Решетняк Марина Николаевна, СОШ № 84

Тема: "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем"

Цель: рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а^х, а>0, а1

Задачи урока:

• повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;

• повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;

• находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;

• решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.

• работа с графиками функций, содержащими модуль;

• рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы

Слайд 1 Показательная функция. "Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств"

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.

Слайд 2-3 Цели и задачи урока.

Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а^х, а>о,а1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.

Слайд 4 Почему так важно знать свойства показательной функции?.

• По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому - распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

• В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания.

• Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ - процессу органического затухания.

• Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

• Приведите свои примеры

• Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).

Сообщение о дозе принятия лекарств:

- Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд5.

Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.

Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.

2. Актуализация знаний учащихся.

• Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)

• Какая функция называется показательной? Приведите пример.

• Какие основные свойства показательной функции вы знаете?

• Область значения (ограниченность)

• область определения

• монотонность( условие возрастания убывания)

• Слайд 6. Укажите множество значений функции( по готовому чертежу)

• Слайд 7.Назовите условие возрастания убывания функции и соотнесите формулу функции с ее графиком

• Слайд 8.По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции

Слайд а) у=3^x + 2

б) у=3^x-2 - 2

3.Диагностическая самостоятельная работа ( с использованием ПК).

Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания . Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.

1. Самостоятельная работа в программе Power point( для основной части

Самостоятельная работа( для сильной части класса)

Слайд9. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.

• Слайд 10.Соотнесите формулу функции с ее графиком

)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Учащиеся проверяют свои ответы, не исправляя ошибки, самомтоятельные работы сдают учителю

Слайды 11-21 .Проверка теста для основной части

4. Изучение новой темы. Применение функционально-графического метода для решения уравнений ,неравенств, систем, определения области значений сложной функции

Слайды 22-23. Функционально графический способ решения уравнений

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Слайд24-25.

• Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный

• ;

• 6^х =1/6

• (4/3)^х= 4

СЛАЙД 26

5. Выполнение практической работы.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕИЙ. СЛАЙДЫ 27-30

• Решить уравнение:

Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: "Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?". Ответ: "Функция возрастает на всей области определения, а функция - убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что ".

• Решить уравнение 3^x = (х-1) ² + 3

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

Ответ: 2)

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ. Слайды 31-33

Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций , стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков , необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше( ниже0 точек второго.

• Решить неравенство:

а) сos x 1 + 3^x

Решение:

Ответ: ( ; )

Решить графически неравенство.

• Что можно сказать про графики функций и график функции у=12 - 1,5х?

(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).

>12 - 1,5х

Ответ: х>2. О

.
Oтвет: х>0.

Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.слайд 34-35

Повторим определение модуля.

(запись на доске)

Сделать записи в тетради:

1).

2).

Графическая иллюстрация представлена на слайде .Объяснить, как построены графики.

Е(у)=[1;

Е(у)=(0;1]

.

Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции. Функция принимает значения >1, а - 1 < > 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, Решая эту систему, находим, что х = 0.

.Нахождение области значений сложной функции. Слайды 36-37.

Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

, - вершина параболы.

.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = 16^t возрастает, так как 16>1 .

При наименьшем значении показателя функции

.

Е(у)=[2;.

График иллюстрирует наш вывод.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = убывает, так как <1.

При наименьшем значении показателя функции

. Е(у)=(0;].

График иллюстрирует наш вывод.

Решение графически систем уравнений, содержащих показательную функцию.38-40

Найти значение выражения х+ у,если (х;у) является решением системы уравнений.

Решение:

-параллельный перенос на 1 единицу влево.

- параллельный перенос на 2 единицы влево.

х=-1, у=1

х+ у=0.

Ответ: 0.

Задание 6 Решение уравнений, содержащих параметры. Слайды 41-42.

При каких значениях параметра а уравнение имеет нечетное количество корней?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще одно свойство функций - четность, нечетность. Функция является четной, так как . Так как график четной функции симметричен относительно оси ординат, то если является корнем уравнения, то и тоже является корнем уравнения. Поэтому данное уравнение может иметь нечетное количество корней только тогда, когда является корнем. Подставляя в уравнение, имеем:

Дополнительные задания (при наличии времени).Слайд 43

Решить графически неравенство.

1).. Ответ: (-;2].

2). Ответ: (-1;0)

6.Домашнее задание ( с комментариями) Слайд 44

7. Подведение итогов урока .Слайд 45.

По мере изучения курса алгебры постоянно возрастает применение функционально-графических методов, что позволяет быстро и красиво решать многие уравнения и неравенства ЗНО

17