Логарифмическая спираль – от атома до Вселенной

Логарифмическая спираль - от атома до Вселенной.

Сипягина Елена

МОУ Первомайская СОШ №2

г. Первомайск, Нижегородской

области, 10а класс.

Руководитель Фалина Нина Львовна,

учитель математики

Логарифмическая спираль - особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её «удивительная спираль».

В полярных координатах кривая может быть записана какчто объясняет название «логарифмическая». Логарифмическая спираль пересекает под одним и тем же углом все радиус-векторы, проведенные из полюса. Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиусом- вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной. Возможно, в результате этого свойства, логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах.

Одно из чудесных созданий - моллюск. Ракушка одного из морских животных - моллюска, состоящего из карбоната кальция, создана в форме логарифмической спирали. Расстояние между витками ракушки наутилуса увеличивается с каждым витком, равномерно умножаясь стабильным множителем.
Ячейки-камеры ракушек схожи между собой и расширяются в геометрической прогрессии. Скрученная под одинаковым углом (логарифмическая) спираль представлена в другом млекопитающем - сплющенной улитке.

Рога баранов и коз представляют собой точную логарифмическую спираль, форма же поднимается словно космический геликоид, обволакивающий конус. Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост ткани в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали.

В биологии спираль - символ зарождения жизни. Характерной чертой строения живых организмов и их развития является спиральность. Еще Гете, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов. Очевидно в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровнях. Носители информации - молекулы ДНК - являющаяся ядром каждой клетки нашего организма и содержащая генетический код жизни, представляет собой спираль.

Рис. 1

На первый взгляд ураган Изабель (слева) и галактика M51 (Рис.1), находящаяся на расстоянии 30 миллионов световых лет от Солнца, похожи друг на друга. На самом деле, между ними не так много общего. Диаметр урагана Изабель составлял несколько сотен миль, в то время как M51 (галактика Водоворот) имеет размеры порядка 50 тысяч световых лет. Кроме того, процессы их формирования и эволюции объясняются совершенно различными физическими взаимодействиями. Тем не менее, и у того, и у другого явления форма подчиняется закону простой и красивой математической кривой - логарифмической спирали, спирали, расстояние между витками которой растет в геометрической прогрессии с увеличением расстояния от центра.

Снимки из космоса области низкого давления над Исландией также имеет форму логарифмической спирали. И хотя физические законы у разных видов спирали различны, математические законы, которые управляют ими, одинаковы: все они имеют в основе геометрическую спираль, самоподобную кривую.

Человек всегда пытается распознать и повторить формы логарифмической спирали. Цикличность и повторяемость спирального устройства присутствуют практически в каждом аспекте нашей жизни. В искусстве спираль - не редкое явление. Ее можно встретить в композиции музыкальных и литературных произведений. Многие архитектурные стили используют эту форму. Многие сооружения похожи на спирали (различные стадионы, Пизанская башня, Останкинская башня и т.д.). При проектировании зданий такая модель является одной из наиболее надежных. Зачастую в танцах используются спиральные движения. В изобразительном искусстве спиральные узоры привлекают своей глубиной и эстетикой. Принцип логарифмической спирали используется при проектировании вращающихся ножей, фрез и т.д. для достижения постоянства угла резания.

Логарифмические линии в природе замечают и художники, например этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали. И однажды, 18 декабря 1955г. Он вынес его на повестку своего публичного выступления, которое проходило в Париже, в главной аудитории Сорбонны. Сальвадор Дали рассказал о том, что происходило в Сорбонне, в своем дневнике, из которого я привожу небольшие отрывки."…моей навязчивой идеей, настоящей маниакальной страстью, стала картина Вермера "Кружевница", репродукция которой висела в отцовском кабинете" "Уже много лет спустя я попросил в Лувре разрешение написать копию с этой картины. Потом я попросил киномеханика показать на экране репродукцию нарисованной моей копии… Я объяснил, что, пока не написал копию, в сущности, почти ничего не понимал в "Кружевнице", и мне понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец, что я инстинктивно провел на холсте строгие логарифмические кривые.

Рис.2 "Кружевница» Вермера.

Итак, в своей статье я стремилась показать многообразие проявления удивительной кривой- логарифмической спирали , которую можно встретить на всех ступенях иерархии существа, от миллионов звезд, образующихся в галактике, до кода ДНК, рассматриваемого в электронный микроскоп. Галактики, магнитное поле Солнца, созвездия, туманности, ракушка улитки, отпечатки пальцев, паутины некоторых пауков, рога некоторых видов коз, сердцевина подсолнуха, соцветия растений,- все это создано и создается в форме логарифмической спирали.

Ссылки на ресурсы Интернет

1) festival.1september.ru/articles/213724

2) platea.pntic.mec.es/aperez4/curvashistoria.pdf