Тригонометрические уравнения с параметром

Тригонометрические уравнения с параметром.

1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение COS⁴ x - (a + 2)COS²x - (a + 3) = 0 имеет решение.

Решение.

Введем новую переменную: t =COS²x, t. Тогда данное уравнение принимает вид t² - (а + 2)t - (a + 3) = 0.

Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a² + 4a + 4 + 4a + 12 = a² + 8a + 16 = (a + 4)².

Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение

t_1,2 = = ;

t₁=

t₂ =

Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

0 ≤ а +3 ≤ 1,

-3 ≤ а ≤ -2.

Ответ. Уравнение COS⁴ x - (a + 2)COS²x - (a + 3) = 0 имеет решение при а.

2. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение 6Sin³x = p - 10Cos2x не имеет корней.

Решение.

6Sin³x = p - 10Cos2x;

6Sin³x + 10Cos2x = p;

6Sin³x + 10(1 - 2Sin²x) = p;

6Sin³x - 20Sin²x + 10 = p.

Введем новую переменную: t = Sinx, t тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t³ - 20t² + 10 = p.

Рассмотрим функцию у = 6t³ - 20t² + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Находим производную: у^| = 18t² - 40t = 18t(t - D(y^|)=R.

Определяем критические точки функции: у^|=0, 18t(t - , t₁=0, t₂=

Число 2не принадлежит промежутку , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 - 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 - 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 - 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 на отрезке .

Значит, при р исходное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение 6Sin³x = p - 10Cos2x не имеет корней при р

3. При каких значениях параметра а выражение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx) не равно нулю ни при каких значениях х?

Решение.

Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx) = 0 не имеет корней.

2 + Cosx(3Cosx + aSinx) = 0;

2(Cos²x + Sin²x) + Cosx(3Cosx + aSinx) = 0;

2Cos²x + 2Sin²x + 3Cos²x + aSinxCosx = 0;

2Sin²x + aSinxCosx + 5Cos²x = 0 - однородное уравнение второй степени.

Если бы Cosx = 0, то и Sinx = 0, что невозможно, так как Cos²x + Sin²х = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на Cosx.

Получим уравнение вида 2tg²x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную: t = tgx, t тогда 2t² + at + 5 = 0.

Далее можно проводить рассуждения двумя способами.

Способ 1.

Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до R и будет искомым ответом.

Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

D = а² - 40,

а² - 40 ≥ 0,

а² ≥ 40,

а];).

Дополнением этого множества до R является промежуток (-2

Способ 2.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда D

D = a² - 40,

a² - 40

а² 40,

-2

a;).

Ответ. Выражение 2 + Cosx(3Cosx + aSinx) не равно нулю ни при каких значениях х, если a;).

4. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение pCtg²x + 2Sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.

Решение.

ОДЗ: х

Преобразуем данное уравнение:

p ( + p = 3.

Обозначим t = Sinx, t, тогда тригонометрическое уравнение примет вид

- p + 2t + p = 3,

P = 3t² - 2t³.

Рассмотрим функцию f(t) = 3t² - 2t³ (D(f) = R) и найдем множество ее значений при t.

Находим производную: f^|(t) = 6t - 6t².

Определяем критические точки: f^|(t) = 0, 6t - 6t² = 0, t - t² = 0, t(1 - t) = 0, t₁=0, t₂=1.

f(-1) = 3 + 2 = 5, f(t) при tфункция f(t) непрерывна на промежутке [-1;0), следовательно, E(f) = (0;5] при t[-1;0).

f(1) = 3 - 2 = 1, f(t) при tфункция f(t) непрерывна на промежутке (0;1], следовательно,

E(f) = (0;1] при t (0;1].

Значит, E(f) = (0;5] при t [-1;0) (0;1].

Чтобы алгебраическое уравнение относительно t, а следовательно, и исходное тригонометрическое уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы р E(f), т.е. р (0;5].

Ответ. Уравнение pCtg²x + 2Sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень при р (0;5].

5. При каких значениях параметра а графики функций y = Sin²x + aCosx и y = 3a - 2a² не имеют общих точек?

Решение.

Другими словами, нужно найти такие значения параметра а, при которых уравнение

Sin²x + aCosx = 3a - 2a² не имеет корней.

1 - Cos²x + aCosx + 2a² - 3a = 0;

Cos²x - aCosx - (2a² - 3a + 1) = 0.

Введем новую переменную: t = Cosx, t, тогда тригонометрическое уравнение примет вид t² - at - (2a² - 3a + 1) = 0. Получили квадратное уравнение с параметром а.

D = a² + 4(2a² - 3a + 1) = a² + 8a² - 12a + 4 = 9a² - 12a + 4 = (3a - 2)²,

t_1,2 = t₁ = t₂ =

Так как , то t₁t₂.

Случай 1.

t₁t₂ , тогда , а = и t₁t₂ = . В этом случае уравнение Cosx = имеет корни.

Случай 2.

t₁t₂. Чтобы уравнения Cosx = t₁ и Cosx = t₂ не имели корней необходимо и достаточно выполнения одного из трех условий: t₁ < -1, t₂ > 1, t₂ < -1 и t₁ > 1. Рассмотрим каждое из этих условий.

Условие 1. t₁ < -1.

Система решений не имеет, значит, не существует таких значений а, при которых выполняется условие t₁ < -1.

Условие 2. t₂ > 1.

Система решений не имеет, следовательно, не существует таких значений а, при которых выполняется условие t₂ > 1.

Условие 3. t₂ < -1 и t₁ > 1.

1. a

2. a

Таким образом, a

Ответ. Графики функций y = Sin²x + aCosx и y = 3a - 2a² не имеют общих точек, если

a

Тригонометрические уравнения с модулем и радикалом.

1. Sin²x +

Решение.

Раскроем модуль.

Случай 1. Sinx

Sin²x + Sinx - 2 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx, t тогда t² + t - 2 = 0 - приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: t₁ + t₂ =1, t₁t₂ = 2, значит, t₁ =2, t₂ = 1.

Число 2 не принадлежит промежутку .

Sinx = 1 (особый случай),

x = (

Случай 2. Sinx

Sin²x - Sinx - 2 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx, t тогда t²t - 2 = 0 - приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета: t₁ + t₂ = 1, t₁t₂ =2, значит, t₁ = 2, t₂ =1.

Число 2 не принадлежит промежутку .

Sinx = 1 (особый случай),

x = (

Объединяя две серии решений, получаем, что x =

Ответ. x =

2. = 2Sin²x - 1.

Решение.

= 2Sin²x - 1,

2Sin²x - 1,

= 2Sin²x - 1,

2Sin²x + 1 = 0,

) + 1 = 0,

2 + 1 = 0.

Раскроем модуль.

Случай 1. Cosx

2Cos²x + Cosx - 1 = 0.

Введем новую переменную: t = Cosx, t тогда 2t² + t - 1 = 0 - квадратное уравнение.

D = 1 + 8 = 9,

t₁ =t₂ =

Cosx = , Cosx =1 (особый случай)

x = x =

( ( не принадлежит промежутку

Случай 2. Cosx

2Cos²x - Cosx - 1 = 0,

Введем новую переменную: t = Cosx, t тогда 2t² -t - 1 = 0 - квадратное уравнение.

D = 1 + 8 = 9,

t₁ =t₂ =

Cosx = , Cosx = 1 (особый случай)

x = x =

( ( не принадлежит промежутку

Объединяя две серии решений, получаем, что x =

Ответ. x =

3.

Решение.

ОДЗ: xx.

2Sin²x +

Раскроем модуль.

Случай 1. Sinx

2Sin²x + Sinx - 1 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx, t тогда 2t² + t -1 = 0 -квадратное уравнение.

D = 1 + 8 = 9,

t₁ =t₂ =

Sinx = Sinx = 1 (особый случай),

x = (1)ⁿ, x =

() не принадлежит промежутку

Случай 2. Sinx

2Sin²xSinx - 1 = 0.

Введем новую переменную: t = Sinx, t тогда 2t²t - 1 = 0 -квадратное уравнение.

D = 1 + 8 = 9,

t₁ =t₂ =

Sinx =Sinx = 1 (особый случай)

x = (1)ⁿ⁺¹, x =

() не принадлежит промежутку

Объединяя две серии решений, получаем, что x =

Ответ. x =

4.

Решение.

Оценим знаки подмодульных выражений:

1

3 3

7

Раскроем модули:

2Sin3x - 2 = 4,

2Sin3x = 2,

Sin3x = 1 (особый случай),

3x =

x =

Ответ. x =