Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Учебное пособие« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов. Данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала  рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области) Авторы учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной школ...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области средняя общеобразовательная

школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино

муниципального района Клявлинский

Самарской области




« Уравнения

и

неравенства

с параметрами»


учебное пособие




Клявлино


Учебное пособие

« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 -11 классов

данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)



Авторы

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Ромаданова Ирина Владимировна

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной

школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области

Сербаева Ирина Алексеевна



Содержание

Введение……………………………………………………………3-4

Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9

Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15

Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18

Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20

Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28



Введение.

Уравнения и неравенства с параметрами.

Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.

Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:

  1. Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.

  2. Определить допустимые значения - это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.

Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.

Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.

Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.


§ 1. Линейные уравнения и неравенства.

Линейное уравнение аx=b, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x - неизвестное, a, b - параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра a является значение а = 0.

  1. Если а¹ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х=Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

  2. Если а = 0, то уравнение принимает вид : 0х= b. В этом случае значение

b = 0 является особым значением параметра b.

При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Неравенства вида ах > b и ax< b ( а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b - промежуток

(Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами; +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами), если a> 0, и (-Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами), если а < 0. Аналогично для неравенства

ах < b множество решений - промежуток (-Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами), если a> 0, и (Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами; +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами), если а < 0.

Пример 1. Решить уравнение ах = 5

Решение: Это линейное уравнение .

Если а = 0, то уравнение 0×х = 5 решения не имеет.

Если а ¹ 0, х = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами - решение уравнения.

Ответ: при а ¹ 0, х= Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

при а = 0 решения нет.

Пример 2. Решить уравнение ах - 6 = 2а - 3х.

Решение: Это линейное уравнение, ах - 6 = 2а - 3х (1)

ах + 3х = 2а +6

Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3), рассмотрим два случая:

а= -3 и а¹ -3.

Если а= -3, то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а¹ -3, уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.

Ответ: При а = -3, х Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR; при а¹ -3, х = 2.

Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения

2ах - 4х - а2 + 4а - 4 = 0 есть корни больше 1 ?

Решение: Решим уравнение 2ах - 4х - а2 + 4а - 4 = 0 - линейное уравнение

2(а - 2) х = а2 - 4а +4

2(а - 2) х = (а - 2) 2

При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.

При а¹ 2 х =Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами. По условию х > 1, то есть Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами >1, а > 4.

Ответ: При а Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами{2} U (4;∞).

Пример 4. Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.

Решение. ах = 8 - линейное уравнение.

а =Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами,

y = a - семейство горизонтальных прямых;

y = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами- графиком является гипербола. Построим графики этих функций.

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Ответ: Если а =0, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0, то уравнение имеет одно решение.

Пример 5. С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:

|х| = ах - 1.

y =| х | ,

y = ах - 1 - графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).

Построим графики этих функций.

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Ответ:При|а|>1- один корень

при | а|≤1 - уравнение корней не имеет.

Пример 6. Решить неравенство ах + 4 > 2х + а2

Решение : ах + 4 > 2х + а2 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами (а - 2) х > а2 - 4. Рассмотрим три случая.

  1. а=2 . Неравенство 0 х > 0 решений не имеет.

  2. а > 2. (а - 2) х > ( а - 2)(а + 2) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамих > а + 2

  3. а < 2. (а - 2) х > ( а - 2)(а + 2) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамих <а + 2

Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2;Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамипри а=2 решений нет.

§ 2. Квадратные уравнения и неравенства

Квадратное уравнение - это уравнение вида ах ² + bх + с = 0, где а≠ 0,

а, b, с - параметры.

Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:

1) дискриминанта квадратного уравнения: D = b² - 4ac, (Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами²-ас)

2) формул корней квадратного уравнения: х1 =Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, х2 =Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами,

1,2 = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами)

Квадратными называются неравенства вида

aх2 + bх + с > 0, aх2 + bх + с< 0, (1), (2)

aх2 + bх + с ≥ 0, aх2 + bх + с ≤ 0, (3), (4)

Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , aх2 + bх + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).

Если дискриминант квадратного трехчлена aх2 + bх + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR.

Если квадратный трехчлен имеет корни (х1< х2), то при а > 0 он положителен на множестве (-Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами2)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами( х2; +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами) и отрицателен на интервале

1; х2). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х1; х2) и отрицателен при всех х Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(-Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами1)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами( х2; +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами).

Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а - 1)х - 4 = 0.

Это квадратное уравнение

Решение: Особое значение а = 0.

  1. При а = 0 получим линейное уравнение 2х - 4 = 0. Оно имеет единственный корень х = 2.

  2. При а ≠ 0. Найдем дискриминант.

D = (а-1)² + 4а = (а+1)²

Если а = -1, то D = 0 - один корень.

Найдем корень, подставив вместо а = -1.

-х² + 4х - 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.

Если а ≠ - 1, то D>0. По формуле корней получим: х=Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;

х 1=2, х2= -Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и

а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1=2, х2=-Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а

y= х²-2х-8- графиком является парабола;

y- семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Ответ: При а <-9, уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9, уравнение имеет два решения.

Пример 3. При каких а неравенство (а - 3) х2 - 2ах + 3а - 6 >0 выполняется для всех значений х ?

Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если

а-3 > 0 и D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, откуда следует, что a > 6.

Ответ. a > 6

§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,

сводящиеся к линейным

Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.

В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами= 0

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2

х - а = 0, х = а.

Ответ: При а ≠ - 2, х=а

При а = -2 корней нет.

Пример 2. Решить уравнениеУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами- Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами= Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(1)

Это дробно- рациональное уравнение

Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а - 3 = 0 (2) - квадратное уравнение.

Найдем дискриминант Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = (1 - а)² - (а² - 2а - 3)= 4, находим корни уравнения х1= а + 1, х2= а - 3.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.

П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых

х 1+1=0, х 1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.

Если х 1+1=0, то есть (а+1) + 1= 0, то а= -2. Таким образом,

при а= -2 , х1 - посторонний корень уравнения. (1).

Если х 1+2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3. Таким образом, при а = - 3, х1 - посторонний корень уравнения. (1).

Если х2+1=0, то есть (а - 3) + 1= 0, то а = 2. Таким образом, при а = 2 х2 - посторонний корень уравнения (1).

Если х2+2=0, то есть (а - 3) + 2 = 0, то а=1. Таким образом, при а = 1,

х2 - посторонний корень уравнения (1).

В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 - 3 = -6;

при а = - 2 х = -2 - 3= - 5;

при а = 1 х =1 + 1= 2;

при а = 2 х=2+1 = 3.

Можно записать ответ.

Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2, то х= -5; 3) если а= 0, то корней нет; 4) если а= 1, то х= 2; 5) если а=2, то х=3; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х1 = а + 1, х2 = а-3.

§4. Иррациональные уравнения и неравенства

Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.

Уравнение вида Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами=g(x) равносильно системе Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Неравенство f(x) ≥ 0 следует из уравнения f(x) = g2(x).

При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≤ g(x) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≥g(x) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Пример 1. Решите уравнение Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами= х + 1 (3)

Это иррациональное уравнение

Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5, то есть не имеет решений.

При а≠ 2 х=Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами. Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1: Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≥ - 1, Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≥ 0,

откуда а ≤ Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиили а > 2.

Ответ: При а≤Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, а > 2 х= Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, при Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами< а ≤ 2 уравнение решений не имеет.

Пример 2. Решить уравнение Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами= а (приложение 4)

Решение. y= Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

y= а - семейство горизонтальных прямых.

Построим графики функций.

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Ответ: при а<0 -решений нет;

при а0 - одно решение.

Пример 3. Решим неравенство (а+1)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами<1.

Решение. О.Д.З. х ≤ 2. Если а+1 ≤0, то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Если же а+1>0, то

(а+1)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами<1.Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами< Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

откуда х Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(2- Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами 2Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Ответ. х Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(- Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;2Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами при а Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами ( -Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;-1Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, х Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(2- Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами 2Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

при аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами( -1;+Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами).

§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.


Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

Sinx = a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами x= (-1)n arcsin a+πn, n Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиZ, Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≤1, (1)

Cos x = a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами x = ±arccos a + 2 πn, , n Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиZ, Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≤1. (2)

Если Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами>1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют .

tg x = a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиx= arctg a + πn, n Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиZ, aУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR

ctg x = a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиx = arcctg a + πn, n Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиZ, aУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR

Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:

1. sin x > a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами arcsin a + 2 πn Z,

при a<-1, xУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR; при a ≥ 1, решений нет.

2. . sin x < a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиπ - arcsin a + 2 πnZ,

при а≤-1, решений нет; при а >1, xУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR

3. cos x > a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами- arccos a+ 2 πn<x< arccos a+ 2 πn, n Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиZ,

при а<-1, xУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR ; при a ≥ 1, решений нет.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

при а≤-1, решений нет ; при a > 1, xУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR

5.tg x > a, arctg a + πnZ

6. tg x < a, -π/2 + πn Z

Пример1. Найти а, при которых данное уравнение имеет решение:

Cos2x + 2(a-2)cosx + a2 - 4a - 5 =0.

Решение. Запишем уравнение в виде

сos2x + (2a-4)cosx +( a - 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.

Уравнение cosx = 5-а имеет решения при условии -1≤ 5-а ≤1 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами 4≤ а≤ 6, а уравнение cosx = -а-1 при условии -1≤ -1-а ≤ 1Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами -2 ≤ а ≤0.

Ответ. а Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами-2; 0 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами4; 6Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами+ b > 0 выполняется при всех х ≠ πn, n Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиZ.

Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b>0. Покажем теперь, что ни одно b≤0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х = π/2, если а <0, и х = -π/2 при а ≥0.

Ответ. b>0



§ 6. Показательные уравнения и неравенства


1. Уравнение h(x)f(x) = h(x)g(x) при h(x) > 0 равносильно совокупности двух систем Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами и Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

2. В частном случае (h(x)= a) уравнение а f(x)= а g(x) при а > 0, равносильно совокупности двух систем

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамии Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

3. Уравнение а f(x)= b, где а > 0, a ≠1, b>0, равносильно уравнению

f(x)= logab. Случай а =1 рассматриваем отдельно.

Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f(ax) > 0 при помощи замены переменной t= ax сводится к решению системы неравенств Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.

При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f(x), предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.

Пример 1. При каких а уравнение 8х= Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами имеет только положительные корни?

Решение. По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами8х >1Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами >1Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами >0, откуда a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(1,5;4).

Ответ. a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(1,5;4).

Пример 2. Решить неравенство a2 ∙2x > a

Решение. Рассмотрим три случая:

1. а< 0. Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых хУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR.

2. a =0. Решений нет.

3. а> 0. a2 ∙2x > a Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами 2x >Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиx > - log2a

Ответ. хУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR при а > 0; решений нет при a =0; хУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами (- log2a; +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами) при а> 0.

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства


Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамилогарифмических уравнений и неравенств.

1. Уравнение logf (x)g (x) = logf (x) h(x) равносильно системе

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

В частности, если а >0, а ≠1, то

log a g (x)= log a h(x) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

2. Уравнение log a g (x)=b Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами g (x)= ab (а >0, a ≠1, g(x) >0).

3. Неравенство log f (x) g (x) ≤ log f (x) h(x) равносильно совокупности двух систем: Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами и Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиЕсли а, b - числа, а >0, а ≠1, то

log a f (x) ≤ b Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

log a f (x) > b Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Пример 1. Решите уравнение Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Решение. Найдем ОДЗ: х > 0, х ≠ а4 , a > 0, а ≠ 1. Преобразуем уравнение

logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамих - 2 = 4 - logax Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамих + logax - 6 = 0, откуда logax = - 3 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

х = а -3 и logax = 2 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами х = а2. Условие х = а4 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами а - 3 = а4 или а2 = а4 не выполняется на ОДЗ.

Ответ: х = а -3, х = а2 при а Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами ( 0; 1) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами (1; Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами).

Пример 2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение

2logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами - Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами + a = 0 имеет решения.

Решение. Выполним замену Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = t и получим квадратное уравнение 2t2 - t + a = 0. Решая, найдем D = 1-8a . Рассмотрим D≥0, 1-8а ≥0 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиа ≤Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

При а = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами квадратное уравнение имеет корень t= Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами>0.

Ответ. а = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Пример 3. Решить неравенство logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(x2 - 2x + a) > - 3

Решение. Решим систему неравенств Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Корни квадратных трехчленов х1,2 = 1 ± Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами и х3,4 = 1 ±Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

Критические значения параметра : а = 1 и а = 9.

Пусть Х1 и Х2 - множества решений первого и второго неравенств, тогда

Х1 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиХ2 = Х - решение исходного неравенства.

При 0< a <1 Х1 = (-Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;1 - Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами( 1 + Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами; +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами), при а > 1 Х1 = (-Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;+Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами).

При 0 < a < 9 Х2 = (1 -Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами; 1 +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами), при а ≥9 Х2 - решений нет.Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Рассмотрим три случая:

1. 0< a ≤1 Х = (1 -Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;1 - Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(1 + Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;1 +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;1 +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами).

3. a ≥ 9 Х - решений нет.

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Задачи ЕГЭ

Высокий уровень С1, С2

Пример 1. Найдите все значения р, при которых уравнение

р ∙ ctg2x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение. Преобразуем уравнение

р ∙ ( Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами- 1) + 2sinx + p = 3, sinx=t, tУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, t Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами0.

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами- p + 2 t + p = 3, Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами + 2 t = 3, 3 -2t = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, 3t2 - 2t3 = p.

Пусть f(y) = 3t2 - 2t3. Найдем множество значений функции f(x) на Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами. у/ = 6t - 6t2, 6t - 6t2 = 0, t1=0, t2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

При t Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, E(f) = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами,

При t Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, E(f) = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, то есть при t Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами, E(f) = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

Чтобы уравнение 3t2 - 2t3 = p ( следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно pУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами E(f), то есть pУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

Ответ. Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

Пример 2.

При каких значениях параметра а уравнение logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(4x2 - 4a + a2 +7) = 2 имеет ровно один корень?

Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:

4x2 - 4a + a2 +7 = (х2 + 2)2 .

Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число - х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.

Найдем а.

4∙ 02 - 4a + a2 +7 = (02 + 2)2,

a2 - 4a +7 = 4, a2 - 4a +3 = 0, a1 = 1, a2 = 3.

Проверка.

1) a1 = 1. Тогда уравнение имеет вид: logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(4x2 +4) =2. Решаем его

4x2 + 4 = (х2 + 2)2, 4x2 + 4 = х4 + 4x2 + 4, х4= 0, х = 0 - единственный корень.

2) a2 = 3. Уравнение имеет вид: logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(4x2 +4) =2 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами х = 0 - единственный корень.

Ответ. 1; 3

Высокий уровень С4, С5

Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение

х2 - ( р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х3 - 7рх2 + 2х2 - 14 рх - 3х +21 р ≤ 0.

Решение. Пусть х1, х2 - целые корни уравнения х2 - ( р + 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х1 + х2 = р + 3, х1 ∙ х2 = 1. Произведение двух целых чисел х1, х2 может равняться единице только в двух случаях: х1 = х2 = 1 или х1 = х2 = - 1. Если х1 = х2 = 1, то р + 3 = 1+1 = 2Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами р = - 1; если х1 = х2 = - 1, то р + 3 = - 1 - 1 = - 2 Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами р = - 5. Проверим являются ли корни уравнения х2 - ( р + 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая р = - 1, х1 = х2 = 1 имеем

13 - 7 ∙ (- 1) ∙ 12 +2∙ 12 - 14 ∙ ( - 1) ∙ 1 - 3 ∙ 1 + 21 ∙ ( - 1) = 0 ≤ 0 - верно; для случая р = - 5, х1 = х2 = - 1 имеем ( - 1)3 - 7 ∙ ( - 5) ∙ ( -1)2 + 2 ∙ (-1)2 - 14 ∙ ( -5) × ( - 1) - 3 ∙ ( - 1) + 21∙ ( -5 ) = - 136 ≤ 0 - верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.

Ответ. р1 = - 1 и р 2= - 5.

Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а, при которых число 1 принадлежит области определения функции

у = ( аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами - аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

Решение. у = ( аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами - аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами. Область определения данной функции составляют все значения х, для которых аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами - аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≥ 0.

Если значения х = 1 принадлежит области определения, то должно выполняться неравенство аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами- аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами ≥ 0, аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≥ аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами (1)

Таким образом, необходимо найти все а > 0, удовлетворяющие неравенству (1).

1) а = 1 удовлетворяет неравенству (1).

2) При а > 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5аа2 +6,

а2 - 5а + 4 ≤ 0. Решение этого неравенства: 1≤ а ≤ 4. Учитывая условие а >1, получим 1< а ≤ 4.

3) При 0 < а < 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5аа2 +6,

а2 - 5а + 4 ≥ 0. Его решение а ≤ 1; а ≥ 4 с учетом условия 0 < а < 1 можно записать так: 0 < а < 1. Объединяя результаты, получаем 0 < а ≤ 4.

Ответ. ( 0; 4 ]

Задания для самостоятельной работы


§1. Линейные уравнения и неравенства

1.Решить уравнения:

а) а х = -4

б) 2 -5 х = а х - 2

в) 2 х + 3 = а х

г )а х - 2 х = 3 (х - 1)

д) а х = х+3

е) 4 + а х = 3 х + 1

2.Решить неравенства:

а) а х > 5

б) а х - 2 х < 3 (х + 1)

в) а² х + 3 ≥ а +3 а х

г) (n - 1) х ≤ 2 (n + х

д) а > Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами + Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

3.При каких значениях параметра а уравнения

а) |х| = а х - 2

б) (а2- а -2)х≤ а5 - 4а4 +4а3

не имеют решений?

4.При каких значениях параметра р все решения неравенства (р -3)х>5 являются решениями неравенства рх>2 ?

5.При каких значениях параметра а корень уравнения

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами= Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами + 3(х +1) не меньше корня уравнения

5 (х - 2) - 4 (3 + х ) = 2 + а х ?

6. Определить количество корней в зависимости от значений

параметра а: а)а х - 6 = 2 а - 3 х

б) 2 а х - 4 х - а² + 4 а - 4 = 0

§2 Квадратные уравнения и неравенства
  1. Решить уравнения:

а) х² -5 х + 6 = а

б) х² - 2 |х| - а = 0

в) х² + 5 а х +4 а² = 0

г) х² - (2 а - 4) х - 8 а = 0

д)х² -(3 а - 2) х + 2 а² - а - 3 = 0

е) ах² - (а + 1) х + 1 = 0

ж) (а + 1) х² -2 х + 1 - а = 0

з) а b x² + ( a² + b²) x + ab = 0

2. Решить неравенства:

а) х² + 2 х > а + 3

б) х² - с х - 2 с² < 0

в) х² - 3 а х + 2 а² ≤ 0

г) х² - (3b - 2 ) - 6 b ≤ 0

д) a x² - 2 (a - 1) x - 4 ≥ 0

е) x² - 2x - 8 - a > 0

ж) x² - 12 x + c < 0

3. При каких а разность корней уравнения 2х2 - (а + 1)х + (а - 1) = 0 равна их произведению?

4. При каком а уравнения х2 + 2х + а = 0 и х2 + ах + 2 = 0 имеют общий корень?

5. При каких а существует хотя бы одно общее решение неравенств

х2 + 4ах + 3а2 - 2а - 1 > 0 и х2 + 2ах - 3а2 + 8а - 4 ≤ 0 ?

§3. Дробно - рациональные уравнения и неравенства


  1. Решить уравнения:

а) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 0

б) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 0

в) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 0

г) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 0

д) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами + Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 2

е) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами -Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

  1. При каких значениях параметра уравнения имеют бесконечно много решений

а) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 0

б) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 0

3. Решить неравенства:

а) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами< 0

б) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами ≤ 0

в)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами > 0

г) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

4. При каких а неравенство Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами< 0 выполняется для всех хУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами ?

§4. Иррациональные уравнения и неравенства
  1. Решить уравнения:

а) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами= а

б)аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами= 4

в)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами= а

г)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами= а - 2

д)х - Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 1

е)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами + Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 0

д) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами +а² Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 0

е) а² Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами + Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами = 0

ж) а²Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами + |х| = 0

  1. Решить неравенства:

а) х < Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

б) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≥ а

в) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами > - а

г) аУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами ≤ 0

д) х - Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами < 0

е) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≤ 6+а

3. При каких значениях параметра а неравенство

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамине имеет решений?

4. При каких а неравенство

Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамивыполняется для всех значений х ?

§5. Тригонометрические уравнения и неравенства

1 .Решить уравнения:

а) sin(2х + 3) = а +4

б) 2cos(х + π/3) = а2-3а

в) tg22х - (2а +1)tg2х + а(а + 1) = 0

2. Решить неравенства:

а) cosх ≤ 2 - а2

б) (а - 2)sinх > 3а + 4

в) (2cosх - а)(3cosх + в) < 0, (0<а<2, 0<в<3)

3. Найдите целые а, при которых имеют решения уравнения:

а) 1 + а cosх = (а +1)2

б) sin2х - 3sinх + а = 0

в) а sinх + 2Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиcosх = 2а + 1

4. Доказать, что для любых рУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR и tУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR справедливо неравенство

4(р - 3)4 + 2 + (2 - 4(р - 3)4)cost ≥ 0. Найти все пары чисел (р;t), для которых это неравенство обращается в равенство.

§6. Показательные уравнения и неравенства

1. При каких а уравнение имеет единственное решение?

А) 5 - 10х + 4х-1(а - 2) = 0

б) 25х - 2 ∙10х + (2а + 3) ·4х = 0

в) 4х - а ·2х+1 - 3а2 + 4а = 0

г) а ·3х + 4 ·3 = 2

д) 2 - а ·2х - 2а = 0

е)3(а + 1)х² - 2(а - 2)х + а = 27

2.Решить неравенства:

а) а ·2х ≤ а2

б)ах² - 15 > а

в)4х+1а2 - 65 ·2ха + 16 > 0

г)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами > Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

3. При каких а неравенство 4х + (а - 1)2х + (2а - 5) > 0 выполняется при любом хУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиR ?

4. При каких а неравенство 36х + а ·6х + а + 8 ≤ 0 имеет хотя бы одно Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамирешение?

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

1.Решите уравнение

а)log2x(ax+1)=Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

б)logaУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами+ 3logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(1 - x)= logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(1- x2)2+2

в)log32a + log3x(a - 2)= log3(a-2)

г)logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами=2

д) 2logxa + logaxa +3logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиa = 0

2.При каких а уравнение logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(4x+a) =4 имеют решения.

3. При каких а корни уравнения

(а-1)logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(x-2) - 2(a+1)logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(x-2)+a-3 = 0 меньше 3?

4. При каких а расстояние между корнями уравнения

2logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиx+3logУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиa+5=0 меньше Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами?

5. Решите неравенства

а) logx(a2+1)<0

б) ( log2x-1)( ( log2x+a)>0

в) logax+1>2logxa

г) logaУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрамиlogxa < 1

6. Решите неравенство loga(x2+x+2)< loga(2x2 - 18),если известно, что оно удовлетворяется при х = - 3,5.

7. При каких значениях а неравенство log2(x2+ax+1)> -1 выполняется для любого х<0?

Задачи ЕГЭ.

Высокий уровень С1, С2;

1) При каких значениях параметра т уравнение тх-2+ 2 = 3т - 2х-2

не имеет корней?

2) Найдите наибольшее целое отрицательное t, при котором уравнение cos2x - 5t = 4 - 2t∙cos2x не имеет корней.

3) При каких значениях параметра а прямая у = 3а - 2а2 не имеет общих точек с графиком функции у = sin2x+ a cos x?

C4, C5

4) Найдите все значения параметра b, при которых множество решений неравенства b log3x + log3x + b≥ 0 содержит все степени двойки с целым отрицательным показателем.

5) Найдите все значения параметра р, такие, что уравнение

х2 - (р -5)х - 2= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства х3- 0,5рх2- 4х2+2рх- 5х+ 2,5р≥ 0.

6) Определите, при каких значениях параметра а уравнение х4+(х+1)((3а-1)х2+ (2а2 -2)(х+1)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, каждый из которых принадлежит отрезкуУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

7) Найдите все значения параметра а, при которых оба числаУчебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами и 3Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами являются решениями неравенства Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами≤ 0.

Ответы: 1) Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами; 2)- 2; 3)(-Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами;0)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами(2; +Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами); 4) нет решений;5)6;

6) (3; 3,25]; 7)Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами.

Для заметок













© 2010-2022