Подготовка к ЕГЭ. Банк задач по стереометрии

B11 № 27043. В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

Решение.
Ребро куба равно диаметру вписанного в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. Отсюда имеем:

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

27043

8

B11 № 27055. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Решение.
Пусть ребро куба равно , тогда площадь поверхности куба , а диагональ куба . Тогда

.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27055

3

B11 № 27056. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Решение.
Площадь поверхности куба выражается через его ребро как , а объем - как . Отсюда видно, что площадь поверхности куба выражается через его объем как . Отсюда находим, что

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27056

24

B11 № 27061. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Решение.
Площадь поверхности куба выражается через его ребро как , поэтому при увеличении длины ребра на площадь увеличится на

Отсюда находим, что ребро куба равно

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27061

4

B11 № 27080. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Решение.
Объем куба равен объему параллелепипеда

Значит, ребро куба

Ответ: 6.

Ответ: 6

27080

6

B11 № 27081. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

Решение.
Объем куба с ребром равен . Если ребра увеличить в раза, то объем куба увеличится в раз.

Ответ: 27.

Ответ: 27

27081

27

B11 № 27098. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение.
Диагональ куба в раз больше его ребра. Получим, что ребро равно

Тогда объем куба .

Ответ: 8.

Ответ: 8

27098

8

B11 № 27099. Объем куба равен . Найдите его диагональ.

Решение.
Если ребро куба равно , то его объем и диагональ даются формулами и Следовательно,

Тогда диагональ равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

27099

6

B11 № 27102. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Решение.
Объем куба с ребром равен . Увеличение объема равно 19:

Решим уравнение:

Тем самым, .

Ответ: 2.

Ответ: 2

27102

2

B11 № 27130. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

Решение.
Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому при увеличении ребра в 3 раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз.

Ответ: 9.

Ответ: 9

27130

9

B11 № 27139. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

Решение.
Сторона куба меньше диагонали в раз и равна в данном случае . Тогда площадь поверхности куба

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

27139

2

B11 № 27141. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

Решение.
Площадь поверхности куба со стороной равна . Объем куба равен

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

27141

8

B11 № 27168. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Решение.
По условию

,

откуда Площади их поверхностей соотносятся как

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27168

4

B11 № 72007. В куб вписан шар радиуса 3. Найдите объем куба.

Решение.
Ребро куба равно диаметру вписанного в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. Отсюда имеем:

.

Ответ: 216.

Ответ: 216

72007

216

B11 № 72585. Площадь поверхности куба равна 2592. Найдите его диагональ.

Решение.

Пусть ребро куба равно , тогда площадь поверхности куба , а диагональ куба . Тогда

.

Ответ: 36.

Ответ: 36

72585

36

B11 № 74429. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение.
Диагональ куба в раз больше его ребра. Поэтому ребро куба равно

Тогда объем куба .

Ответ: 729.

Ответ: 729

74429

729

B11 № 27047. Сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в .

Решение.
По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 2/25 исходного объема:

Ответ: 184.

Ответ: 184

27047

184

B11 № 27048. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

Решение.
Объем сосуда выражается через его высоту и сторону основания как . При увеличении стороны основания в 4 раза уровень воды уменьшится в 16 раз и будет равен 5 см.

Ответ: 5.

Ответ: 527045

B11 № 27057. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота - 10.

Решение.
площадь боковой поверхности фигуры равна сумме площадей всех боковых граней

.

Ответ: 300.

Ответ: 300

27057

300

B11 № 27062. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

Решение.
Сторона ромба выражается через его диагонали и формулой

.

Найдем площадь ромба

Тогда площадь поверхности призмы равна

Ответ: 248.

Ответ: 248

27062

248

B11 № 27063. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

Решение.
Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы выражается через сторону ее основания и боковое ребро как

Подставим значения и :

,

откуда находим, что

Ответ: 12.

Ответ: 12

27063

12

B11 № 27064. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.
Высота призмы равна высоте цилиндра, а сторона ее основания равна диаметру цилиндра. Тогда площадь боковой поверхности

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

27064

8

B11 № 27065. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Решение.
Сторона правильного треугольника выражается через радиус вписанной в него окружности как . Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой

.

Ответ: 36.

Ответ: 3627065

36

B11 № 27066. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Решение.
Сторона правильного шестиугольника выражается через радиус вписанной в него окружности как . Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27066

24

B11 № 27068. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Решение.
Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.

Ответ: 12.

Ответ: 12

27068

12

B11 № 27082. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Решение.
Объем прямой призмы равен где - площадь основания, а - боковое ребро. Тогда объем равен

.

Ответ: 120.

Ответ: 120

27082

120

B11 № 27083. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

Решение.
Объем прямой призмы равен где - площадь основания, а - боковое ребро. Тогда длина ее бокового ребра равна

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27083

4

B11 № 27084. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны .

Решение.
Объем прямой призмы равен , где - площадь основания, а - боковое ребро. Площадь правильного шестиугольника со стороной , лежащего в основании, задается формулой

.

Тогда объем призмы равен

.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,27084

4,5

B11 № 27106. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Решение.
Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в 2 раза). Высота осталась прежней, следовательно, объем уменьшился в 4 раза.

Ответ: 8.

Ответ: 827106

8

B11 № 27107. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение.
Площадь основания отсеченной части меньше площади основания всей призмы в 4 раза (так как и высота и основание треугольника уменьшились в 2 раза). Высоты обеих частей одинаковы, поэтому объем отсеченной части в 4 раза меньше объема целой призмы, который равен 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

27107

20

B11 № 27108. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом 30.

Решение.
Объем призмы

,

где - площадь основания, а - длина ребра, составляющего с основанием угол . Площадь правильного шестиугольника со стороной равна

Тогда объем призмы

.

Ответ: 18.

Ответ: 18

27108

18

B11 № 27132. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Решение.
Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Площадь боковой поверхности призмы с периметром основания равна

.

Полная площадь поверхности:

Ответ: 288.

Ответ: 288

27132

288

B11 № 27148. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Решение.
Сторона ромба выражается через его диагонали и как

.

Площадь ромба

.

Тогда боковое ребро найдем из выражения для площади поверхности:

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27148

10

B11 № 27150. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Решение.
Для вычисления боковой поверхности призмы воспользуемся формулой , где - длина бокового ребра, а - периметр перпендикулярного сечения призмы:

.

Ответ: 240.

Ответ: 240

27150

240

B11 № 27151. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Решение.
Гипотенуза основания равна 10. Высоту найдем из выражения для площади поверхности :

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27151

10

B11 № 27153. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Решение.
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту боковой грани. Высота боковой грани у исходной призмы и отсеченной призм совпадает. Поэтому площади боковых граней относятся как периметры оснований. Треугольники в основании исходной и отсеченной призм подобны, все их стороны относятся как 1:2. Поэтому периметр основания отсеченной призмы вдвое меньше исходного. Следовательно, площадь боковой поверхности исходной призмы равна 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

27153

16

B11 № 27170. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен , а высота равна 2.

Решение.
Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как . Площадь боковой поверхности призмы тогда равна

.

Ответ: 36.

Ответ: 36

27170

36

B11 № 27183. Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Решение.
Поскольку высота куба равна высоте призмы, их объемы пропорциональны площадям их оснований. Площадь основания построенной призмы в 8 раз меньше площади основания исходной, поэтому искомый объем призмы равен 12 : 8 = 1,5.

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

27183

1,5

B11 № 245335. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

Решение.
Из рисунка видно, что многогранник является половиной данного прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, объём искомого многогранника

Ответ: 30.

Ответ: 3245335

30

B11 № 245344.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Решение.
Многогранник, объем которого требуется найти, является прямой треугольной призмой. Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Основанием призмы является треугольник, его площадь равна одной шестой площади основания шестиугольной призмы. Высотой прямой призмы является боковое ребро, его длина равна 3. Таким образом, искомый объем равен 3.

Ответ: 3

245344

3

B11 № 245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Решение.
Площадь основания четырехугольной призмы равна двум третьим площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

245345

8

B11 № 245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2. Решение.
Площадь основания четырехугольной призмы равна половине площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому

.

Ответ: 6.

Ответ: 6

245346

6

B11 № 245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3. Решение.
Площадь основания треугольной пирамиды равна одной шестой площади основания правильной шестиугольной призмы, а высота у них общая. Поэтому

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

245347

1

B11 № 245356.
Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в три раза? Решение.
Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз. Следовательно, она станет равна 54.

Ответ: 54.

Ответ: 54245356

54

B11 № 245357.
Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны .

Решение.
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. Высотой правильной призмы является ее боковое ребро. Основание призмы - правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной вычисляется по формуле . Следовательно,

Ответ: 13,5.

Ответ: 13,5

245357

13,5

B11 № 27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение.
Площадь пирамиды равна

.

Площадь боковой стороны пирамиды . Высоту треугольника найдем по теореме Пифагора: . Тогда площадь поверхности пирамиды

.

Ответ: 340.

Ответ: 340

27069

340

B11 № 27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна

,

где - периметр основания, а -апофема. Апофему найдем по теореме Пифагора: . Тогда площадь боковой поверхности

Ответ: 360.

Ответ: 360

27070

360

B11 № 27074. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение.
Объем параллелепипеда равен , где - площадь основания, - высота. Объем пирамиды равен

,

где - площадь основания пирамиды, по построению равная половине площади основания параллелепипеда. Тогда объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

27074

1,5

B11 № 27085. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Решение.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 2 раза, объём увеличится в 8 раз.

Это же следует из формулы для объёма правильного тетраэдра , где - длина его ребра.

Ответ: 8.

Ответ: 8

27085

8

B11 № 27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Решение.
Объем пирамиды равен

,

где - площадь основания, а - высота пирамиды. Зная площадь основания, можно найти высоту:

Ответ: 4.

Ответ: 4

27086

4

B11 № 27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

Решение.
Объем пирамиды равен

,

где - площадь основания, а - высота пирамиды. Площадь равностороннего треугольника в основании

,

Тогда объем пирамиды равен

.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

27087

0,25

B11 № 27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

Решение.
Объем пирамиды равен

,

где - площадь основания, а - высота пирамиды. Найдем площадь равностороннего треугольника, лежащего в основании:

.

Тогда высота пирамиды равна

Ответ: 3.

Ответ: 3

27088

3

B11 № 27089. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Решение.
Объем пирамиды равен

,

где - площадь основания, а - высота пирамиды. При увеличении высоты в 4 раза объем пирамиды также увеличится в 4 раза.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27089

4

B11 № 27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Решение.
По теореме Пифагора найдем, что половина диагонали основания равна 8. Тогда диагональ основания равна 16, а сторона - и площадь

Тогда объем пирамиды

Ответ: 256.

Ответ: 256

27109

256

B11 № 27110. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Решение.
В треугольниках и сторона - общая, и , поэтому эти треугольники равны; треугольник - равносторонний, и . Тогда объем пирамиды

Ответ: 48.

Ответ: 48

27110

48

B11 № 27111. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Решение.
Заметим, что

.

Поскольку , далее имеем:

.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

27111

4,5

B11 № 27112. От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Решение.
Объем призмы больше объема пирамиды с такой же площадью основания и высотой в 3 раза. Объем оставшейся части составляет тогда две трети исходного, он равен 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27112

4

B11 № 27113. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Решение.
Данные пирамиды имеют общую высоту, поэтому их объемы соотносятся как площади их оснований. Площадь правильного шестиугольника со стороной равна Площадь же равнобедренного треугольника с боковой стороной и углах при основании равна Получаем, что площадь шестиугольника больше площади треугольника в раз и равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

27113

6

B11 № 27114. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 12. Точка - середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение.
Площадь основания пирамиды по условию в 2 раза меньше площади основания пирамиды . Также высота данной треугольной пирамиды в 2 раза меньше высоты пирамиды (т.к. точка - середина ребра ). Поскольку объем пирамиды равен , то объем данной треугольной пирамиды в 4 раза меньше объема пирамиды и равен 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27114

3

B11 № 27115. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение.
Объем пирамиды . Площадь основания отсеченной части меньше в 4 раза (так как высота и сторона треугольника в основании меньше исходных в 2 раза), поэтому и объем оставшейся части меньше в 4 раза. Тем самым, он равен 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27115

3

B11 № 27116. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решение.
При одинаковой площади основания большим объемом будет обладать та часть, высота которой больше, то есть нижняя. Объем данной пирамиды относится к объему исходной как и поэтому равен 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27116

10

B11 № 27131. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Решение.
Площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей его граней, которые равны . Поэтому при увеличении ребер вдвое, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27131

4

B11 № 27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Решение.
Площадь поверхности складывается из площади основания и площади четырех боковых граней: . Апофему найдем по теореме Пифагора: . Тогда площадь поверхности пирамиды:

.

Ответ: 96.

Ответ: 96

27155

96

B11 № 27171. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4.

Решение.
Высоту треугольника, образующего грани пирамиды, найдем по теореме Пифагора:

.

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды:

.

Ответ: 60.

Ответ: 60

27171

60

B11 № 27172. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза?

Решение.
Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому, если все ребра увеличены в 2 раза, площадь поверхности увеличится в 4 раза.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27172

4

B11 № 27175. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Решение.
Каждая сторона сечения является серединной линией соответствующей грани, которая, как известно, в 2 раза меньше параллельной ей стороны и равна поэтому 0,5. Тогда площадь сечения .

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

27175

0,25

B11 № 27176. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание - прямоугольник со сторонами 3 и 4.

Решение.
Объем пирамиды с площадью основания и высотой равен

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27176

24

B11 № 27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Решение.
Объем пирамиды с площадью основания и высотой равен , откуда площадь основания Сторона основания тогда , а диагональ . Боковое ребро найдем по теореме Пифагора:

Ответ: 13.

Ответ: 13

27178

13

B11 № 27179. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

Решение.
В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому найдем высоту пирамиды по теореме Пифагора: . Площадь основания

.

Тогда объем пирамиды

.

Ответ: 12.

Ответ: 12

27179

12

B11 № 27180. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

Решение.
Площадь основания равна

.

Из формулы для объема пирамиды найдем высоту:

.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому найдем боковое ребро пирамиды по теореме Пифагора:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

27180

7

B11 № 27181. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.

Решение.
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр ее основания. В правильном шестиугольнике со стороной расстояние от его центра до стороны равно радиусу вписанной окружности, который равен . Так как угол между боковой гранью и основанием равен 45°, высота пирамиды также равна . Тогда имеем:

.

Ответ: 48.

Ответ: 48

27181

48

B11 № 27182. Объем параллелепипеда равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение.
Объем параллелепипеда равен а объем пирамиды равен . Высота пирамиды равна высоте параллелепипеда, а ее основание вдвое меньше, поэтому

Ответ: 2.

Ответ: 2

27182

2

B11 № 27184. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

Решение.
Объем пирамиды равен

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

27184

2

B11 № 27209. Объем параллелепипеда равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение.
Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда со сторонами , и и четырех пирамид, основания которых являются гранями данной треугольной пирамиды:

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

27209

1,5

B11 № 245336. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , АА1.Решение.
Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания пареллелепипеда, а высота у них общая. Поэтом

Ответ: 8.

Ответ: 82453368

B11 № 245337.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , . Решение.
Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является боковая грань параллелепипеда, а ее высотой является ребро . Поэтому

Ответ: 16.

Ответ: 16245337

16

B11 № 245338. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

Решение.
Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания пареллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому

Ответ: 6.

Ответ: 6

245338

6

B11 № 245339. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

Решение.
Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является половина боковой грани пареллелепипеда, а высотой пирамиды является ребро параллелепипеда . Поэтому

Ответ: 10.

Ответ: 10

245339

10

B11 № 245340. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Решение.
Требуется найти площадь пирамиды, основание и высота которой совпадают с основанием и высотой данной треугольной призмы. Поэтому

Ответ: 2.

Ответ: 2245340

2

B11 № 245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Решение.

Заметим, что искомый объём равен разности объема призмы и двух треугольных пирамид, основания и высоты которых совпадают с основанием и высотой призмы:

Поэтому

Ответ: 4.

Ответ: 4

245342

4

B11 № 245343. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , , , , правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Решение.
Основание пирамиды такое же, как основание правильной шестиугольной призмы, и высота у них общая. Поэтому

Ответ: 4.

Ответ: 4

245343

4

B11 № 245353.
Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

245353

27

B11 № 318146. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно 5, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.

Решение.

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, вершина пирамиды проецируется в его центр. Введем обозначения, как показано на рисунке. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу, треугольник прямоугольный и равнобедренный. В нем

Тогда из прямоугольного треугольника находим, что

Откуда для объема пирамиды имеем:

Ответ: 24.

Ответ: 24

318146

24

B11 № 501211. Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды равна 13. Чему будет равна площадь боковой поверхности пирамиды, если все ее ребра уменьшить в 2 раза?

Решение.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна

,

где - периметр основания, а -апофема. Поскольку все ребра уменьшились в два раза, следовательно, периметр и апофема тоже уменьшились в два раза. Следовательно, площадь боковой поверхности

Ответ: 3,25.

Ответ: 3,25

501211

3,25

B11 № 501544. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно 5, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды.

Решение.
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, вершина пирамиды проецируется в его центр. Введем обозначения, как показано на рисунке. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу, треугольник прямоугольный и равнобедренный. В нем

Тогда из прямоугольного треугольника находим, что

Откуда для объема пирамиды имеем:

Ответ: 32.

Ответ: 32

501544

32

B11 № 25541. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2, 3, 1 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1:

.

Ответ: 18.

Ответ: 18

25541

18

B11 № 25561. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 3, 5 и двух площадей квадратов со стороной 1:

.

Ответ: 76.

Ответ: 76

25561

76

B11 № 25581. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 4, 5 и площади двух квадратов со стороной 1:

.

Ответ: 92.

Ответ: 92

25581

92

B11 № 25601. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5:

.

Ответ: 110.

Ответ: 110

25601

110

B11 № 25621. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 4:

.

Ответ: 94.

Ответ: 94

25621

94

B11 № 25641. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6, 4, 4 и двух прямоугольников со сторонами 1 и 4, уменьшенной на площадь двух прямоугольников со сторонами 1 и 2:

.

Ответ: 132.

Ответ: 132

25641

132

B11 № 25661. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 4, 5 и двух прямоугольников со сторонами 1 и 4, уменьшенной на площадь двух прямоугольников со сторонами 1 и 3:

.

Ответ: 114.

Ответ: 114

25661

114

B11 № 25681. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей прямоугольников со сторонами 1, 3, 4 и 1, 2, 3, уменьшенной на удвоенную площадь прямоугольника со сторонами 2, 3:

.

Ответ: 48.

Ответ: 48

25681

48

B11 № 25701. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей параллелепипедов с ребрами 1, 6, 4 и 1, 4, 4 уменьшенной на удвоенную площадь квадрата стороной 4:

.

Ответ: 84.

Приведем другое решение
Площадь поверхности заданного многогранника равна площади прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6, 4, 2 уменьшенной на 4 площади квадратов со стороной 1:

Ответ: 84

25701

84

B11 № 25721. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 1, 5, 7 и 1, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 1, 2 - передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при расчете площадей поверхности параллелепипедов:

Ответ: 96.

Ответ: 96

25721

96

B11 № 25881. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей параллелепипедов со сторонами 2, 3, 3 и 5, 4, 3 уменьшенной на удвоенную площадь прямоугольника со сторонами 3, 2:

.

Ответ: 124.

Ответ: 124

25881

124

B11 № 27071. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение.
Площадь поверхности заданного многогранника складывается из четырех площадей квадратов со стороной 1, двух прямоугольников со сторонами 1 и 2 и двух граней (передней и задней), площади которых в свою очередь складываются из трех единичных квадратов каждая. Всего 4 + 4 + 6 = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

27071

14

B11 № 27075. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Решение.
Площадь поверхности получившегося многогранника равна сумме площадей поверхностей куба со стороной 1 и параллелепипеда со сторонами 1, 0,5, 0,5 минус 4 площади основания вырезанной призмы:

.

Ответ: 7,5.

Ответ: 7,5

27075

7,5

B11 № 27157. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

Решение.
При увеличении ребер в 3 раза площади треугольников, образующих грани октаэдра, увеличатся в 9 раз, поэтому суммарная площадь поверхности также увеличится в 9 раз.

Ответ: 9.

Ответ: 9

27157

9

B11 № 27158. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Решение.
Площадь поверхности креста равна площади поверхности 6-ти кубов, у которых отсутствует одна из шести сторон. Получаем, что площадь поверхности:

.

Ответ: 30.

Ответ: 30

27158

30

B11 № 27215. Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Решение.
Искомая поверхность состоит из 8 равносторонних треугольников со стороной, вдвое меньшей ребра исходного тетраэдра. Поверхность исходного тетраэдра состоит из 16-ти таких треугольников (см. рис.), поэтому искомая площадь равна половине площади поверхности тетраэдра и равна 0,6.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

27215

0,6

B11 № 77155. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности данного многогранника равна сумме площадей поверхностей прямоугольных параллелепипедов с рёбрами 6, 6, 2 и 3, 3, 4, уменьшенной на две площади прямоугольников со сторонами 3 и 4:

.

Ответ: 162.

Ответ: 162

77155

162

B11 № 77156. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности тела равна сумме поверхностей трех составляющих ее параллелепипедов с ребрами 2, 3, 5; 1, 3, 5 и 2, 2, 3:

.

Ответ: 140.

Ответ: 140

77156

140

B11 № 77157. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Площадь поверхности тела равна сумме поверхностей трех составляющих его параллелепипедов с измерениями 2, 4, 6; 1, 6, 2 и 2, 2, 2:

.

Ответ: 152.

Ответ: 152

77157

152

B11 № 27044. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Решение.
объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

27044

8

B11 № 27117. Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Решение.
Крест состоит из 7 одинаковых кубов, поэтому его объем в 7 раз больше объема одного куба.

Ответ: 7.

Ответ: 7

27117

7

B11 № 27187. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 5 4, 2 и 2, 2, 4:

.

Ответ: 56.

Ответ: 56

27187

56

B11 № 27188. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 2, 3, 1 и 1, 1, 1:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

27188

7

B11 № 27189. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 3, 3, 4 и 1, 1, 4:

.

Ответ: 40.

Ответ: 40

27189

40

B11 № 27190. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение.
Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов с ребрами 3, 3, 4 и 1, 1, 2:

.

Ответ: 34.

Ответ: 34

27190

34

B11 № 27042. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Решение.
Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра. Основанием параллелепипеда является квадрат, сторона которого в два раза больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона основания равна 8, а площадь основания равна 64. Тогда высота цилиндра равна

.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

27042

0,25

B11 № 27045. В цилиндрический сосуд налили 2000 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .

Решение.
По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 9/12 исходного объема:

.

Ответ: 1500.

Ответ: 1500

27045

1500

B11 № 27046. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в раза больше первого? Ответ выразите в см.

Решение.
Объем цилиндрического сосуда выражается через его диаметр и высоту как . При увеличении диаметра сосуда в 2 раза высота равного объема жидкости уменьшится в 4 раза и станет равна 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27046

4

B11 № 27049. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение.
По теореме Пифагора длина гипотенузы треугольника в основании . Поскольку гипотенуза является диаметром основания описанного цилиндра, его объем

.

Ответ: 125.

Ответ: 125

27049

125

B11 № 27050. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение.
Диагональ квадрата в основании призмы является диаметром описанного вокруг призмы цилиндра. Тогда его объем:

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27050

4

B11 № 27051. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 25.

Решение.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, а объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Поскольку они имеют общее основание и высоту, объем цилиндра в три раза больше объема конуса.

Ответ: 75.

Ответ: 75

27051

75

B11 № 27053. Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания - в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение.
Пусть объём первого цилиндра равен , объём второго - , где - радиусы оснований цилиндров, - их высоты. По условию , . Выразим объём второго цилиндра через объём первого:

,

Откуда

куб. м.

Ответ: 9.

Ответ: 9

27053

9

B11 № 27058. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Решение.
Площадь боковой поверхности цилиндра , поэтому

Ответ: 12.

Ответ: 12

27058

12

B11 № 27091. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

Решение.
По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 1/2 исходного объема, поэтому объем детали равен 3 литрам.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27091

3

B11 № 27118. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Решение.
Обозначим площадь и высоту 2-й кружки за и . Тогда объем первой кружки

.

Тогда

.

Ответ: 1,125.

Ответ: 1,125

27118

1,125

B11 № 27133. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна , где C - длина окружности основания. Поэтому

Ответ: 6.

Ответ: 6

27133

6

B11 № 27173. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на .

Решение.
Площадь осевого сечения цилиндра равна , так как это прямоугольник. Площадь боковой поверхности

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27173

4

B11 № 27196. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение.
Объем данной части цилиндра равен

.

Ответ: 45.

Ответ: 45

27196

45

B11 № 27197. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение.
Объем данной части цилиндра равен

.

Ответ: 3,75.

Ответ: 3,75

27197

3,75

B11 № 27198. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение.
Объем данной части цилиндра равен

.

Ответ: 144.

Ответ: 144

27198

144

B11 № 27199. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение.
Объем данной части цилиндра равен

.

Ответ: 937,5.

Ответ: 937,5

27199

937,5

B11 № 27200. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение.
Объем данной фигуры равен сумме объемов цилиндра с радиусом основания 2 и высотой 3 и половины цилиндра с тем же радиусом основания и высотой 1:

.

Ответ: 14.

Ответ: 14

27200

14

B11 № 27201. Найдите объем части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение.
Объем данной фигуры равен разности объемов цилиндра с радиусом основания 5 и высотой 5 и цилиндра с той же высотой и радиусом основания 2:

.

Ответ: 105.

Ответ: 105

27201

105

B11 № 245350.
Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 5. Найдите объем цилиндра.

Решение.
Поскольку

а конус и цилиндр имеют общую высоту и основание, имеем:

.

Ответ: 15.

Ответ: 15

245350

15

B11 № 245354.
Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

Решение.
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро. Боковое ребро равно высоте цилиндра. В основании призмы лежит квадрат, его сторона равна диаметру вписанного круга. Поэтому

.

Поскольку по условию площадь боковой поверхности равна 48, искомая высота равна 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

245354

3

B11 № 245358.
Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

Решение.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, лежащей в основании, на высоту. Поэтому высота цилиндра равна 2.

Ответ: 2

245358

2

B11 № 500147. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 405 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.
Объем налитой в цилиндрический сосуд жидкости пропорционален площади его основания, то есть пропорционален квадрату диаметра основания. Следовательно, уровень жидкости понизится в 81 раз и составит 405 : 81 = 5 см.

Ответ: 5.

Ответ: 5

500147

5

B11 № 500167. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 28 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.
Объем налитой в цилиндрический сосуд жидкости пропорционален площади его основания, то есть пропорционален квадрату диаметра основания. Следовательно, уровень жидкости понизится в 4 раза и составит 28 : 4 = 7 см.

Ответ: 7.

Ответ: 7

500167

7

B11 № 500251. Объём первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м³).

Решение.
Пусть объём первого цилиндра равен , объём второго - , где - радиусы оснований цилиндров, - их высоты. По условию , . Выразим объём второго цилиндра через объём первого:

,

Откуда

куб. м.

Ответ: 9.

Ответ: 9

500251

9

B11 № 27052. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение.
Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса в восемь раз меньше объема большего конуса.

Ответ: 2.

Ответ: 2

27052

2

B11 № 27093. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите .

Решение.
Объем конуса равен

,

где - площадь основания, а - высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в ° - она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:

.

Тогда объем

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

27093

1

B11 № 27094. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

Решение.
Объем конуса равен

,

где - площадь основания, а - высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27094

3

B11 № 27095. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

Решение.
Объем конуса равен

,

где - площадь основания, - высота конуса, а - радиус основания. При увеличении радиуса основания в 1,5 раза объем конуса увеличится в 2,25 раза.

Ответ: 2,25.

Ответ: 2,25

27095

2,25

B11 № 27096. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

Решение.
Объем конуса равен

,

где - площадь основания, а - высота конуса. Объем цилиндра равен и, как видно, в 3 раза больше объема конуса. Поэтому объем конуса равен 50.

Ответ: 50.

Ответ: 50

27096

50

B11 № 27120. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на .

Решение.
По теореме Пифагора найдем, что радиус основания равен . Тогда объем конуса, деленный на :

Ответ: 128.

Ответ: 128

27120

128

B11 № 27121. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .

Решение.
В треугольнике, образованном радиусом основания r, высотой h и образующей конуса l, углы при образующей равны, поэтому высота конуса равна радиусу его основания: h = r. Тогда объем конуса, деленный на вычисляется следующим образом:

Ответ: 9.

Ответ: 9

27121

9

B11 № 27122. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .

Решение.
Треугольник - так же равнобедренный, т.к. углы при основании . Тогда радиус основания равен 6, и объем конуса, деленный на :

Ответ: 72.

Ответ: 72

27122

72

B11 № 27123. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .

Решение.
Радиус основания конуса равен половине диагонали квадрата : . Тогда объем конуса, деленный на :

Ответ: 16.

Ответ: 16

27123

16

B11 № 27124. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Решение.
Объемы данных конусов соотносятся как площади их оснований, и, следовательно, как квадраты их диаметров. Диаметр вписанного конуса равен стороне квадрата, диаметр описанного - диагонали квадрата, длина которой равна длины стороны. Поэтому объем описанного конуса в 2 раза больше объема вписанного.

Ответ: 2.

Ответ: 2

27124

2

B11 № 27135. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение.
Площадь боковой поверхности конуса равна , где - длина окружности основания, а - образующая. Тогда

Ответ: 3.

Ответ: 3

27135

3

B11 № 27136. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

Решение.
Площадь боковой поверхности конуса равна , где - длина окружности основания, а - образующая. При увеличении образующей в 3 раза площадь боковой поверхности конуса увеличится в 3 раза.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27136

3

B11 № 27159. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на .

Решение.
Площадь поверхности складывается из площади основания и площади боковой поверхности:

.

Радиус основания найдем по теореме Пифагора для треугольника, образованного высотой, образующей и радиусом: . Тогда площадь поверхности

Ответ: 144.

Ответ: 144

27159

144

B11 № 27160. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Решение.
Площадь основания конуса равна , а площадь боковой поверхности . Из условия имеем:

Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, образующей и радиусом основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла . Следовательно, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен .

Ответ: 60.

Ответ: 60

27160

60

B11 № 27161. Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Решение.
Исходный и отсеченный конус подобны с коэффициентом подобия 2. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. Поэтому площадь отсеченного конуса в 4 раза меньше площади поверхности исходного. Тем самым, она равна 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

27161

3

B11 № 27167. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на .

Решение.
Найдем образующую по теореме Пифагора: . Площадь полной поверхности конуса

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

27167

24

B11 № 27202. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

Решение.
Объем данной части конуса равен

.

Ответ: 87,75.

Ответ: 87,75

27202

87,75

B11 № 245351.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

Решение.
Запишем формулу для объёма шара:

.

Объём конуса в 4 раза меньше:

.

Ответ: 7.

Ответ: 7

245351

7

B11 № 318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение.
Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуса, он равен 560 мл. Следовательно, необходимо долить 560 − 70 = 490 мл жидкости.

Ответ: 490.

Ответ: 490

B11 № 27059. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Решение.
Радиус большого круга является радиусом шара. Площадь первого выражается через радиус как , а площадь поверхности сферы - как . Видно, что площадь поверхности шара в раза больше площади поверхности большого круга.

Ответ: 12.

Ответ: 12

27059

12

B11 № 27072. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

Решение.
Площадь поверхности шара выражается через его радиус формулой , поэтому при увеличении радиуса вдвое площадь увеличится в 2² = 4 раза.

Ответ: 4.

Ответ: 4

27072

4

B11 № 27073. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение.
По построению радиусы шара и основания цилиндра равны. Площадь поверхности цилиндра, с радиусом основания r и высотой 2r равна

.

Площадь поверхности шара радиуса равна , то есть в 1,5 раза меньше площади поверхности цилиндра. Следовательно, площадь поверхности шара равна 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

27073

12

B11 № 27097. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

Решение.
Объем шара радиуса равен

.

При увеличении радиуса втрое, объем шара увеличится в 27 раз.

Ответ: 27.

Ответ: 27

27097

27

B11 № 27105. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение.
Прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы, является кубом. Тогда длина его ребра

.

Радиус сферы равен половине длины ребра .

Ответ: 3.

Ответ: 3

27105

3

B11 № 27125. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Решение.
Объем такого шара

,

откуда получим, что .

Ответ: 12.

Ответ: 12

27125

12

B11 № 27126. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Решение.
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: . Тогда объем шара

.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

27126

4,5

B11 № 27127. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

Решение.
Пусть длина ребра куба равна а, а его диагональ равна d. Радиус описанного шара R равен половине диагонали куба:

.

Поэтому объем шара равен

Тогда

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

27127

4,5

B11 № 27162. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Решение.
Объемы шаров соотносятся как

,

Откуда Площади их поверхностей соотносятся как

.

Ответ: 9.

Ответ: 9

27162

9

B11 № 27163. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решение.
Из условия найдем, что радиус такого шара

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

27163

10

B11 № 27174. Объем шара равен 288 . Найдите площадь его поверхности, деленную на .

Решение.
Объем шара радиуса вычисляется по формуле , откуда

.

Площадь его поверхности:

.

Ответ: 144.

Ответ: 144

27174

144

B11 № 27206. Вершина куба со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку . Найдите площадь части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

Решение.
Так как одна из вершин куба является центром сферы с радиусом, меньшим либо равным стороне куба, в кубе содержится 1/8 сферы и, соответственно, 1/8 ее поверхности, равная

.

Ответ: 1,28.

Ответ: 1,28

27206

1,28

B11 № 27207. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

Решение.
Так как середина ребер куба является центром сферы, диаметр которой равен ребру куба, в кубе содержится 1/4 сферы и, соответственно, 1/4 ее поверхности. Имеем:

.

Ответ: 0,9025.

Ответ: 0,9025

27207

0,9025

B11 № 245348.
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.

Решение.

,

Выразим из формулы для объёма цилиндра и подставим в формулу для объёма шара

Ответ: 22.

Ответ: 22

245348

22

B11 № 245349.
Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.

Решение.
Объем цилиндра равен произведению площади основания ны высоту. Площадь основания цилиндра равна площади большого круга вписанного шара, а высота цилиндра равна диаметру вписанного шара. Поэтому

Ответ: 36.

Ответ: 36

245349

36

B11 № 245352.
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Решение.

. .

Ответ: 24.

Ответ: 24

245352

24

B11 № 245355. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.

Решение.
Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна . Если ребро куба равно , то диагональ куба дается формулой . Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8