Исследовательская работа по математики ученика 6 класс по теме Простые числа

Аннотация

Гончаров Владислав, с. Яшалта, МБОУ Яшалтинская СОШ, 6 класс

Тема работы: «Простые числа»

Руководитель: Точка Ирина Геннадьевна, учитель математики

Цель работы: исследовать множество простых чисел, выяснить, существует ли математическая формула для их отыскания, существует ли самое большое простое число? изучить сопутствующую теорию и историческое развитие данной темы, исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

Исследовательская работа началась с того, что мы заинтересовались: «Как искать простые числа в ряду последовательных натуральных чисел? Чем объясняются закономерности расположения простых чисел в ряде натуральных чисел?

Мы проделали огромную работу по изучению методов отыскания простых чисел, рассмотрели множество вычислительных экспериментов по нахождению простых чисел, просмотрели как располагаются простые числа в ряду натуральных чисел в пределе до 1000 . И только после этого смогли сделать вывод, что количество простых чисел постепенно уменьшается. Эта работа настолько увлекла меня, что в дальнейшем я планирую попробовать написать программы, реализующие методы отыскания простых чисел с помощью компьютера.

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся

Научно практическая конференция «Первые шаги в науку- Юг»

Направление: математика

Тема: «Простые числа»

Гончаров Владислав

Яшалтинская СОШ, Яшалтинского района

6 класс

Научный руководитель:

Точка И. Г.

2011/2012 учебный год

Содержание

Введение_________________________________________________________________ 3

Глава 1 Теоретические сведения_____________________________________________ 4

Глава 2 Решето Эратосфена ______________________________________________ 5

Глава 3 Решето Сундарама__________________________________________________ 7

Глава 4 Работа с таблицей простых чисел ___________________________________ 8

Глава 5 Теорема Евклида____________________________________________________ 9

Глава 6 Числа Мерсенна и Ферма _________________________________________ 10

Глава 7 Скатерть (спираль) Улама ___________________________________________ 12

Глава 8 Современные исследования _________________________________________ 13

Заключение ______________________________________________________________ 15

Список литературы _________________________________________________________ 16

Приложение _______________________________________________________________ 17

Введение

Ни одному другому разделу теории чисел не свойственно столько загадочности и изящества, как разделу, занимающемуся изучением простых чисел - непокорных упрямцев, упорно не желающих делиться, ни на какое целое число, кроме 1 и самих себя. Некоторые задачи, относящиеся к теории распределения простых чисел, формулируются настолько просто, что понять их может и ребенок. Тем не менее, они настолько глубоки и далеки от своего решения, что многие математики считают их вообще неразрешимыми. Выбрать для исследования данную тему меня побудила одна задача:

Как искать простые числа в ряду последовательных натуральных чисел?

Я сразу не смог ответить на этот вопрос, а впоследствии увлекся поисками решения.

Надеюсь, что моя работа окажется интересной и нужной не только для меня и моих одноклассников, но и для школьников и учителей всей страны.

Исходя, из этого актуальность моего исследования обусловлена развитием математического мышления, основываясь на числовых представлениях поиска простых чисел.

Цели и задачи исследования:

1. Исследовать множество простых чисел.

2. Выяснить, существует ли математическая формула для их отыскания.

3. Выяснить, существует ли самое большое простое число?

4. Изучить сопутствующую теорию и историческое развитие данной темы.

5. Исследовать современное состояние изучаемого вопроса.

Методы исследования : анализ литературы; беседы.

Новизна исследования: поиск математических представлений у учеников о нахождении простых чисел в ряду натуральных чисел.

Практическая значимость работы заключается в том, что изучение методов отыскания простых чисел способствует повышению интереса к изучению математики у учеников, родителей. Возможно использование материала на внеклассных мероприятиях, факультативах и т.д.

Глава 1. Теоретические сведения.

Евклид определял простые числа так: "Простое число есть измеряемое только единицей". Иными словами, простые числа не имеют других делителей, кроме единицы и самого себя. Если p простое число, то его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только следующим образом: p = p*1. Числа, не являющиеся простыми, называются составными. Понятно, что всякое составное число имеет не меньше двух делителей отличных от 1. Итак,

Просто́е число́ - это натуральное число, которое имеет ровно 2 натуральных делителя (только 1 и самого себя).

Составное число́ - натуральное число большее 1, не являющееся простым.

1 - особое число, оно не является ни простым, ни составным.

Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.

Если натуральное число a делится на натуральное число b,то число b называют делителем числа a, а число а - кратным числа b.

Таким образом, простые числа - это как бы "кирпичики" для строительства всех натуральных чисел. Например, число N = 500 представимо в виде такого произведения: N = 2² * 5³

Представление составного числа в указанном виде называют разложением числа на простые множители.

Свойства делимости.

• Если в сумме натуральных чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

• Если уменьшаемое и вычитаемое делится на одно и то же число, то и разность делится на это число.

• Если в произведение натуральных чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Основная теорема арифметики.

Каждое натуральное число, отличное от 1, может быть представлено в виде произведения простых множителей, и притом только единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей).[9]

Глава 2 Решето Эратосфена.

Как же искать простые числа в ряду последовательных натуральных чисел? Древнейший алгоритм такого поиска был предложен 2000 лет назад астрономом и географом из Александрии Эратосфеном. Этот алгоритм получил название "решето Эратосфена".

Опишу подробно алгоритм Эратосфена. Пусть нам надо найти все простые числа в диапазоне от 1 до N. Выпишем подряд все числа от 2 до N. Зачеркнём в этом списке каждое второе число из следующих за числом 2. Таким образом мы отсеем все числа кратные числу 2. Число 2 является первым простым числом. Следующее не зачёркнутое число в списке после числа 2 - число 3. Это второе простое число. Повторим процедуру отсеивания, только теперь будем зачёркивать каждое третье число из следующих за числом 3. Так отсеем все числа кратные 3. Процедуру отсеивания следует повторять до тех пор, пока не доберёмся до простого числа, которое больше квадратного корня из N. Все числа, оставшиеся не зачёркнутыми в списке, будут простыми. Приведу иллюстрацию описанного метода для N = 50. Сначала покажу, как будет выглядеть список чисел после отсеивания чисел кратных 2:

2, 3, /4/, 5, /6/, 7, /8/, 9, /10/, 11, /12/, 13, /14/, 15, /16/, 17, /18/, 19, /20/, 21, /22/, 23, /24/, 25, /26/, 27, /28/, 29, /30/

31, /32/, 33, /34/, 35, /36/, 37, /38/, 39, /40/, 41, /42/, 43, /44/, 45, /46/, 47, /48/, 49, /50/

Примечание: зачёркнутые числа заключены в две наклонные черты / /.

Теперь покажу, как выглядит список после вычёркивания всех чисел кратных 3:

2, 3, /4/, 5, /6/, 7, /8/, /9/, /10/, 11, /12/, 13, /14/, /15/, /16/, 17, /18/, 19, /20/, /21/, /22/, 23, /24/, 25, /26/, /27/, /28/, 29, /30/ 31, /32/, /33/, /34/, 35, /36/, 37, /38/, /39/, /40/, 41, /42/, 43, /44/, /45/, /46/, 47, /48/, 49, /50/

Осталось два этапа: вычеркнуть все числа кратные 5 и кратные 7. Окончательно получим такой список простых чисел (простые числа выделены красным цветом):

2, 3, /4/, 5, /6/, 7, /8/, /9/, /10/, 11, /12/, 13, /14/, /15/, /16/, 17, /18/, 19, /20/, /21/, /22/, 23, /24/, /25/, /26/, /27/, /28/, 29, /30/31, /32/, /33/, /34/, /35/, /36/, 37, /38/, /39/, /40/, 41, /42/, 43, /44/, /45/, /46/, 47, /48/, /49/, /50/

В этом примере процедура отсеивания (зачёркивания) завершилась на простом числе 7, то есть последний раз мы зачёркивали в этом списке каждое седьмое число, следующее за числом 7. Числа кратные 11 мы уже не будем зачёркивать (отсеивать), так как это число больше квадратного корня из 50.

Покажу ещё один оригинальный приём реализации решета Эратосфена из [3] . Здесь находятся все простые числа в интервале от 1 до 100. Все числа от 1 до 100 помещаются в прямоугольную таблицу (рис. 1). Процедура отсеивания выполняется следующим образом. Вычеркнем все числа кратные 2, за исключением самой двойки, проведя вертикальные черты во втором, четвёртом и шестом столбцах. Вычеркнем все числа кратные 3 (сама тройка остаётся), проведя вертикальную черту в третьем столбце. Следующее за 3 не вычеркнутое число равно 5. Чтобы вычеркнуть числа кратные 5, проведём диагонали, идущие вниз и влево (число 5 остаётся). Оставшиеся в таблице числа кратные 7 вычеркнем, проведя диагонали с наклоном вправо и вниз. Наша работа по составлению списка простых чисел, не превосходящих числа 100, на этом заканчивается, поскольку следующее простое число 11 больше квадратного корня из 100. Если бы таблица была больше, то нам пришлось бы исключать числа кратные 11, проводя диагонали с более крутым наклоном. Все не зачёркнутые числа в таблице на рисунке 1, кроме числа 1, являются простыми (они выделены красным цветом).

А почему решето? Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того, чтобы числа вычеркивать, дощечку в нужном месте прокалывали. Отсюда и название способа - «решето Эратосфена».

Итак, Решето Эратосфена работает как своего рода аналоговая вычислительная машина. И, значит, вот что изобрел великий грек: он изобрел счетную машину. Простые числа располагаются на числовом ряду весьма причудливым образом.

Найти редкие оазисы простых чисел, затерянные в обширных пустынях составных чисел, нелегко. Решето Эратосфена позволяет это сделать!

Анализируя Решето видно, что все простые числа либо на 1 меньше, либо на 1 больше чисел, кратных 6.

Глава 3. Решето Сундарама.

Ещё одно интересное "решето" для нахождения простых чисел было предложено в 1934 году индийским математиком С. П. Сундарамом. Он придумал очень оригинальную таблицу, состоящую из бесконечного количества бесконечных арифметических прогрессий, причём каждый член первой прогрессии начинает новую прогрессию (с новой строки таблицы). Разностями прогрессий являются все нечётные числа, начиная с 3. На рисунке 3 показано начало таблицы Сундарама. Таблица бесконечно продолжается вправо и вниз. Разность арифметической прогрессии, записанной в первой строке таблицы, равна 3, разность арифметической прогрессии, записанной во второй строке таблицы, равна 5 и т. д. (все нечётные числа подряд являются разностями прогрессий).

Как же находить простые числа с помощью таблицы Сундарама? Оказывается, эта таблица обладает таким свойством: если некоторое число N содержится в таблице Сундарама, то число 2*N + 1 будет обязательно составным, а если число N не содержится в этой таблице, то число 2*N + 1 будет простым. Например, число 4 содержится в таблице, следовательно, число 2*4 + 1 = 9 составное; числа 5 нет в таблице, следовательно, число 2*5 + 1 = 11 простое.

Итак, принцип работы таблицы основывается на теореме:

Любое число A, находящееся в таблице Сундарама, может быть представлено в виде: A = (1 + 2 * N) * K + N, где N - номер строки таблицы, в которой находится данное число, K - порядковый номер числа в этой строке. [8]

Глава 4. Работа с таблицей простых чисел.

Текущая версия (не проверялась)

Количество простых чисел до 1000: 168 чисел.

Простые числа от 2 до 100: 25 чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97)

Простые числа от 100 до 200: 21 число (101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199)

Простые числа от 200 до 300: 16 чисел (211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293)

Простые числа от 300 до 400: 16 чисел (307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397)

Простые числа от 400 до 500: 17 чисел (401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499)

Простые числа от 500 до 600: 14 чисел (503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599)

Простые числа от 600 до 700: 16 чисел (601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691)

Простые числа от 700 до 800: 14 чисел (701,709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797)

Простые числа от 800 до 900: 15 чисел (809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887)

Простые числа от 900 до 1000: 14 чисел (907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997)

Числа - близнецы до 500: 3-5; 5-7; 11-13; 17-19; 29-31; 41-43; 59-61; 71-73; 101-103; 107-109; 137-139; 149-151; 179-181; 191-193; 197-199; 227-229; 239-241; 269-271; 281-283; 311-313; 347-349; 419-421; 431-433; 461-463. (24 пары.)

Числа - близнецы от 500 до 1000: 521-523; 569-571; 599-601; 617-619; 641-643; 659-661; 809-811; 821-823; 827-829; 857-859; 881-883. (11 пар.)

Вывод: количество простых чисел постепенно уменьшается.

Глава 5. Теорема Евклида

Евклид - древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биография, сведения о нем крайне скудны. Его научная деятельность протекала в Александрии в 3 веке до н. э. Евклид - первый математик александрийской школы. Его главная работа "Начала" (в латинизированной форме - "Элементы") содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел. В ней он подвёл итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Евклид - автор работ по математике, астрономии, оптике, музыке и др.

Теорема Евклида: Простых чисел бесконечно много. Среди простых чисел нет самого большого числа.

Рассуждение, которое он провел, очень красиво и просто.

В самом деле, предположим, что простых чисел - конечное число и имеется самое большое простое число. Перемножим все простые числа и их произведение обозначим через А.

Выясним, каким будет число А+1 - простым или составным?

Простым А+1 быть не может потому что оно больше самого большого простого числа .

Но составным оно тоже быть не может: если А+1 составное, то оно делится на некоторое простое число р≠1, но и А тоже делится на р (так как А - произведение всех простых чисел). Тогда и разность (А+1)-А=1 тоже делится на р, а этого не может быть.

Итак, число А не является ни простым, ни составным, но этого тоже не может быть - всякое число, кроме 1, либо простое, либо составное. Из-за чего возникло такое противоречие: число А (не равное 1) не является ни простым, ни составным? Только из-за того, что мы предположили, что имеется самое большое простое число. Значит, наше предположение неверно, т.е. самого большого простого числа не существует и простых чисел бесконечно много. [7]

Так две с лишним тысячи лет назад Евклид лишил математиков надежды получить когда-нибудь полный список простых чисел.

Много ученых пытались найти общую формулу для записи простых чисел, но все их попытки не увенчались успехом.

Глава 6. Числа Мерсенна

Маре́н Мерсе́нн (1588 - 1648) - французский математик, физик, философ и теолог. На протяжении первой половины XVII века был по существу координатором научной жизни Европы, ведя активную переписку практически со всеми видными учёными того времени. Имеет также серьёзные личные научные заслуги в области акустики, математики и теории музыки.

Числа вида 2^p - 1, где p - простое число, называются числами Мерсенна, впервые заметившего, что среди таких чисел много простых. В течение почти 200 лет математики считали, что число Мерсенна 2⁶⁷ - 1 простое. Эрик Темриль Белл в своей книге "Математика - царица и служанка науки" рассказывает о заседании американского математического общества, состоявшемся в октябре 1903 г. в Нью-Йорке, на котором выступил с сообщением профессор Коул. Коул, человек немногословный, подошёл к доске и, не говоря ни слова, начал возводить 2 в степень 67. Затем он вычел из полученного числа 1 и, по-прежнему не говоря ни слова, перешёл на чистую часть доски, где столбиком перемножил два числа: 193707721 и 761838257287. Оба результата совпали… Впервые в истории американского математического общества его члены бурными аплодисментами приветствовали докладчика. Коул, так и не проронив ни слова, сел на место. Никто не задал ему ни одного вопроса. Через несколько лет Белл спросил у Коула, сколько времени тот потратил, чтобы разложить число на множители. "Все воскресенья в течение трёх лет", - ответил Коул. [3]

Далее приведены девять первых чисел Мерсенна, среди которых выделены подчеркиванием простые числа:

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607

Как видно, среди первых девяти чисел Мерсенна только два составные. В то время, когда Гарднер писал свою книгу "Математические досуги", было известно такое максимальное простое число Мерсенна: 2¹¹²¹³ - 1. Запись этого числа содержит около 3376 цифр. Это число обнаружил в 1963 г. с помощью ЭВМ Дональд Б. Джиллис. Это же число являлось и самым большим из известных простых чисел. [3]

В [1] уже приводится гораздо большее простое число Мерсенна: 2¹³²⁰⁴⁹ - 1. И опять же это число было самым большим из известных простых чисел.

В настоящее время составлены специальные программы для поиска чисел Мерсенна.

В статье "Простые числа" [1] сообщается, что самым большим простым числом по состоянию на сентябрь 2008 г. является число Мерсенна 2^43112609 - 1. Оно было найдено 23 августа 2008 г. на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску чисел Мерсенна GIMPS. В десятичной записи этого числа содержится около 13 миллионов цифр. Это 46-ое число Мерсенна. Насколько понимаю, 47-ое число Мерсенна ещё не найдено. Поскольку для чисел Мерсенна существует тест проверки на простоту, уже несколько лет именно эти числа держат рекорд самого большого простого числа.

Глава 7. Скатерть (спираль) С. Улама

Метод «Скатерти Станислава Улама» (1963 г.) относится не к традиционной математике, а к числонавтике. Суть и цель его метода заключается в выявлении и визуализации простых чисел из натуральных. Это великолепная находка математика, который, в отличие от обычных людей, прекрасно чувствовал цифры и числа. Именно это и позволило ему уловить неожиданный геометрический феномен простых чисел.

Сам метод появился из неких числовых манипуляций, которые С. Улам случайно осуществил на бумажной столовой салфетке....

Он начертил на ней вертикальные и горизонтальные линии и хотел заняться составлением шахматных этюдов, но потом передумал и начал нумеровать пересечения, поставив в центре 1, и, двигаясь по спирали против часовой стрелки, записывал все натуральные числа до 100. Без всякой задней мысли Улам обводил все простые числа кружками. Каково было его удивление, когда он увидел, что простые числа стали выстраиваться вдоль прямых линий!

На рисунке 2 простые числа отмечены зеленым цветом. Видно, как простые числа располагаются на прямых диагональных линиях. [6]

В вычислительном отделе Лос-Аламосской лаборатории, где работал Улам, имелась магнитная лента, на которой было записано 90 млн. простых чисел. Улам вместе с Майроном Л. Стейном и Марком Б. Уэллсом составили программу для вычислительной машины МАNIAK, позволившую нанести на спираль последовательные целые числа от 1 до 65000.

В результате построения (вмещения чисел в квадрат) продолжалась проявляться тенденция, в соответствии с которой простые числа сами располагаются вдоль диагональных линий принятой координатной системы.

Глава 8. Современные исследования.

Сегодня для отображения и исследования феномена спирали Улама используются разнообразные компьютерные программы. Современная математика до сих пор не нашла теоретического объяснения действию метода С. Улама, а точнее, не дала ответа на вопрос о том, почему простые числа располагаются по диагоналям.

Замечено было ещё одно интересное явление, тоже имеющее отношение к вопросу выявления простых чисел. Его суть в том, что если начинать спиральную запись из центра не с цифры «1», а любой другой, например, с цифры «41», то эффект останется неизменным: простые числа будут располагаться по диагоналям.

Почему? Неизвестно… Тайн у природы ещё предостаточно. Реальность имеет множество форм своего проявления и отображения. Но, рано или поздно, люди всегда пытаются проникнуть в скрытые тайны, чтобы постигнуть их.

Современным исследователем данного вопроса является Алексей Алексеевич Корнеев, который метод Улама назвал «Методом числового вмещения» Кроме этого, он утверждает, что при анализе этого метода не было сделано должных выводов и обобщений в отношении смысла этого феномена. Например, можно было сразу же задуматься о фундаментальной роли и значении спиральной формы движения. Мы видим тип этого движения буквально повсюду. Это и строение галактик во Вселенной, это и формы живого (спиральные тела ракушек, улиток, и пр.), это, наконец, строение наследственного вещества живых существ - молекул ДНК.

Таким образом, уже только один этот факт мог бы послужить веским поводом для фундаментальных исследований.

Более того, зная об особых свойствах простых и составных чисел в бесконечном ряду натуральных чисел, А.А.Корнеев предлагает провести исследования, выдвигая следующую гипотезу: Поскольку в наблюдаемом нами мире преобладают спиральные формы движения (как и в опыте С. Улама), то для тех же галактик вполне разумно допустить существование неких незримых, но вполне определённых траекторий, вдоль которых просто обязаны локализоваться особые точки пространства (или особые объекты), по аналогии с точками локализации простых чисел.

Он утверждает, что это было бы закономерным явлением, ибо в строении и в структуре галактик мы наблюдаем само естество Природы. Здесь действуют именно натуральные процессы и ряды явлений, прообразами для которых вполне могут быть натуральные и простые числа…

Таким образом, Корнеев предлагает провести практические исследования в сфере астрономии для обнаружения особых геометрических феноменов и особых объектов, подобных расположению простых чисел на скатерти С.Улама.

Он предсказывает, что, если изложенный им взгляд на данную проблему будет воспринят учеными других специальностей, то не только астрономы, но и биологи, а также генетики порадуют нас своими неожиданными открытиями из жизни ... «спиральных реальностей»!

Кроме этого, Корнеев утверждает, что и сами числа изучены недостаточно, у них есть скрытые качества! Не зря ряд чисел удивительным образом встраивается во все природные явления.[4]

Итак, в наше время изучение простых чисел продолжается…

Современные компьютеры помогают находить большие простые числа, но их возможности тоже ограничены, так как множество простых чисел бесконечно.

С помощью ЭВМ найдено самое большое простое число Мерсенна

2 ^р -1 при р=43112609.

Самые большие известные числа-близнецы

1 000 000 009 649 и 1 000 000 009 651.

Нет пока ответа на вопрос о том, существует ли самая большая пара чисел-близнецов.

Изучение таблиц простых чисел показало, что двигаясь по натуральному ряду, простые числа в среднем встречаются все реже.

Заключение.

Изучив весь материал, я пришел к выводу, что

- Можно сказать, что простые числа представляют собой как бы кирпичики, из которых строятся все остальные числа.

- Для простых чисел не существует формулы, по которой их можно вычислить.

- Не существует самого большого простого числа, последовательность простых чисел бесконечна.

- Многие ученые на протяжении многих веков вносили свой вклад в изучение темы «Простые числа»

- В настоящее время исследование темы продолжается, ученые делают и будут делать новые открытия!

Список использованной литературы.

1. Виноградов И. М. Основы теории чисел. - М.: Наука, 1981.

2. Гарднер М. Математические досуги. Перевод с английского Ю.А.Данилова./ Я.А.Смородинского. -М.: «Оникс», 1995.

3. Депман И. Я. Совершенные числа.- Квант, № 8, 1 - 6 (1971)

4. Корнеев А. А. Познание чисел - «вмещением». Глобальный принцип Улама & Ко (гипотеза). М. 2007-2008.

5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы. - М.: Просвещение, 1990.

6. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П.Савин. - М.: Педагогика, 1989.

7. ru.wikipedia.org

8. escience.ru

9. numbernautics.ru

Приложение

Решето Эратосфена

Рис. 1 рис.2

4

7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

…

7

12

17

22

27

32

37

42

47

52

57

62

…

10

17

24

31

38

45

52

59

66

73

80

87

…

13

22

31

40

49

58

67

76

85

94

103

112

…

16

27

38

49

60

71

82

93

104

115

126

137

…

19

32

45

58

71

84

97

110

123

136

149

162

…

22

37

52

67

82

97

112

127

142

157

172

187

…

25

42

59

76

93

110

127

144

161

178

195

212

…

28

47

66

85

104

123

142

161

180

199

218

237

…

31

52

73

94

115

136

157

178

199

220

241

262

…

34

57

80

103

126

149

172

195

218

241

264

287

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

Рис. 3

19