Алгебра 10 класс. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РАЗМЕНОВ ТЕТРА(ПЮР) ПАКЕТОВ

(ЭКОЛОГИЧЕСКИ ОБОСНОВАННЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИ ВЫГОДНЫХ)

Автор. Строева Ирина Ивановна, учитель математики ГУ «ОСШ №23 с дошкольным мини-центром и лицейскими классами», г. Актау, Мангистауская область.

Аннотация. Разработка урока алгебры и начала анализа для 10 класса. Применение методов математического анализа для решения экологической проблемы - бытовые отходы. При изучении методов нахождения наибольшего и наименьшего значений функции поставить задачу для учащихся: Вычислить размеры тетра(пюр) пакета, чтобы на его изготовление было использовано наименьшее количество картона при сохранённом объёме.

Цель. Учащиеся научатся использовать алгоритм математического анализа для решения

практической задачи: экологическая проблема - уменьшение бытовых отходов, экономическая - уменьшение стоимости.

Задачи. Научить использовать метод нахождения наибольшего и наименьшего значений

функции при решении различных задач. Научить детей проводить исследования.

Развить интерес к изучению математики, которая позволяет находить решение широкомасштабной проблемы: уменьшить количество картона на изготовление упаковки, уменьшение бытового мусора и уменьшение её стоимости.

Воспитать в учениках добросовестное отношение к изучаемому предмету. Через теоретическое решение задач формировать у учеников активное и сознательное отношение к окружающему миру и его проблемам.

Предварительная подготовка.

1. Перед занятием дети получают задание: измерить габариты трёх различных упаковок соков, молока объёмом 1 л и вычислить для каждой площадь полной поверхности. Результаты измерений и вычислений внести в таблицу.

№

Длина (а см)

Ширина ( в см)

Высота ( с см)

S_пп (см²)

2. Принести ножницы.

Ход мероприятия.

Ӏ. Познакомить учеников с целями и задачами урока.

ӀӀ. Познакомить ребят одной из глобальных проблем, которую выделил Президент республики Казахстан в своём послании от 14.12.2012. Стратегия «Казахстан-2050» Новый политический курс состоявшегося государства».

Н.А. Назарбаев в своём докладе выделил десять глобальных вызовов ХХI века. Мы можем приложить свои знания и умения для решения проблемы шестого вызова.

Шестой вызов - исчерпаемость природных ресурсов. В условиях ограниченности, исчерпаемости природных ресурсов Земли беспрецедентный в истории человечества рост потребления будет подогревать разнонаправленные как негативные, так и позитивные процессы.

ӀӀӀ. Вводная часть.

Научный подход и математически выверенный расчет помогут не только ответить на вопрос об оптимальной упаковке товара, но грамотно и четко уменьшить бытовые отходы и решить проблему нанесения вреда окружающей среде.

Современная упаковка должна быть оптимальной по стоимости, привлекательной по внешнему виду, надежно защищать то, что в ней содержится, обеспечивать удобную транспортировку. Обязательным условием оптимизации упаковки является стандартная форма, что значительно облегчает транспортировку и складирование товаров.

Перед производителями возникает задача снижения затрат на упаковочные материалы и вследствие чего снижения цены товара. Одним из вариантов решения этой проблемы является использование полимерных пленок, но они обладают самыми низкими экологическими свойствами, при сгорании в окружающую среду выделяются такие вредные вещества как диоксиды, стирол, хлор и др.

Если упаковка не отправлена на специализированные предприятия, а просто выброшена, то она долгие годы может загрязнять окружающую среду. Многие виды упаковки (полимерная, стеклянная) практически не разрушаются самопроизвольно, другие виды (металлическая) разрушаются в течение нескольких лет.

Экологические свойства упаковки - способность ее при использовании и утилизации не наносить существенного вреда окружающей среде.

Абсолютно безопасных для окружающей среды видов упаковки нет, так как при утилизации разных видов упаковки в окружающую среду выделяются разнообразные вещества, отличающиеся различной степенью воздействия на нее.

Современная упаковка сока, молока которую мы рассматриваем имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Выполнена она из композиции синтетических и натуральных материалов. Предложить ученикам разрезать одну из их упаковок и рассмотреть из чего она изготовлена (слои картона и полимерной плёнки).

ӀV. Историческая справка.

Задача Дидоны. Среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.

Многие историки полагают, что это - первая экстремальная задача, обсуждавшаяся в научной литературе. Ее называют классической изопериметрической задачей. Можно доказать, что кривая, решающая классическую изопериметрическую задачу, - это окружность.

Столько купили земли и дали ей имя Бирса, сколько смогли окружить бычьей шкурой.

Вергилий ``Энеида''. Приведенные строки относятся к событию, произошедшему, если верить преданию, в IX веке до н.э.

Финикийская царевна Дидона, спасаясь от преследований своего брата, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось одно место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона повела переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, можно ``окружить бычьей шкурой''. Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда Дидона изрезала шкуру быка на мелкие тесемки, связала их воедино и окружила большую территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

V. Алгоритм решения задачи на нахождения наибольшего и наименьшего значений величин:

1. Проанализировав условие задачи, выделите оптимизируемую величину;

2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин принять за независимую переменную и установить реальные границы ее изменения в соответствии с условиями задачи;

3. Исходя из условия задачи, составить функцию подлежащую исследованию, выразив оптимизируемую величину через независимую переменную и известные величины;

4. Для полученной функции найти наибольшее или наименьшее в зависимости от условия значение в промежутках реального изменения аргумента;

5. Исходя из результатов исследований, записать ответ в терминах предложенной задачи.

VӀ. Вычисления.

Проблема: Изготовить упаковку для сока (молока) емкостью 1л = 10см³ с минимальными затратами картона на ее изготовление.

Математическая модель упаковки - прямоугольный параллелепипед

Метод решения: применение производной к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции.

Предложить ученикам раскрепить швы тетра пакета и развернуть его. Получится прямоугольник, у которого длина будет равна (2а + 2в), а высота (с + в).

Площадь полной поверхности вычисляется по формуле: S = (2а + 2в)(с + в) (1)

Используя формулу объёма прямоугольного параллелепипеда V = авс, выразим с = (2)

Подставим (2) в (1). Заменим, а = х, Получим функцию S(x) = + 2вх + + 2в²

Исследуем эту функцию S(x) на наименьшее значение при в (0; + ∞)

S^׀(x) = 2в . Решая уравнение 2в = 0, найдём его корни х = .

Сделаем чертёж.

S^׀(x) +

S(x) 0

Из чертежа видно, что рассматриваемая функция S(x) убывает при х (0; ] и возрастает при х; + ∞). Значит, функция имеет наименьшее значение при х _min = . Следовательно, длина упаковки равна, а = .

Вычислим с - значение высоты прямоугольного параллелепипеда с = = = ; Получили а = с = (3)

Подставим (3) в формулу (1): S = (2 + 2в) ( + в) = + 40 + 2.

Исследуем функцию S (в) = + 40 + 2 на наименьшее значение на в (0; + ∞)

S^׀(в) = + + 4в; решая уравнение методом замены переменной S^׀(в) = 0 получим его корни в = = 5 ≈ 9,85.

Проведя дальнейшие исследования, получим в _наим. = 5 ≈ 6,3

Вычислим, а = с = = 10 ≈12,6 .

Из полученных результатов сделаем вывод: длина и высота параллелепипеда должна быть в два раза больше ширины. То есть, если одно измерение тетра пакета будет в два раза меньше двух других, то на её изготовление уйдёт наименьшее количество материала при сохранённом объёме 1 л.

Вычислим площадь полной поверхности S по формуле (1) при найденных значениях ребер параллелепипеда. S = 2(12,6 +6,3)(12,6 + 6,3) = 2 (12,6 + 6,3)² = 714,42 см² ≈ 715 см².

VӀӀ. Проведем сравнительный анализ оптимального значения с реальными габаритами тетра пакетов из таблицы.

Например: тетра пакет 1л Молоко «Айналайын».

Его измерения: а = 9,5см, в = 6,5см, с = 16,5см, то площадь полной поверхности по формуле (1) равна: S_пп = 2( 9,5 + 6,5) (16,5 + 6,5) = 736 см².

Вычислим разность вычисленных площадей = S - S_пп = 736 - 715 = 21 см².

Такую площадь имеет , например, прямоугольник со сторонами 7см и 3см. Предложить ученикам из развёртки упаковки вырезать такой прямоугольник, и самим увидеть какую часть картона можно экономить.

VӀӀӀ. Предложить ученикам вычислить для других тетра пакетов и заполнить последний её столбик.

Анализируя данные можно убедится, что изменение размеров тетра пакета приведёт к экономии материала(картона), а значит массы бытовых отходов.

Сравнительная таблица

Количество тетра пакетов (шт)

S_пп при существующих размерах (см²)

S при оптимальных размерах (см²)

Разность площадей (см²)

Разность масс (г)

Кол-во сэкономленных пакетов (шт)

1

1

736

715

21

1

-

2

36

26496

25740

756

36

1

3

4000

2944000

2860000

84000

4000 = 4кг

117

4

24000

17664000

17160000

504000

24000 = 24кг

704

5

72000

52992000

51480000

1512000

72000 = 72кг

2114

Преимущества упаковки с наименьшими возможными размерами очевидны. Предложить ученикам самим сделать выводы по массе, по площади и по количеству сэкономленных тетра(пюр) пакетов.

ӀХ. Хочется закончить занятие словами президента Казахстана из послания от 14.12.2012. Стратегия «Казахстан-2050»:

Наша страна обладает здесь рядом преимуществ. Всевышний дал нам много природных богатств. Другим странам и народам будут нужны наши ресурсы.

Нам принципиально важно переосмыслить наше отношение к своим природным богатствам. Мы должны научиться правильно ими управлять, накапливая доходы от их продажи в казне, и самое главное - максимально эффективно трансформировать природные богатства нашей страны в устойчивый экономический рост.

Х. Предложить ученикам самостоятельно рассмотреть задачу: Вычислить страницы учебника, чтобы сохранить объём печатного материала, но чтобы на его изготовление потребовалось меньше бумаги. Сравнить полученные результаты с имеющимися учебниками старшей и начальной школы.

Использованная литература:

1. Послание Президента Республики Казахстан Н.Назарбаева народу Казахстана СТРАТЕГИЯ «Казахстан-2050». 14 декабря 2012 г.

akorda.kz/ru/page/page_poslanie-prezidenta-respubliki-kazakhstan-n-nazarbaeva-narodu-kazakhstana-14-dekabrya-2012-g_1357813742

2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10кл. е.-м. направления/ А.Е.Абылкасымова и др., - Алматы: «Мектеп», 2010.

3. Факультативный курс: учебное пособие ля 11кл./И.Ф.Шарыгин и др., - Москва: «Просвещение», 1991.

4. Математика: в экзаменационных вопросах/Л.И.Василюк и др., - Минск: «Белорусская энциклопедия», 1997.

5. Алгебра и начала анализа 10кл: учебное пособие для учащихся школ и классов с

6. углубленным изучением математики/Н.Я.Виленкин и др., Москва: «Просвещение», 1993.

7. Начала математического анализа в задачах: учебное пособие, интернет - библиотека/Г.Ю. Буракова и др., ссылка: citoweb.yspu.org/link1/metod/met33/met33.html

8. Рассказы о максимумах и минимумах/В. М. Тихомиров - Москва: Издательство МЦНМО, 2006, интернет - библиотека, ссылка: files.school-collection.edu.ru/dlrstore/d63013c6-a780-11dc-945c-d34917fee0be/72_tikhomirov_minimax.pdf

9. Сайт: Технологии, оборудование, упаковка packmash.narod.ru/pure.html

10. Сайт: товары, упаковка, производители.

nash-gorod.kz/Firms/ru/284?gclid=CP3Ru7PcwrMCFa52cAodIBsASA