Урок математики: Функции, их свойства и графики

Урок № 1, 2

Тема урока: Функции, их свойства и графики

Цели урока.

1. Обобщить и систематизировать материал вышеуказанной темы; совершенствовать умения учащихся определять свойства функции по ее графику; совершенствовать умения и навыки учащихся строить графики функций; развивать графическую культуру учащихся.
   
   

2. Продолжить работу над формированием математической речи, логического мышления, развития творческих способностей учащихся.
   
   

3. Воспитывать уважительное отношение к общечеловеческим ценностям. Продолжить работу над формированием гуманных отношений на уроке.

Наглядные пособия: мультимедийная доска.

Ход урока

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания.

На доске изображено решение номеров, заданных на дом. Учитель комментирует это решение. Учащиеся проверяют выполнение домашних упражнений.

В-3 № 14 ( 1 - 4 )

Найдите область значения функции.

1)

Составим уравнение .

Оно равносильно уравнению , которое имеет решение, если a - 9 ≥ 0, т.е. при a ≥ 9 . Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом,

E ( f ) = [ 9 ; +∞ ) .

2).

Составим уравнение x² + 3 = a .

Оно равносильно уравнению x² + 3 = a , которое имеет решения, если
a - 3 ≥ 0 , т.е. при a ≥ 3 . . Все эти числа и составят область значений функции. Таким образом,

E ( f ) = [ 3 ; +∞ ) .

3).

Построим график функции

По графику видно, что
E (g) = (−∞ ; 7 ]

4) φ (x)= 3 + 4 x + x²

Составим уравнение 3 + 4 x + x² = a .

Оно равносильно уравнению x² + 4 x + ( 3 - a ) = 0 которое имеет решение при D ≥ 0 .

D = 4² −- 4 · 1 · ( 3 - a ) = 16 - 12 + 4 a = 4 + 4 a ;

4 + 4 a ≥ 0 ; 4 a ≥ -4 ; a ≥ −1 .

Значит, E (φ) = [ −1 ; +∞).

В - 3 №24 ( 1 - 5 ; 8 )

Является ли четной или нечетной функция?

1).

D ( f ) = ( −∞ ; +∞ ).

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

Значит, f ( x ) - четная функция.

2).

D ( f ) = ( −∞ ; +∞ ) .

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

f ( −-x ) ≠ f ( x ) ; f ( x ) ≠ −- f ( x ) .

значит, f ( x ) не является ни четной, ни нечетной функцией.

3).

x² − 16 ≠ 0 ; |x| ≠ 4 ; x₁ ≠ −4 ; x₂ ≠ 4 .

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

Значит, f (x ) четная функция.

4).

3 − |x| ≥ 0 ; |x| ≤ 3 ; −3 ≤ x ≤ 3 .

Следовательно, D ( f ) = [−3 ; 3] .

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

Значит, f (x ) четная функция.

5).

D ( f ) = (−∞ ; +∞ ).

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

Значит, f (x ) нечетная функция.

8).

f ( x ) = 16x ; D ( f ) = (−∞ ;+∞).

Область определения данной функции симметрична относительно 0.

f (−x ) = 16 ∙ (−x ) = −16x = −f ( x ) .

Значит, f (x ) нечетная функция.

В-3 № 16 ( 7 )

На рисунке изображен график функции y = f ( x ) , определенной на промежутке [−5 ; 4 ]. Пользуясь графиком, найдите количество корней уравнения f ( x ) = a в зависимости от значения a.

Решение

а) При а = −3 ; уравнение имеет один корень.

б) При a = 1,5 ; уравнение имеет два корня.

в) При уравнение имеет три корня.

г) При уравнение корней не имеет.

III Мотивация учебной деятельности учащихся.

Учитель напоминает учащимся, что с понятием функции и свойствами функции они познакомились в курсе алгебры. Эта тема является важной и в курсе начал анализа. На уроках в 10 классе учащиеся расширили и углубили знания о функциях. Сегодня на уроках учащимся предстоит обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме «Функции, их свойства и графики»; подготовиться к контрольной работе.

Учитель предлагает каждому из учащихся, соответственно с целью уроков, поставить свои цели, над достижением которых они будут трудиться.

IV Обобщение и систематизация знаний.

Разминка. Учитель разбивает класс на три команды: I ряд - первая команда; II ряд - вторая команда; III ряд - третья команда. Представители команд, поочередно, задают другим командам вопросы по теории, подготовленные заранее.

V Обобщение и систематизация умений и навыков.

1. На доске изображены задания теста-диагностики. Учащиеся в тетради записывают ответы. Затем на доске появляются правильные ответы. Учащиеся выполняют проверку.

Тест

1). Укажите значение функции y = −x² + 2 , если x = 2.

А) 8 Б) 5 В) −5 Г) −2 Д) 7

2). Функция задана формулой f ( x ) - x² + 4 x .

Найдите все значения x , для которых f ( x ) = 5 .

А) 0 Б) −5; 1 В) −1 Г) 1 Д) −5

3). Областью определения какой из данных функций является множество действительных чисел?

А) Б) В) Г)

4). У какой из приведенных функций область определения совпадает с множеством значений?

А) y = x² Б) В) Г)

5). Укажите функцию, график которой проходит через точку A (2 ; 1)

А) y = x + 1 Б) y = x² В) y = x³ − 7 Г) y = 4 − x² Д)

6). Укажите эскиз графика функции y = x² + a x + b ,
если a² − 4 b > 0 .

7) Какая из приведенных функций является строго убывающей в своей области определения?

А) y = π − 2 x Б) y = x² + 2 x В)

Г) Д) y = π + 2 x

8) Известно, что y = f ( x ) возрастает на множестве действительных чисел. Укажите верное неравенство.

А) f ( −5) > f ( 5 ) Б) f ( −5 ) ≤ f ( 5 )

В) Г)

9) Найдите нули функции y = −3 x + 2

А) 0,5 Б) ⅔ В) 1,5 Г) −2 Д) 0

10) На каком из рисунков изображен график четной функции?

11) На каком из рисунков изображен график нечетной функции?

12) На рисунке изображен график функции y = f ( x ) , определенный на множестве действительных чисел. Пользуясь рисунком, найдите множество решений неравенства f ( x ) > 0 .

А) (−1 ; 3 )

Б) (−3 ; 2 )

В)

Г)

Ответы к тестовым заданиям

1) Г 5) В 9) Б

2) Б 6) В 10) Б

3) А 7) А 11) В

4) Г 8) В 12) Г

2) Работа в группах

Учитель объединяет учащихся в группы: I группа - парты 1, 3, 5; II группа - парты 2, 4, 6. I группа - «художники»; II группа - «аналитики». Группы получают задания.

Задание для «художников»

Начертите эскиз графика функции, используя следующие сведения об этой функции: f ( x ) - нечетная функция; нули функции x = −6 ; x = 0; x = …; наименьшее значение функции равное −2 достигается при x =−3. При x = 3 достигается наибольшее значение, равное … Функция убывает на промежутках [ −8 ; −3 ] и …; возрастает на промежутке [ −3 ;…].
f ( −8 ) = 1. Область определения функции:
Множество значений функции: .

Задание для «аналитиков»

По графику функции, представленному на рисунке, полностью опишите ее свойства.

Во время работы групп учитель консультирует учеников, отвечает на вопросы, которые у них возникают.

Группы выделяют представителей для презентации решения заданий у доски.

Учащиеся записывают в тетрадях оба задания.

Решение задания «художников»

Решение задания «аналитиков»

Область определения функции: D ( f ) = [−6 ; 6 ].

Множество значений функции: E ( f ) = [−2 ; 4 ].

Функция является четной, т.к. график функции симметричен относительно оси ординат. Нули функции: .

Функция возрастает на промежутке [ −4 ; −2 ] ; [ 0 ; 2 ] ; [ 4 ; 6 ].

Функция убывает на промежутке [ −6 ; −4 ] ; [−2 ; 0 ] ; [ 2 ; 4 ] .

Промежутки знакопостоянства: y > 0 при

; y < 0 при

.

Наибольшее значение функции равно 4 при x = −6 и x = 6.

Наименьшее значение функции равно −2 при x = −4 x = 4.

В то время, как представители команд у доски готовятся к ответу, учитель предлагает учащимся класса устные упражнения.

3) Решение устных упражнений на геометрическое преобразование графиков функций

1. График какой функции изображен на рисунке?

А) y = x² + 3

Б) y = x² - 3

В) y = −x² + 3

Г) y = −x² − 3

2. График какой функции изображен на рисунке?

А)

Б)

В)

Г)

3) Как надо перенести параллельно график функции , чтобы получить график функции ?

А) на 4 единицы вверх;

Б) на 4 единицы вниз;

В) на 4 единицы вправо;

Г) на 4 единицы влево.

4) График функции y = x² отобразили симметрично относительно оси абсцисс, а затем параллельно перенесли на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. График какой функции получили?

А) y = −( x² + 2 ) В) y = (−x − 2 )²

Б) y = −x² + 2 Г) y = −( x − 2 )²

5) На рисунке изображен эскиз графика функции y = f ( x ) .Укажите эскиз функции графика y = f ( x + 2 ) .

6. Среди приведенных графиков определите график функции

y = −( x − 1 )²

7) График функции параллельно перенесли на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс, а затем параллельно перенесли на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. График какой функции получили?

А) В)

Б) Г)

Ответы к устным упражнениям

1) В 2) Б 3) В 4) Б

5) А 6) Б 7) А

4) Решение письменных упражнений

Дидактический материал: А.Г. Мерзляк; В.Б. Полонский; Е.М.Рабинович; М.С. Якир «Алгебра и начала анализа 10. сборник задач и контрольных работ»; Харьков; «Гимназия»; 2010: В - 1 № 19 ( 2 ) ; № 20 ( 2 ).

В - 1 № 19 ( 2 )

Постройте график функции; укажите промежутки возрастания и промежутки убывания функции:

Решение

1) f ( x ) =−2 x −3 ; x ≤ −4

2) f ( x ) = x² + 2 x −3 ; −4 < x < 2

3) f (x ) = 5 ; x ≥ 2

Функция f ( x ) убывает на промежутке .

Функция f ( x ) возрастает на промежутке .

В - 1 № 20 (2 )

Найдите область определения функции и постройте ее график:

Решение

x² −5 x ≠ 0 ; x ( x −5 ) ≠ 0 ; x ≠ 0 ; x ≠ 5

Значит, надо построить график функции на области определения

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

f( x )

-1

-1⅓

-2

-4

4

2

1⅓

1

5. «Мозговой штурм»

После оглашения условия задания, которое необходимо решить, учитель предлагает всем высказать свои идеи, комментарии, пути решения. Все предложения записываются на доске в порядке их оглашения без комментариев или вопросов. После обговариваются и оцениваются предложенные идеи. Учащиеся записывают в тетрадях решение задания.

Задание На рисунке изображен график функции y = a x² + bx + c.

Определите знаки параметров a , b , c .

Решение

Так как ветви параболы направлены вниз, то a < 0 . Поскольку
y (0 ) = c , то из рисунка видно, что с > 0 . Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле: ; −b > 0 ; b < 0 .

Значит, a < 0 , b < 0 , c > 0 .

Ответ: a < 0 , b < 0 , c > 0 .

6. Дополнительное задание

При каком наименьшем целом значении m функция
y = 7m x + 6 − 20 x является возрастающей?

Решение

y = 7m x + 6 − 20 x ;

y = (7m − 20) x + 6 − это линейная функция. Она будет строго возрастающей в своей области определения, если 7m − 20 > 0 ;

7 m > 20 ; ; .

Значит, m = 3 − наименьшее целое значение, при котором данная функция является возрастающей.

Ответ: при m = 3 .

VI Итог уроков

Учитель задает классу вопросы.

1. Понравилась ли вам форма проведения урока?

2. Была ли ваша работа на уроке продуктивной?

3. Удалось ли вам заполнить пробелы в знаниях?

4. Достигнута ли цель урока?

5. На какие моменты нужно обратить внимание при подготовке к контрольной работе?

VII Домашнее задание

По сборнику из В-3 № 13 ( 16 ; 17 ; 19 ) ; № 15 ( 3 ; 4 ) ; № 19 ( 2 ) ;

№ 20 ( 2 ) .