её из ряда других развивающих задач в разряд познавательно интересных (например, задача 2).

Подбирая задачи для решения, при прочих равных условиях следует отдать предпочтение и задачам, допускающим несколько способов решения. Разумеется, все эти способы желательно получить, обсудить и сопоставить друг с другом.

При отборе задач нужно учитывать и то, что всегда интереснее других и задачи, допускающие «продолжение», то есть получение новых свойств рассматриваемой фигуры. Обнаружение всё новых и новых свойств фигуры, получение новых результатов не только повышает интерес учащихся к решению, оно развивает их интуицию и делает их работу сродни научному поиску.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача 5. Доказать, что три точки, симметричные ортоцентру треугольника АВС относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

Решив эту задачу, можно предложить учащимся попытаться самостоятельно открыть как можно больше других свойств этой фигуры. Окажется, что 1) высоты АН, ВН, СН данного треугольника являются биссектрисами углов треугольника ННН, а последний гомотетичен первому с коэффициентом ; 2) если на окружности взять любую точку и построить три точки, симметричные ей относительно трёх сторон треугольника, то эти три точки лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр рассматриваемого треугольника АВС. Первое из этих свойств можно сделать необходимым для учащихся, если предложить им задачу: « По трём точкам окружности, симметричным ортоцентру треугольника относительно сторон, восстановить треугольник».

«Нанизывание» одной задачи на другую возможно и при решении задач, допускающих обобщение. Интересно, если задача допускает конкретизацию.

Предпочтительны также задачи, в которых вводимая информация прямо не декларируется, а заключение (результат) или условие заданы неявно, «спрятаны».

К задачам со спрятанным результатом можно отнести задачи, начинающиеся с вопросов типа: «Существует ли …?», «Можно ли …?», «Верно ли …?», «Каждый ли …?», «Что можно сказать о …?», «Какой закономерностью обладает …?» и др. (вместо обычных требований «найти» или «доказать»). Рассмотрим пример.

Задача 6. Любой ли трёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный треугольник?

(Вариант: «Можно ли пересечь произвольный трёхгранный угол …?»)

Полезны также задачи с неполным или избыточным условием. К ним можно отнести задачи

• с недостающими данными;

• с противоречивыми данными;

• с избыточными данными.

Все эти типы задач требуют от учащихся предварительного исследования и критического анализа условия.

3. Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию
   математических закономерностей

Одним из путей повышения эффективности обучения математике в средней школе является совершенствование методов обучения доказательствам. Нельзя ожидать проявлений творческой активности и познавательной самостоятельности от тех учащихся, у которых овладение доказательством сводится к заучиванию и воспроизведению готовых доказательств. Самостоятельное отыскание путей доказательства требует от ученика не только логических рассуждений, но и известных эвристических навыков. Эффективным средством для выработки такого рода навыков является варьирование задач на доказательство. Известно, что одна и та же математическая закономерность может послужить основой для довольно большого числа внешне различных задач на доказательство. Наряду с использованием математической закономерности в различных ситуациях следует практиковать также рассмотрение её частных случаев, обобщений и аналогий. Школьники учатся использовать имеющиеся у них знания как средство для получения новых знаний, что очень важно для развития у учащихся познавательной самостоятельности и устойчивого отношения к предмету.

Рассмотрим пример на варьирование задачи.

Одной из замечательных математических закономерностей является теорема Пифагора, допускающая, как известно, немалое количество различных следствий. Остановимся более подробно на одном из таких следствий.

Задача 7 Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.

Варьирование задачи начнём с получения эквивалентной ей задачи.

1. Сумма углов при основании треугольника равна 90. Доказать, что высота этого треугольника есть среднее геометрическое проекций боковых сторон на основание.

2. Разность углов при основании треугольника равна 90. Доказать, что высота этого треугольника есть среднее геометрическое проекций боковых сторон на основание.

3. Разность углов при одном из оснований трапеции равна 90, и одна из её диагоналей перпендикулярна основаниям. Доказать, что квадрат высоты трапеции равен произведению оснований.

4. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны. Доказать, что её высота есть среднее геометрическое оснований.

5. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90. Доказать, что высота трапеции есть среднее геометрическое проекций боковых сторон.

6. В прямоугольный треугольник АВС вписан квадрат КМРQ так, что его вершины К и М лежат на гипотенузе АВ, а вершины Р и Q соответственно - на катетах ВС и АС. Доказать, что площадь квадрата КМРQ равна произведению АК · МВ.

7. Доказать, что если диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, то разность квадратов оснований трапеции равна учетверённому квадрату её высоты.

8. В прямоугольном треугольнике АВС на катете АС как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке D. Доказать, что СD = AD · BD.

9. Доказать, что для всех ромбов, описанных около данной окружности, произведение отрезков стороны ромба, образованных точкой касания, есть величина постоянная.

10. Внутри прямого угла из его вершины как из центра проведена дуга окружности, а затем через точку М этой дуги проведена касательная до пересечения со сторонами угла в точках А и В. Доказать, что произведение АМ ∙ МВ не зависит от положения точки М на дуге.

11. Доказать, что произведение оснований всякой равнобокой трапеции, описанной около данной окружности, есть величина постоянная.

12. Доказать, что стороны любой описанной около данной окружности трапеции делятся точками касания на такие восемь отрезков, произведение которых постоянно.

13. Доказать, что площадь описанной равнобокой трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического её оснований.

14. Доказать, что площадь описанной прямоугольной трапеции равна произведению оснований.

15. Две окружности касаются одна другой внешним образом. Доказать, что отрезок их общей внешней касательной, ограниченной точками касания, есть среднее геометрическое диаметров окружностей.

Имея дело с какой либо математической закономерностью, часто бывает полезно получить отдельные её частные случаи и обобщения. Если эта закономерность представлена в виде теоремы или задачи на доказательство, то целесообразно исследовать и обратное утверждение. Так в рассматриваемом случае имеет место следующая задача.

7.16. Доказать, что если в треугольнике высота, проведённая к большей стороне, есть среднее геометрическое проекций на эту сторону двух других сторон, то этот треугольник - прямоугольный.

Рассмотрим теперь несколько примеров обобщений, допускаемых интересующей нас закономерностью.

7.17. В прямоугольном треугольнике АВС из точки Е, взятой на катете АС, Опущен перпендикуляр ЕD на гипотенузу АВ. Доказать, что ED = AD ∙ DB - AE ∙ EC.

7.18. В треугольнике АВС проведена высота СК. Доказать, что СК∙НК = АК∙КВ, где Н - точка пересечения высот треугольника.

7.19. В треугольнике АВС, углы А и В которого острые, проведена высота СН. Доказать, что СН = АН ∙ НВ + АС ∙ ВС ∙ cos∠С.

Обучение учащихся поиску и исследованию математических закономерностей на основе варьирования задач на доказательство может дать достаточно ощутимый результат лишь в том случае, если соответствующая работа проводится систематически. Начинать варьирование можно с получения идентичных и равносильных формулировок, рассмотрения частных случаев, обобщений и аналогий.

Учащихся удивит то, сколько различных задач можно составить, используя всего лишь одну закономерность. А удивление на уроках математики является сильным фактором развития интереса к предмету.

4. Занимательность в обучении

Важное условие формирования познавательного интереса - занимательность в обучении.

Многие учителя считают, что излишняя занимательность тормозит умственную активность. Но большинство придерживаются мнения о том, что игровые приёмы обогащают методические средства учителя, что при помощи занимательности учитель будит познавательный интерес.

Под занимательностью на уроке понимают те компоненты урока (способы подачи учебного материала, специфические свойства информации и заданий, связанные с учебным материалом, а иногда и с организацией обучения), которые содержат в себе элементы необычайного, удивительного, неожиданного, комического, вызывают интерес у школьников к учебному предмету и способствуют созданию положительной обстановки учения.

В защиту занимательности говорит многое, она может быть использована в обучении, вопрос только в характере её использования и в чувстве меры, которым должен обладать каждый учитель.

Занимательность обычно связана с элементами неожиданности, настораживающей человека. Как правило, в занимательном привлекает элемент новизны, которая вызывает прежде всего реакцию удивления, а удивление можно рассматривать как первичный акт познания.

Однако надо иметь в виду, что положительный эффект занимательности в обучении и формировании познавательных интересов учащихся может быть лишь при соблюдении ряда условий.

Используя элементы занимательности как средства привлечения детей к предмету изучения, нужно переводить их с примитивной стадии ориентировки на более высокие ступени избирательного отношения к явлениям.

Занимательность обучения должна быть только средством, подчинённым цели обучения и развития. Не только перед учителем, но и перед учащимися в перспективе должна стоять необходимость решения познавательных задач.

Эмоциональность занимательных средств не должна быть настолько сильной, чтобы тормозить активность умственного напряжения школьников.

Элементы занимательности могут служить своеобразной разрядкой напряжённой обстановки в классе способствовать организации внимания учеников для последующей углубленной работы над материалом.

Особенно необходимо применение занимательности в тех классных коллективах, которые на предшествующих ступенях обучения не были приучены к систематическому учебному труду, требующему усилий, в тех классах, где преобладают учащиеся с неустойчивым вниманием, либо негативным отношением к предмету.

Стремление учителя оживить урок, сделать его привлекательным для школьника, имея при этом в виду основные задачи обучения и развития, - вот что оправдывает введение занимательности в обучении.

Занимательность в обучении можно расчленить на организационную занимательность, информационную занимательность, внеучебные задания занимательного характера, учебные занимательные задания.

Под организационной занимательностью понимают занимательность, связанную с организацией урока и лишь косвенно связанную с учебным материалом.

Например, лучший «решатель» устных упражнений награждается значком «самый смекалистый» и может носить его до следующего урока. Фамилии лучших «решателей» заносятся в специальный альбом, один из разделов которого озаглавлен «Смекалистые в нашем классе (школе)».

Под информационной занимательностью будем понимать информацию учебно-познавательного характера, которая вызывает любопытство учащихся. Обычно эта информация не ставит перед учащимися проблемы, а заставляет их думать об общих вопросах математики.

Например, во время изучения понятия степень занимательным и полезным для учащихся будет следующий рассказ: «Представьте себе гору (высотой километр) в миллион раз твёрже алмаза. Один раз в миллион лет к горе прилетает птичка и слегка касается клювом камня. В конце концов в результате этих прикосновений гора износится до основания. Трудно представить промежуток времени, необходимый для этого. Однако с помощью степеней записать его легко, вычисления показали, что это произойдёт через лет».

Под внеучебными занимательными заданиями будем понимать задачи, обычно не связанные непосредственно с программным материалом.

Например, зачеркните все 9 точек четырьмя отрезками, не отрывая карандаша от бумаги (рис. 2)

● ● ●

● ● ●

● ● ●

рис. 2

Под учебными занимательными заданиями будем понимать задания, непосредственно связанные с программным материалом и способствующие усвоению и закреплению его учащимися.

Например. Какие числа можно поставить вместо квадратиков, чтобы получилось верное равенство (□ + □)∙=?

Учебные задания занимательного характера ценны тем, что они наряду с привитием школьникам интереса к учению способствуют также определённому накоплению учебных знаний, умений и навыков.

Виды занимательных заданий

1. Занимательные вопросы, задачи, упражнения.

Все компоненты учебной задачи (её подача, решение, анализ, ответ, выводы) могут быть иногда необычными для учащихся. Поэтому считают занимательной задачей такую задачу, в которой содержатся элементы занимательности либо в форме подачи задачи, либо в сюжете задачи, либо в способе решения, либо в иллюстративном материале к задаче. Иногда занимательность для учащихся заключается в неожиданности ответа задачи или в выделении элементов игры при её решении.

2. Практическая работа занимательного характера.

Под этой работой понимают такую работу, при выполнении которой ученик попадает в необычную ситуацию, где необходимо проявить смекалку, чтобы выполнить поставленное задание. В основном эту работу надо выполнить необычным инструментом (например, «заржавевшим» циркулем) или даже вообще без инструментов. Причём практическая работа составлена так, что её выполнение невозможно без хорошего знания учебного материала.

3. Дидактические игры.

В игре всегда содержится фрагмент неожиданности, решается какая-либо задача, проблема, то есть игра выполняет на уроке те же функции, что и занимательная задача.

Выделяют два вида игр: игровая ситуация, когда ученика увлекает форма задания; и математическая игра, когда ученика увлекает содержание задания. Возможны сочетания этих двух видов.

За последнее время появляется всё больше сторонников такой занимательной формы побуждения интеллектуальной активности и познавательных интересов учащихся, как игра.

Особенно большое значение имеют познавательные игры, которые заставляют детей действовать в воображаемой обстановке, приучают привносить в неё свой опыт и знания, неуклонно извлекать знания из самостоятельно отыскиваемых источников.

В ходе познавательных игр развиваются разносторонние мотивы детей. Одних привлекает непосредственно игровой мотив, они увлекаются воображаемой обстановкой, много фантазируют. Для других главный мотив - познавательный. Игра для них является удачной формой приобретения.

Интеллектуальные игры: рассказ-задача, игры-загадки, викторины, ребусы, математические «чудеса», игры состязания представляют, в сущности, интеллектуальные задачи, облечённые в занимательную форму. Такие задачи развивают мышление, возбуждают интерес к интеллектуальному усилию, а в играх-конкурсах, состязаниях развивается самооценка школьника.

4.1 Дидактические игры на уроках математики

Одним из эффективных путей воспитания у школьников интереса к предмету является привлечение игровой деятельности. В практике современной школы редко используются игровые технологии на уроках математики и во внеклассной работе.

В играх различные знания и новые сведения ученик получает свободно. Поэтому часто то, что на уроке казалось трудным, во время игры легко усваивается. Здесь интерес и удовольствие - важные психологические показатели игры.

Глубоко ошибаются те, кто считает, что игра - лишь забава и развлечение.

На уроках математики игра приобретает особое значение, как писал Я.И. Перельман, не столько для друзей математики, сколько для её недругов, которых важно не приневолить, а приохотить к учению.

Не всегда победителями игры становятся хорошо успевающие учащиеся. Часто много терпения и настойчивости проявляют в игре те ученики, у которых этого не хватает для систематического приготовления уроков.

Вместе с тем не следует преувеличивать образовательного значения дидактических игр, так как они не могут стать источником систематических и точных знаний.

Назначение дидактических игр - развитие познавательных процессов у школьников (восприятия, внимания, памяти, наблюдательности, сообразительности и т. п.) и закрепление знаний, приобретаемых на уроках.

Дети любят играть. В игре они познают предметы, знакомятся с окружающей жизнью, познают первые радости труда. У детей школьного возраста не пропадает интерес к игре.

Игра на уроке - это не только отдых и развлечение, но и необходимый вид деятельности, в которой они проявляют свою активность, творчество.

От преподавателя математики требуется, чтобы игра стала для учащихся здоровым отдыхом, разумным полезным занятием.

Иногда игра вводится как разрядка после напряжённой работы учащихся, некоторые игры приучают к усидчивости, к дружным совместным действиям, развивают самостоятельность. Главная же ценность игры - это тренировка в полученных знаниях и развитие смекалки учащихся.

Игру надо сделать интересной для каждого ученика. Особый интерес вызывают те игры, которые заставляют всех играющих действовать.

В игре следует учитывать и возраст играющих. Чем старше дети, тем шире круг их интересов, тем разнообразнее должны быть задачи, поставленные перед игрой. Центральное место среди учащихся среднего и старшего возраста занимают соревнования.

Многие игры учащиеся могут разрабатывать и изготовлять самостоятельно. Для этого следует объявить конкурс на лучшую игру. Каждую придуманную игру нужно проверять в действии.

Рассмотрим примеры игр.

Индивидуальное лото. Тема « Десятичные дроби» (5 класс)

Учащимся предлагается набор карточек с заданиями и одна большая карта с ответами. Карточек больше, чем ответов на большой карте. Ученик решает пример на карточке и накрывает ею соответствующий ответ на большой карте. Карточки накладываются примером вниз. Если все примеры решены правильно, то обратные стороны наложенных карточек составляют условный шифр: рисунок, чертёж, букву (можно для карточек разрезать открытки). Проходя по рядам, учитель определяет результаты работы.

Пример карточек и большой карты.

,

если

если

если

Большая карта.

Шифр к заданию.

Кто быстрее. Тема «Арифметические действия с положительными и отрицательными числами» (6класс).

Каждому ученику заготавливается табличка.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

3

●

2

●

1

●

0

●

-1

●

-2

●

-3

●

По команде учителя ученики ставят по одной точке в каждом ряду таблицы. После этого соседи по парте обмениваются табличками. Учитель предлагает выполнить определённое (одно и то же) действие над числами, стоящими против точки. Учащиеся записывают ответ в клетке с точкой.

Через 2 - 3 минуты таблички возвращаются обратно и школьники проверяют результаты вычислений друг друга. Проверяющий может поставить оценку, подписать свою фамилию. После проверки задания учитель собирает таблички. Задание можно усложнить, если в крайних левых и верхних клетках поместить дробные числа или алгебраические выражения.

«Своя игра». Эту игру можно провести в конце года во время итогового повторения (алгебра, геометрия 7 кл.)

В игре участвуют три команды. Каждая команда выбирает своего основного игрока. Все остальные болельщики. Игра проходит в три раунда.

1-й раунд (15 мин)

Ведущий (в роли ведущего выступает учитель, но можно взять ребят из старших классов) называет 5 категорий вопросов, которые будут разыгрываться:

1. смежные и вертикальные углы;

2. треугольники и их элементы;

3. соотношения между сторонами и углами треугольника;

4. степень с натуральным показателем;

5. линейная функция.

В каждой категории 5 вопросов различной сложности. За правильный ответ команды могут получить от 10 до 50 баллов. Основной игрок выбирает категорию и «стоимость» вопроса. Ведущий зачитывает вопрос. Время на размышление 10 - 15 секунд. Право на ответ получает тот игрок, который первым поднял руку. Если он дал правильный ответ и сумел его обосновать, то команде прибавляется «стоимость» вопроса. Если основной игрок дал неверный ответ, то «стоимость» вопроса снимается со счёта команды. Если ни один из основных игроков не дал верного ответа, то вопрос переходит к болельщикам. Они могут принести своей команде половину «стоимости» вопроса в случае верного ответа.

2-й раунд (15 мин)

5 категорий вопросов:

1. признаки равенства треугольников;

2. параллельные прямые;

3. линейные уравнения;

4. одночлены и многочлены;

5. тождества сокращённого умножения.

В этом раунде вопросы «стоят» от 20 до 100 баллов. Правила игры такие же как в первом раунде.

3-й раунд. «Своя игра»

Ведущий объявляет тему, по которой будет задан вопрос. Основные игроки назначают «стоимость» вопроса (любую, но не больше того количества баллов, которые есть у команды). После этого зачитывается вопрос и даётся минута на размышление.

Вопросы для каждого раунда

Смежные и вертикальные углы.

10 Один из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых равен 36˚. Найдите остальные углы. (36˚, 144˚, 144˚)

20 Два угла с общей вершиной равны. Будут ли они вертикальными? (не всегда).

30 Один из углов 48˚, другой 132˚. Будут ли эти углы смежными? (не всегда)

40 Разность двух смежных углов 30˚. Найдите эти углы. (105˚, 75˚)

50 Градусные меры двух смежных углов относятся как 7:5, Найти эти углы. (105˚, 75˚)

Треугольники и их элементы.

10 Середину стороны МК треугольника МКР соединили с вершиной Р. Как называется этот отрезок? (медиана)

20 В треугольнике CDE отрезок DM провели так, что угол DME прямой. Как называется отрезок DM? (высота)

30 В равнобедренном треугольнике основание равно боковой стороне. Как называется такой треугольник? (равносторонний)

40 В треугольнике АВС биссектриса, проведённая из вершины А, не совпадает с высотой, проведённой из той же вершины. Может ли треугольник оказаться а) равнобедренным? б) равносторонним? (равнобедренным - может, равносторонним - нет)

50 Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными? (нет)

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

10 Один из углов треугольника - тупой. Каковы два остальные? (острые).

20 Два угла треугольника равны соответственно 40˚ и 60˚ . Какой это треугольник: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный? (остроугольный).

30 Можно ли из проволоки длиной 20 см согнуть треугольник, одна сторона которого 10 см? (нельзя).

40 В равнобедренном треугольнике одна сторона 3 м, другая 8 м. Найдите периметр треугольника. (19 м).

50 В равнобедренном треугольнике периметр равен 60 см, а одна из его сторон 25 см. Найдите длины остальных сторон треугольника. (25 и 10).

Степень с натуральным показателем.

10 Число а - отрицательное. Какой знак имеет выражение а? (знак «+»).

20 Что больше (-19) или (-35)? ((-19))

30 Что больше (0,71) или (0,71)? ((0,71))

40 Упростить: . ()

50 Найти значение выражения , при . (1,5)

Линейная функция.

10 Линейная функция задана формулой . В какой точке её график пересечёт ось 0у? (0;-3)

20 На рисунке изображены графики функций у = 3х и у = -3х. Какая формула соответствует каждой прямой?

у

х

30 Задайте прямую пропорциональность формулой, если график её проходит через точку А(-4;2). ()

40 Сколько общих точек имеют графики функций у = 2х + 5 и у = -2х - 5? (одну)

50 В каких координатных четвертях расположен график функции у = 2 - 3х? (I, II, IV)

Признаки равенства треугольников.

20 У треугольников АВС и МКР равны стороны АС и МР и углы А и М. Равенство каких сторон или углов можно установить, чтобы воспользоваться 1-м признаком равенства треугольников? (АВ и МК).

40 Стороны одного треугольника 30 см, 40 см, 0,5 м. Стороны другого треугольника 3дм, 4 дм, 5дм. Равны ли эти треугольники? (да, по трём сторонам).

60 Сколько пар равных углов нужно найти, доказывая равенство треугольников а) по определению; б) по 1-му признаку; в) по 2-му признаку; г) по 3-му признаку. (а) 3; б) 1; в) 2; г) ни одной.

80 В неравных треугольниках АВС и МЕК стороны АВ и ВС равны соответственно сторонам МЕ и ЕК. Может ли сторона АС быть равной МК? (нет, так как иначе треугольники были бы равны по трём сторонам)

100 Будут ли равны треугольники АВС и АМК? (да)

С В

А D

М К

Параллельные прямые.

20 Чему равна сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых, если накрест лежащие углы равны? (180˚)

40 Прямые m и n пересечены секущей так, что внутренние односторонние углы составили в сумме 200˚. Сколько общих точек имеют прямые m и n? (одну).

60 Могут ли быть параллельными прямые АВ и АС? (нет, они имеют общую точку А).

80 Прямая а параллельна стороне АВ треугольника АВС. Могут ли прямые ВС и АС быть параллельными прямой а? (нет, по аксиоме параллельности).

100 Параллельны ли прямые m и n? n и k? k и m?

120˚

m

60˚ n

k

60˚ р

Линейные уравнения.

20 При каких значениях с уравнение сх = 9 имеет один корень -9? (с = -1)

40 Имеет ли корень уравнение 8х + 10 = 2(4х - 5)? (нет).

60 При каких значениях а уравнение ах + 3 = 2 не имеет корней? (а = 0).

80 Решите уравнение: 2 - (х+3) = 0,5. (х = -1,5).

100 Найдите множество корней уравнения х- 4х = 0 (-2, 0, 2).

Тождества сокращённого умножения.

20 Замените знак * одночленом так, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена 49р- 14р + *. (1).

40 Упростите выражение: (2х - 3)(2х + 3) - (7 + 2х)(2х - 7). (40).

60 Вычислите: 49∙51. ((50 - 1)(50 + 1) =2499).

80 Вычислите: ((39 - 29)= 100).

100 Вычислите значение выражения: . (-1).

Одночлены и многочлены.

20 Замените * одночленом так, чтобы выполнялось равенство: *(х - 1) = ху - ху. (ху)

40 Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида .

60 Найдите значение выражения (a - b) + (b - a) при а = -, b = . (0)

80 Выберите те произведения, которые могут быть преобразованы в один и тот же многочлен:

а) (2х - 4у)(3х - 8у)

б) (4у - 2х)(8у - 3х)

в) (4у - 2х)(3х - 8у)

(а) и б)).

100 Разложите многочлен на множители: .

Раунд «Своя игра»

Скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости мотоцикла. Они едут навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 240 км, и встречаются в пункте С. Найти скорость автомобиля, если известно, что автомобиль был в пути 3 часа, а мотоцикл 2 часа. (60 км/ч).

Соревнование художников. Тема «Прямоугольная система координат» (6 класс)

1. Построить на координатной плоскости фигурку и записать её координаты.

2. Посадите ростки цветов на клумбу - координатную плоскость - в выкопанные лунки. Чтобы посадить цветок в заготовленную для него лунку, нужно придерживаться их координат:

Красные тюльпаны - (-3; 5), (-10; -6), (9; 4), (-11; -1), (8; -7), (0; 4), (-4; 0), (-3; -6), (2; -5), (4; 1);

Жёлтые нарциссы - (-6; 4), (5; -4), (-9; 3), (2; 5), (-7; -7), (8; -2), (-1; -6), (7; 2), (-8; -2);

Оранжевые бархотки - (0; 0). И т.д.

3. Капитан Флинт спрятал свои сокровища на острове. Перед смертью пират решил оставить для потомков шифрованное письмо - описание пути, ведущего к кладу, и места, где он спрятан.

Капитан взял карту острова, нарисовал на ней оси координат, выбрал единицы. В качестве главных ориентиров он указал координаты четырёх дубов: (3; 5), (-2; 7), (-3; 4), (3; -1). Клад находился в точке пересечения отрезков, соединяющих первый и третий, второй и четвёртый дубы.

Постройте точки, соответствующие местоположению дубов, и определите координаты пещеры с сокровищами. А затем заполните карту острова. Нанесите на неё различные объекты: колодец (-6; 2), наблюдательную вышку (9; 1), куст на поляне (7; -3), пальмовую рощу (-3; -3), (-2; -4), (-1; -8).

Дидактические игры очень хорошо уживаются с «серьёзным» учением. Включение в урок дидактических игр и игровых моментов делает процесс обучения интересным и занимательным, создаёт у детей бодрое рабочее настроение, облегчает преодоление трудностей в усвоении учебного материала. Разнообразные игровые действия, при помощи которых решается та или иная умственная задача, поддерживают и усиливают интерес детей к учебному предмету. Игра должна рассматриваться как могущественный незаменимый рычаг умственного развития ребёнка.

4.2 Сказки на уроках математики

Известный учёный-педагог А.И. Маркушевич писал, что человек, не воспитывающийся на сказках, труднее воспринимает мир идеальных стремлений, что благодаря сказкам ребёнок начинает отличать реальное от необычного, что нельзя развить, минуя стихию сказки, не только воображение, но и первые навыки критического мышления.

Особенно нужны сказки в 5-6 классах. Они готовят к изучению курса геометрии, которая требует развитого воображения, умения обдумать предложенную ситуацию, выявить и использовать необходимую информацию для принятия решения. Кроме того, на уроках, если находится место для сказки, всегда царит хорошее настроение, а это залог продуктивной работы. Сказки часто помогают понять, чем живёт твой ученик, о чём мечтает, думает. Она даёт найти путь к сердцу ребёнка. Сказка позволяет ворваться на урок юмору, фантазии, выдумке, творчеству. Она изгоняет из школы скуку. А самое главное дети учатся быть добрыми, справедливыми. Сама по себе сказка - непривычное явление на уроках, и тем более при изучении математики, а всё необычное делает детей смелее, раскрепощённее. Сказка всегда вызывает у ребёнка радость и интерес. Рассмотрим некоторые примеры математических сказок.

Хитрый обманщик.

«с» стучится в скобку как в дверь к сумме (а + b). «а» и «b» спрашивают:

• Вы один?

• Да, один - отвечает «с».

• Тогда заходи - говорят «а» и «b»

«с» входит в скобку и раздваивается: одно «с» становится к «а», а другое к «b» и скобки вдруг исчезли.

• Караул, спасите, гоните обманщика - закричали «а» и «b».

Пришли дружинники и вынесли отчаянно сопротивлявшихся «с» за скобки. Вдруг оба «с» превратились в одно «с», а скобки снова вернулись.

с(а + b) = ас + bc

После этой сказки можно дать пример:

259 ∙ 15 + 741 ∙ 15 и спросить: «где здесь хитрый обманщик?»

Два брата.

Жили два брата НОК и НОД. Они ходили в лес, на большую дорогу, собирать множители у гуляющих там пар чисел.

Один брат был «деликатный» (НОД) и он брал только те множители, которые были и у одного числа пары и у другого числа.

Второй брат был «крутой» (НОК), поэтому он брал все множители, которые были у одного числа и недостающие у другого числа (те, которых не было у первого числа).

Далее при решении задач на нахождение НОД и НОК чисел, можно задавать вопросы:

• Какие множители возьмёт себе «деликатный» брат?

• Какие множители возьмёт «крутой» брат?

Хитрые проценты.

Жили-были в Африке непоседливая Мартышка, рассудительный Удав, болтливый Попугай и очень умный Слонёнок. Те самые, которых придумал писатель Григорий Остер.

Однажды Удав сказал: « Надоело мне ползать по земле. И не видно ничего и медленно. Давайте купим вертолёт и посадим в него меня». «И меня, - закричала Мартышка, - мы полетим быстрее Попугая!» «Это мы ещё посмотрим», - возразил Попугай. А Слонёнок очень огорчился: «Меня в вертолёт не посадишь. Авария будет!»

Слонёнка утешил Удав: «Ты будешь судьёй. Но где нам взять вертолёт?» «Я придумала! - завопила Мартышка. - Пусть Попугай слетает в игрушечный магазин и купит там заводной вертолёт. Он стоит сто бананов, а я их сейчас соберу».

Собрала Мартышка сто бананов, и Попугай полетел в город. Вернулся он очень быстро. «Где мой вертолёт?» - спросил Удав. «Где мои бананы?» - закричала Мартышка. «Вертолёты подорожали на 10%, - объявил Попугай, - так что бананов не хватило, и я раздал их детям. Дети сказали мне, что завтра вертолёты снова подешевеют и опять на 10%».

Наутро Попугай, захватив новые сто бананов, полетел в магазин. Скоро Попугай вернулся с прекрасным заводным вертолётом.

«Почему это ты облизываешься?» - подозрительно спросила Попугая Мартышка. «А потому, что я съел оставшийся банан». «Не понимаю, - сказал Удав, - вертолёт сначала стоил сто бананов. Потом он подорожал на 10%, а потом подешевел на 10%». «А я тебе дала ровно сто бананов», - вмешалась Мартышка. «Я и сам не понимаю, - сказал Попугай, - но банан был очень вкусный». И он расправил крылья, готовясь к соревнованию. А Слонёнок всё понял и объяснил, почему так получилось. (Здесь можно спросить детей: «А вы можете объяснить, почему остался лишний банан? Или обратимся к Слонёнку?»)

В соревновании победил Попугай, так как у вертолёта кончился завод.

Необычным для урока математики, а потому и интересным является такое задание, как составить математическую сказку, то есть сказку, действующими лицами которой были бы некоторые математические понятия.

4.3 Занимательные задачи

Занимательные задачи повышают умственную активность школьника, расширяют его кругозор, развивают сообразительность, смекалку и, конечно же, повышают интерес к математике. Учитель обязательно должен использовать на своих уроках задачи на сообразительность, на смекалку, задачи-шутки и т. п. Рассмотрим примеры таких задач.

5 класс

1. Стёпа Смекалкин записал в тетради двузначное число. Потом, переставив в нём цифры местами, получил ещё одно число. Затем он нашёл разность этих чисел. В ответе получился нуль. Не могли бы вы назвать число, обладающее таким же свойством? (любое число, состоящее из одинаковых цифр)

2. В клетки квадрата запишите недостающие числа так, чтобы произведение чисел по любой вертикали и горизонтали было равно 480.

6

6

8

10

24

решение

5

4

24

12

2

12

20

2

3. Одного человека спросили:

• Сколько вам лет?

• Порядочно, - ответил он. - Я старше некоторых своих родственников в 600 раз.

Возможно ли это?

(Да, если родственник - младенец. Например, ему 0,1 года (1,2 месяца), тогда 0,1 ∙ 600 = 60)

4. Во сколько раз увеличится трёхзначное число, если к нему приписать справа или слева такое же число? (в 1001 раз)

5. Как, имея три сосуда ёмкостью 8,5 и 3 литра, налить в котёл 7 л воды?

6. Как от ленты длиной 10 м отрезать 7,5 м, не пользуясь никакими измерительными приспособлениями?

7. Среди пяти монет одинакового достоинства одна немного легче других. Какое наименьшее количество взвешиваний на весах надо сделать, чтобы обнаружить фальшивую монету? (одно или два)

8. Число с составляет 1% от числа а. Как надо изменить число а, чтобы с составляло от него 2%? (уменьшить в два раза)

9. До конца суток осталось того времени, что уже прошло от начала суток. Который сейчас час? (10 часов)

10. Сколько слагаемых с числителем 1 пропущено в примере ? (32)

6 класс

1. Задумайте два числа. Из первого вычтите второе, результат запишите. Теперь из второго вычтите первое, результат запишите. Сложите результаты, получится 0. Почему?

2. Лев может съесть овцу за 2 ч, а волк - за 3 ч. За сколько часов они съедят ту овцу вместе? (за ч)

3. Придумайте такие два числа, чтобы их произведение было равно 1, а сумма была бы меньше 1. (любые два отрицательных взаимно обратных числа)

4. Является ли целым числом частное ? (да)

5. На координатной плоскости даны точки М(2;4) и К(-3;у). Каким должен быть у, чтобы точка К находилась на одинаковом расстоянии от оси ОХ с точкой М? (4 или -4)

6. Канадский тополь растёт в 7 раз быстрее сосны, а сосна в 5 раз быстрее дуба. Засадили одинаковые участки тремя породами деревьев с расчётом получить через 20 лет (минимальный возраст технической зрелости древесины) 82 млн. м древесного сырья. Сколько древесины будет получено с каждого участка? (считаем, что прирост древесины на единице площади пропорционален быстроте роста деревьев. 2,10 и 70 млн. м)

7 класс

1. Витя Верхоглядкин решил однажды уравнение 5х - 20 = 9х - 36 так: вынесем за скобки в левой части уравнения число 5, а в правой части - число 9. Получим 5(х - 4) = 9(х - 4). Разделим обе части уравнения на одно и тоже число х - 4. Получим 5 = 9. Так как это равенство неверное, то делаем вывод: уравнение корней не имеет. Согласны ли вы с таким решением? Почему?

2. Запишите в пустые клетки такие одночлены, чтобы на каждом из лучей, начиная с центральной клетки, получился трёхчлен, который можно преобразовать в квадрат двучлена

а

3. Квадраты двух чисел оканчиваются одинаковыми цифрами. Докажите, что разность этих чисел кратна 10.

4. Пусть а и с - два числа. Обозначим а + с через х. Тогда а = х - с и а - х = -с. Перемножим эти равенства: а(а - х) = -с(х - с),

а - ах = с - сх

Прибавим к обеим частям по , получим

а - ах + = с - сх + ,

(а - ) = (с - )

Отсюда заключаем, что а - = с - или а = с, то есть все числа равны между собой. Где ошибка?

5. Как разделить отрезок пополам, пользуясь только шаблоном острого угла?

6. Даны две пересекающиеся прямые. Известно, что

а) один из углов в 5 раз больше одного из оставшихся;

б) сумма двух углов равно 80°;

в) сумма трёх углов равна 330°.

Одно из этих утверждений противоречит другим. Найдите его. (б))

7. Разбейте равносторонний треугольник на а) 2; б) 3; в) 4; г) 6; д) 8; е) 12 равных треугольников.

Задачи-шутки

1. Верблюд в течение одного часа выдерживает ношу в 10 пудов. В течение какого времени он выдержит ношу в 1000 пудов? (верблюд не выдержит такую ношу)

2. Бюро прогнозов сообщило в 12 ч дня, что в Москве в ближайшую погоду сохранится безоблачная погода. Можно ли ожидать, что через 36 часов в Москве будет светить солнце? (нет, будет ночь)

3. На ветке сидит ворона. Как отпилить эту ветку дерева, не потревожив вороны? (дождаться, пока ворона улетит)

4. У вас есть плитка шоколада размером 5 x 8 маленьких квадратиков. Сколько раз надо переломить плитку, чтобы отделить каждый квадратик? (39 раз)

5. Что произойдёт, если всесокрушающий пушечный снаряд попадёт в несокрушимый столб? (они не могут существовать одновременно)

6. Один человек купил трёх коз и заплатил три рубля Спрашивается: по чему каждая коза пошла? (по дороге)

7. Что в России на первом месте, а во Франции на втором? (буква «р»)

5. Историзм на уроках математики

Важным стимулом познавательного интереса, связанным с содержанием обучения, является исторический аспект школьных знаний (историзм), сообщение сведений из истории науки, истории научных открытий. При этом, с одной стороны, познавательный интерес опирается на менее известный, иногда совсем новый (из истории математики) материал, овладевая которым учащиеся в ещё большей мере осознают то, что им даёт школа, урок, учитель. С другой стороны, исторический подход в изучении учебных предметов в какой-то мере приближает процесс учения к научному познанию. Именно этот стимул бывает сопряжён с новыми неизвестными фактами из истории науки, из биографии учёных. Сведения об истоках научных открытий всегда воспринимаются учащимися с большим интересом, потому что они помогают увидеть изучаемое по-новому, способствуют обновлению того, что стало обычным и привычным. С другой стороны, исторические сведения всегда менее известны ученикам и воспринимаются ими как неожиданно новое и привлекательное. Наконец, ознакомление с историей науки и её открытий способствует осознанию огромных трудностей научных поисков, поднимает престиж науки в глазах учащихся, формирует уважение к установленным научным фактам и понятиям, учит оперированию ими для доказательства своих суждений и выводов.

Итак, систематически и правильно поставленное вкрапливание сведений из истории математики способствует лучшему усвоению науки, возбуждает интерес к ней. Приведём пример.

Историческая справка о числе π.

В пятом веке нашей эры китайские математики предложили дробь в качестве приближённого значения π. Египтяне полагали, что площадь круга равна квадрату восьми девятых диаметра. Вавилонские математики - древние звездочёты, халдеи - иногда считали π просто равным трём. Они исходили из того, что радиус шестикратно помещается в окружности в качестве хорды, и это деление круга сперва на шесть частей, а потом на двенадцать привело к первому, очень неточному значению числа π, которое было принято равным 3,0. А индусы полагали, что корень квадратный из десяти очень близок к числу π. Первое значение для π, которое узнали на Руси, было архимедовым числом, то есть равнялось .

Вот такое приближение для числа π нашёл математик Шэнкс в конце 19 века. Однако при переписке Шэнкс пропустил один нуль, и эту его ошибку обнаружили только в 1948 году. Теперь с помощью ЭВМ найдено уже несколько тысяч знаков числа π.

На этом же уроке можно дать несколько способов запоминания числа π.

Приближение Шэнкса

π 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50208 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 32172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39

• Вот и Миша и Анюта прибежали,

Пи узнать число они желали.

(π3,1415926536)

• Это я знаю и помню прекрасно. (π3,14159)

• Двадцать две совы скучали
  На больших сухих суках.
  Двадцать две совы мечтали
  О семи больших мышах,
  О мышах довольно юрких,
  В аккуратных серых шкурках,
  Слюнки капали с усов
  У огромных серых сов.
  (π)

• Гордый Рим трубил победу
  Над твердыней Сиракуз,
  Но трудами Архимеда
  Много больше я горжусь.
  Надо нынче нам заняться
  Оказать старинке честь:
  Чтобы нам не ошибаться,
  Чтоб окружность верно счесть,
  Надо только постараться
  И запомнить всё как есть:
  Три - четырнадцать - пятнадцать
  Девяносто два и шесть!

5.1 История математики как способ организации проблемного обучения.

Исторический способ создания проблемной ситуации является наиболее естественным и отражает реальный процесс разрешения поставленной проблемы.

История развития научного знания внутренне проблемна. Привлечение исторического материала в поиске решения проблемы даёт учащимся знание реальных путей выхода из проблемной ситуации, позволяет усилить проблемность и развивает познавательный интерес.

Рассмотрим примеры.

1. Умножение десятичной дроби на натуральное число (5 класс)
О происхождении английской меры длины «ярд» рассказывают следующее. Король Генрих I (XII в.) приказал измерить расстояние от кончика своего носа до конца среднего пальца вытянутой руки и принял это расстояние за единицу измерения. Ярд до настоящего времени является в Англии основной мерой длины. 1 ярд - 0,91 м. Сколько метров в 53 ярдах?

2. Сложение дробей с разными знаменателями (6 класс)

Дробь занимала особое место у египтян. Они всегда стремились выразить любую дробь в виде суммы и долей единицы. В задаче 7 папируса Ахмеса требуется разделить 7 хлебов поровну между 10 лицами. Ответ выражается так: 7:10 = + . Проверьте!

3. Делители и кратные (6 класс)

Есть числа, которые в точности равны сумме своих делителей. Пифагорейцы считали замечательными все числа, обладающие таким свойством, и называли их «совершенными». Они знали только три таких числа: 6, 28, 496. Убедитесь сами, что число 28 - «совершенное» число.

4. Пропорции (6 класс)

Однажды учёные нашли в Индии древнюю математическую рукопись. Их заинтересовала одна запись:

Впоследствии выяснилось, что индийцы-математики так записывали пропорцию. Запишите её в современном виде и проверьте, верна ли она.

5. Понятие степени с натуральным показателем (7 класс)

В VII веке на Руси была создана стройная система счисления, названная «великим словенским» числом. Слово «тьма» означало тысячу тысяч, «тьму тем» называли «легионом» или «леодром», «леодр леодров» - «вороном». В одной из рукописей того времени есть упоминание о большом числе, которое называлось «колодой» и равнялось десяти «воронам». Об этом числе летописец говорит: «Сего числа несть больше». Какое же это число в десятичной системе счисления? Запишите его в виде степени числа 10. Есть ли большее число?

6. Квадратные уравнения (8 класс)

Одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?»

7. Теорема Пифагора (8 класс)

Задача индийского математика XII века Бхаскары.

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

8. Геометрическая прогрессия (9 класс)

Задача из папируса Ахмеса.

Имеется 7 домов, в каждом доме по 7 кошек; каждая кошка съедает 7 мышей; каждая мышь - по семь колосьев ячменя; каждый колос, если посеять его зёрна, даёт 7 мер ячменя. Найти сумму общего числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер.

9. Иррациональные уравнения (11 класс)

В 1461 г. Была написана первая дошедшая до нас немецкая алгебра. Её автор, учёный монах Фридерикус Герхард из Регенсбурга, черпал свои знания из работ ал-Хорезми, Фибоначчи, Орема и др. Фридерикус, как и все его современники, рассматривает 6 типов линейных и квадратных уравнений. Однако он приводит пример и «вне шести правил».

Задача. Решить уравнение:

10. Объём цилиндра (11 класс)

Одна женщина обыкновенно покупала у зеленщика спаржу большими пучками, каждый 40 см в окружности. Покупая, она мерила их, чтобы убедиться, что её не обманывают. Но однажды у торговца не оказалось 40-сантиметрового пучка, и он предложил покупательнице за те же деньги два тонких пучка, каждый по 20 см в обхвате.

Женщина обмерила пучки и, убедившись, что обхват каждого действительно равен 20 см, заплатила зеленщику столько же, сколько платила раньше за один толстый пучок. Она прогадала или выгадала на этой покупке?

(Покупательница прогадала. Пучок с двойным обхватом заключает в себе не вдвое, а вчетверо больше спаржи, нежели тонкий. Женщина должна была либо заплатить вдвое меньше, либо же потребовать не два, а четыре тонких пучка.

5.2 Исторический подход к введению
математического понятия

Рассмотрим применение элементов истории математики как средства организации вводимого материала. Часто способ, приведший человечество к тому или иному открытию, может быть перенесён на урок. Изучая науку, мы познаём её глубже и полнее, если знакомимся с её историей, видим, как и почему возникли её идеи, под влиянием чего они развивались.

В качестве примера обратимся к истории логарифмов.

Основная идея логарифмов возникла в глубокой древности. Так, в сочинении «Псаммит» древнегреческого математика Архимеда (III в. до н.э.) мы читаем: «Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции, начиная от 1, и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удалённым от большего множителя, насколько меньший удалён от единицы…» Здесь под «непрерывной пропорцией» Архимед имел ввиду геометрическую прогрессию, которую мы могли бы записать как и которую Архимед сопоставлял со следующей арифметической прогрессией: 0, 1, 2, …, п, … . Тогда правило, сформулированное Архимедом, мы могли бы записать в виде , хотя во времена Архимеда из-за отсутствия алгебраической символики такое обобщение было невозможно. Однако ясно, что Архимед владел понятием степени с натуральным показателем и связью между действиями со степенями и их показателями.

Рассмотрим фрагмент урока, на котором вводится понятие логарифма.

В качестве проблемной ситуации ставится задача: «Вычислить (устно) произведение 64 и 128», создающую определённую познавательную трудность для большей части учащихся. Затем демонстрирую таблицу:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

…

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192

…

После коллективного обсуждения этой таблицы учащиеся приходят к мысли о том, что для решения поставленной задачи достаточно сложить числа 6 и 7 и найти число соответствующее их сумме, то есть числу 13.

Таким образом, учащиеся приходят к выводу, что операцию умножения чисел можно свести к сложению соответствующих им показателей. Далее можно остановиться на том, как с помощью данной таблицы можно выполнить деление (например, 8192 на 2560), возведение в степень, извлечение корня. Выявляется целесообразность изучения показателей как чисел, соотносимых с теми, операции над которыми надо выполнить, а также возможность замены операций над числами операциями, причём более низкой ступени, над соответствующими показателями.

Попутно подготавливаются введение свойств логарифмов, которые в сущности уже открыты, а также строение и принцип использования логарифмических таблиц и линейки. Введя новый термин «логарифм», нужно обязательно остановиться на его происхождении и смысле: logos - соотнесённый, arithmos - число. Таким образом, логарифм в дословном переводе - «соотнесённое число», и это толкование точно раскрывает природу логарифмов, а именно их возникновение из сопоставления двух указанных прогрессий - геометрической, состоящей из чисел, и арифметической, состоящей из соотнесённых с первыми показателей.

Далее ставится задача: «Выполнить умножение чисел 47,60 и 2,230.» Тем самым привожу школьников к необходимости найти такое основание степени (логарифма), которое позволило бы выполнить операции над произвольными числами, а следовательно, к необходимости составления соответствующих таблиц, подобных рассмотренной, но уже для искомого универсального основания. Обсуждение вопроса о том, какое основание в этом плане удобнее, приводит (с учётом десятичной системы счисления, используемой нами) к мысли о необходимости введения десятичных логарифмов. Естественно, при этом следует вернуться к поставленной задаче и помощью таблиц показать, что 47,60 = 10^1,6776; 2,230 = 10^0,3484, откуда 47,60*2,230 = 10^2,0259 = 106,1.

По ходу изложения необходимо вкрапливать в него тот или иной материал. Так, введя с помощью таблицы понятие «логарифм», можно рассказать учащимся о Михаиле Штифеле (XVI в.), который продолжил её влево, в результате чего она получила следующий вид:

… 1 2 4 8 16 32 64 …

… -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …

В своей работе «Арифметика» (1544 г.) Штифель пишет:

Умножению

Чисел

геометрической прогрессии отвечает в арифметической прогрессии

Сложение

Делению

Вычитание

Возведению в степень k

Умножение на k

Извлечению корня степени k

Деление на k

Свои замечания Штифель заканчивает такими словами: «Можно было бы написать целую книгу об этих замечательных свойствах числовых рядов…»

Спустя 70 лет после выхода в свет книги Штифеля его идея была воплощена в жизнь в виде таблиц для вычислений одновременно и независимо друг от друга швейцарцем Бюрги и шотландцем Непером. При этом Непер ввёл и само понятие логарифма.

Примечательно, что Бюрги, потративший на составление своих таблиц 8 лет жизни (1603 - 1611), дал своему труду выразительное, хотя и несколько длинное название: «Таблицы арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как пользоваться ими при всякого рода вычислениях», а для составления таблиц ему пришлось произвести свыше 230 миллионов последовательных умножений на 1,001, причём ручным способом, т.к. никаких инструментов для вычислений тогда не было.

Джон Непер в 1614 г. издал таблицы, названные им «Описание чудесных таблиц логарифмов», а в 1619 г., уже после его смерти, вышло другое его сочинение - «Устройство чудесных таблиц логарифмов», где он даёт теорию построения созданных им логарифмов и высказывает идею создания десятичных логарифмов, к осуществлению которой он приступил незадолго до смерти со своим другом англичанином Генри Бригом, воплотившим её в жизнь в 1620 г.

Такие исторические экскурсы, формируют у детей уважение к людям науки, понимание того, какие человеческие усилия стоят за завоеванными в ней результатами, тем самым, воспитывая школьников на самых высоких образцах.

5.3 Историческая задача как средство отработки введённого материала

Решение большинства математических задач многие учащиеся воспринимают без энтузиазма, как вынужденную обязанность, и, как следствие, решение задач чаще всего мало что вносит в развитие интереса к предмету.

Исторические задачи по математике в этом отношении представляют исключение. Они, как правило, привлекают к себе уже своей исторической окраской, своей фабулой, своим языком, необычной постановкой, ссылкой на великие имена, далёкую от нас эпоху, нестандартным, оригинальным подходом к решению. Решая эти задачи, дети получают возможность увидеть, какой скачок сделала математика за прошедшее время, и по достоинству оценить её достижения. Поэтому, подбирая задачи для закрепления, следует отдавать предпочтение задачам исторического характера. Помимо того, что исторические задачи способны вызвать острый интерес к учению, они побуждают детей к самостоятельному творчеству, проявлению инициативы и сообразительности. Кроме того, указанные задачи дают повод для исторических рассказов об их составителях, крупнейших математиках своего времени и той или иной исторической эпохе.

Изучая литературу по истории математики, можно встретить задачи с историческим содержанием различного характера. Среди них мы видим и задачи, по тексту которых трудно отнести их к классу задач исторических, и лишь имена их авторов, великих математиков, и указания на годы их жизни способны придать этим задачам исторических характер. Однако уже это очень важно, так как оживляет взятую задачу, а при выстраивании нескольких таких задач в систему, мы приоткрываем детям историю возникновения и развития того или иного открытия. Решая исторические задачи, дети могут впервые услышать некоторые замечательные имена, и именно в связи с решением таких задач учителю удаётся познакомить учащихся с творцами математики.

Есть исторические задачи, которые сами своим содержанием несут новый познавательный факт или новый для учащихся метод. Упоминание о принадлежности этого метода решения той или иной эпохе, тому или иному математику усилит эмоциональное восприятие как задачи, так и метода её решения.

Приведу примеры использования исторических задач.

Арифметические задачи.

1. Задача Герона Александрийского (I в. до н.э.)
   Из-под земли бью четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй - за 2 дня, третий - за 3 дня и четвёртый - за 4 дня. За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе?

2. Старинная китайская задача.
   В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов.

3. Задача Л.Н. Толстого
   Пять братьев разделили после смерти отца наследство поровну. В наследство было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех 5 братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

4. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 г)
   Един человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет то же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особно выпьет то же кадь?
   Уравнения. Системы уравнений.

5. Жизнь Дионфанта.
   На гробнице замечательного древнего математика Диофанта есть надпись, составленная в форме математической задачи.
   
   

На родном языке

На языке алгебры

Путник! Здесь прах погребён

Диофанта. И числа поведать

Могут, о чудо, сколь долог

был век его жизни.

Часть шестую его представляло
прекрасное детство.

Двенадцатая часть протекла

ещё жизни - покрылся
Пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном
Браке провёл Диофант.

Прошло пятилетие, он
Был осчастливлен рожденьем
прекрасного первенца-сына,

Коему рок половину лишь
Жизни прекрасной и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой

Старец земного удела конец
воспринял, переживши

Года четыре с тех пор,
как сына лишился.

х

5

Скажи, сколько лет жизни достигнув,

Смерть воспринял Диофант?

6. Задача Пифагора (около 580-501 гг. до н.э.)
   Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. - Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь ещё к ним трёх юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины».

7. Задача Э. Безу (1730-1783)
   Некто купил лошадь и спустя некоторое время продал её за 24 пистоля. При продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он её купил.
   Преобразования. Корни. Иррациональности.

8. Задача Бхаскары (XII в.)
   Показать, что

9. Правило Пифагора
   Правило Пифагора для вычисления сторон прямоугольного треугольника основано на тождестве: (2п + 1)² + (2п² + 2п)² = (2п²+2п+1)² .
   Вычислить, пользуясь этим тождеством, стороны прямоугольных треугольников для п = 1, 2, 3, 4, 5.

10. Китайская задача.
    Доказать, что удвоенная сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника без квадрата их разности равна квадрату их суммы.

11. Задача Христофора Рудольфа (XVI в.)
    Разделить на .
    Прогрессии.

12. Задача из египетского папируса Райнда.
    10 мешков зерна разделить между десятью лицами так, чтобы их доли составили арифметическую прогрессию с разностью d = мешка.

13. Задача Ферма (1601-1665 г.)
    Показать, что если S есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: а₁, а₂, а₃, …, то .

14. Задача из «Арифметики» Магницкого (1703 г.)
    Купец имел 14 чарок серебряных, причём веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 лотов. (Лот - русская древняя мера, равная 12,8 г) Определить, сколько весят все чарки.
    Геометрические задачи.

15. Задача Вавилона о шесте.
    Найти длину шеста, сначала вертикально прислонённого к стене, затем смещённого так, что его верхний конец опустился на 3 локтя, причём нижний конец отступил от стены на 9 локтей.

16. Задача Дамасция (VI в.)
    В данный куб вписать тетраэдр.

17. Задача Папа Александрийского (III в.)
    Построить квадрат равновеликий сумме двух данных квадратов.

18. Задача Брахмагупты (598-625 г.)
    Найти высоту свечи, зная длины теней, бросаемых гномоном (вертикальным шестом) в двух различных положениях, при условии, что дано расстояние между гномонами.

19. Задача Видмана (конец XV в.)
    Стороны треугольника 13, 14, 15. Приняв последнюю стороны за основание, найти высоту и отрезки основания.

Теорема Эйлера
Во всяком четырёхугольнике сумма квадратов его сторон равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середины диагоналей. Доказать.

5.4_Дополнительные исторические материалы
к уроку математики

Лучше разобраться в том или ином вопросе школьного курса математики помогает дополнительный материал из истории математики. Например, все знают, что на нуль делить нельзя, но доказать это сможет не каждый, хотя доказательство это несложно и вполне доступно пониманию школьников. Сочетание объяснения нового материала со сведениями из истории математики является очень важным. В этом заключается принцип историзма, которого необходимо придерживаться при преподавании математики.

Примеры дополнительных исторических материалов.

Факториал.

Факториалом называют произведение первых п натуральных чисел. Факториал обозначают символом п!, при этом

п! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ … ∙ п.

По определению 0! =1.

При преобразовании выражений полезно использовать равенство

(п + 1)! = (п + 1) ∙ п! = (п + 1) ∙ п ∙ (п - 1)!

Число п! равно, например, количеству способов, которыми можно п различных книг расставить на книжной полке, или, например, число 5! Равно количеству способов, которыми пять человек можно рассадить на одной скамейке.

Решето Эратосфена.

Чтобы составить таблицу простых чисел, не превосходящих заданного натурального числа п, можно использовать метод, приписываемый древнегреческому философу Эратосфену (ок. 276 - 194 г. до н.э.) и получивший название решето Эратосфена.

Этот метод состоит в следующем.

Выпишем ряд нечётных чисел от 3 до требуемого числа п (все чётные, кроме числа 2, очевидно, составные, и мы их сразу пропускаем). В написанном ряде зачёркиваем квадрат числа 3 и после него все числа, делящиеся на 3, т.е. зачёркиваем каждое третье число, начиная с 9. Затем вычёркиваем квадрат числа 5 и после него все числа, делящиеся на 5, т.е. каждое пятое число, начиная с 25. Далее, начиная с 7² = 49, вычёркиваем каждое седьмое число и т.д.

Описанную процедуру продолжаем до тех пор, пока не будет вычеркнут квадрат простого числа, меньший данного п.

Например, чтобы составить таблицу простых чисел, меньших 100, необходимо вычеркнуть в ряде нечётных чисел от 3 до 99 следующие квадраты (и последующие числа по указанному правилу): 9, 25, 49, так как квадрат следующего простого числа 11, равный 121 уже больше 100.

3

5

7

х

11

13

х

17

19

х

23

+

х

29

31

х

+

37

х

41

43

х

47

-

х

53

+

х

59

61

х

+

67

х

71

73

х

-

79

х

83

+

х

89

-

х

+

97

х

Крест (х) удаляет число 9 и каждое третье число, следующее за 9. Плюс (+) удаляет число 25 и каждое пятое число, следующее за 25. Минус (-) удаляет число 49 и каждое седьмое число, следующее за 49.

Своё название метод получил, как описано в некоторых изданиях, будто бы от того, что сам Эратосфен выписывал ряд натуральных чисел на деревянной доске и около чисел, которые нужно было зачеркнуть, он прокалывал дырочки. В результате получилось своего рода «решето», через которое «просеивались» составные числа, а простые оставались.

Отрицательные числа (исторический очерк)

Как и понятие дроби, представление об отрицательном числе формировалось в математике с большим трудом. Первые следы правила знаков при умножении мы находим в «Арифметике» Диофанта (I - III в. н.э.), а затем в арабской алгебре. Одними из первых отрицательные числа освоили индусы, которые ввели арифметические действия с ними. Отрицательное число они обозначали словом «долг» и противопоставляли положительному числу - «имуществу». На таком коммерческом языке индийский математик Брахмагупта (598 -ок. 660) записывал правила арифметических действий с отрицательными числами. Вот некоторые из них.

Сумма двух «имуществ» есть «имущество». Сумма двух «долгов» - «долг». Если нужно вычесть «имущество» из «долга» или «долг» из «имущества», то берут их сумму. Произведение «долга» и «имущества» есть «долг», «долга» на «долг» - «имущество», а двух «имуществ» - «имущество».

Не только индусы понимали отрицательные числа как долг. Точно так же поступали древние китайцы (трактат «Математика в девяти книгах», II до н.э.) и некоторые арабские математики. Леонардо Пизанский называл отрицательные числа латинским словом debitum (долг, задолженность).

Постепенно, по мере того как понятие величины становилось всё более абстрактным (т.е. переставало восприниматься как величина геометрическая, а значит, положительная), стало возможным настоящее введение отрицательных чисел в математику. Как особые объекты арифметики, отрицательные числа появляются в алгебре, начиная с XVI в. в работах таких учёных, как Джироламо Кардано (1501 - 1576), Михаэль Штифель (1487 - 1567), Христофор Клавий (1537 - 1612). Вот, что писал, например, Клавий:

«Полезной и удобной фикцией для тех, кто занимается математикой, являются корни из чисел, которые их не имеют, например, корень квадратный, кубический, четвёртой или пятой степени из числа 20; точно так же пишущими об алгебре неспроста придуманы числа, меньшие чем «ничто», например, 0 - 4, т.е. «от ничего отнятое 4».

Впервые такую «фикцию», как отрицательные и нулевой отрезок, а также отрицательную и нулевую площадь, ввёл итальянский математик Рафаэль Бомбелли (1530 - 1572) в трактате «Алгебра» (1579).

Окончательно понятие отрицательного числа было узаконено в XVII столетии Рене Декартом. Он истолковал отрицательное число (Декарт называл отрицательные числа «ложными») как отрезок оси ординат, направленный влево от нуля, т.е. в сторону, противоположную направлению отрезков, изображающих положительные числа.

Что же касается нуля, то формально он ещё задолго до XVI в. участвовал в арифметических операциях. Известны также случаи, когда нуль выступал в роли решения уравнения (Леонардо Пизанский). Однако по-настоящему представление о равноправии нуля с другими числами стало складываться только в XVII в.

Немного об уравнениях.

Основные достижения в области решения уравнений принадлежат итальянским математикам: Сципиону дель Ферро (1465 - 1526), Никколо Тарталье (1499 - 1557) и Джироламо Кардано. Они впервые нашли алгоритм для решения уравнения вида , к которому можно свести любое уравнение третьей степени. В современных буквенных обозначениях этот алгоритм выглядит так:

.

Решение же уравнения четвёртой степени принадлежит другому итальянскому математику Людовико Феррари (1522 - 1565). Ещё одним достижением итальянских математиков XVI в. было рассмотрение отрицательных корней уравнений.

Несмотря на усилия первоклассных математиков и значительный прогресс алгебры, попытки найти решение уравнения пятой степени оказались тщетными. Лишь в 1824 г. норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802 - 1829), а в 1830 г. француз Эвариста Галуа (1811 - 1832) доказали, что уравнение общего вида пятой и более высоких степеней неразрешимо в радикалах.

5. Понимание материала.

Одним из основных факторов развития интереса к предмету является понимание учащимися излагаемого материала и успешное выполнение ими предлагаемых упражнений. Выполняя задание, ученик никогда не исходит только из его полезности. Если он справляется с предлагаемым материалом, он любит это дело. В действительности любить тот или иной предмет у него равносильно умению сделать ту или иную работу. Таким образом, непонимание материала и отсюда неумение справиться с какими-то заданиями, которые им предлагаются, - основная причина потери интереса к предмету.

Чтобы предупредить непонимание изучаемого материала, учителю важно не только умело подобрать этот материал и продумать методику его изложения, но и всё время быть в курсе того, насколько он усвоен каждым учеником.

Пример.

Систематический курс геометрии начинается в 7 классе, и от того, как он будет усвоен здесь, во многом зависит понимание учащимися всего школьного курса геометрии. Учитывая, что первый урок по новому предмету имеет большое значение для зарождения интереса у учащихся к тому, что будет изучаться в дальнейшем, лучше не начинать сразу с темы «Что такое геометрическая фигура». Полезно первый урок построить так: сначала небольшой яркий рассказ учителя о возникновении геометрии, а затем работа учащихся под руководством учителя над некоторыми понятиями геометрии и их условными изображениями. Урок следует хорошо оснастить моделями, предметами, имеющими различную форму, из разного материала и разных цветов. В процессе беседы, конечно, необходимо использовать жизненный опыт учащихся. На этом же уроке можно ввести обозначение прямой, отрезка, луча и показать запись принадлежности точек этим фигурам.

На первых порах изучения геометрического материала очень важна наглядность (модели, картинки, чертежи).

При изучении темы «Перемещения» также очень важно иметь подвижные модели, иллюстрирующие то или иное конкретное перемещение, закон получения образов точек в нём. С их помощью учащиеся лучше понимают, а дальше уже и без моделей представляют многие свойства перемещений. При повторении, если ученик затрудняется ответить на вопрос, тоже можно обратиться к подвижным моделям.

Большое значение в понимании материала, а следовательно, в развитии интереса к геометрии, имеет систематическое возвращение к пройденному - повторение. Оно должно быть в той или иной форме ежеурочным и обязательно включаться в новый материал или в решение задач в качестве каких-то элементов, хотя и небольших. Это тем более необходимо, что специальных часов на повторение материала по геометрии в конце года почти нет.

5. Типология уроков как основа развития познавательного интереса.

Ученик на многих учебных занятиях бывает лишь пассивным созерцателем и слушателем урока. Главное место на нём отводится нередко монологу учителя. Так называемый устный опрос отдельных учащихся также не вызывает особой активности остальных учеников класса. Естественно тут не может возникнуть никакого интереса к предмету.

Главное, к чему надо стремиться - это побуждение учащихся к активизации познавательных сил, к самостоятельному творчеству на каждом уроке, к реализации скрытых возможностей каждого отдельного школьника. При такой постановке обучения ученики много думают и делают, никогда не скучают и не ждут звонка с урока. Они захвачены, увлечены и сосредоточены.

Школьников надо учить так, чтобы им было интересно, а для этого изгнать с уроков скуку, зубрёжку, заложить в основу обучения совместную деятельность учителя и ученика, труд по приобретению знаний.

Одним из путей реализации такого подхода в обучении является изменение традиционной структуры урока. При традиционной структуре 45 минут делятся на несколько частей - проверка домашнего задания, объяснение нового материала, закрепление его. Вместо суетливой спешки на уроке в попытках охватить все его стороны можно использовать систему совместной работы учащихся и учителя, включающую в себя:

1. Проведение уроков-лекций с целью изучения новой темы крупным блоком, создающее условие для активизации мышления школьников во время изучения нового и экономии времени для дальнейшей творческой работы.

2. Проведение уроков решения ключевых задач по теме. Учитель (вместе с учащимися) вычленяет минимальное число задач, на которых реализуется изученная теория, учит распознавать и решать ключевые задачи.

3. Проведение таких уроков-консультаций, на которых вопросы задают ученики, а отвечает на них учитель.

4. Проведение зачётных уроков, целью которых является организация индивидуальной помощи учащимся, постепенная подготовка к решению более сложных задач, контроль за усвоением темы.

5. Проведение уроков ЭССЕ (уроков-набросков к теме).

6. Проведение уроков коррекции знаний и работы с пробелами (после урока-зачёта).

7. Проведение уроков-конференций, на которых наиболее простые теоремы или исторические сведения или решение интересных задач даются детям в виде докладов).

8. Проведение уроков-панорам, на которых проводится обобщение темы, классификация, включение этой темы в другой материал школьного курса математики, рассмотрение связей этой темы с другими.

9. Проведение уроков-«бенефисов», на которых дети отчитываются о самостоятельных домашних исследованиях.

10. Проведение интегрированных уроков

Разнообразие структуры уроков, их типов позволяет разнообразить привычное преподавание и тем самым заинтересовать учеников математикой.

5. Самостоятельные работы как важный фактор
   развития интереса к математике.

Любая форма самостоятельной работы ученика при педагогически ценной её организации сопутствует познавательному интересу.

Ученик, выполняя самостоятельную работу, активно оперирует приобретёнными знаниями, умениями, навыками, совершает поисковую, творческую, активную деятельность, укрепляя познавательную активность, самостоятельность и интерес. Благополучное протекание самостоятельной работы способствует ещё и развитию организационных умений.

Незаменимость самостоятельных работ как стимулятора познавательного интереса состоит ещё и в том, что. Предназначенные для каждого возраста учащихся, в своей совокупности они могут решать задачи вербального, сенсорного и двигательного развития учащихся.

При составлении самостоятельных работ нужно видеть их объективно интересный смысл для учащихся, силу эмоционального воздействия.

Специальные исследования по проблеме интересов и эмпирические наблюдения показывают, что интересное задание большей эмоциональной силы, предшествующее заданию менее интересному, снижает интенсивность деятельности при выполнении последующего задания, что самостоятельная работа меньшей сложности, если она выполняется после трудной, требующей напряжения умственных и волевых усилий, также выполняется учащимися с меньшим интересом.

Проблема самостоятельной работы учащихся на уроке как главного стимулятора познавательного интереса, активности и развития личности ученика требует от учителя тонкой и глубокой работы по отбору содержания самостоятельных работ, их формы, соответствия дидактическим назначениям и психологическим особенностям познавательных процессов, а также определения их места в общей структуре учебного процесса.

Рассмотрим примеры.

Работы с последующей взаимопроверкой

Большой интерес у учащихся вызывает такой вид самостоятельной работы, как взаимопроверка. Работа заключается в следующем: одна группа выполняет письменную самостоятельную работу, вторая группа проверяет работы своих товарищей. Проверяющий тщательно разбирает решение каждого пункта задания, но никаких исправлений в тексте не делает, а в конце работы записывает своё мнение или своё решение также по каждому пункту задания. Причём проверяющий должен проанализировать работу, отметить, на какое правило или теорему сделана ошибка, оценить рациональность решения или вычислений, правильность построения чертежа и обоснования к нему, качество записи в тетради и т. д.

Преподаватель оценивает обе работы. Причём не надо бояться, что слабый учащийся, проверяя работу сильного, не отметит ошибок. Зато он будет знать, как выполнять эту работу. Самостоятельные работы для этой цели должны быть средней сложности, чтобы в основном учащиеся справились с ними, в противном случае нужного эффекта можно не получить.

Графическое решение уравнений на индивидуальных координатных плоскостях.

Это ещё одно форма письменных самостоятельных работ. Индивидуальные координатные плоскости должны быть у всех учащихся. Каждая плоскость представляет собой лист миллиметровой бумаги размером 200 х 150 мм, на которой нанесены оси координат. Сверху к листу прикреплена прозрачная рентгеновская плёнка. Изготовленная таким образом плоскость приятна на вид, не мнётся, не пачкается и может служить для работы каждому учащемуся на протяжении всего курса обучения. К каждой плоскости прилагается прозрачный конверт с набором графиков функций, изучаемых в курсе алгебры. Каждый график выполнен на небольших (110 х 170 мм) прозрачных плёнках фломастером или чернилами. Прозрачность пластин позволяет при наложении их друг на друга видеть, как располагаются графики относительно осей координат и относительно друг друга, и очень быстро и точно находить абсциссы точек пересечения.

Например:

Учащемуся предлагается решить графически уравнение . Учащийся в своём наборе графиков отыскивает пластинку, изображающую график логарифмической функции , и пластинку с изображением прямой. Затем на своей индивидуальной плоскости располагает соответствующим образом эти два графика, накладывая пластинки друг на друга. Абсцисса точки пересечения графиков даёт ответ.

Таким образом, учащемуся не нужно каждый раз для графического решения уравнений тратить время на построение графиков в тетради. Это позволяет решить большее количество уравнений. Такие работы могут быть комментированными. Учащийся объясняет, что представляет собой график каждой функции, как располагаются эти графики относительно осей координат, в каких точках пересекаются с осями и другие вопросы.

Работы с индивидуальными координатными плоскостями содержат некоторый игровой элемент, поэтому оживляют и разнообразят урок, тем самым вызывают большой интерес у учащихся.

Расшифруй слово

Учащимся предлагается самостоятельная работа перекрёстного типа. Если они правильно свяжут задания с ответами, то получат слово или какой-либо код.

Пример. (тема: «Модуль числа»)

Указать такие

Значения а

При которых

А) положительные

1) сумма отрицательна

Ф) таких значений нет

2) сумма положительна

М) неотрицательные

3) верно равенство

Р) отрицательные

4) верно равенство

Е) любые

5) верно равенство , если .

Зашифрованное слово: Ферма

Угадай фигуру.

Учащимся даются задания и листочки, на которых расставлены точки. Около точек написаны правильные и неправильные ответы на задания. Если дети соединяют подряд точки с верными ответами, то получается фигура (буква, знак).

Можно немного усложнить. Дать вместо листочка с точками много вырезанных фигурок, из которых надо выбрать такие, где написаны верные ответы на задания. Из отобранных фигурок надо составить новую фигуру (это может быть какое-нибудь животное, домик, кораблик и т. п.)

Разноуровневые самостоятельные работы.

Ребятам раздаются самостоятельные работы сразу на трёх карточках разного цвета. Если ученик верно выполняет задание на зелёной карточке, то получает «3», на жёлтой - «4», на красной - «5». При этом учащиеся сами выбирают, какого уровня задания они будут решать, предварительно их посмотрев.

Пример.

Основное свойство дроби. Сокращение дробей. (6 класс)

Вариант А (зелёная карточка).

1. Сократите дроби (десятичную представьте в виде обыкновенной):
   а) ; б) ; в) 0,35

2. Среди данных дробей найдите равные:

3. Определите, какую часть
   а) килограмма составляют 150 г;
   б) часа составляют 12 минут. Напишите в виде несократимой дроби.

4. Найдите х, если

Вариант Б (жёлтая карточка).

1. Сократите дроби (десятичную представьте в виде обыкновенной):
   а) ; б) ; в) 0,625

2. Выпишите три дроби, равные , со знаменателем меньше 12.

3. Определите, какую часть
   а) года составляют 8 месяцев;
   б) метра составляют 20 см. Напишите в виде несократимой дроби.

4. Найдите х, если

Вариант В (красная карточка).

1. Сократите дроби (десятичную представьте в виде обыкновенной):
   а) ; б) ; в) 0,1664

2. Определите, сколько 45-х долей содержится в .

3. Определите, какую часть
   а) прямого угла составляют 72;
   б) метра составляют 25 мм.

4. Найдите х, если

Тестовые задания.

Пример.

Тест. Делимость натуральных чисел (разложение на простые множители, НОД, НОК, взаимно простые числа) (6 класс)

Вариант 1.

А1. Сколько простых множителей имеет число 24?
а) 2; б) 3; в) 4; г) 5

А2. Ответы каких числовых выражений являются составными?
а) (21:7 + 3):3; б) (74:37 + 12∙3) :19;
в) (125:25 + 48:16):2; г) 325:25 + 4

А3. Найдите 25 % от наибольшего общего делителя чисел 72 и 48.
а) 12 б) 6 в) 18 г) 24

А4. Даны разложения чисел на простые множители:
а = 2∙2∙3∙3∙5
b = 2∙3∙3∙3∙5∙5
с = 2∙2∙2∙2∙3∙3∙5

Найдите их НОД.
а) 360 б) 5400 в) 180 г) 90

А5. Корень уравнения 25∙(7у + 10:2) = 1000 кратен…
а) двум б) трём в) пяти г) семи

А6. Какой получается ответ при вычислении НОД(18,52)?
а) 2 б) 3 в) 4 5) 18

А7. НОК (a,b) = ab. Какие из пар чисел удовлетворяют этому условию?
а) а = 4; b = 12 б) а = 15; b = 75
в) а = 3; b = 5 г) а = 8; b = 12

А8. Найдите значение выражения:
2 ∙ НОД (12,24) + 3 ∙ НОК (4,6,12) - 60
а) 36 б) 24 в) 6 г) 0

А9. Найдите промежуток, которому принадлежит НОД (6, 8) и НОК (2, 4).
а) (3; 8) б) (1; 5) в) (2; 4) г) (1; 3)

А10. НОК (а, b, c) = с. Какие из троек удовлетворяют этому условию?
а) а = 2; b = 4; с = 8 в) а = 8; b = 12; с = 36
б) а = 2; b = 30; с = 5 г) а = 12; b = 24; с = 6

В1. Купили 12 шоколадок и 20 апельсинов. Какое наибольшее количество человек можно ими угостить, чтобы у них был одинаковый набор (шоколадки и апельсины все должны быть отданы)?

В2. Число конфет в коробке меньше 70. Их можно разделить поровну между 2, 3, 4, 5 и 6 детьми. Сколько конфет в коробке?

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

А8

А9

А10

В1

В2

В заданиях А1 - А10 учащиеся должны определить букву с верным ответом и в прилагаемый бланк поставить только букву. В заданиях В1-В2 вариантов ответа нет, поэтому в бланк ребята должны вписать ответ.

5. Умение ставить вопросы.

Любое исследование, любое творчество начинается с постановки проблемы, т.е. с умения задать вопрос. Хороший вопрос, как считает известный психолог И.Лернер, помогает совершенно по-новому увидеть существо дела и искать ответ новыми путями, о которых раньше никто не думал. Всё это требует определённого навыка в составлении вопросов. Ученики не умеют задавать вопросы, они привыкли на них отвечать. Часто можно слышать их просьбу объяснить то или иное место в учебнике. На вопрос: «Что непонятно?» - следует молчание или ответ: «Всё непонятно».

Значит, необходимо учить ставить вопросы. При этом сначала разумно приветствовать любые вопросы, но отмечать наиболее содержательные. Они будут возникать и при объяснении материала, если при введении каждого нового понятия подвергать его всестороннему анализу. Пусть на уроке сначала часто звучит самый простой вопрос: «Почему?». Но постепенно утрированно-придирчивое отношение к ответам учеников вызовет у них желание более требовательно относиться к объяснению учителя. Так начинается процесс размышления над новой информацией. И это прекрасно: в споре с учителем урок проходит оживлённо.

Есть темы, изучение которых проходит интереснее, если ученики сами выделяют круг вопросов, позволяющих её изучить. Но это бывает, если всей предыдущей работой класс подготовлен к этому уроку. Выделенные главные этапы изучения новой темы помогают осознать ребятам цель урока. С этого момента и начинается творческий настрой.

Пример. Тема «Измерение длины отрезка»

После объявления темы ученикам можно предложить решить: «На какие вопросы мы должны сегодня дать ответ?» Они сами смогут поставить следующие проблемы:

1. Что значит измерить длину отрезка?

2. Как измерить?

3. Чем будем измерять?

Отвечая на эти вопросы, ребята учатся отстаивать свою точку зрения, привыкают более требовательно относиться к услышанному и результатам своего труда.

Но как сформировать умение ставить вопросы? Этому необходимо посвящать ряд уроков.

Учитывая, что серьёзный, содержательный вопрос редко возникает у человека, если он впервые знакомится с какой-то темой, такие уроки проводят в тот момент, когда ученики уже имеют чёткое представление об изучаемом материале.

В 5 - 8 классах обычно на таких уроках ставится проблема для исследования. Предлагается ребятам составить вопросы, которые позволят найти её решение.

В 9 классах можно проводить уже целые урок, посвящённые искусству ставить вопросы. На таких занятиях раздаются карточки с заданием. Задания обычно связаны с составлением вопросов, направленных на исследование изображённых на карточке фигур или графиков функций. Каждая карточка для двух учеников. Это делается для того, чтобы они работали увереннее. В заключение урока анализируются вопросы, составленные учителем по тому же материалу.

Конструкции таких уроков разнообразны. Иногда урок можно начать с «дуэли» на вопросах. Два «рыцаря» составляют дома по два вопроса. Помогают им в этом их «оруженосцы». Обычно эту роль выполняет друг «рыцаря», который тоже обдумывает задание. «Дуэль» начинается с обмена вопросами. Если «дуэлянты» не могут найти правильный ответ, то им помогает «оруженосец», но если и он в затруднительном положении, то болельщики класса. Класс же и оценивает качество вопросов и глубину ответов. Ученики находятся в ситуации, когда каждый из них вынужден оттачивать своё мастерство в искусстве ставить вопросы.

5. Внеклассная работа по математике.

В каждом классе имеются учащиеся, которые хотели бы узнать больше того, что они обычно получают на уроке. Одних учеников интересуют исторические факты, связанные с происхождением и развитием отдельных математических понятий, других - прикладные вопросы математики, использование математических приёмов в технике и на производстве.

Учащиеся, с любовью относящиеся к изучению математики, всегда имеют влечение к задачам повышенной трудности и охотно принимают участие в математических олимпиадах. Среди них есть и такие, которые, обладая математическими способностями, легко усваивают серьёзные вопросы математики, выходящие за рамки средней школы.

Во всём этом помогает внеклассная работа, которая ещё более усиливает интерес учащихся к математике.

Внеклассная работа является неотъемлемой частью всей учебно-воспитательной работы в школе. Внеклассные занятия учитывают запросы отдельной группы учащихся и индивидуальные наклонности каждого ученика в отдельности. Эти занятия организуются на строго добровольных началах, проводятся в разнообразных формах и позволяют учащемуся проявлять свой интерес к определённым видам занятий.

Обычно на занятиях математического кружка рассматриваются вопросы, имеющие какой-нибудь особый интерес. Это или исторические вопросы, или вопросы теоретические, не входящие в программу, или углубление отдельных понятий, рассмотренных в классе.

Возбуждение у учеников интереса к математическим занятиям, а также развитие их математического кругозора должно быть одной из задач, которые ставит перед собой внеклассная работа в школе.

Внеклассную работу можно проводить в форме:

- математических кружков;

- математических состязаний (турниров, эстафет, викторин, олимпиад);

- математических вечеров («Вечер занимательной математики», «Вечер, посвящённый С.В. Ковалевской», «Математика вокруг нас», «Математика в современном мире» и др.)

Примеры.

Весёлый математический поезд (5-6 класс)

В игре участвует несколько команд (можно две).

Ведущий: Ребята, мы сегодня отправляемся в путешествие на математическом поезде. Вы проедете много станций: «Эрудит», «Весёлые нотки», «Ребус», «Мозаика», «Поэтическая», «Волшебные спички», «Попробуй, сосчитай». На каждой станции вас ждут нелёгкие испытания. Но для того, чтобы сесть в поезд, необходимо купить билеты в кассе.

Касса.

Командам предлагаются задачи для устного счёта. Ответы записываются на листочках (один от каждой команды). Ответы сразу проверяются, и в зависимости от результата выдаются билеты в мягкий, купейный или плацкартный вагон. Количество баллов и тип вагона записываются на маршрутном листе. При равенстве баллов побеждает в конце игры та команда, которая ехала в лучшем вагоне.

Задачи.

1. На грядке сидели 4 воробья. К ним прилетели ещё 2 воробья. Кот Васька подкрался и схватил одного воробья. Сколько воробьёв осталось на грядке? (0)

2. Четверо играли в домино 4 часа. Сколько играл каждый? (4)

3. Горело пять свечей. Две из них потухли. Сколько свечей останется? (2)

4. Тройка лошадей пробежала 30 км. Сколько км пробежала каждая лошадь?

5. Петух, стоя на одной ноге весит 3 кг. Сколько он весит, стоя на двух ногах? (3)

6. У отца 6 сыновей. Каждый сын имеет одну сестру. Сколько всего детей у отца? (7)

7. Найти два таких числа, произведение которых 24 и частное тоже 24. (24 и 1)

8. Сколько получится десятков. Если два десятка умножить на три десятка? (60)

9. Что тяжелее килограмм ваты или килограмм железа? (одинаковы)

10. На одной чаше весов кирпич, а на другой половина такого же кирпича и гиря в 1 кг. Весы в равновесии. Сколько весит кирпич? (2 кг)

Станция «Эрудит»

На этой станции учащиеся разгадывают кроссворды. За каждое угаданное слово - 1 балл.

По горизонтали: 1) 2х - 6 = 2; 2) число, которое прибавляют; 3) сумма длин всех сторон треугольника; 4) число; 5) арифметическое действие; 6) число, показывающее количество единичных квадратов в геометрической фигуре; 7) трудный путь от условия к ответу; 8) излишек; 9) S = v * t; 10) то, на что делят.

По вертикали: 11) угломер; 12) то, что стоит под чертой; 13) место, на котором стоит цифра в записи числа; 14) пятнадцатиминутное сумасшествие (школьное); 15) записная книжка ученика; 16) отрезок, делящий круг пополам; 17) числа соединённые знаками действий (образец для подражания); 18) есть у уравнения и растения; 19) результат сложения; 20) он бывает натуральным; 21) записывается с помощью цифр.

Станция «Весёлые нотки»

На этой станции ребята должны спеть песни, в которых есть числительные. Учитывается количество песен и качество исполнения.

Станция «Ребус»

Командам предлагается решить числовые ребусы. За каждый ребус 2 - 3 балла. Команды могут разбиться на группы.

1. _х * 2 *

5 7_

+ 2 2 * 8

* * * *___

* * * * *

2. _ * 0 * 3 *

3 * 0 * 4_

1 8 9 9 0

3. + 5 0 * 8 *

__* * 6 * 7_

1 3 0 0 9 8

4. _ 7 * 5 3 *

__* 9 * * 2_

1 4 9 0 9

5. _х * * *

* 4_

+ 9 8 *

* 2 * 5___

1 * 2 * 0

6. _ * * * *

__* * *

1

7. _х * * *

3 *_

+ * * * *

1 1 9 1___

* * * * 8

8. _х 6 *

* *_

+ * *

* * __

* * 6

9. _х 5 3

* *_

+ 3 * *

* * 6 __

* * 7 *

10. _х 6 4

* *_

+ 4 * *

* * __

* * * 8

11. _х 6 3

* *_

+ * * *

* * * __

3 6 5 4

12. _ 1 4 * * | * 7

* * 5 | * *

_ * *

_ * 1

0

Ответы:

1. 324 * 57 = 18468

2. 50034 - 31044 = 18990

3. 50481 + 79617 = 130098

4. 74531 - 59622 = 14909

5. 245 * 54 = 13230

6. 1000 - 999 = 1

7. 397 * 34 = 13498

8. 66 * 11 = 726

9. 53 * 26 = 53

10. 64 * 17 = 1088

11. 63 * 58 = 3654

12. 1431 : 27 = 53

Станция «Поэтическая»

Команды придумывают четверостишия на заданные рифмы

Остаток - недостаток,

Частное - опасное,

Свойство - устройство,

Копейка - линейка,

Число - весло,

Куб - дуб,

Скобка - коробка,

Закон - дракон.

Станция «Мозаика»

1. Командам выдаются разноцветные геометрические фигурки и клей. Нужно на листе бумаги сделать аппликацию.

2. Рисунки из цифр.

Станция «Волшебные спички»

Команда разбивается на группы и выполняет задание.

1. От данных пяти квадратиков из спичек отнять три спички так, чтобы осталось три таких же квадратика.

2. Снять две спички и получить 4 квадрата

3. Снять 4 спички так, чтобы оставшиеся спички образовали 5 квадратов, причём квадраты могут быть разной величины.

4. Из 18 спичек, составляющих 6 квадратиков, снимите 2 спички так, чтобы осталось 4 таких же квадратика.

Станция «Попробуй сосчитать»

Командам показываются таблицы.

Таблица 1.

Считать нужно подряд, начиная с верхней строки, по правилу: «Первый треугольник. Первый угол, первый отрезок, второй угол и т.д.»

Чем дольше считает команда, тем больше очков она получает.

По таблице 2 команды должны сосчитать числа от 1 до 23 (Числа написаны беспорядочно), показывая на таблице все числа подряд.

После прохождения всех станций подводятся итоги и награждаются победители.

Физико-математическое кафе (10 - 11 кл.)

1. Представление команд.

Команды получают домашнее задание: оформить стол, используя как можно больше математических понятий, физических явлений. Жюри учитывает и качество оформления стола, и представление команды.

2. Разминка

Всем командам предлагаются ситуации

- Вы не готовы к уроку физики. Что нужно сделать, чтобы учитель забыл о своём предмете?

- Вы первый раз в жизни выучили урок, а учитель вас не спросил. Ваши действия.

Через 1 мин команды показывают свои ответы.

3. Игра «Пойми меня»

От каждой команды по 4 пары. Один игрок в паре тянет карточку с математическим или физическим термином и должен объяснить этот термин другому игроку, показывать руками нельзя. Математические термины: трапеция, круг, параллельность, перпендикулярность. Физические термины: инерция, скорость, трение, давление.

4. Ассоциации

Капитану каждой команды нужно написать 4 слова, с которыми у него ассоциируются такие словосочетания, как, например, урок физики, урок математики, контрольная по физике, контрольная по математики (капитаны тянут карточку). За 1 минуту команда называет свои ассоциации. Жюри учитывает количество совпадений.

5. Конкурс «Экспериментатор - артист - художник - поэт»

В конкурсе участвует 8 человек от каждой команды. Двум экспериментаторам выдаётся карточка, на которой написано физическое явление.

- Электризация бумажного султана с помощью палочки из оргстекла и кусочка меха

- движение шарика по «мёртвой петле»

Художники (2 чел.) уходят за дверь. Артисты (2 чел.) смотрят эксперимент, не зная содержания карточки. Потом возвращаются художники. Артисты показывают им содержание эксперимента с помощью жестов, без слов, и художники рисуют и объясняют, что они поняли. За время показа поэты должны написать стихи об этом физическом явлении. (Содержание карточки знают только экспериментаторы).

6. Конкурс «Угадай мелодию»

Командам даются подсказки, с помощью которых они должны угадать песню и исполнить её.

- Песня про страшное скопление водяных паров в атмосфере. («Тучи»)

- Песня про отсутствие движения наземного и воздушного транспорта в город русской глубинки. («Мальчик хочет в Тамбов»)

- Песня про подарок в форме незатейливой геометрической фигуры, ограниченной двумя концентрическими окружностями. («Колечко»)

- Песня про рисунок в виде небесного светила, удалённого от нас на 1 астрономическую единицу. («Солнечный круг»)

- Песня, в которой неоднократно повторяется числительное, соответствующее греческой приставке МЕГА. («Миллион алых роз»)

- Песня о вращении геометрического тела правильной формы, падение которого привело бы к краже. («Крутится-вертится шар голубой»)

Песня про обман зрения, который приводит к личным переживаниям. («Девочка-видение»)

- Песня о двух агрегатных состояниях воды, одно из которых привело к гибели Титаника. («Айсберг»)

Жюри подводит итоги.

Литература:

1. М.Г. Морозова. Учителю о познавательном интересе. М: Знание, 1979.

2. А.К. Маркова. Формирование мотивации учения. М: Просвещение, 1990.

3. Г.И. Щукина. Формирование познавательных интересов учащихся в процессе обучения. М: Учпедгиз, 1962.

4. Г.И. Щукина. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. М: Просвещение, 1979.

5. Г.И. Щукина. Проблема познавательного интереса в педагогике. М: Педагогика, 1971.

6. Вопросы психологии. №6, 1970.

7. Ю.М. Колягин. Обучение математике в процессе решения задач и обучение решению задач в средней школе. // Вопросы обоснования содержания школьного математического образования // Сборник научных трудов. М., 1982.

8. М.И. Денисова. Задачи с развивающими функциями в курсе математики средней школы. // Вопросы обоснования содержания школьного математического образования // Сборник научных трудов. М., 1982.

9. М.И. Денисова. Развитие творческой активности школьника в обучении математике. // Воспитание социально активной личности: история, теория, практика // Межвузовский сборник научных трудов. Рязань, 1990.

10. С.Г. Губа. Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию математических закономерностей. // Математика в школе, № 3, 1972.

11. К.А. Лоцманова. Математические игры. Рязань, 1966.

12. Е.Б. Арутюнян, Г.Г. Левитас. Сказки по математике. М: «Высшая школа», 1994.

13. Т.М. Ковалёва. Игра и учебная деятельность. // Математика в школе, №6, 1988.

14. Сергей Бобров. Волшебный двурог. М.: «Детская литература», 1967

15. Р.Г. Пронина, Г.В. Денисова. История математики, как метод обучения: метод. Рекомендации / Ряз. Обл. ин-т развития образования. - Рязан., 2000

16. Ф.М. Барчунова. Развитие познавательного интереса к геометрии у учащихся VI - VII классов. // Математика в школе, № 6, 1974.

17. Р. Хазанкин. Как увлечь школьников математикой. // Народное образование, № 10, 1987.

18. А.А. Окунев. Спасибо за урок, дети! М: Просвещение, 1988.

19. А.П. Подашов. Вопросы внеклассной работы по математике в школе (V - XI классы) // Пособие для учителей. М: Учпедгиз, 1962.

20. П.Р. Оникул. 19 игр по математике: Учебное пособие. - СПб.: Союз, 1999

21. И.С. Ганенкова. Математика. Многоуровневые самостоятельные работы в форме тестов для проверки качества знаний. 5 - 7 классы. - Волгоград: Учитель, 2006.

22. А.Р. Рязановский. Математика. 5 - 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики. М.: Дрофа, 2002.

67