Программа элективного курса «Элементы теории перколяции»

Пояснительная записка

Курс «Элементы теории перколяции» подразумевает изучение отдельных разделов математики, входящих (основные сведения теории вероятностей) и не входящих в обязательную программу математики, но предполагающих прикладной характер выбранного профиля. Предназначен для профильной подготовки [1-9, 14, 15] школьников 10-11 классов.

Предлагаемый курс, повышает конкурентоспособность школы, так как реализация данного курса дает более глубокие знания по выбранному физико-математическому профилю и в частности по математике, увеличивает уровень интеллектуального и профессионального развития учащихся, что способствует их дальнейшему обучению. С одной стороны, данный курс поддерживает изучение математики, с другой реализует межпредметные связи с физикой и информатикой следовательно, дает возможность изучать смежные учебные предметы на профильном уровне [14, 15]. Все это способствует систематизации знаний и построения индивидуального образовательного пути. Предлагаемый курс формирует такие навыки как самостоятельность мышления, логичность, умение обобщать и систематизировать, приобретаются навыки в решении стандартных и нестандартных задач.

При реализации курса будут созданы условия для того, чтобы ученик утвердился в сделанном выборе в направлении или отказался от дальнейшего обучения и деятельности в области математики. При систематическом и более глубоком изучении тем ученик определится, способен ли он заниматься изучением математики (решать более сложные задачи, чем предполагает школьная программа, находить решение нестандартных задач).

Цель курса: знакомство с важнейшими путями и методами применения знаний из области математики и связанных с ней предметов на практике, развитие интереса к технике.

Для реализации данной цели решим следующие задачи.

Задачи:

• определить готовность ученика в освоении выбранного предмета на повышенном уровне;

• расширить знания по математике;

• научить использовать знания из физики и информатики при решении математических задач;

• реализовать интересы и способности учащихся в выбранном курсе;

• перейти от репродуктивного к творческому мышлению.

По типу данный курс является прикладным.

Мотивами для выбора данного курса могут быть следующие:

• заинтересованность в прикладном характере математики;

• интеграция имеющихся представлений в целостной картине мира;

• профессиональная ориентация;

• реализация способностей в области математики и связанных с ней дисциплин;

Требования, которым отвечает тематика данного курса:

• повышение уровня образованности школьников, расширение их кругозора, удовлетворение познавательных интересов в области математики (социальная и личностная значимость);

• развитие математического мышления, умения систематизировать, составлять математические модели, обобщать, делать выводы.

В данном курсе предусматривается использование классно-урочной и лекционно-практической систем, а также личностно-ориентированных педагогических технологий [19, 25, 26]. При решении задач значительное место должны занимать поиски идей решения, эвристические соображения, и только затем, само решение проводится строгим логическим рассуждением.

Теоретическую часть материала рекомендуется излагать в форме лекции. На практических занятиях должна присутствовать самостоятельная работа учащихся (индивидуально, в парах, в группах). Планируется работа в компьютерном классе, публичные выступления. Такой способ реализации развивающих целей курса, как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих учащихся.

Данный курс рассчитан на 16 часов, из них 6 часов теоретических и 10 практических.

Ожидаемый результат изучения курса:

• умение осознанно использовать полученную информацию при выполнении заданий;

• способность логическими рассуждениями приходить к решению задачи;

• приобретение опыта в нахождении правильного пути при решении задач;

• использование знаний из физики и информатики при решении математических задач;

• реализация интересов в выбранном курсе и потребность в изучении дополнительных разделов математики в теории перколяции.

Система форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки:

I. Формы промежуточного контроля:

• письменные задания по материалу;

• проверка домашнего задания;

• устный ответ ученика.

На занятиях ученики будут получать баллы, которые выставляются в табель баллов каждого (Таблица 1).

Таблица 2.1

Табель баллов ученика

Элективный курс

«Элементы теории перколяции» (16 часов)

Табель баллов ………………………………………………….. (Ф.И.О)

№ занятия

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

XIII

XIV

XV

Баллы

Общий итог:

Оценивание происходит по стобальной системе.

Все набранные учеником баллы по окончанию курса суммируются.

II. Форма итоговой работы - зачетная работа, состоящая из двух блоков:

А - самостоятельная работа;

В - презентация индивидуального мини-исследования.

Итоговая отметка «зачтено» складывается из общего количества баллов указанных в табеле и итоговой работы. Отметке «зачтено» подлежат работы набравшие 80-100 баллов. Предусматривается следующее соотношение складываемых баллов в конце курса для получения «зачтено»:

• Табель баллов. Максимально - 50 баллов, минимально - 40 баллов.

• Итоговая работа (1 блок). Минимально - 40 баллов.

• Итоговая работа (2 блок). Максимально - 10 баллов.

Таким образом, второй блок выполняется учащимся по желанию.

Он может быть использован как отдельный элективный курс, предназначенный для углубления и расширения знаний в выбранной области знания. С другой стороны может использоваться при изучении курса математики и наличии дополнительного времени на его изучение.

Программа построена так, что учитель сам может решать, сколько и какие темы в неё включить в зависимости от уровня подготовленности учащихся. Темы содержательной части программы расположены по нарастающей степени сложности и трудности. Данный элективный курс может быть использован и в высших учебных заведениях для развития и систематизации знаний в области математики.

При заинтересованности учащихся данной темой количество часов на него может быть увеличено до 32 часов для изучения дополнительных элементов перколяции. Для данного курса не предполагается разработка учебного пособия.

Содержание элективного курса «Элементы теории перколяции»

1. Введение в теорию перколяции [28].

История возникновения теории перколяции [17, 28]. Явления, описываемые теорией перколяции [17, 28].

2. Задача узлов [28].

Квадратная сетка [28]. Порог перколяции [17, 28]. Случайная величина [2, 3, 6, 7, 10, 16, 18, 20, 28]. Среднее квадратичное уклонение [2, 3, 6, 7, 10, 28].

3. Правила расчета вероятностей [28].

События и их вероятности [2, 3, 6, 7, 10, 16, 18, 20, 28]. Сложение вероятностей умножение вероятностей [2, 28]. Порог перколяции в сетке 22 [28].

4. Задача связей [28].

Планирование фруктового сада [28]. Кластер [4, 17, 28]. Перколяционный кластер [4, 17, 28]. Порог перколяции в задаче связей [4, 17, 28]. Неравенство, связывающее задачи узлов и связей [28].

5. Решение задач теории перколяции методом Монте-Карло [28].

Получение случайных чисел [17, 28]. Метод середины квадрата [28]. Линейный конгруэнтный метод [28].

Учебно-тематический план элективного курса «Элементы теории перколяции»

№

Тема

Кол-во часов

Содержание урока

Домашнее задание

Дата

1

Введение в теорию перколяции

1

Постановка целей, задач курса, обоснование требований и критерий оценки работ.

История возникновения теории перколяции. Явления, описываемые теорией перколяции.

Подготовить сообщение, о том какие явления (кроме рассмотренных) окружающие нас может описывать теория перколяции

2-3

Задача узлов.

2

Квадратная сетка. Порог перколяции. Случайная величина. Среднее квадратичное уклонение.

Решить задачи

4-6

Правила расчета вероятностей

3

События и их вероятности. Сложение вероятностей умножение вероятностей. Порог перколяции в сетке 22

Решить задачи

7-8

Задача связей

2

Планирование фруктового сада. Кластер. Перколяционный кластер. Порог перколяции в задаче связей. Неравенство, связывающее задачи узлов и связей.

Решить задачи

9

Решение задач теории перколяции методом Монте-Карло

1

Получение случайных чисел. Метод середины квадрата. Линейный конгруэнтный метод.

Повторение теории

10-11

Подготовка к выполнению 1 блока

2

Повторение основных сведений теории перколяции, необходимых для решения задач. Консультация по вопросам, возникающим при решении задач

Решить задачи

12

Выполнение 1 блока. Подготовка к 2 блоку

1

Решение заданий самостоятельно. Повторение требований к оценке 2 блока

Подготовка к 2 блоку

13-14

(15)

Защита проектов

3

Защита мини-исследования и ответы на вопросы

-

16

Подведение итогов

1

Выставление отметок. Обсуждение результатов. Выявление новых потребностей.

-

Требование к уровню усвоения элективного курса «Элементы теории перколяции»

В результате изучения элективного курса «Элементы теории перколяции» учащиеся получают возможность:

• основные определения теории перколяции;

• сущность задач связей и узлов;

• основные определения и правила (сложения и умножения) теории вероятностей;

• формулы для нахождения порога перколяции;

• способы получения случайных чисел.

• использовать определения теории перколяции для решения задач;

• использовать определения и правила (сложения и умножения) из теории вероятностей для решения задач;

• находить порог перколяции;

• получать случайные числа;

• составлять модели реальных ситуаций, используя полученные знания;

• находить способы решения прикладных задач, относящихся к теории перколяции;

• применять знания из физики и информатики при решении математических задач как теоретического, так и прикладного характера.

При этом важно учитывать следующие рекомендации.

Методические рекомендации по изучению элективного курса «Элементы теории перколяции»

В процессе всего курса должны использоваться средства наглядности, так как для учеников это новая область знаний, хотя раньше они с этим сталкивались в повседневной жизни и возможно даже не задумывались об этом.

При обучении элементам теории перколяции нужно обратить особое внимание на усвоение учащимися основных определений:

• перколяция;

• порог перколяции;

• случайная величина;

• вероятность;

• среднее квадратичное уклонение;

• кластер;

• перколяционный кластер.

Также необходимо сформировать не только представление о задачах узлов и связей, но и умение их различать.

Значительная часть курса направлена на повторение основных сведений из теории вероятностей и решение задач. Данная область знаний не всегда до конца усваивается учениками, поэтому на нее выделяется больше уроков и практических занятий. По возможности можно включить задачи из ЕГЭ по данной тематике.

Каждое занятие нужно начинать с повторения того, что уже изучено, затем, постепенно используя примеры и опираясь на пройденное переходить на новый материал, подтверждаемый примерами. В данном курсе не доказываются теоремы, это объясняется сложностью материала и большой затратой времени на изучение.

На протяжении всего курса нужно подчеркивать межпредметные связи математики с другими науками, что позволит систематизировать имеющиеся знания в выбранном профиле, а также реализоваться не только в математике.

Можно отметить ряд общих рекомендаций, которые могут использоваться не только для данного курса:

• адаптировать учебный материал соответственно уровню подготовки обучающихся;

• при обсуждении задач использовать искусство поиска решения, в котором нужно пользоваться какими угодно соображениями;

• задать направление содержания изученного материала на практическое применение;

• создать и обеспечить условия, необходимые для овладения способами самостоятельного взаимодействия с различными источниками информации настоящего времени;

Для практической части необходимо подбирать задачи из различных областей знания и действующих учебников алгебры 10-11 классов, отмеченные, а также задачи повышенной трудности. Для развития мотивации к изучению курса следует подбирать задачи из материалов вступительных экзаменов в вузы, либо с некоторыми изменениями в них, такими, чтобы задачи непосредственно примыкали к задачам вступительных экзаменов и по содержанию, и по уровню трудности.

На заключительном занятии элективного курса можно провести конференцию учащихся с подведением итогов и предоставлением каждым слушателем своей индивидуальной папки с решенными в ней задачами, заинтересовавшими их, табелем отметок и мини-исследования. Составление индивидуальной папки с задачами способствует закреплению и систематизации знаний учащихся. Возможна постановка новых целей и задач в соответствии с новыми проблемами, необходимыми для разрешения, что будет способствовать дальнейшему развитию знаний и умений в рассматриваемой области.

Список литературы

1. Эфрос, А.Л. Физика и геометрия беспорядка [Текст] / А.Л. Эфрос. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 167 с.

2. Кестен, Х. Теория просачивания для математиков. Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 392 с.

3. Agrawal P., Redner S., Reynolds P. J., Stanley H. E. Site-bond percolation: a low-density series study of the uncorrelated limit. // J. Phys. A: Math. Gen. 12, 2073-2085 (1979).

4. Conigllo A., Stanley H. E., Klein W. Site-Bond Correlated Percolation Problem: A Statistical Mechanical Model of Polymer Gelation // Phys. Rev. Lett. 42(8), 518-522 (1979).

5. Rosso M., Gouyet J. F., Sapoval B. Determination of percolation probability from the use of concentration gradient. // Phys. Rev. В 32, 6053-6054 (1985).

6. Буреева, М.А. Моделирование непрерывных фазовых переходов в рамках задачи связей одномерной теории протекания / М.А. Буреева - Дис. канд. физ.-мат. наук / АГУ. - Барнаул, 2011. - 124 с.

7. Шпигальская, Е.О. Моделирование одномерно-разупорядоченных состояний в плотно упакованных кристаллах в рамках перколяционного подхода / Е.О. Шпигальская, М.А. Кулакова // Молодые ученые - 2005: Материалы Международной технической школы - конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике», 26-30 сентября 2005 г., г.Москва. - М.: МИРЭА, 2005. - Часть 1. - С. 48-51.

8. Байдышев, В.С. Моделирование политипных превращений в плотноупакованных кристаллах методами Монте-Карло / В^.С. Байдышев^. - Дис. канд. физ.-мат. наук / КГТУ. - Красноярск, 2005. - 113 с.

9. Буреева М.А., Волкова Т.В., Удодов В.Н., Потекаев А.И. Задача связей в одномерной теории перколяции для конечных систем // Известия вузов. Физика. - 2010. - № 2. - С. 33-39.

10. Волкова, Т.В. Зависимость порога протекания от длины цепочки и от радиуса протекания для модели одномерной перколяции / Т.В. Волкова, М.А. Буреева // Физика и химия высокоэнергетических систем: Сб. материалов 4 Всерос. конф. мол. уч. - Томск: ТМЛ-Пресс, 2008. - С. 182-184.

11. Мартыненко, М.В. Моделирование переноса заряженных частиц в низкоразмерных неоднородных системах на основе перколяционного подхода / М.В. Мартыненко. - Дис. канд. физ.-мат. наук / КГТУ. - Красноярск, 2001. - 112 с.

12. Спирин, Д.В. Особенности критической динамики изинговских наноразмерных магнетиков / Д.В. Спирин. - Дис. канд. физ.-мат. наук / ИФПМ СО РАН. - Томск, 2008. - 112 с.

13. Удодов, В.Н. Моделирование фазовых превращений в низкоразмерных дефектных наноструктурах / В.Н. Удодов, А.И. Потекаев, А.А. Попов и др.; под общей редакцией В.Н. Удодова. - Абакан: Издательство Хакасского государственного университета им. Н.Ф. Катанова, 2008. - 135 с.

14. Манита, А. Д. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. - М.: Издат. отдел УНЦ ДО, 2001. -120 с.

15. Бородин, А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики [Текст] / А. Н. Бородин. - СПб.: Издательство «Лань», 2011.-256 с.

16. Туганбаев, А. А. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / А. А. Туганбаев, В.Г. Крупин, В.П. Чистяков. - СПб.: Издательство «Лань», 2011.-320 с.

17. Хрущева, И.В. Теория вероятностей [Текст] / И.В. Хрущева. - СПб.: Издательство «Лань», 2009.-304 с.

18. Емельянов, Г. В. Задачник по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / Г. В. Емельянов, В.П. Скитович. - СПб.: Издательство «Лань», 2007.-336 с.

19. Меньшиков, М.В. Теория перколяции и некоторые приложения [Текст] / М.В. Меньшиков, С.А. Молчанов, А.Ф. Сидоренко // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. - М.: ВИНИТИ, 1986. - Т. 24. - С. 53-110.

20. Шкловский, Б.И. Электронные свойства легированных полупроводников / Б.И. Шкловский, А.Л. Эфрос. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 416 с.

21. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. Ч. I. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 616 с.

22. Эфрос, А. Что такое теория протекания? [Текст] / А. Эфрос // Квант, 1982. - № 2. - С. 2-9.

23. Гулд, Х. Компьютерное моделирование в физике. Ч. 2 [Текст] / Х. Гулд, Я. Тобочник - М.: Мир, 1990. - 400 с.

24. Гулд, Х. Компьютерное моделирование в физике. Часть 1 / Х. Гулд, Я. Тобочник - М.: Мир, 1990. - 350 с.

25. Фишер, М. Природа критического состояния / М. Фишер. - М.: Мир, 1968. - 222 с.