Проблемно-эвристический урок в 9 классе «Решение практических задач с применением арифметической и геометрической прогрессий»

Проблемно-эвристический урок в 9 классе

«Решение практических задач с применением арифметической и геометрической прогрессий».

Цели урока:

Общеобразовательные: понять смысл практических вычислений с применением арифметической и геометрической прогрессий, выяснить разницу в применении арифметической и геометрической прогрессий.

Воспитательные: Формировать навыки самостоятельной работы, умение работать в системе диалога в парах.

Развивающие: формировать умение анализировать, решать задачи практического содержания, умение прогнозировать, сравнивать полученные результаты, делать выводы, формирование познавательной деятельности
ученика и развитие его творческих способностей .

1. Вступительное слово учителя. Мы в процессе изучения арифметической и геометрической прогрессии. Мы научились задавать последовательности чисел. Но где в жизни можно применить эти навыки? Например, в будущем, положив деньги на счёт в банк, мы сможем просчитать прибыль, которую получим. На предприятиях экономисты при начислении зарплаты, расчета прибыли ведут расчеты по законам арифметической и геометрической прогрессий. Сегодня на уроке мы рассмотрим несколько таких практических задач.

Оборудование: компьютеры на каждой парте, система Windows

Ход урока:

I Проверка домашнего задания. (8 минут)

Учащимся была предложена задача: Цена товара снижена на 30%, а через месяц еще на 30%. На сколько процентов снижена цена за два снижения?

Учитель спрашивает, как учащиеся справились с задачей. Один из учащихся демонстрирует решение на доске.

Ответ: Обозначим за х - первоначальную цену товара, тогда цена товара после первого снижения будет равна 0,7х. Во второй раз цену снизили тоже на 30% от новой цены, то есть она стала 0,7 *0,7х = 0,49х. Итак, мы получаем новую цену 0,49х. Значит, цена снижена на х - 0,49х = 0,51х.

0,51 от х - это 51% от первоначальной цены.

Ответ: на 51%.

Еще раз учитель обращает внимание на выражение:

0,49х = 0,7 * 0,7х = 0,7² х.

Учитель. А теперь мы постараемся вывести алгоритм решения нашей домашней задачи для n снижений. Скажите, а как найти цену после трех снижений на 30%, четырех снижений на 30% и так далее?

Ученики отвечают, что появятся множители 0,7³, 0,7⁴ и так далее.

Учитель. Какой вывод можно сделать?

Ученик. Каждая новая цена получается из предыдущей цены умножением на 0,7.

Учитель. Назовем это число коэффициентом снижения цены. А теперь выводим алгоритм решения нашей задачи.

Говорят ученики.

1. х - первоначальная цена товара;

2. 0,7х - цена после первого снижения;

3. 0,7²х - цена после второго снижения;

4. 0,7ⁿх - цена после n-ого снижения.

Учитель. Какую прогрессию напоминает вам эта

последовательность?

Ученик. Геометрическую.

Учитель. Таким образом, мы имеем последовательность

чисел. Каждый член этой последовательности

подсчитывается как произведение предыдущей члена,

умноженное на коэффициент снижения цены.

II Практические задания.

Посмотрим на практических задачах, в каких случаях применяется арифметическая, а в каких - геометрическая прогрессии.

Задача 1. Мы положили в банк 6 000 рублей. Каждый год происходит начисление 10% от предыдущей суммы. Какая сумма денег будет в банке через год, два года, три года?

Дается время 3 минуты на то, чтобы обдумать решение задачи. Учащиеся решают задачу парами.

Ответ: 10% равняется 0,1 от суммы. Следовательно, к сумме добавляется 0,1 от предыдущей суммы и новая сумма будет равна после первого года:

6000 * 1,1 = 6600 рублей.

После второго года сумма будет равна:

6600 * 1,1 = 6000 * 1,1² = 6000 * 1,21 = 7260 рублей.

После третьего года сумма будет равна

7260 * 1,1 = 6000 * 1,1³ = 6000 * 1,331 = 7986 рублей.

Ответ: 7986 рублей

Задача 2. Дадим понятие простых и сложных процентов Простые проценты - это постоянная сумма, начисляемая банком за равные промежутки времени. (Это прообраз арифметической прогрессии).

Сложные проценты начисляются иначе. Каждый год начисляется процент от новой суммы. Эту задачу мы рассмотрели выше и это прообраз геометрической прогрессии.

Допустим, что мы положили деньги 20000 рублей в три банка.

В первом банке начисляют простые проценты 3% в месяц;

во втором банке - простые проценты 40% в год;

в третьем банке - сложные проценты 30% в год.

Найти, где выгоднее будет лежать наш вклад через три года.

Задание дается на 5 минут ( работа в парах) с последующим показом на доске. Вызываем 3 человек. Первый показывает вычисления суммы в первом банке:

Ответ первого ученика: если в месяц начисляется 3% от 10000 рублей, то в год их будет 36%, а через три года

А= 36% * 3 = 108% , что составляет 21600 рублей.

Сумма вклада будет равна 20000 + 21600 = 41600 рублей.

Ответ второго ученика: второй банк начисляет 40% простых процентов от суммы 10000 рублей три года. Начисление будет равно:

0,4 * 20000 *3 = 24000.

Значит, через три года сумма будет равна:

А= 20000 + 24000 = 44000 рублей.

Ответ третьего ученика: Третий банк начисляет сложные 30% процентов, увеличивая каждый год вклад на 30% от предыдущей суммы, то есть в 1,3 раза. Мы имеем дело с геометрической прогрессией и считаем сумму по формуле:

А= 20000 * 1,3³ = 43940 рублей.

Вывод ученика: Таким образом, можно путем вычислений убедиться, что выгоднее вложить деньги во второй банк.

Задача 3. Численность сотрудников на предприятии 50 человек, а рабочих - 100 человек. В течение трех лет планируется увеличивать ежегодно число сотрудников на 20% от начального количества и в 1,1 раза число рабочих. Сможет ли количество работников достичь числа 200?

На решение задачи учащимся дается 5 минут. Затем 2 ученика выходят к доске и показывают свои расчеты. Первый ученик подсчитал число сотрудников по формулам арифметической прогрессии:

а ₁= 50; d = 0,2 * 50 = 10; a₃ = a₁ + 2*d = 50 + 2 *10 = 70.

Второй ученик показывает вычисление количества рабочих по формулам геометрической прогрессии:

b₁ = 50; q = 1,1; b₃ = b₁ * q² = 100 * 1,21 = 121.

Таким образом, число всех работников предприятия будет 121 +70 = 191.

Ответ: не сможет.

III Практическая работа с применением ПК. (14 - 15 минут).

Задачи решаются в парах (метод взаимного обучения),

тексты задач читают с монитора компьютера.

Учитель консультирует, выборочно оценивает работы.

Задача 4 В течение года ожидается инфляция около 10% в месяц от уровня января. В январе работник получил 8000 рублей. Предприятие индексирует заработную плату на эти 10% инфляции. Превысит ли заработная плата рабочего 140000 рублей в конце года?

Примерное решение учеников:

a₁ = 8000; d = 0,1 *8000 = 800.

Подсчитаем сумму 12 членов этой прогрессии:

S₁₂ =

Ответ: да, превысит.

Задача 5 Допустим, что мы положили деньги 30000 рублей в три банка.

В первом банке начисляют простые проценты 4% в месяц;

во втором банке - простые проценты 47% в год;

в третьем банке - сложные проценты 40% в год.

Найти, где выгоднее будет лежать наш вклад через два года.

4. Подведение итогов, рефлексия.

4. Домашнее задание:

По выбору:

1) Провести исследование:

«Существует легенда об изобретении шахматной доски. Изобретатель шахматной доски попросил в награду положить на первую клетку шахматной доски 1 зерно, на вторую - в 2 раза больше, на третью в два раза больше, чем на предыдущую клетку и так далее. Возможно ли подсчитать, сколько зерен будет лежать на каждой из 64 клеток. Если да, то сколько?»

2) Провести историко-математическое исследование «Прогрессии в истории математики», подготовить сообщение на

5 мин.

3) Придумать две задачи по теме «Простые проценты, сложные проценты» к следующему уроку.

Умение анализировать решения задачи с выводом алгоритма решения от одного события к нескольким событиям.

Действие по алгоритму, работа в парах, речевое осмысленное объяснение алгоритма решения задачи

Знаково -символическое действие, включая моделирование.

знаково-символические действия, включая моделирование (преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта и преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область);

Решение по алгоритму

Решение по алгоритму,

моделировать условие, строить логическую цепочку рассуждений,