Конспект урока Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной

Конспект урока по алгебре для учащихся 9 классов

Тема урока: «Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной».

Цели урока:

- образовательная - ввести понятие неравенства второй степени с одной переменной, актуализировать знания о квадратичной функции, изучить алгоритм решения неравенств на основе свойств квадратичной функции, сформировать умение решать неравенства данного вида.

- развивающая - развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

- воспитательная - воспитание дисциплины, аккуратности, чувства ответственности, уверенности в себе.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный, обобщающе-репродуктивный.

Оборудование: презентация.

Литература:

1) Макарычев, Ю. Н. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с.

2) Саранцев, Г. И. «Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов мат. спец. педвузов и университетов» / Г. И. Саранцев. - М. : Просвещение, 2002. - 224 с.

План урока.

1) Организационный момент (2 мин.);

2) Актуализация знаний (5 мин.);

3) Изучение нового материала (22 мин.);

4) Первичное закрепление материала (14 мин.);

5) Подведение итогов урока и домашнее задание (2 мин.).

Ход урока.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Организационный момент

Приветствие учителем учащихся, готовность класса к уроку, проверку отсутствующих.

Тема нашего урока «Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной» (слайд № 1). Запишите в тетрадях: число, классная работа, тема урока.

Записывают число, классная работа, тему урока.

Актуализация знаний

Вспомните, что мы называем квадратным неравенством?

Квадратным неравенством называют неравенство вида ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0), где а≠0.

Что значит решить неравенство?

Решить неравенство значит найти множество всех х, для которых данное неравенство выполняется.

Определить количество корней уравнения ах2 + вх + с = 0 и знак коэффициента а, если график квадратной функции у = ах2 + вх + с расположен следующим образом:

а) Данное уравнение имеет 2 корня, так как график квадратной функции дважды пересекает ось ОХ. Это парабола, ветви которой направлены вверх, значит коэффициент при x2 положителен.

б) Данное уравнение не имеет корней, так как график квадратной функции не пересекает ось ОХ. Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит коэффициент при x2 отрицателен.

в) Данное уравнение не имеет корней, так как график квадратной функции не пересекает ось ОХ. Это парабола, ветви которой направлены вверх, значит коэффициент при x2 положителен.

г) Данное уравнение имеет один корень, так как график квадратной функции пересекает ось ОХ один раз. Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит коэффициент при x2 отрицателен.

Изучение нового материала

Итак, запишите в тетрадях следующее определение:

Неравенства вида ах² + вх + с > 0 и ах² + вх + с < 0, где х - переменная, а, в и с - некоторые числа и а ≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.(Слайд № 3)

Запись в тетрадях: Неравенства вида ах² + вх + с > 0 и ах² + вх + с < О, где х - переменная, а, в и с - некоторые числа и а ≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства ах² + вх + с > 0 или ах² + вх + с < 0 можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция у = ах² + вх + с принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции у = ах² + вх + с в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось Х и если пересекает, то в каких точках? Рассмотрим примеры. Запишите в тетрадях:

Пример 1. Решим неравенство 5х² + 9х - 2 < 0.

Запись в тетрадях: 5х² + 9х - 2 < 0

Рассмотрим функцию у = 5х² + 9х - 2. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, как расположена эта парабола относительно оси X. Для этого решим уравнение 5х² + 9х - 2 = 0.

Запись на доске и в тетрадях: 5х² + 9х - 2 = 0

D === 11,

х₁ = 0,2 , х₂ = -2.

Запись на доске и в тетрадях: 5х² + 9х - 2 = 0

D === 11,

х₁ = 0,2 , х₂ = -2.

Итак, это уравнение имеет два корня: х₁ = 0,2 , х₂ = -2.

Значит, парабола пересекает ось Х в двух точках, абсциссы которых равны -2 и 0,2. Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости.

Запись на доске и в тетрадях:

Запись на доске и в тетрадях:

Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения, когда x (-2; ). Следовательно, множеством решений неравенства 5х² + 9х - 2 < 0 является числовой промежуток (-2; ). Запишите это в тетради.

Запись на доске и в тетрадях: x (-2; ).

Запись на доске и в тетрадях: x (-2; ).

Заметим, что при рассмотренном способе решения неравенства нас не интересовала вершина параболы. Важно лишь было знать, куда направлены ветви параболы - вверх или вниз и каковы абсциссы точек ее пересечения с осью X.

Давайте рассмотрим еще один пример. Решим неравенство -х² + 2х - 4 < 0.

Запись на доске и в тетрадях:

-х² + 2х - 4 < 0

Запись на доске и в тетрадях:

-х² + 2х - 4 < 0

Рассмотрим функцию у = -х² + 2х - 4. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Выясним, как расположен график относительно оси X. Решим для этого уравнение -х² + 2х - 4 = 0.

Запись на доске и в тетрадях:

-х² + 2х - 4 = 0

D === 0, x=4

Запись на доске и в тетрадях:

-х² + 2х - 4 = 0

D === 0, x=4

Действительно, это уравнение имеет единственный корень х = 4. Значит, парабола касается оси Х. Изобразив схематически параболу, найдем, что функция принимает отрицательные значение при любом х, кроме 4.

Запись на доске и в тетрадях:

Запись на доске и в тетрадях:

Ответ можно записать так: х - любое число, не равное 4.

Запись в тетрадях: х - любое число, не равное 4.

Запись в тетрадях: х - любое число, не равное 4.

Запишем последний пример.

Решим неравенство х² - 3х + 4 > 0.

Запись на доске и в тетрадях: х² - 3х + 4 > 0

Запись на доске и в тетрадях: х² - 3х + 4 > 0

Графиком функции у = х² - 3х + 4 > 0 является парабола, ветви направлены вверх. Чтобы выяснить, как расположена парабола относительно оси Х, решим уравнение х² - Зх + 4 = 0.

Запись на доске и в тетрадях:

х² - Зх + 4 = 0

D == = -7

Запись на доске и в тетрадях:

х² - Зх + 4 = 0

D == = -7

Итак, D = - 7 < 0, т. е. это уравнение не имеет корней. Значит, парабола не имеет общих точек с осью х.

Показав схематически расположение параболы в координатной плоскости, найдем, что функция принимает положительные значения при любом х

Запись на доске и в тетрадях:

Запись на доске и в тетрадях:

Ответ: х - любое число.

Запись в тетрадях: Ответ: х - любое число.

Запись в тетрадях: Ответ: х - любое число.

Итак, для решения неравенств вида ах² + вх + с > 0 и ах² + вх + с < 0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена ах² + вх + с и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отвечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3) находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ах² + вх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах² + вх + с < 0). Эти правила называют алгоритмом решения неравенств второй степени с одной переменной. Схематически его можно показать так: (Слайд 4)

Запишите эту схему в тетрадях.

Первичное закрепление материала

Давайте выполним несколько номеров из учебника.

№ 304 (а,б).

(К доске вызывается ученик).

Запись на доске и в тетрадях: № 304 (а,б).

а) x² + 2x - 48 < 0

Запись на доске и в тетрадях: № 304 (а,б).

а) x² + 2x - 48 < 0

График данной функции является параболой, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при x² положителен).

Решим уравнение x² + 2x - 48= 0

Запись на доске и в тетрадях:

x² + 2x - 48 = 0

D == = 14

X₁==6

X₂==-8, значит (-8;6)

Построим график

Запись на доске и в тетрадях:

а) 2х² - 7х + 6 > 0

Ученик 2: График данной функции является параболой, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при x² положителен).

Решим уравнение 2х² - 7х + 6 = 0

Запись на доске и в тетрадях:

2х² - 7х + 6 = 0

D == = 1

X₁==1,5

X₁==2, значит (-;1,5)(2;+)

Ученик 1: Построим график

Запись на доске и в тетрадях:

Решим № 305 (а). Задание: Найдите множество решений неравенства.

(К доске вызывается ученик).

Запись на доске и в тетрадях: № 305 (а).

а) 2х² + Зх - 5 > 0

Запись на доске и в тетрадях: № 305 (а).

а) 2х² + Зх - 5 > 0

График данной функции является параболой, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при x² положителен).

Решим уравнение 2х² + Зх - 5 = 0

Запись на доске и в тетрадях:

2х² + Зх - 5 = 0

D == = 7

X₁==1

X₂==-2,5, значит (-;-2,5][1;+)

Ученик: Построим график

Запись на доске и в тетрадях:

Решим № 306 (г). Задание: Решите неравенство.

(К доске вызывается ученик).

Запись на доске и в тетрадях: № 306 (г).

а) -2х² - 5х + 18 < 0

Запись на доске и в тетрадях: № 306 (г).

а) -2х² - 5х + 18 < 0

Ученик: График данной функции является параболой, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при x² отрицателен).

Решим уравнение -2х² - 5х + 18 = 0

Запись на доске и в тетрадях:

-2х² - 5х + 18 = 0

D == = 13

X₁==2

X₂==-4,5, значит (-;-4,5][2;+)

Ученик: Построим график

Запись на доске и в тетрадях:

Подведение итогов урока и домашнее задание

Сегодня на уроке мы изучили алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной. Ответьте на мои вопросы.

Что называют неравенством второй степени с одной переменной?

Неравенства вида ах² + вх + с > 0 и ах² + вх + с < 0, где х - переменная, а, в и с - некоторые числа и а ≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Сформулируйте алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

Для решения неравенств вида ах² + вх + с > 0 и ах² + вх + с < 0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена ах² + вх + с и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отвечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3) находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ах² + вх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах² + вх + с < 0). Эти правила называют алгоритмом решения неравенств второй степени с одной переменной.

Мы продолжим решение задач по этой теме на следующем уроке. Есть ли у вас какие-то вопросы ко мне? Задавайте.

(Далее выставляются оценки, задаётся домашнее задание).

Домашнее задание: § 6.14, № 304 (д,е), № 305 (б), № 306 (в).

Запись на доске и в дневниках: § 6.14, № 304 (д,е), № 305 (б), № 306 (в).

Запись на доске и в дневниках: § 6.14, № 304 (д,е), № 305 (б), № 306 (в).