Исследовательская работа: Как научиться решать тригонометрические уравнения

Как научиться решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрия - это один из главных разделов в математике. В школьном курсе рассматриваются только простейшие тригонометрические уравнения. Способ решения - самый примитивный. Когда я просматривала экзаменационные материалы, я пришла к выводу, что этих знаний недостаточно. Навыки решения тригонометрических уравнений полезны, а иногда просто необходимы при решении других задач.

Основная трудность при решении тригонометрических уравнений заключается в том, что обнаружить ошибку в решении простой проверкой невозможно.

Целью моей работы является расширение представления о способах решения тригонометрических уравнений.

Что же такое тригонометрия, как и кем она образована.

Тригонометрия - это микро раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Очень важной частью этого микро раздела, имеющей колоссальное значение в области практического применения, является решение тригонометрических уравнений. Они позволяют проводить измерения там, где их невозможно произвести сравнением с эталоном. Например, в астрономии, где в большинстве случаев невозможно использовать какой-либо измерительный прибор.

Как и все науки, тригонометрия возникла из потребностей жизни. Развитие мореплавания требовало умения определять положение корабля в открытом море по солнцу и звездам. Войны, которые правители вели между собой, требовали умения определять большие расстояния и составлять карты местности. Землепашцу надо было знать смену времен года, чтобы своевременно производить, необходимы сельскохозяйственные работы и т. д. Все это и многое другое привело к необходимости развивать астрономию, а развитие астрономии было немыслимо без развития тригонометрии.

Тригонометрия возникла и развивалась у народов с развитой торговлей и сельским хозяйством: у вавилонян, греков, индийцев, китайцев. Зародилась она много веков назад и в течение тысячи лет оставалась частью астрономии.

Решение тригонометрических уравнений довольно трудная тема школьной математики. Некоторое время я никак не могла научиться их решать, наверное, потому, что не совсем понимала что это и для чего мне эти уравнения нужны. Потом … села за учебники: школьные и не совсем школьные и вот что я поняла.

Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

Решение любого тригонометрического обычно сводится к решению простейших тригонометрических уравнений вида sin x =a, cos x = a, tg x =a и т.д., где а - действительное число. Для решения можно воспользоваться либо графиком соответствующей тригонометрической функции или числовой окружностью.

Возможно, именно из-за такого большого количества способов применения решений тригонометрических уравнений в практических целях они так разнообразно представлены в материалах единого национального тестирования по математике.

На уроке обычно, знакомясь с новой темой, мы сначала спокойно решаем легкие тригонометрические уравнения. Но сталкиваясь с трудностями, мы не понимаем их и бросаем, так и не разобравшись…

В школьном курсе математики изучаются способы и методы решений, но уделяется этому мало времени. А, именно, разбор этих примеров позволит выпускнику не только подготовиться к единому национальному тестированию по математике, но и научится нестандартно мыслить, так как самое сложное в тригонометрии - это видеть, какую формулу и где нужно применить, чтобы достигнуть результата. Я, думаю, что изучив данный материал, и рассмотрев его применение на практике, я расширю и углублю свои знания по теме, что будет способствовать развитию логического и творческого мышления в процессе решения задач. Вообще работу с тригонометрическими уравнениями естественно нужно начинать с простейших тригонометрических уравнений, затем решать уравнения, сводящиеся к квадратным, однородные тригонометрические, уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного угла, с помощью замены sin x + cos x= t.

Итак, простейшим тригонометрическим уравнением ,называют уравнение f(x)= а , где а - данное число , а f(x)-одна из основных тригонометрических функций.

Тригонометрические уравнения первого типа

Основные формулы

, ,

, ,

, ,

, ,

Образец:

;

Решение:

, ,

,,

, , ,

, ,

Ответ: ,.

Уравнения первого типа (простейшие) решать вовсе не трудно, просто нужно знать формулы. Но далее представлены тригонометрические уравнения , сводящиеся к простейшим с помощью замены аргумента тригонометрических функций , а также уравнения сводящиеся к квадратным или рациональным .

Уравнения, сводящиеся к простейшим, заменой неизвестного

Рассмотрим примеры решения уравнения, которые после введения нового неизвестного f(x)= t , где f(x)-одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Образец: 2cos x² +3cos x + 1 =0

Введем новое неизвестное cos x = t, тогда это уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t:

2t² +3t +1 =0

Это уравнение имеет два корня t₁= -1 и t₂=- 0,5.

Следовательно , множество всех решений уравнений(1) есть объединение множеств всех решений двух уравнений cos x=-1 и cos x= - 0,5 .

Решая каждое из этих уравнений , находим , что множество решений уравнения3 состоит из трех серий решений : x_m =m , mZ, x_n=

Применение основных тригонометрических

формул для решения уравнения

1. Применение основных тригонометрических тождеств

Решение : применяя основное тригонометрическое тождество
, перепишем уравнение 1 в виде 2sin² x+sin x - 2= 0
Введем новое неизвестное sin x=t, тогда уравнение 2 превращается в квадратное уравнение с неизвестным t :

2t² + 3t - 2 = 0

Уравнение 3 имеет два корня t₁=0,5 и t₂= - 2 .Поэтому множества решений уравнения 2 , а значит, и уравнения 1 , есть объединение множеств решений двух уравнений : sin x = 0,5 и sin x = -2. Решения первого из них состоит из двух серий. Второе уравнение не имеет решений, следовательно, решения уравнения1 состоит из двух серий :

X_m = .

2.Применение формул сложения

Sin 5 x cos3x= Sin 3 x cos5x

Перенеся все члены уравнения в левую часть и применив формулу синуса разности двух углов, перепишем уравнение в виде

Sin 2 x=0 .

Все решения уравнения , а значит, и уравнения 1, удовлетворяют условию 2x_m=. Следовательно ,уравнение 1 имеет одну серию решений:

X_m=.

Большая роль отводится выбору корней при решении тригонометрических уравнений.

Отбор корней в тригонометрическом уравнении может быть вызван 1)необходимостью выявления посторонних корней в случае , когда при решении происходит расширение области определения уравнения, или 2) требованием найти значения неизвестного, удовлетворяющие заданным условиям .

Существуют два приема отбора корней: геометрический и алгебраический.

Рассмотрим геометрический способ.

Образец:

Данное уравнение равносильно системе

Решая уравнение системы ,получим :

Cosx-cos3x+sin2x=0

Sin2x(2sinx+1)=0.

Последнее уравнение равносильно совокупности :

В итоге приходим к системе :

Поскольку предстоит отбор корней , вторую серию решений целесообразно записать в виде двух арифметических прогрессий с разностью 2.

Геометрический способ. На тригонометрическом круге изобразим точками представителей всех четырех серий (рис. 1). Значения х из «запрещающей» серии отметим крестиками. Ясно, что решениями уравнения будут те значения х, которым соответствуют концы горизонтального диаметра. Эти значения записываются в виде х =, р.

Итак, рассмотрено несколько способов решения тригонометрических уравнений. В каждом примере строго соблюден принцип «от простого к сложному», что несомненно принесет пользу ученикам как при решении трудных задач в школе, так и на едином национальном тестировании по математике.

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.

Несомненно, работа над данной темой расширила область знаний, полученных мною на уроках о способах решения тригонометрических уравнений, их совокупностей и систем. Я выполнила поставленную перед собой цель, познакомилась с нестандартными способами решения уравнений.

Я считаю, что тригонометрические уравнения достойны подробного рассмотрения на уроках алгебры в рамках профильной школы или внеурочной работы. Этому способствует актуальность темы, доступность материала, разнообразие способов решения тригонометрических уравнений.

1. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» (№6), Москва, «Школа-Пресс», 2004г.

2. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» (№4), Москва, «Школа-Пресс»,2000.

3. Научно-практический журнал «Математика для школьников»(№1), Москва, «Школьная пресса», 2005г.

4. Учебник по алгебре и началам математического анализа -10-11 класс.

Мордкович А. Г. издательство «Дрофа»

5. Энциклопедия юного математика.

6. Учебно- методическая газета «Математика »№ 17, Москва ,2005 г.

7. Учебно- методическая газета «Математика» № 20 , 2005 г

Приложения

Задания, на отработку навыков решения простейших тригонометрических уравнений.

1), 2),

3), 4),

5), 6),

7), 8),

Задания, требующие применения основных тригонометрических формул или замены переменной.

9) sinx +cosx=cos2x

10)2cosx+sinx -1 -sin2x=0

11)sinxcos3x- 1=sinx-cos3x, 12) tg5x=sin² xtg5x

13)4sin²xcosx= cosx

14)4sin²x + sinxcosx=1

15)sin4x =2 cos²x-1

16) Укажите наибольший отрицательный корень уравнения

17)Найдите сумму корней уравнения на

18)Найдите сумму корней уравнения принадлежащих отрезку

19)Найдите наибольший корень уравнения принадлежащий отрезку

20) Найдите наименьший неотрицательный корень уравнения