Методические рекомендации для выполнения практических работ по Математике по специальности 19. 02. 10 Технология продукции общественного питания (Математика ЕН. 01)

Методические рекомендации

для выполнения практических работ

по дисциплине «Математика»

по специальности «Технология продукции общественного питания»

Преподаватель:

Огнева Т.В.

г. Шуя 2015 г

Пояснительная записка

Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических знаний. Практические задания выполняются обучающимся самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания. К практическому занятию от обучающегося требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, обучающийся получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.

Практические задания разработаны в соответствии с учебной программой. Зачет по каждой практической работе обучающийся получает после её выполнения и предоставления в печатном или электронном виде, оформленного отчета в котором указывает полученные знания и умения в ходе выполнения практической работы.

Содержание

Практическая работа №1. Функции одной переменной и их свойства.

Практическая работа №2. Предел последовательности и предел функции.

Практическая работа №3. Замечательные пределы.

Практическая работа №4. Непрерывность функции, точки разрыва

Практическая работа №5. Производная функции.

Практическая работа №6. Геометрический смысл производной. Практическая работа №7. Производная высших порядков.

Практическая работа №8. Дифференциал функции.

Практическаяработа№9. Правило Лопиталя.

Практическая работа №10. Неопределенный интеграл.

Практическая работа №11. Интегрирование по частям.

Практическая работа №12. Вычисление определенного интеграла. Практическая работа №13. Применение определенного интеграла для вычисления площади фигур.

Практическая работа №14. Вычисления длины дуги.

Практическая работа №15 Вычисление объема фигур.

Практическая работа №16. Элементы теории вероятностей.

Практическая работа №17. Вычисление полной вероятности.

Практическая работа №18. Формула Бернулли.

Практическая работа №19.Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.

Практическая работа №20. Решение задач в области профессиональной деятельности.

Практическая работа №1

Тема: Функции одной переменной и их свойства.

Цель: сформировать умение использовать свойства функции для ее исследования, решать задачи и упражнения по данной теме.

Теоретические сведения к практической работе

Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие элемент у множестваY, то говорят, что на множестве Х определена функция со значениями в множестве Y, и записывают y=f(х).

Множество Х называется областью определения функции D(f), а множество Y - областью значений функции E(f).

Пример 1. Найти область определения функции

Основные свойства функции:

1. Четность и нечетность. Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-x)=f(x), и называется нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.

Пример 2. Установить четность или нечетность функции.

2. Монотонность. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х из области определения, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

3. Ограниченность. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х из области определения, если существует число М>0, такое, что для любого .

4. Периодичность. Функция y=f(x) называется периодической с периодом Т>0, если для любых значений х из области определения f(x+T)=f(x-T)=f(x).

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q - количество товара, которое потребители готовы купить по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция спроса, и пишут q=f(p).

Эта функция определена для тех значений , для которых и множество ее значений .

График функции спроса называют кривой спроса.

Пример 3. Функция спроса на некоторый товар имеет вид , где q - количество товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений этой функции

• Функцию цены в виде

• Объем спроса при ценах на товар:

• Цену за единицу товара, если ,

• Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

Решение: 1) Получим систему неравенств:

Выразим значение p через q:

Из закона спроса следует, что с увеличением цены р от нуля до 3500 руб. спрос должен падать. В нашем случае функция q убывает в промежутке , следовательно, множество значений функции .

1. Функция цены имеет вид

2. 

3. 

4. Выручка от продажи составляет , следовательно,

Если каждому значению цены p за единицу товара поставлено в соответствие число q - количество товара, которое производители готовы продать по данной цене за определенный промежуток времени, то говорят, что задана функция предложения, и пишут q=φ(p).

Эта функция определена для тех значений , для которых и множество ее значений .

Пример 4. Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид , где q - количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений функции q

• Объем предложения при ценах за единицу товара:

• Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию

_{Решение: 1) Найдем область определения:}

Множество значений функции q при будет .

1. При

2. _{Найдем функцию}

Содержание практической работы:

Задание 1. Найти область определения функции

Задание 2. Установить четность или нечетность функции.

Задание 3. а) Функция спроса на некоторый товар имеет вид , где q - количество товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений этой функции

• Функцию цены в виде

• Объем спроса при ценах на товар:

• Цену за единицу товара, если ,

• Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

б) Функция спроса на некоторый товар имеет вид , где q - количество товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений этой функции

• Функцию цены в виде

• Объем спроса при ценах на товар:

• Цену за единицу товара, если ,

• Выручку продавцов в каждом из этих случаев.

Задание 4. а) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид , где q - количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений функции q

• Объем предложения при ценах за единицу товара:

• Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию

б) Функция предложения некоторого товара на рынке имеет вид , где q - количество предлагаемого товара (тыс. шт.); p - цена единицы товара (руб.). Требуется найти:

• Область определения и множество значений функции q

• Объем предложения при ценах за единицу товара:

• Зависимость цены за единицу товара от объема спроса, т.е. функцию

Практическая работа №2

Тема: Предел последовательности и предел функции.

Цель: сформировать умение находить пределы последовательностей и пределы функций.

Теоретические сведения к практической работе

Пусть существует последовательность действительных чисел .

Число а называется пределом последовательности

_{Пример 1. Вычислить предел}

Решение

_{Пример 2. Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 3. Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 4. Вычислить предел}

_{Решение}

Число А называют пределом функции f(x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от , такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Теоремы о пределах:

1. (c=const).

2. Если то:

Чтобы найти предел элементарной функции нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х=х₀ принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х=х₀. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

еслиесли a>1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

Пример 5. _{Вычислить предел}

Решение

Пример 6. _{Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 7. Вычислить предел}

Решение

Содержание практической работы

_{Задание 1. Вычислить пределы последовательностей:}

_{Задание 2. Вычислить пределы функций:}

Практическая работа №3

Тема: Замечательные пределы.

Цель: сформировать умение использовать замечательные пределы для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

или

Замечательные пределы:

_{Пример 1. Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 2. Вычислить предел}

_{Решение}

_{Пример 3. Вычислить предел}

_{Решение}

Пример 4. Вычислить предел

_{Решение}

_{Задание: Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:}

Практическая работа №4

Тема: Непрерывность функции, точки разрыва.

Цель: сформировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.

Теоретические сведения к практической работе

Функция называется непрерывной
в точке х₀, если она: 1) определена в точке х₀; 2) имеет конечный предел при ; 3) этот предел равен значению функции в этой точке

_{Функция называется непрерывной, если:}

Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Пример 1: Доказать, что функция непрерывна на (-∞;+∞)

Решение:

Точка х₀ называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1-3 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Классификация точек разрыва:

1. х₀ - точка устранимого разрыва, если а)

б) в точке х₀ функция не определена

2. х₀ - точка разрыва I рода, если

- скачок функции

3. х₀ - точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует

Пример 2:

Найти точки разрыва функции и установить их тип

Содержание практической работы

Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной

Задание 2. Найти точки разрыва и установить их тип

Практическая работа №5

Тема: Производная функции.

Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций.

Теоретические сведения к практической работе

Производной функции называется конечный предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:

(1)

Обозначения производной в точке х₀:

и другие.

Если функция в точке х₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования

№ пп

U = u(x), V=V(x) -
дифференцируемые функции

№ пп

U = u(x), V=V(x) -
дифференцируемые функции

I

VI

Производная сложной функции

II

VII

Функция задана параметричес-кими уравнениями

III

IV

VIII

Если и -
взаимно обратные функции,
то

V

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп

с=const, х - независимая переменная,
u = u(x) - диф­ференцируемая функция

1

С'= 0

9

2

x'= 1

10

3

11

4

12

5

13

6

14

7

15

8

Пример 1. Найти производные функций:

а) б) в) г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v=1; используя формулу (3), получим:

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:

Пример 2. Найти производную , если функция задана парамет-рически:

Используем правило VII

Пример 3. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием

Содержание практической работы

Задание 1. Найти производные 1-го порядка данных функций

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 2. Найти производную функции y=у(x), заданной параметрически:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием: 1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №6

Тема: Геометрический смысл производной.

Цель: сформировать умение составлять уравнение касательной и нормали к графику функций, знать геометрический смысл производной.

Теоретические сведения к практической работе

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением ,
то - угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ().

Уравнение касательной к кривой
в точке х₀ (прямая М₀Т) имеет вид:

(1)

а уравнение нормали (М₀N):

(2)

Пример: Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х₀=2.

Используем уравнения касательной (1) и нормали (2):

1)

2)

Подставим в уравнения и получим:

или - уравнение касательной.

или - уравнение нормали.

Содержание практической работы

Задание: Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х₀.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа № 7

Тема: Производная высших порядков.

Цель: сформировать умение находить производные высших порядков.

Теоретические сведения к практической работе

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка или

Производная третьего порядка или и т. д.

Пример: Найти производную второго порядка функции

Решение. поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.

Содержание практической работы

Задание. Найти производную второго порядка функции y=f(x).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа № 8

Тема: Дифференциал функции.

Цель: сформировать умение находить дифференциала функции.

Теоретические сведения к практической работе

Для дифференциала функции справедлива формула т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Пример 1. Найти дифференциалы функций:

а) б) в)

Решение.

а)

б)

в)

Содержание практической работы

Задание: Найти дифференциалы функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №9

Тема: Правило Лопиталя.

Цель: сформировать умение применять правило Лопиталя для нахождения пределов.

Теоретические сведения к практической работе

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. или б.б. функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

(5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (5).

Пример: Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

а) б)

Решение.

а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.

т. к.

Аналогично:

Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

б)

Содержание практической работы

Задание: Найти пределы, используя правило Лопиталя.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №10

Тема: Неопределенный интеграл.

Цель: сформировать умение вычислять неопределенные интегралы, используя непосредственное интегрирования и метод замены переменной.

Теоретические сведения к практической работе

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Если - первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции отличается от на некоторое постоянное слагаемое, т. е. где .

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

Таблица основных интегралов

1. 2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18.

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

Решение.

Проверка:

Проверка:

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

(1)

При этом, если то где - функция, обратная .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования с новой переменной с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

Решение:

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить интегралы.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменного.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №11

Тема: Интегрирование по частям.

Цель: сформировать умение вычислять неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.

Теоретические сведения к практической работе

Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций и непрерывны, то справедлива формула:

(3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей и .

Таблица 1

Вид интеграла

Вид интеграла

- многочлен от степени , т. е. , где .

Пример: Проинтегрировать по частям.

Решение.

Содержание практической работы

Задание: Проинтегрировать по частям.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №12

Тема: Вычисление определенного интеграла.

Цель: сформировать умение вычислять определенные интегралы, используя основные свойства и различные методы интегрирования.

Теоретические сведения к практической работе

Определенный интеграл, его вычисление и свойства

Определенный интеграл от функции, непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле:

(1)

где - первообразная для функции , т. е.

Формула (1) называется формулой Ньютона - Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

6) Если для всех , то

7) Если для всех , то

При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:

(2)

где - обратная к функция.

Формула интегрирования по частям (1) приобретает вид:

(3)

Пример 4. Вычислить определенный интеграл

Решение.

Содержание практической работы

Задание: Вычислить определенный интеграл.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Практическая работа №13

Тема: Применение определенного интеграла для вычисления площади фигур.

Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площади фигур.

Теоретические сведения к практической работе

Площади плоских фигур

1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями , где для всех , и прямыми , , то ее площадь вычисляется по формуле:

(1)

Рис. 1

Рис. 2

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

X

0

1

-1

2

-2

3

-3

4

-4

Y

-2

-1

-1

2

2

7

7

14

14

Для построения прямой достаточно двух точек, например и .

Найдем координаты точек и пересечения параболы и прямой .

Для этого решим систему уравнений

Тогда Итак,

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (1), в которой

поскольку для всех . Получим:

2. Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически

Если функции и имеют непрерывные производные первого порядка для всех , то площадь плоской фигуры, ограниченной линией прямыми x = a, x = b, где a = x(t₀),

b = x(t₁), и осью OX, вычисляется по формуле:

(2)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра

T

0

X

2

0

-2

0

2

Y

0

3

0

-3

0

Рис. 3Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр изменяется от до , соответствующая точка описывает эллипс (известно, что - параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (2) получим:

Содержание практической работы

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №14

Тема: Вычисления длины дуги.

Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления длины дуг.

Теоретические сведения к практической работе

Длина дуги плоской кривой

1. Вычисление дуги плоской кривой в декартовых координатах

Рис. 4Если кривая задана уравнением , функция имеет непрерывную первую производную при всех , то длина дуги (рис. 4) этой кривой, заключенной между точками и , вычисляется по формуле:

(1)

2. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрически , и функции имеют непрерывные производные 1-го порядка при всех , то длина дуги , соответствующей изменению параметра от до , вычисляется по формуле:

(2)

Пример. Найти длину дуги кривой

а) б)

Решение.

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением , то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (1). Найдем : и подставим в (1):

б)

Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (2). Найдем :

и подставим в (2):

Содержание практической работы

Задание: Найти длину дуги кривой.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №15

Тема: Вычисления объема фигур.

Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления объема фигур.

Теоретические сведения к практической работе

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми , (рис. 1), то его объем вычисляется по формуле:

(1)

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 2).

Чтобы получить объем тела вращения из объема тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем . По формуле (1) найдем и : (ед. объема);

(ед. объема);

(ед. объема).

Содержание практической работы

Задание: Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практическая работа №16

Тема: Элементы теории вероятностей.

Цель: сформировать умение решать задачи на нахождение вероятностей

Теоретические сведения к практической работе

_{Классическое определение вероятности}

Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называется теорией вероятностей.

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называют отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов испытания.

Пример 1: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.

Аксиомы вероятностей:

Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

Если события А₁, А₂ … попарно несовместны, то Р(А₁+А₂+…)=Р(А₁)+Р(А₂)+…

Свойства вероятностей:

Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.

Вероятность достоверного события равна единице Р=1.

Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0<Р(А)<1.

Пример 2: Из 34 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью чисел от 1 до 34, наудачу извлекается один. Какова вероятность, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.

Решение: Найдем количество чисел от 1 до 34, кратных трем. Это числа 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Всего таких чисел 11. Таким образом, искомая вероятность

События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.

События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Пример 3: Вероятность поражения одной мишени - 0,7, а другой - 0,8. Какова вероятность, что будет поражена хотя бы одна мишень, если по ним стреляют независимо друг от друга.

Решение: Т.к. события совместны, то

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Р(А)+Р()=1

Условная вероятность - вероятность одного события, при условии, что другое событие уже произошло.

Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)∙Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)∙Р(В/А)

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В).

Пример 4: В двух коробках лежат ручки разного цвета. В первой коробке - 4 красных и 6 черных, во второй - 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимают по одной ручки. Найти вероятность, что обе ручки красные.

Решение: Найдем вероятности вытащить красную ручку из каждой коробки

Тогда вероятность того, что обе ручки красные:

Содержание практической работы

Задание: Используя классическое определение вероятности события, решить следующие задачи:

1. В коробке 4 красных, 5 зеленых, 8 желтых, 7 белых и 1 черный шар. Найти вероятность вытащить: красный шар; синий шар; белый шар; цветной шар; или зеленый или белый шар; не красный шар; шар одного из цветов светофора.

2. В семье - двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок - девочка, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 4 - нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

4. В одном ящике 3 белых и 7 черных шаров, в другом ящике - 6 белых и 8 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

5. Издательство отправило газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе - 0,7, в третье - 0,85. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

6. В первой урне находятся 12 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 10 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?

7. В партии из 25 деталей находятся 8 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

8. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна шестерка.

9. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, большее 4.

10. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, не меньшее 2 и не большее 5.

Практическая работа №17

Тема: Вычисление полной вероятности.

Цель: сформировать умение решать задачи на нахождение полной вероятности.

Теоретические сведения к практической работе

Полная вероятность. Формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Н₁, Н₂, …, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и , то выполняется равенство, называемое формулой Байеса:

Пример 1: В первой партии 20 ламп, во второй - 30 ламп и в третьей - 50 ламп. Вероятности того, что проработает заданное время, равна для первой партии 0,7, для второй - 0,8 и для третьей партии - 0,9. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает заданное время? Найти вероятность, что эта лампа принадлежит первой партии?

Решение: Пусть событие А - наудачу взятая лампа проработает заданное время.

Тогда, пусть Н₁ - лампа из первой партии, Н₂ - лампа из второй партии и Н₃ - лампа из третьей партии. Тогда событие А/Н₁ - лампа из первой партии проработает заданное время, А/Н₂ - лампа из второй партии проработает заданное время и А/Н₃ - лампа из третьей партии проработает заданное время. Найдем вероятности

Теперь, используя формулу Байеса найдем вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии

Пример 2: Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 5 белых и 7 черных шаров, во второй - только белые и в третьей - только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Решение: Пусть событие А - извлекается белый шар.

Тогда, пусть Н₁ - шар из первой урны, Н₂ - шар из второй урны и Н₃ - шар из третьей урны. Тогда событие А/Н₁ - белый шар из первой урны, А/Н₂ - белый шар из второй урны и А/Н₃ - белый шар из третьей урны. Найдем вероятности

Содержание практической работы

Задание: Используя формулы полной вероятности и Байеса, решить следующие задачи:

1. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 2 урны?

2. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру =0,5, ко второму =0,6. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером =0,94, а вторым =0,92. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная равна 0,9, а второго - 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь - стандартная.

4. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 6 синих и 4 черных шаров, во второй - только синие и в третьей - только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар синий?

5. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 1 урны?

Практическая работа №18

Тема: Формула Бернулли.

Цель: сформировать умение решать задачи с помощью формулы Бернулли.

Теоретические сведения к практической работе

Формула Бернулли

1. Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз при проведении n независимых испытаний, каждый из которых имеет ровно два исхода вычисляется по формуле Бернулли

Пример 1: Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 приобретенных билетов 2 окажутся выигрышными.

Решение:

2. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна

_{Пример 2: Прибор состоит из шести элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за определенное время равна 0,6. Для безотказной работы прибора необходимо, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность, что за данное время прибор будет работать безотказно?}

Решение:

3. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее m₁ и не более m₂ раз вычисляется по формуле

_{Пример 3: Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.}

Решение:

4. Наивероятнейшее значение m₀ числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле

Пример 4: Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в партии.

Решение:

Содержание практической работы

Задание: Используя формулу Бернулли, решить следующие задачи:

1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

2. Найти вероятность осуществления от одного до трех разговоров по телефону при наблюдении шести независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,6.

3. Прибор состоит из пяти элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время Т равна 0,5. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время Т прибор будет работать безотказно?

4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету =0,3. Какова вероятность того, что из семи приобретенных билетов три билета окажутся выигрышными?

5. Магазин получил 40 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,04. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.

6. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найдя вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных, найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных, указав его вероятность.

7. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

8. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек =0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке?

9. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.

10. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

Практическая работа №19

Тема: Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.

Цель: сформировать умение решать задачи на нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения.

Теоретические сведения к практической работе

Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики

Случайная величина Х - это числовая функция , определенная на пространстве элементарных событий. Случайные величины, имеющие счетные множества возможных значений, называются дискретными. Дискретная случайная величина определена, если известны все ее значения и соответствующие им вероятности. Соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями называют распределением вероятностей случайной величины. Для дискретной случайной величины это соответствие может быть записано в виде таблицы:

x_i

x₁

x₂

…

x_n

p_i

p₁

p₂

…

p_n

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины Х называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности

Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания . Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулам:

Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называют корень квадратный из дисперсии .

Если случайная величина Х имеет биномиальное распределение вероятностей, то

Пример 1: Случайная величина Х задана таблицей распределения вероятностей. Найти М(Х), D(Х), σ(Х).

х_i

2

5

8

9

р_i

0,1

0,4

0,3

0,2

Решение:

Пример 2: Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0,05.

Решение:

Содержание практической работы

Задание: Найти числовые характеристики дискретных случайных величин:

1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:

х_i

3

5

2

р_i

0,1

0,6

0,3

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

х_i

1

2

5

р_i

0,3

0,5

0,2

4.Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

х_i

2

3

5

р_i

0,1

0,6

0,3

5. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х - числа появления события в этих испытаниях.

Практическая работа №20

Тема: Решение задач в области профессиональной деятельности.

Цель: сформировать умение решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности с использованием свойств пропорции и процента числа.

Теоретические сведения к практической работе

Пример 1: Дана следующая рецептура мясного бульона:

мясо - 300г

морковь - 8г

петрушка (корень) - 6г

лук репчатый - 8г

вода - 1250г

_____________________

Выход: 1000г

Вычислите содержание белка для данного блюда и его процентное содержание.

Решение: Для решения данной задачи необходимо воспользоваться данными

«Содержание белка в 100г продукта»:

1.Сыры, нежирный творог, мясо, рыба, бобовые, грецкие орехи и фундук (более 15г).

2.Жирный творог, колбасы вареные, сосиски, яйца, мука, макароны, крупы: манная, гречневая, овсяная, пшено (10-15г)

3.Молоко, кефир, сметана, сливочное масло, шпинат, цветная капуста, овощи, фрукты, ягоды, грибы (4.9-0.4г)

4.Хлеб ржаной, пшеничный, рис, перловка, зеленый горошек (5-9.9г).

Определим содержание белка в данном блюде:

мясо - (15г * 300г) : 100г = 45г

морковь - (0,9г * 8г) : 100г = 0,072г

петрушка - (0,4 * 6г) : 100г = 0,024г

лук - (0,6 * 8) : 100г = 0 ,048г

Тогда полное содержание белка равно: 45г + 0,072г + 0,024г + 0 ,048г = 45,144г ≈ 45г.

Найдем % содержание белка в данном блюде:

.

Ответ: 45г; 4,5 %.

Пример 2: Определить энергетическую ценность 100г хлеба пшеничного 1-го сорта.

Решение. Согласно справочнику: «Химический состав пищевых продуктов» в 100г хлеба содержится 7,6г белка, 0,9г жира и 49,7г углеводов.

Следовательно, энергетическая ценность 100г этого хлеба будет равна:

4ккал (16,7кДж) * 7,6 = 30,4ккал (126,92кДж)

9ккал (37,7 кДж) * 0,9 = 8,1 ккал (33,93 кДж)

4ккал (16,7 кДж) * 49,7 = 198,8 ккал (829,99кДж)

_______________________________________________

30,4ккал + 8,1 ккал + 198,8 ккал = 237,3ккал

126,92кДж + 33,93 кДж + 829,99кДж = 990,84кДж

Ответ: 237,3ккал или 990,84кДж.

Содержание практической работы

Задание:

1. Определить энергетическую ценность следующих пищевых продуктов:

а) молоко цельное - 200г; б) картофель - 300г;

в) мясо говяжье - 150г; г) капуста белокочанная - 250г.

2. Масса навески муки до высушивания - 5г, после высушивания - 4,3г. Чему равна влажность муки? Сколько в муке сухих веществ?

3. Чему равна влажность крахмала, если масса навески картофельного крахмала - 5г, бюксы с крахмалом до высушивания - 14,9г, после высушивания 14,3г?

4. Какой % крошки в сахаре, если в мешке с прессованным колотым сахаром массой нетто 70кг оказалось 2,3кг кусочков массой менее 5г? Соответствует ли это допустимым нормам по стандарту?

5. Чему равна зольность муки, если масса тигля с мукой до сжигания муки - 9г, после сжигания - 7,01г, а масса тигля - 7г?

6. Масса навески хлеба - 5г, после высушивания - 2,5г. Чему равна влажность хлеба? Соответствует ли полученная вами влажность стандарту?

7. Масса замороженной говяжьей туши 244кг, потери сока из тканей мяса при размораживании составляет 1,2% массы туши. Определите массу туши после оттаивания и массу естественной убыли.

8. Охлажденная птица массой 1,5кг подверглась замораживанию до температуры - 8С в толще грудной мышцы, это сопровождалось потерей массы до 0,6%. Определите массу птицы после замораживания и массу естественной убыли.

9. При замораживании печени массой 3,5кг в открытом виде естественная убыль составила 1,3%, а при замораживании в металлических формах с крышками - 0,6%. Определите массу печени после замораживания различными способами и сделайте выводы.

10. Энергетическая ценность 50г отварной говядины 146ккал. Каким количеством молочных сосисок можно заменить отварную говядину, чтобы не изменилась энергетическая ценность?

(в 100г сосисок молочных содержится12,3% белка и 25,3% жира.)

Рекомендуемая литература

Основные источники

1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. - М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2013

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - М: Издательский центр «Академия», 2013

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2010

4. Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012

Дополнительные источники

1. Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2011

2. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. - М.: Издательский центр «Академия», 2011

3. Спирина М.С. дискретная математика: учеб. - М.: Издательский центр «Академия», 2011

4. Омельченко В.П. Математика. - Ростов-на-Дону.: Феникс, 2012