Решение логарифмических уравнений и неравенств

Тема урока: «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Цели урока:

1. Обучающие цели:

повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений». Закрепление методов решения уравнений с использованием ИКТ, подготовка к ЕГЭ.

2. Развивающие цели: способствование формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развитие математического мышления и речи, развитие навыков использования мультимедиа.

3. Воспитывающие цели: воспитание интереса к математике и мультимедиа, активности, мобильности инструмента обучения. Формирование навыков адекватной самооценки деятельности.

Задачи урока:

- учить применять полученные теоретические знания для решения задач;

- учить анализировать условие задачи с тем, чтобы выбрать оптимальный вариант решения;

- осуществлять контроль своих знаний с помощью компьютерных тестов.

- развивать творческую сторону мышления

Тип урока: систематизация и обобщение знаний умений и навыков.

Оборудование: карточки для каждой группы по каждому заданию, оценочный листы, интерактивная доска, компьютер, презентация

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, коллективная.

Образовательные результаты, которые буду достигнуты учащимися

1. Смотр знаний по свойствам с самопроверкой покажет знания учащихся свойств функции, наличие адекватной самооценки деятельности.

2. Спланированное обобщение систематизирует знания, закрепит навыки выполнения заданий, способствует развитию математического мышления и речи.

3. Разнообразие форм работы на уроке способствует формированию умения применять знания в новой ситуации.

4. Использование интерактивных средств обучения развивает интерес к математике и мультимедиа, активизирует и мобилизует, формирует восприятие компьютера и интерактивной доски, беспроводного планшета, как инструмента обучения.

План урока:

1.Организационный. Цели и задачи урока

2.Актуализация знаний. Воспроизведение опорных знаний:

Определение и свойства логарифмов, свойства логарифмических функций, теоретические обоснования решения логарифмических уравнений и неравенств. Математический диктант

3.Закрепление и усвоение системы знаний в ходе выполнения практических заданий

Способы решения уравнений и неравенств

4.Применение знаний в нестандартной ситуации

Новый уровень. Решение уравнений и неравенств повышенной сложности

Найди ошибку: Математический софизм 2>3

5.Компьютерное тестирование

6.Итог урока. Домашнее задание.
7.Самоанализ и рефлексия

Ход урока:

«Величие человека - в его способности мыслить». (Б. Паскаль)

Актуальность данной темы заключается в том, что качественное усвоение материала позволяет успешно решать простейшие логарифмические уравнения части В и логарифмические уравнения части С ЕГЭ по математике.

1. Организационный.

Цели и задачи урока: обобщить и систематизировать знания, в решении логарифмических уравнений и неравенств, проверить прочность усвоения знаний, подготовиться к контрольной работе и экзамену

Урок состоит из нескольких этапов: математический диктант, устный опрос, решение логарифмических уравнений, решение логарифмических неравенств, тестирование. Перед вами оценочный лист, куда вы будете заносить свои отметки

Оценочный лист обучающегося ____________________________

N

Этапы урока

Оценка

1

Математический диктант

*

2

Устный опрос:

- Логарифмическая функция

- Логарифмические уравнения

- Логарифмические неравенства

*

*

*

3

Тестирование

*

Оценка за урок

*

2. Актуализация знаний.

Устный опрос. Вычислить:

log ₇ 49 =

log ₄ 1 =

lg1000=

lg 0,001 =

log₂log₃81 =

log₆4 + log₆9 =

Сравните числа:

а) б) в)

Математический диктант.

Вопросы - задания, на которые ученик отвечает Да(+); Нет(-)

1. Логарифмическая функция y=log _a x определена при любом х. (-)

2. Функция y=log _ax логарифмическая при a>0, a, x>0. (+)

3. Область определения логарифмической функции является множество действительных чисел.(-)

4. Область значений логарифмической функции является множество действительных чисел.(+)

5. Логарифмическая функция - четная.(-)

6. Логарифмическая функция - нечетная.(-)

7. Функция y=log ₃x - возрастающая.(+)

8. Функция y=log_ax при 0<a<1 - возрастающая.(-)

9. Логарифмическая функция проходит через точку (1;0).(+)

10. График функции y=log _ax пересекается с осью Ох.(+)

11. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.(-)

12. График логарифмической функции симметричен относительно Ох.(-)

13. График логарифмической функции всегда находится в I и IV четвертях.(+)

14. График логарифмической функции всегда пересекает Ох в точке (1;0).(+)

15. Существует логарифм отрицательного числа.(-)

16. Существует логарифм дробного положительного числа.(+)

17. График логарифмической функции проходит через точку (0;0).(-)

18. Логарифмическая функция y=log _х a определена при a>0, a (-)

19. Логарифм нуля равен нулю (-)

20. Логарифм единицы равен нулю (+)

Ответы:

1) -

6) -

11) -

16) +

2) +

7) +

12) -

17) -

3) -

8) -

13) +

18) -

4) +

9) +

14) +

19) -

5) -

10) +

15) -

20) +

Историческая справка.

Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер - шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

3. Закрепление и усвоение системы знаний в ходе выполнения практических заданий

Методы решения логарифмических уравнений:

1. Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение log_a х = b (а > 0, a≠ 1, х>0 ) имеет решение х = a^b.

Например, log₃ (4x-9)=1

2. Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:

Log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при f(х)>0, g(х)>0 , a > 0, a≠ 1.

Например, log ₅ x=log ₅ (6-x² )

3. Метод введения новой переменной.

Например, lg ² x-5lgx+6=0

4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Например, х ^lgх+2= 1000

5. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию (по свойствам логарифмов)

Например, log₁₆ x+log₄ x+ log₂ x=7

6. Функционально - графический метод.

Например, log ₃x=4-x

Задание1. Решить уравнение lg² x³ - 10lgx + 1=0

Решение. ОДЗ: х>0.

Воспользовавшись свойством логарифмов, приведём уравнение к квадратному:

Т.к. lg² x³=(lgx³=(3 lgx)²= 9 lg² x, то

9lg² x - 10 lgx +1=0.

Пусть lg x=y, тогда 9y²- 10y+1=0, y=1 или y=

lgx=1 или lgx=

x=10 или х= =

Оба числа удовлетворяют условию ОДЗ.

Ответ: х₁= , x₂=10.

Метод решения логарифмических неравенств:

Решение логарифмического неравенства свести к решению системы неравенств, состоящей из ОДЗ входящих переменных и решения самого логарифмического неравенства, основанного на монотонности логарифмической функции

при при

Задание 2. Решить неравенство: log_0,6(6x) log_0,6 (7x - 21)

Решение. Решение данного неравенства сводится к решению системы неравенств

, откуда , тогда .

Ответ.

4. Применение знаний в нестандартной ситуации

Задание 3.

, откуда

Ответ. .

5. Компьютерное тестирование.

№

Задание

Варианты ответов

1

Вычислить log₄64

3

4

60

16

2

Найдите число x , если log₅x = 2

3

10

25

1

3

Вычислить 5^log ₅⁴

20

4

5

1

4

Вычислить: log₆12 + log₆3

4

2

1

36

5

Вычислить: 27^log₃2

8

3

27

2

6

Найдите число x: log₃x = - 1

4

-3

1/3

3

7

Найдите число x : log _x27 = 3

3

9

81

1/3

8

Вычислить: log_рр

0

1

-1

3

9

Вычислить: log₆ 1

0

1

-2

6

10

Вычислить: 2^log₂³ + log₇2 - log₇14

2

7

2 + 2log₇2

3

11

Упростите выражение: 25^{1+ log}₅³

225

625

125

25

12

Упростите выражение: 6^log₅^{0,2 +log}₆¹⁵

15log₅0,2;

2,5

5/6

15

Задание 4. Решить неравенство

Решение. Решением данного неравенства является решение системы неравенств

Ответ.

Логарифмическая комедия. Софизм « 2 > 3 ».

«Доказательство» неравенства 2 > 3 :

Рассмотрим верное неравенство

Затем сделаем следующее преобразование

Большему числу соответствует больший логарифм, значит, прологарифмировав обе части по основанию 10, получим

По свойству логарифмов, имеем

Разделим обе части неравенства на

Получим 2 > 3

В чем ошибка этого доказательства?

Решение: Ошибка в том, что при делении обеих частей неравенства на не был изменен знак неравенства (> на <), т.к. есть число отрицательное.

5. Итог урока.

Мы систематизировали и обобщили определение логарифма, свойства логарифмической функции, рассмотрели различные методы решения логарифмических уравнений и неравенств, предупредили появление типичных ошибок , провели подготовку к самостоятельной работе.

Домашнее задание. 1) Повторить п.10-11, 2) №191(3), 195 (1) 3) подготовиться к самостоятельной работе.

5. Организация окончания урока. Рефлексия

Лист рефлексии Фамилия, имя__________________

№

Вопрос

Ответ ( + или - )

1

Комфортно ли вам было на уроке?

.

2

Поняли ли вы материал урока?

.

3

Требовалась ли вам помощь:

а) учителя

б) учебника

в) соседа по парте?

.

.

.

4

Оцените свою работу на уроке по пяти бальной системе.

.