Учебное пособие по математике на тему «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Министерство просвещения ПМР

ГОУ СПО « Рыбницкий политехнический техникум»

ПОСОБИЕ

ПО МАТЕМАТИКЕ

ТЕМА « ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Разработала- Томина Н.А. -преподаватель математики высшей

квалификационной категории

Рассмотрено

и одобрено на заседании

метод.совета ГОУ СПО «РПТ»

Протокол №__ от ________2013 г.

Председатель метод.совета

________________Т.С.. Штырбул

Рассмотрен и одобрен Рассмотрено и одобрено

на заседании ЦМК преподавателей

естественно-научных дисц естественно-научных дисциплин

Протокол №___ от «__»______2013 г.

Председатель ЦМК

___________Женская А.Б.

г.Рыбница

2013 г.

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие предназначено для студентов и учащихся средних специальных учебных заведений. Оно содержит все необходимые определения, понятия, теоремы, формулы, примеры и методы решения задач.

Материал пособия отвечает требованиям образовательного стандарта по теории вероятностей и охватывают весь круг тем экзаменационных задач. В самом начале пособия рассматриваются вопросы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания, приводятся примеры решения задач комбинаторного характера, уравнения, примеры упрощения выражений. Во втором разделе изучаются вопросы теории вероятностей: понятие события, испытания, виды событий, исходы испытаний и другие понятия.

Вместе с тем в пособии встречаются несколько больше понятий, чем в учебнике средней школы, приведены решения чуть более сложных задач, требующих знания некоторых вероятностных формул и законов. Поэтому настоящее пособие рассчитано на любой уровень знаний и может использоваться не только при подготовке к экзамену, но и как дидактический материал при изучении регулярного курса теории вероятностей в полной средней школе и в техникуме.

Для тех, кто почти ничего не знает про вероятность, в самом начале приводятся очень подробные решения, даже более подробные, чем в учебниках. Пособие поможет получить необходимые сведения по теории вероятностей или закрепить уже имеющиеся знания и навыки.

Задачи, использованные в пособии, взяты из текстов вариантов из ЕГЭ (В10), задачников для техникумов, проведен разбор решения задач, их объяснение, теоретическое обоснование. Они предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков учащихся по данной теме и могут помочь учащимся и студентам при подготовке к ГИА и ЕГЭ а также для применения в их практической деятельности.

ТЕМА: «Элементы теории вероятности»

Раздел 1.Элементы комбинаторики.

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторика-раздел математики, посвященный решению задач выбора и размещения элементов некоторого конечного множества согласно с определенными правилами.

Во время решения комбинаторных задач приходится рассматривать конечные множества, составленные из элементов какой-либо природы, и их подмножества. В зависимости от условия задачи рассматриваются конечные множества, в которых существенным есть или порядок элементов, или их состав, или первое и второе одновременно. Такие конечные множества (соединения) получили определенное название: перестановки, размещения, сочетания.

ПЕРЕСТАНОВКИ.

Прежде всего введем понятие «упорядоченное множество». Для этого рассмотрим две задачи.

1) Из 30 студентов группы надо выбрать председателя и секретаря группового собрания. Сколькими способами можно это сделать?.

2) Из тех же 30 студентов следует выделить двоих для дежурства. Сколькими способами это можно сделать?

Обе задачи комбинаторные. Однако они разные по содержанию условия. Во второй задаче нет значений, в каком порядке будут названы дежурные, тогда как в первой задаче это существенно. Действительно, из двух избранных студентов один может быть председателем, второй- секретарем или наоборот.

ПустьА- некоторое конечное множество, состоящее из nразличных элементов:

А= {а₁, а₂, а₃, … а_n}(1)

Образуем из элементов множестваА упорядоченное множество.

За 1-е упорядоченное множество возьмем множество, в котором элементы расположены в порядке возрастания их номеров:

{a_1, а_2, а₃, … а_n}

2-е множество{а₂, а₁, а₃, а₄,… а_n}

3-е множество {а₂+а₃+а₁+…+а_n}.

Аналогично с элементов множестваАможно создавать и другие упорядоченные множества.

Определение:

Всевозможные конечные упорядоченные множества, что содержат n разных элементов, которые можно образовать с некоторого неупорядоченного множества, которое состоит из n элементов, называют перестановками из nэлементов.

Перестановка обозначается буквойР.

Итак, перестановка - это способ упорядочения элементов некоторого конечного множества. При этом какие - либо две разных перестановки - это два разных способа образования упорядоченного множества ( из данных неупорядоченных).

Вычислим, сколько разных упорядоченных множеств можно образовать с данного конечного множестваА,которое имеет nразличных элементов, т.е. чему равно число перестановок с элементов множества (1).

Какое-либо упорядоченное множество, образованное из множестваА, можно записать в виде

{i₁, i₂, i₃,…i_k…i_n},

где каждый из элементов i_k,…есть один из элементова₁,а₂, а₃,…а_n,, причем каждый из этих элементов не встречается более 1 раза. Как элементi₁можно взять какой-либо из элементова_1,а₂,…а_n, что даетnразных возможностей.

Если i₁ уже взято, заi₂ можно взять какой-либо из n-1 элементов множестваА, (которые остались, т.е. число разных способов выбора упорядоченной пары элементов(i₁, i₂) ,будет равняться(n-1)^.n. Продолжая этот процесс, получим, что последний элементi_n можно взять только одним способом.

Итак, число перестановок из n элементов равно произведению n последовательных натуральных чисел, начиная с 1.

Р_n=1^.2^.3^....(n-1)n=n! (n-факториал)

Для пустого множества считают, что пустое множество можно упорядочить только одним способом, поэтому считают, что 0!=1.

Если в заданной перестановке поменять местами какие-либо 2 элемента, а остальные элементы оставить на своих местах, то получим новую перестановку.

Такие преобразования перестановки называют транспозицией.

Все n! перестановок из n элементов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая перестановка будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причем в качестве исходной перестановки можно выбрать любую из n!перестановок. В частности, от любой перестановки из nэлементов можно перейти к любой другой перестановке из тех же элементов при помощи нескольких транспозиций.

Перестановка (i₁, i₂,…i_n) называется четной, если она получается из перестановки (а₁,а₂,…а_n)с помощью четного числа транспозиций, и нечетной в противном случае.

Пример 1. ПустьА=(1,2,3,4). Перестановка (1,2,3,4) по определению четная. Четной будет и перестановка (4,2,1,3), так как она может быть получена из перестановки (1,2,3,4) при помощи четного числа транспозиций: поменяем местами в перестановке (4,2,1,3) первый и четвертый элементы:

(4,2,1,3) (3,2,1,4)

В полученной подстановке меняем местами 1-й и 3-й элементы:

(3,2,1,4) (1,2,3,4)

Следовательно, данная подстановка переходит в исходную в результате двух транспозиций, и следовательно, она четная.

Пример2.

(4,1,2,3) (1,4,2,3) (1,2,4,3) (1,2,3,4)

После трех транспозиций.

Всякая транспозиция меняет четность перестановки: число четных перестановок из nэлементов(n≥2) равно числу нечетных, т.е. равно

Задача 1. Сколько семицифровых чисел можно составить при помощи семи разных цифр, отличных от 0?

Решение: Искомое число равно числу перестановок из 7 различных элементов:

Р₇= 7!=7^.6^.5^.4^.3^.2^.1=5040

Ответ: 5040.

Задача 2. Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, около которого поставлено 12 стульев?

Решение:Р₁₂=12!=12^.11^.10^.9^.8^.7^.6^.5^.4^.3^.2^.1=479 001 600

Ответ: 479001600.

РАЗМЕЩЕНИЯ.

Пусть дано некоторое конечное множествоА, состоящее из nразличных элементов. Выберем некоторым образом из этих n элементов mразличных элементов и будем составлять из этих mэлементов различные упорядоченные множества.

Определение.

Конечные упорядоченные подмножества, содержащие по m элементов, выбранные из n элементов основного множества, называется размещениями из n элементов по m элементов.

Число всех возможных размещений из nэлементов поm элементов обозначается .

=n, т.е. один элемент из nможно выбрать nспособами, а из одного элемента можно образовать единственное упорядоченное множество.

= (n-m)

=n

=n(n-1)

=n(n-1)(n-2)

…………………

=n(n-1)(n-2)(n-3)….(n-m+1)

Последнее равенство можно описать с помощью формулы:

= =

Число размещений и число перестановок связаны формулой: =P_n=n!

Задача 1. Сколькими способами можно выбрать из группы студентов из 40 человек старосту, зам. старосты и физорга?

Решение:

=40^.39^.38=59280

Ответ:59280

Задача 2. Группа студентов изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?

Решение:

= 7^.6^.5^.4=840

Ответ: 840.

Задача 3. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1,2,3,4 без повторений?

Решение:

== =12

Ответ:12.

Задача 4. Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, если не допускать в одной фразе повторения звуков?

Решение:

Пианино имеет 88 клавиш, поэтому == 390 190 489 920.

Ответ: 390 190 489 920.

СОЧЕТАНИЯ.

Определение:

Конечные неупорядоченные множества, содержащие mразличных элементов, выбранных из nэлементов заданного множества, называются сочетаниями из nэлементов поm.

Число сочетаний изnэлементов по mэлементов обозначают.

Найдем, чему равно число сочетаний изnэлементов по m.В соответствии с данным определением размещений из данного множества, состоящего изn элементов можно образовать различных упорядоченных множеств, содержащих по m различных элементов. Из множества, содержащего различных элементов, можно образовать Р_mразличных упорядоченных множеств, а потому число различных неупорядоченных множеств, содержащих по mразличных элементов, выбранных изn элементов, будет вычисляться по формуле:

=

Используя формулы для подсчета числа перестановок Р_n и числа размещений , получим:

= .

Для числа сочетаний справедливы равенства:

==+

А также +++…+=2ⁿ

Это свойство можно сформулировать так: Число всех подмножеств множества, состоящего из nэлементов, равно 2ⁿ.

Задача 1.Сколькими различными способами можно выбрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

Решение:

==455

Ответ: 455.

Задача2. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой 1 раз?

Решение:

==120.

Ответ: 120.

Задача 3. Вычислить

Задача 4. Решить уравнение: (n+4)! =30(n-k)!

Перестановки с повторениями:

С_n(k₁,k₂,…k_m)=

Задача5. Сколько различных шестизначных чисел можно образовать из трех единиц, одной тройки и двух двоек?

Решение:С₆(3,1,2)= = 60.

Ответ: 60.

Раздел2. «Элементы теории вероятностей».

ТЕМА 1. «Основные понятия теории вероятностей».

Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называют теорией вероятности.

Самым первым понятием теории вероятности есть понятие события.

Событие - это явление, о котором можно сказать, что оно совершается или не совершается при определенных условиях.

События обозначаются буквами: А,В,С,… или А₁, А₂, А₃,…

События можно разбить на 3 категории: достоверные, невозможные, случайные.

Испытания - это условия, в результате которых происходит или не происходит событие.

Например, испытание - подбрасывание монеты, событиеА- появление «герба», событиеВ- появление цифры.

Испытание-подбрасывание кубика (кости),

событие: А-появление 1 очка,

В-появление 2 очков,

С-появление 3 очков

D-появление 4 очко

Е-появление 5 очков

F-появление 6 очков

Событие называется достоверным, если оно является единственно возможным исходом испытания.

Событие,противоположное достоверному, называется невозможным.

Событие называется случайным,или возможным, если исход испытания приводит либо к появлению или не появлению этого события.

Частота случайного события:-при n-кратном осуществлении опыта событие наступило mраз. Тогда- частота случайного события.

Пример 1. Французский естествоиспытатель Бюффон , изучая случайные события, провел опыт с подбрасыванием монеты 4040 раз. Герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота «выпадения герба» события в данном эксперименте равна:

= 0,507 0,5

Пример 2. По теории Менделя при скрещивании желтого гороха с зеленым примерно в одном случае из 4-х получают зеленый горох. Для проверки по скрещиванию желтого гороха был проведен опыт 34153 раза. В 8506 случаев получен зеленый горох. Частота события «появление зеленого гороха» равна

= 0,2520,25

Описанные явления называются статистической устойчивостью частоты события.

СобытияА и В называются равносильными(равными), если Апроисходит тогда и только тогда, когда происходит событиеВ (А=В).

СобытияА,В,С называются совместимыми, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появления другого при том же испытании.

(Стрельба их двух винтовок одновременно - поражение мишеней является совместимыми).

Попарно несовместимые события - это события, два из которых не могут происходить вместе.

Тема 2.«Операции сложения и умножения».

Классическое определение вероятности:

Отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу всех исходов испытания называется вероятностью случайного события А и обозначается:Р(А).

Итак,Р(А) = , ( или Р = 0≤ P≤1, для случайного события )

для случайного события m<n

для достоверного события m=n

для невозможного события m=0.

А- событие,где Р(А) -вероятность события,

n- общее число всех исходов испытания,

m -число исходов, благоприятствущих событию А.

1.Суммой (объединением) событий называется событие, которое осуществляется тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий: А+В илиАВ

2. Произведением (пересечением) событий называется событие, осуществляющееся тогда и только в том случае, когда данные события происходят одновременно. А^.В илиАВ.

Если события:

1) образуют полную группу событий;

2) есть несовместимыми;

3) есть равновозможными

то такие события образуют пространство элементарных событий.

1. Пусть событиеАзаключается в извлечении белого шара из урны с 10 шарами, среди которых 5 белых: Р(А) =;

2. Пусть событиеВ заключается в извлечении белого шара из урны с 10 шарами, среди которых 2 белых: Р(В) =;

3. Пусть событиеС заключается в извлечении белого шара из урны с 10 шарами, среди которых 8 белых: Р(С) = .

Задача1. Найти вероятность того, что при бросании двух монет выпадет 2 герба.

Решение.

Пусть событиеА- выпало 2 герба.

Пространство элементарных состоит из 4 событий:

А₁-выпало 2 герба, А₂ - выпали герб и число, А₃-выпали число и герб, А₄- выпали 2 числа. СобытиюА соответствует событие А₁. Итакm= 1, n=4 и тогда

Р(А) =

Ответ: .

Задача 2.В шкатулкеaбелых иb черных шаров. Из шкатулки наугад выбирают 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение.

Пусть событиеА - выпал 1 белый шар, тогда

Р(А) = .

Задача 3. Из числа талонов, занумерованных всеми двузначными числами и свернутых в одинаковые трубочки, наудачу берется один. Какова вероятность того, что номер взятого талона состоит из одинаковых знаков?

Решение.

Число всех талоновn = 90, число талонов с одинаковыми знаками {11,22,33,…,99} m = 9.

Поэтому Р(А) = =.

Тема3. «Использование формул комбинаторики для вычисления

вероятности события».

Непосредственный подсчет вероятностных событий значительно упрощается, если использовать формулы комбинаторики.При этом правильность решения задачи зависит от умения определять вид соединений, которые образуют совокупность событий, о которых говорится в условии задачи.

Задача 4. Из 16 учащихся , среди которых4 девушки, на вечер встречи без выбора приглашают троих учащихся.Какова вероятность того, что среди приглашенных будет одна девушка?

Решение.

Пусть А- событие, вероятность которого необходимо найти. Для определения всех элементарных событий необходимо знать, сколько разных групп по 3 учащихся из 16 можно образовать. Здесь имеем дело с числом комбинаций из 16 элементов по 3, т.е. n=.Чтобы подсчитать количество событий, которые благоприятствуют событию А, рассуждаем так: одну девушку из четырех можно выбрать способами, а два других учащихся должны быть мальчиками. Два мальчика из 12 можно выбрать разными способами. Поскольку нужно пригласить 1 девушку и 2 парня, то всего таких групп будет^., т.е. m=^..

Итак, Р(А)= = = .

Ответ: .

Задача5. Среди 100 ламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?

Решение.

Из 100 ламп 3 лампы можно выбрать способами. Три исправных лампы из 95 исправных можно выбрать способами. Следовательно

Р (А)= =~0,98

Ответ: 0,98

Задача 6. В урне лежат 20 шаров, из них 12 белых, остальные черные. Из урнынаугад выбирают 2 шара. Какова вероятность того, что они белые?

Решение.

Общее количество элементарных событий испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 2 шара из 20, т.е. числу комбинаций из 20 элементов по 2 n =. Количество элементарных событий «выбрано 2 белых шара» m=. Итак, если событие А- выбрано 2 белых шара, то

Р(А)= = = =

Ответ: .

Задача7. В урне лежат 20 шаров, из них 12 белые. Из урны выбирают 3 шара. Какова вероятность того, что среди выбранных 2 белых?

Решение.

Общее количество элементарных испытаний n =

Подсчитаем количество элементарных событий, которые благоприятствуют событию «среди трех выбранных шаров 2 белых». 2 белых шара из 12 белых можно выбрать способами, а один черный шар можно выбрать 8 способами. Тогда событие «среди трех выбранных шаров 2 белых» способствуют m=^.8 элементарных событий.

Итак, если событиеА - среди трех выбранных шаров 2 белых, то

Р(А)= = =

Ответ:

Задача 8. В урне лежат 15 красных, 9 синих, 6 зеленых одинаковых шаров. Наугад выбирают 6 шаров. Какова вероятность того, что выбрано: 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара?

Решение.

Испытание состоит в том, что из урны выбирают 6 шаров. Вынуть 6 шаров из 30 можно n= способами.

Вероятность событияА- выбрано 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара.

Один зеленый шар можно выбрать способами, 2 синих шара можно выбрать способами, 3 красных шара можно выбрать способами. Итак, событиюА благоприятствуют

m=^.. элементарных событий. Тогда

Р(А) = = =.

Ответ:.

Задача 9.В серии из N изделий M бракованных. Из партии наугад выбираютаизделий. Какова вероятность того, что среди этиха изделий будут bбракованные?

Решение: Сначала определим, сколько всего групп поаизделий можно создать из Nизделий. Очевидно, что n=. Для определения m рассуждаем так. Из Мбракованных можно выбрать b бракованных способами. В выборе должно быть b бракованных и a-bнебракованных, а всего в серии небракованных изделий N-M, поэтому из N-Mнебракованных изделий можно выбрать a-b изделий способами. Тогда событиюА, вероятность которого необходимо найти,благоприятствует ^.событий.

Итак, Р(А) =

Тема 4. «Основные теоремы теории вероятностей и их

следствия»

В теории вероятностей различают простые и сложенные события. Например, во время бросания двух костей в сумме выпало 2 очка.Это простое событие.

Событие называется сложенным, если проявление его зависит от появления других, простых событий. Например,во время бросания двух игральных кубиков в сумме выпало 10 очков. Это событие есть сложенным, потому что оно может слаживаться из трех простых событий:

1) на первом кубике выпало 4, а на втором -6 очков;

2) на первом и на втором кубике выпало по 5 очков;

3) на первом кубике выпало 6 очков, а на втором - 4 очка.

Вычислять вероятности сложенных событий по формулеР(А)=

будет тяжело, а иногда и невозможно. Их вероятности вычисляют через вероятности простых событий, в которых слагаются сложенные. Такое вычисление возможно, если использовать теоремы, устанавливающие связи между вероятностями событий.

Теорема 1«Сложение несовместных событий».

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.Р(А+В) = Р(А) +Р(В).

Следствие 1: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е.Р(А)+ Р(А) = 1.

Следствие 2. Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна суммвероятностей этих несовместимых событий, или: Сумма вероятностей событийА₁,А₂,А_3,…А_n, которые образуютполную группу и попарно несовместимы, равна 1:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n) = 1.

Пример: Если событиеА- поражение цели с первого выстрела, событие В - поражение цели со второго выстрела, то событие

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) -поражение цели.

Задача 10. В урне лежат 2 черных, 3 красных, 9 зеленых и6 синих шаров. Из нее наугад вынимают1 шар. Какова вероятность того, что он не черный?

Решение.

Пусть событиеА - появление не черного шара,

событие А₁- появление черногошара,

событие А₂- появление красного шара,

событиеА₃- появление зеленого шара,

событие А₄- появление синего шара.

ТогдаА = А₂+А₃+А₄, причем А₂,А₃,А₄ - несовместимые и

Р(А₂) = ;Р(А₃) = ;Р(А₄) =

Согласно теоремы несовместимых событий

Р(А) = Р(А₂) + Р(А₃) + Р(А₄) = + + = =

Ответ:.

Задача 11.В коробке есть 20 деталей, 15 из которых стандартные. Найти вероятность того, что среди 3 выбранных наугад деталей есть хотя бы одна стандартная.

Решение.

Пусть событие А- среди выбранных есть хотя бы одна стандартная,

событиеА-все выбранные нестандартные.

Согласно следствию (1) имеем Р(А) + Р(А) = 1, откуда Р(А) = 1-Р(А).

Находим Р(А^.). Общее число способов, которыми можно выбрать 3 детали из 20 -n=.

Число нестандартных деталей 20-15=5, из этого числа деталей можно m= способами выбрать 3 нестандартные детали:

Р(А) = =^.=

Искомая вероятность Р(А)= 1- Р(А) = 1 - =

Ответ:

Задача 12. В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет выпадает выигрыш 5000 руб, на 10 билетов - выигрыш по 1000 руб, на 50 билетов - выигрыш по 200 руб, на 100 билетов - выигрыш по 50 руб. Остальные билеты невыигрышны. Найти вероятность выигрыша на один билет не менее чем 200 руб.

Решение.

Обозначим события:

А- выигрыш не менее 200 руб,

А₁-выигрыш 200 руб;

А₂-выигрыш 1000 руб;

А₃- выигрыш 5000 руб.

СобытиеА выражается через сумму трех несовместных событий А₁,А_2,А₃,

т.еА=А₁+А₂+А_3.

Согласно теореме сложения имеем

Р(А)=Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃) или

Р(А)= + + + = 0,001+0,01 +0,05 = 0,061.

Ответ: 0,061.

Задача 13. Стрелок стреляет по мишени, которая разделена на 3 области. Вероятность попадания в 1 область равна 0,45, в другую 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в 1-ю, либо во 2-ю область.

(ответ:0,8)

Задача 14. Стрелок попадает вдесятку с вероятностью 0,05; в девятку с вероятностью 0,2;в восьмерку с вероятностью 0,5.

Найти вероятность того, что стрелок наберет не менее восьми очков после первого выстрела.

(ответ: 0,75)

Задача 15. В ящике лежат 8 белых и 12 красных шаров.

1) Наугад выбирают 3 шара. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет белой?

2) наугад выбирают 6 шаров. Какова вероятность того, что среди них не более одного белого шара?

3)Наугад выбирают 5 шаров. Какова вероятность того, что среди них не менее 2 шаров?

4) Наугад выбирают 2 шара. Какова вероятность того, что они одного цвета?

(ответы:1) 1-=; 2) 0,187 3)0,693 4) 0,495 )

Задача 16. В ящике лежат 8 красных, 10 зеленых и 12 одинаковых шаров. Наугад выбирают три шара. Найти вероятность того, что среди выбранных шаров отсутствует хотя бы один цвет.

(ответ: 0,763)

Задача 17. В мастерской работает 3 станка. За смену вероятность настройки первого станка 0,15; второго станка - 0,1; третьего станка 0,12.

Считая, что станки не могут настраиваться одновременно, найти вероятность того, что за смену хотя бы один станок будет настраиваться.

(ответ:1-0,85^.0,88^.0,9 = 0,3268)

Теорема 2 «О вероятности суммы двух произвольных событий».

Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме вероятностей событий без вероятности их произведения, т.е.

Р(А+В)= Р(А)+Р(В) - Р(А^.В).

Тема5.«Теорема о вероятности произведения независимых

событий».

Определение: 2 события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, совершилось второе событие или нет.

Теорема.Вероятность произведения двух независимых событий А и В равно произведению вероятностей этих событий:Р(А^.В) = Р(А)^.Р(В).

Задача 18. Найти вероятность одновременного выпадения герба на двух монетах при одном бросании двух монет.

Решение.

Событие А- выпал герб на первой монете Р(А) =

Событие В - выпал герб на второй монете Р(В) = .

Так как события А и В независимы, то Р(АВ) = Р(А)^.Р(В) ==

Ответ:

Задача 19. Два охотника стреляют одновременно и независимо друг от друга по мишени. Вероятность попадания по мишени соответственно равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что оба охотника попали в цель.

Решение.

СобытиеА - 1-й охотник попал в цель Р(А) =0,7

Событие В - 2-й охотник попал в цель Р(В) = 0,8

СобытиеС=АВ - оба охотника попали в цель, тогда

Р(С) =Р(АВ) =Р(А)^.Р(С) = 0,7^.0,8 =0,56.

Ответ=0,56

Задача 20. Завод изготавливает 95 % стандартных изделий, причем из них 86% первого сорта. Найти вероятность того, что изделие, изготовленное на этом заводе, окажется первого сорта.

Решение:

Пусть А-событие, которое состоит в том, что взятое изделие стандартное, В- изделие первого сорта; С- изделие, изготовленное на этом заводе, окажется первого сорта. ТогдаС=АВ.

Так как событияА и В независимы, то можно применить теорему для вычисления вероятности события С.

Р(С)=Р(АВ)=Р(А)^.Р(В)=0,95^.0,86~0,82.

Ответ: 0,82.

Задача 21. Вероятность получить брак во время первой операции обработки детали равно 1%, во время второй - 2%, во время третьей - 3%. Найти вероятность изготовления небракованной детали, если контроль осуществляется после трех операций обработки при условии независимости изготовления бракованной детали во время каждой операции.

Решение.

Введем обозначения:

А₁- изготовление бракованной детали во время первой операции,

А₂- изготовление бракованной детали во время второй операции,

А₃- изготовление бракованной детали во время третьей операции.

А- изготовление небракованной детали после трех операций обработки.

По условию Р(А₁)=0,01; Р(А₂)=0,02; Р(А₃)=0,03. СобытиеА можно выразить через события А₁, А₂, А₃ как произведение этих независимых событий: Р(А) = Р(А₁А₂А₃);

Применяя теорему умножения, получим:

Р(А) = Р(А₁А₂А₃)=Р(А₁)^.Р(А₂)^.Р(А₃)=(1-Р(А₁))(1-Р(А₂))(1-Р(А₃))==0,99^.0,98^.0,97= 0,94094~0,94

Ответ: 0,94

Задача 22. Два охотника стреляют в цель, и независимо один от другого. Вероятность попадания в цель соответственно равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что

а) только один из охотников попадет в цель;

б) ни один из охотников не попадет в цель;

в) хотя бы один из охотников попал в цель.

Решение:

Пусть событие А - первый попадет в цель Р(А)=0,7;

событие В - второй попадет в цель Р(В) = 0,8

событиеС - лишь один из охотников попал в цель.

а)С=А^.В + А^.В

тогда Р(С)=Р(А^.В)+ Р(А^.В)=Р(А)Р(В) +Р(А)Р(В)=0,7(1-Р(В))+

+(1-Р(А))0.8=0,7(1-0,8)+(1-0,7)0,8=0,7^.0,2+0,3^.0,8=0,38.

б)D=А^.В- ни один из охотников не попал в цель.

Р(D)=Р(А В)=Р(А) Р(В)=(1-Р(А))^.(1-Р(В))=0,3^.0,2=0,06.

в) F=D-хотя бы один из охотников попал в цель

Р(F)=P(D)=1- Р(D)=1-0,06=0,94.

Ответ: а)0,38; б)0,06; в)0,94.

Тема 6.«Вероятность совершения хотя бы одного

независимого события».

Теорема. Если события А₁, А₂,…А_n - независимы, то вероятность совершения хотя бы одного из них может быть выражена через вероятность этих событий по формуле:

Р(А) = 1- (1 - Р(А₁))(1-Р(А₂))…(1-Р(А_n)).

Следствие. Если событияА₁, А₂,…А_nимеют одинаковую вероятность р, то вероятность выполнения хотя бы одного из них равнаР(А) = 1 - (1-р)ⁿ.

Задача 23. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех винтовок соответственно равны 0,8; 0,7; 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель.

Решение.

Вероятность попадания в цель каждой из винтовок не зависит от результатов стрельбы из других винтовок, поэтому событие А₁- попадание из первой винтовки, А₂- попадание из второй винтовки, А₃- попадание из третьей винтовки - независимы. Если событиеА- хотя бы одно попадание, то

Р(А) =1-(1-Р(А₁))(1-Р(А₂))(1-Р(А₃)) = 1-(1-0,8)(1-0,7)(1-0,9) = 0,994

Ответ:0,994

Задача 24. В типографии есть 4 печатающих устройства. Найти вероятность того, что в данныймомент работает хотя бы одно устройство.

Решение.

Пусть событиеА - работает в данный момент хотя бы одно устройство, тогда согласно следствию из теоремы

Р(А) = 1- (1-р)ⁿ= 1- (1-0,9)⁴= 0,9999.

Ответ:0,9999.

Тема7.«Условная вероятность».

Пример: В ящике 100 деталей: 80 стандартных и 20 нестандартных. Наугад берут 1 деталь, не возвращая ее назад. Если появилась стандартная деталь (событие А), то вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В)Р(В) = ,

если же в первом испытании взяли 1 нестандартную деталь, то вероятность Р(В) =.

Итак, вероятность появления событияВ зависитот появления или не появления события А.События А и В - зависимы.

Пусть событияА и В - зависимы и событие А уже совершилось.

Определение.

Число, которое выражает вероятность событияВ при условии, что событие А уже совершилось, называется условной вероятностью события В относительно события Аи обозначается: Р(В/А) или Р_В(А).

Пусть k -количество всех элементарных событий, благоприятствующих событиюА;

n- количество всех элементарных событий некоторого испытания;

m - количество элементарных событий, благоприятствующих событию В;

r - количество элементарных событий, благоприятствующих событию АВ

(r ≤ k и r ≤ m).

Если событиеА совершилось, то это значит, что совершилось одно из элементарных событий, которое благоприятствует событию А. При этом событию Вблагоприятствуют r итолько r событий, которые благоприятствуют событию АВ.

Тогда Р_А(В) = = откуда Р(АВ) = Р_А(В)^.Р(А).

Итак, справедливатеорема:

Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, еслипервое совершилось.

Задача25. В урне 3 белых и 7 красных шаров. Наугад вынимают 1 шар, а потом другой. Найти вероятность того, что из выбранных шаров первым будет белый, а вторым - красный.

Решение:

СобытиеА - 1-й шар белый Р(А) =;

событиеВ- 2-й шар красный.

Вероятность того, что второй шар красный (событие В) - находим при условии, что первый шар белый, т.е. условная вероятность Р_А(В) = .

Искомая вероятность по теореме умножения вероятностей зависимых событий

Р(АВ) = Р(А)^.Р_А(В) = =

Ответ:.

Тема8.«Независимые испытания. Схема Бернулли».

Взаимно-независимыми называются такие испытания, в которых вероятность результатакаждого из них не зависит от того, какие результаты имеют или будут иметь остальные испытания.

Многие задачи теории вероятностей приводятся к такой схеме, которая называется схемой Бернулли: совершается nнезависимых испытаний, в каждом из которых событиеАможет наступить или не наступить. Вероятность совершения событияАв каждом испытании одинакова и равна , а вероятность невыполнения событияАесть q=1-р.

Необходимо найти вероятность Р_m,nтого, что событиеА настанет m раз в этихnиспытаниях.

Искомую вероятность можно рассчитать по формуле Бернулли:

Р_m,n = р^mq^n-m или Р_mn= p^mq^n-m

Задача26.Вероятность того, что расходование электроэнергии в течении суток не превышает установленной нормы и равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расходование электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение:

Вероятность нормального расходования электроэнергии в течении каждых 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Значит, вероятность перерасходования электроэнергии за каждые сутки также постоянна и равна

q=1-р = 1- 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность согласно формулы Бернулли равна:

Р_4,6 = р⁴q²= (0,75)⁴ (0,25)² = 0,30

Ответ: 0,30

Задача 27. Какова вероятность того, что при десяти подбрасываниях игрального кубика 3 очка выпадет ровно 2 раза?

Решение:Общее число испытаний n= 10, благоприятных m= 2, р = ;

q = 1-р = 1 - = и тогда

Р_2,10 = ( )²( )⁸ = 5^8.()¹⁰= 0,29

Ответ: 0,29

Задача28. Какова вероятность того, что при десяти бросаниях игрального кубика три очка выпадет : а) ровно три раза? Б) ровно один раз?

Ответ: а)()³()⁷ = 0,155 б) () ( )⁹= 0,323.

Задача 29.В цеху 6 двигателей. Для каждого двигателя вероятность того, что он в данный момент выключен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент:а) включены 4 двигателя; б) включены все двигатели; в)отключены все двигатели.

Ответ: а)0,246; б) 0,26; в) 0,000064.

Задача 30. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а)менее двух раз; б) не менее двух раз.

Ответ: а)Р=Р_0,6+Р_1,6=б)Р = 1- (Р_0,6+Р_1,6)= .

Задача 31. Что вероятней: выиграть у равносильного противника (ничья исключается) одну партию из четырех или три партии из восьми?

Ответ: и - вероятней выиграть одну партию из четырех.

Литература.

1.Алгебра и начала анализа - Математика для техникумов. Ч. 2.

Под редакцией Г.Н.Яковлева. М. «Наука» 1981 г.

2. Справочник по математике (для средних учебных заведений)

А.Г.Цыпкин М. «Наука» 1983

3. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.

М.И. Шкиль, З.И. Слепкань, О.С. Дубинчук Киев, 1998 г.

4. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и

математической статистики.

Э.С. Маркович «Высшая школа» М.1972 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ.

ЗАДАЧИ ИЗ ЕГЭ (В 10)

1.В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5черных, 1 желтая и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

(Ответ: 0,1)

2.Монету бросают трижды. Найти вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.

(Ответ: 0,25)

3.Валя выбирает случайное трехзначное число. Найти вероятность того, что оно делится на 51.

(Ответ:0,02 )

4.В среднем на 150 карманных фонариков приходится 3 неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.

(Ответ: 0,98)

5.В среднем из каждых 50 поступивших в продажу аккумуляторов 48 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.

(Ответ: 0,04)

6.В некоторой местности утро в мае бывает либо ясным, либо облачным. Наблюдения показали:

Если майское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,2.

Если майское утро облачное. То вероятность дождя в течении дня равна 0,6.

Вероятность того, что утро в мае будет облачным, равна 0,4.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый майский день дождя не будет.

(Ответ:0,82)

7.В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз в своей банке.

(Ответ: 0,8)

8.В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 12 из них встречается вопрос по круглым червям. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику попадется вопрос по червям.

(Ответ:0,48)

9.На соревнования по метанию диска приехали 6 спортсменов из Швейцарии,3 из Болгарии и 6 из Австрии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что третьим будет выступать спортсмен из Болгарии.

( Ответ:0,2)

10.Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.

(Ответ:0,25)

11.В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Которые должны приготовить класс к занятиям. Найдите вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика.

(Ответ:0,1)

12.В группе по английскому языку учатся 10 школьников: Антон, Вадик, Галя, Даша, Игорь, Коля, Люда, Митя, Полина, Ярослав. В начале урока учительница произвольным образом выбирает ученика, чтобы он отвечал домашнее задание у доски. Найдите вероятность того, что к доске пойдет мальчик.

(Ответ: 0,6)

13.При включении телевизор показывает случайный канал. Зритель включает телевизор. В это время по 20 каналам из 40 показывают рекламу. Найдите вероятность того, что зритель при включении попадет на канал, где реклама в этот момент не идет.

(Ответ:0,5)

14.На тарелке 10 пирожков: 3 с мясом, 5 с капустой и 2 с вишней. Артур наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

(Ответ:0,2).

15.Двое играют в кости- они по разу бросают игральный кубик. Выигрывает тот, у которого больше очков. Если выпадает поровну, то наступает ничья. Первый бросил кубик, и у него выпало 4 очка. Найдите вероятность того, что он выиграет.

(Ответ:0,5)

16.В каждой двадцать пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Коля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Коля не найдет приз в своей банке.

(Ответ:0,96)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Данное пособие рассчитано на студентов и учащихся техникумов для более успешного овладения теорией и практикой решения задач, для подготовки их к сдаче ЕГЭ, для развития умений и навыков предвидеть, рассчитать те или иные события, ситуации, связанные со случайной величиной по заданному закону распределения этой величины; вычислять математическое ожидание случайной величины по закону ее распределения. В пособии представлено минимум теоретического материала, доказательства теорем, свойств, и большое число задач на вычисления вероятностей событий: условных, совместимых и несовместимых, независимых и зависимых.

В наше время теория вероятностей широко используется в современном природоведении, экономике, на транспорте, на производстве, медицине, гуманитарных науках.С первого взгляда может показаться, что никаких законов, управляющих случайными явлениями, нет и быть не может. Однако, если разобраться, случайные явления происходят не так уж хаотически. Во многих случаях обнаруживаются закономерности. Эти закономерности не похожи на обычные законы физических явлений; они весьма разнообразны.

Теория вероятностей, как и какая-либо наука, развилась из надобностей практики. Она возникла в середине XVII века в связи c решением задач, которые ставили страховое дело, демография, теория азартных игр и т.д.Впервые теорией игр занялся итальянский философ и математик Дж. Кардано (1501-1576), который написал сочинение «Об азартных играх».Однако началом возникновения теории вероятностей считают 1654 г., на который приходится письменное общение между французскими математиками Б.Паскалем и П.Ферма по поводу задачи, связанной с игрой в кости. С решением этой задачи позже ознакомился известный физик Хр.Гюйгенс, который написал сочинение «О расчетах в азартной игре».

Однако уже в конце XVII в. начали пользоваться Теорией при страховании кораблей, т.е. начали подсчитывать, сколько шансов на то, что корабль вернется в порт невредимым, не будет потоплен бурей, что груз не подмокнет, что он не будет захвачен пиратами и т.д. Такой расчет позволял определять, какую страховую сумму следует выплачивать и какой страховой взнос брать, чтобы это было выгодно для компании.

В первой половине XVIII в. для теории много сделал Яков Бернулли - член Российской Академии наук. Следует отметить труды С. Лапласа, С. Пуассона, К. Гаусса, русских математиков П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова и др.Открытие мирового значения в теории относительности сделали русские математики нашего времени А.М.Колмогоров, С.Н.Берштейн, В.И.Романовский, Е.Е Слуцкийи др.

Надеюсь, что пособие будет общедоступным и принесетпользу всем учащимся и студентам, желающим изучить основы теории вероятностей и научиться решать задачи по данной теме.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!!!!

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение.

2. Раздел 1. Элементы комбинаторики.

2.1 Перестановки.

2.2 Размещения

2.3 Сочетания.

3. Раздел 2. Элементы теории вероятностей.

3.1 Тема 1.Основные понятия теории вероятностей.

3.2 Тема 2. Операции сложения и умножения.

3.3 Тема 3. Использование формул комбинаторики для

вычисления вероятности события.

3.4 Тема 4. Основные теоремы теории вероятностей и их

следствия.

3.5 Тема 5. Теорема о вероятности произведения независимых

событий.

3.6 Тема 6. Вероятность совершения хотя бы одного

независимого события.

3.7 Тема 7. Условная вероятность.

3.8 Тема 8. Независимые испытания. Схема Бернулли.

4. Приложение.

5. Заключение.

6. Литература.

РЕЦЕНЗИЯ(внутренняя)

на работу «Пособие по математике».

Пособие по математике отражает структуру раздела «Элементы теории вероятностей», дается направление на изучение данного материала, на приобретение навыков решения задач. В пособии обращается внимание на предпосылки, в которых развилась эта наука.

Сначала изучаются элементы комбинаторики - раздела математики, посвященный решению задач выбора и размещения элементов некоторого конечного множества согласно с определенными правилами. В зависимости от условия задачи рассматриваются конечные множества, в которых существенным есть или порядок элементов, или их состав, или первое и второе одновременно. Такие конечные множества получили название: перестановки, размещения, сочетания. Установлены формулы для вычисления перестановок, размещений, сочетаний.

При изучении темы «Основные понятия теории вероятности» даются понятия: события, испытания, достоверные события, невозможные, случайные, равносильные совместные, попарно несовместные. Дается понятие частоты случайного события, классическое определение вероятности. При изучении вероятности события используются формулы комбинаторики для вычисления вероятности события, изучаются основные теоремы теории вероятности и их следствия, вероятность совершения хотя бы одного независимого события, условная вероятность, независимые испытания, схема Бернулли. Для каждого понятия и операции разработаны задачи, показывающие применение формул и приемов решения задач, показано решение задач варианта В10 из материалов ЕГЭ. В приложении приведены задачи из ЕГЭ (В10).

Преподаватель разработала своевременное пособие, в котором проведено логическое построение и изложение данного материала, что будет способствовать более успешному его усвоению.

Рецензент:

_______________ Краснян Е.М. - преподаватель математики высшей

квалификационной категории ГОУ СПО «РПТ»

РЕЦЕНЗИЯ (внешняя)

на работу «Пособие по математике»

преподавателя Рыбницкого политехнического техникума

Томиной Надежды Алексеевны.

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми. В учебном пособии раскрыты основные понятия теории вероятностей, описаны наиболее часто встречающиеся задачи оценивания неизвестных параметров и проверки статистических гипотез, изложены методы их решения. Материал пособия дополнен большим количеством примеров рассмотренных положений.

В пособии изложены ключевые правила и понятия комбинаторики, сформулировано понятие случайного события, рассмотрены основные теоремы теории вероятностей. В каждой теме имеется практический раздел для самостоятельного приобретения навыков по использованию методов теории вероятностей при решении задач. В учебном пособии даны основы комбинаторики, сформулированы закономерности массовых случайных явлений и случайных величин. Рассмотрены ключевые положения теории вероятностей. Издание включает в себя вопросы для самоконтроля, решенные примеры и задачи. Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет теории вероятностей.

В пособии представлен достаточный список учебной литературы, предлагаемый для самостоятельного изучения курса «Теория вероятностей».

В целом, программа курса «Теория вероятностей» удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к учебным программам.

Считаю, что данная программа может быть рекомендована к внедрению в учебный процесс для студентов и учащихся техникума.

Рецензент: _________________КозакЛ.Я. - кандидат технических наук,
доценткафедры физики,
математики и информатики

41