- Преподавателю
- Математика
- Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами
Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Ромаданова И.В. |
Дата | 30.01.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная
школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино
муниципального района Клявлинский
Самарской области
« Уравнения
и
неравенства
с параметрами»
учебное пособие
Клявлино
Учебное пособие
« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 -11 классов
данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)
Авторы
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Ромаданова Ирина Владимировна
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Сербаева Ирина Алексеевна
Содержание
Введение……………………………………………………………3-4
Линейные уравнения и неравенства с параметрами……………..4-7
Квадратные уравнения и неравенства с параметрами……………7-9
Дробно- рациональные уравнения с параметрами……………..10-11
Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами……11-13
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15
Показательные уравнения и неравенства с параметрами………16-17
Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами…...16-18
Задачи ЕГЭ………………………………………………………...18-20
Задания для самостоятельной работы…………………………...21-28
Введение.
Уравнения и неравенства с параметрами.
Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:
-
Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.
-
Определить допустимые значения - это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.
Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.
Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.
Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.
§ 1. Линейные уравнения и неравенства.
Линейное уравнение аx=b, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x - неизвестное, a, b - параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра a является значение а = 0.
-
Если а¹ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х=.
-
Если а = 0, то уравнение принимает вид : 0х= b. В этом случае значение
b = 0 является особым значением параметра b.
При b ¹ 0 уравнение решений не имеет.
При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.
Неравенства вида ах > b и ax< b ( а ≠ 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b - промежуток
(; +), если a> 0, и (-;), если а < 0. Аналогично для неравенства
ах < b множество решений - промежуток (-;), если a> 0, и (; +), если а < 0.
Пример 1. Решить уравнение ах = 5
Решение: Это линейное уравнение .
Если а = 0, то уравнение 0×х = 5 решения не имеет.
Если а ¹ 0, х = - решение уравнения.
Ответ: при а ¹ 0, х=
при а = 0 решения нет.
Пример 2. Решить уравнение ах - 6 = 2а - 3х.
Решение: Это линейное уравнение, ах - 6 = 2а - 3х (1)
ах + 3х = 2а +6
Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3), рассмотрим два случая:
а= -3 и а¹ -3.
Если а= -3, то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а¹ -3, уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.
Ответ: При а = -3, х R; при а¹ -3, х = 2.
Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах - 4х - а2 + 4а - 4 = 0 есть корни больше 1 ?
Решение: Решим уравнение 2ах - 4х - а2 + 4а - 4 = 0 - линейное уравнение
2(а - 2) х = а2 - 4а +4
2(а - 2) х = (а - 2) 2
При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.
При а¹ 2 х =. По условию х > 1, то есть >1, а > 4.
Ответ: При а {2} U (4;∞).
Пример 4. Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.
Решение. ах = 8 - линейное уравнение.
а =,
y = a - семейство горизонтальных прямых;
y = - графиком является гипербола. Построим графики этих функций.
Ответ: Если а =0, то уравнение решений не имеет. Если а ≠ 0, то уравнение имеет одно решение.
Пример 5. С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:
|х| = ах - 1.
y =| х | ,
y = ах - 1 - графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).
Построим графики этих функций.
Ответ:При|а|>1- один корень
при | а|≤1 - уравнение корней не имеет.
Пример 6. Решить неравенство ах + 4 > 2х + а2
Решение : ах + 4 > 2х + а2 (а - 2) х > а2 - 4. Рассмотрим три случая.
-
а=2 . Неравенство 0 х > 0 решений не имеет.
-
а > 2. (а - 2) х > ( а - 2)(а + 2) х > а + 2
-
а < 2. (а - 2) х > ( а - 2)(а + 2) х <а + 2
Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2;при а=2 решений нет.
§ 2. Квадратные уравнения и неравенства
Квадратное уравнение - это уравнение вида ах ² + bх + с = 0, где а≠ 0,
а, b, с - параметры.
Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:
1) дискриминанта квадратного уравнения: D = b² - 4ac, (²-ас)
2) формул корней квадратного уравнения: х1 =, х2 =,
(х1,2 = )
Квадратными называются неравенства вида
aх2 + bх + с > 0, aх2 + bх + с< 0, (1), (2)
aх2 + bх + с ≥ 0, aх2 + bх + с ≤ 0, (3), (4)
Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , aх2 + bх + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).
Если дискриминант квадратного трехчлена aх2 + bх + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х R.
Если квадратный трехчлен имеет корни (х1< х2), то при а > 0 он положителен на множестве (-;х2)( х2; +) и отрицателен на интервале
(х1; х2). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х1; х2) и отрицателен при всех х (-;х1)( х2; +).
Пример 1. Решить уравнение ах² - 2 (а - 1)х - 4 = 0.
Это квадратное уравнение
Решение: Особое значение а = 0.
-
При а = 0 получим линейное уравнение 2х - 4 = 0. Оно имеет единственный корень х = 2.
-
При а ≠ 0. Найдем дискриминант.
D = (а-1)² + 4а = (а+1)²
Если а = -1, то D = 0 - один корень.
Найдем корень, подставив вместо а = -1.
-х² + 4х - 4= 0, то есть х² -4х + 4 = 0, находим, что х=2.
Если а ≠ - 1, то D>0. По формуле корней получим: х=;
х 1=2, х2= -.
Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а ≠ 0 и
а ≠ - 1 уравнение имеет два корня х 1=2, х2=-.
Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения х²-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде х²-2х-8=а
y= х²-2х-8- графиком является парабола;
y=а- семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ: При а <-9, уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9, уравнение имеет два решения.
Пример 3. При каких а неравенство (а - 3) х2 - 2ах + 3а - 6 >0 выполняется для всех значений х ?
Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если
а-3 > 0 и D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
, откуда следует, что a > 6.
Ответ. a > 6
§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,
сводящиеся к линейным
Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.
В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.
Пример 1. Решить уравнение = 0
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2
х - а = 0, х = а.
Ответ: При а ≠ - 2, х=а
При а = -2 корней нет.
Пример 2. Решить уравнение- = (1)
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а ≠ 0, то после преобразований уравнение примет вид: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а - 3 = 0 (2) - квадратное уравнение.
Найдем дискриминант = (1 - а)² - (а² - 2а - 3)= 4, находим корни уравнения х1= а + 1, х2= а - 3.
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых
х 1+1=0, х 1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.
Если х 1+1=0, то есть (а+1) + 1= 0, то а= -2. Таким образом,
при а= -2 , х1 - посторонний корень уравнения. (1).
Если х 1+2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3. Таким образом, при а = - 3, х1 - посторонний корень уравнения. (1).
Если х2+1=0, то есть (а - 3) + 1= 0, то а = 2. Таким образом, при а = 2 х2 - посторонний корень уравнения (1).
Если х2+2=0, то есть (а - 3) + 2 = 0, то а=1. Таким образом, при а = 1,
х2 - посторонний корень уравнения (1).
В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 - 3 = -6;
при а = - 2 х = -2 - 3= - 5;
при а = 1 х =1 + 1= 2;
при а = 2 х=2+1 = 3.
Можно записать ответ.
Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2, то х= -5; 3) если а= 0, то корней нет; 4) если а= 1, то х= 2; 5) если а=2, то х=3; 6) если а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а≠ 1, а ≠ 2, то х1 = а + 1, х2 = а-3.
§4. Иррациональные уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.
Уравнение вида =g(x) равносильно системе
Неравенство f(x) ≥ 0 следует из уравнения f(x) = g2(x).
При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:
≤ g(x) ≥g(x)
Пример 1. Решите уравнение = х + 1 (3)
Это иррациональное уравнение
Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе .
При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5, то есть не имеет решений.
При а≠ 2 х=. Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1: ≥ - 1, ≥ 0,
откуда а ≤ или а > 2.
Ответ: При а≤, а > 2 х= , при < а ≤ 2 уравнение решений не имеет.
Пример 2. Решить уравнение = а (приложение 4)
Решение. y=
y= а - семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.
Ответ: при а<0 -решений нет;
при а≥0 - одно решение.
Пример 3. Решим неравенство (а+1)<1.
Решение. О.Д.З. х ≤ 2. Если а+1 ≤0, то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Если же а+1>0, то
(а+1)<1.<
откуда х (2- 2
Ответ. х (- ;2 при а ( -;-1, х (2- 2
при а( -1;+).
§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:
Sinx = a x= (-1)n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)
Cos x = a x = ±arccos a + 2 πn, , n Z, ≤1. (2)
Если >1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют .
tg x = a x= arctg a + πn, n Z, aR
ctg x = a x = arcctg a + πn, n Z, aR
Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:
1. sin x > a arcsin a + 2 πn Z,
при a<-1, xR; при a ≥ 1, решений нет.
2. . sin x < a π - arcsin a + 2 πnZ,
при а≤-1, решений нет; при а >1, xR
3. cos x > a - arccos a+ 2 πn<x< arccos a+ 2 πn, n Z,
при а<-1, xR ; при a ≥ 1, решений нет.