Приложение

Разработка урока "Теорема о трех перпендикулярах"

• Степанова Римсимэ Мамиконовна, преподаватель математики

Разделы: Математика

Цели урока:

• Обучающая:сформировать у учащихся понятие о теореме о трех перпендикулярах, познакомить с доказательствои теоремы и сформировать умение применять ее при решении задач;

• Развивающая: уметь логически мыслить, точно выражать свои мысли, творчески подойти к поставленной задаче;

• Воспитательная: воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету; показать красоту предмета.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний Содержание тестов, тексты задач

1.Входной тест.

Заполните пропуски.

1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она …………………….к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они ………………………

3. Если прямая перпендикулярна к двум……………. прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

4. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой………….., проведенной из этой же точки к этой плоскости.

5. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется ………….. от точки до плоскости.

.

6. Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является ……………..

7. Все линейные углы……………….угла равны друг другу.

8. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его …………..угла.

9. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, …………………к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

10. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-………………………

11. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда -……………………

12. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называются…………………..прямоугольного параллелепипеда.

13. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме …………….трех его измерений.

14. …………………прямоугольного параллелепипеда равны.

3. Изложение нового материала

Теорема (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной.
И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство:

Обратная теорема разбирается устно и предлагается учащимся записать ее доказательство самостоятельно дома.

4. Закрепление нового материала

Задача 1.

Из вершины А квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что ВС перпендикулярно КВ.

Доказательство:

Задача 2. (устно)

Из вершины В квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр ВМ к его плоскости. Докажите, что АС перпендикулярно МО (О - точка пересечения диагоналей).

Задача 3. (устно)

Из вершины А прямоугольника АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что треугольник КВС прямоугольный.

Доказательство:

Задача 4.

Из вершины прямоугольника АВСD восставлен перпендикуляр АК к его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин равны 6 см, 7 см, 9 см. Найдите длину перпендикуляра АК.

Решение:

Задача 5.

Решение:

5. Резерв

Кроссворд.

По горизонтали:

1. Значение переменной при решение уравнений.
2. Прямые, которые пересекаются под прямым углом.
3. Какой знак нужно поставить между числами 5,3 и 5,65 ?
4. Основное геометрическое понятие стереометрии.
5. Равенство, содержащее переменную.

По вертикали:

6. Сколько способов задания плоскости?
7. Математическое предложение, не требующее доказательства.
8. Математическое предложение, требующее доказательства.
9. Древнегреческий ученый - математик.

Ответы: 1) корень; 2) перпендикулярные; 3) меньше; 4) прямая; 5) уравнение; 6) четыре; 7) аксиома; 8) теорема; 9) Пифагор.

6. Домашнее задание

ме "Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве".

Предмет: ГЕОМЕТРИЯ

Цели:

• учебные: контроль знаний и умений учащихся по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве",

• развивающие: развитие пространственного воображения, вычислительных навыков, логического мышления,

• воспитательные: воспитание культуры поведения, коммуникативных свойств личности, навыков контроля и самоконтроля.

Основные блоки урока.

Технологическая карта учителя.

Тема: ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ

"Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве".

Предмет: Геометрия

Содержание тестов, тексты задач

1.Входной тест.

Заполните пропуски.

15. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она …………………….к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

16. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они ………………………

17. Если прямая перпендикулярна к двум……………. прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

18. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой………….., проведенной из этой же точки к этой плоскости.

19. Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется ………….. от точки до плоскости.

20. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее ……………….., перпендикулярна и самой наклонной.

21. Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является ……………..

22. Все линейные углы……………….угла равны друг другу.

23. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его …………..угла.

24. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, …………………к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

25. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-………………………

26. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда -……………………

27. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называются…………………..прямоугольного параллелепипеда.

28. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме …………….трех его измерений.

29. …………………прямоугольного параллелепипеда равны.

2. Задачи

( условие задач на печатной основе, количество вариантов на усмотрение учителя, см. рисунок 1).

1. Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 5 см и наклонная длиной х см, угол между наклонной и ее проекцией на плоскость 30°. Найдите длину наклонной.

2. Из точки к плоскости проведен перпендикуляр длиной 6см и две равные наклонные длиной 10 см. Угол между проекциями равен 90°. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

3. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см, угол между диагональю и высотой 45°. Найдите высоту прямоугольного параллелепипеда.

4. Двугранный угол равен 90°. На разных гранях двугранного угла выбраны точки, удаленные от ребра угла на расстоянии 12 и 9 см. Найдите расстояние между этими точками.

5. Из точки к плоскости равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковыми сторонами 13 см через вершину треугольника проведен перпендикуляр длиной 2 см.

Найдите расстояние от точки до основания треугольника.

3. Итоговый тест.

1.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые:

а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают.

2. Какое из следующих утверждений неверно:

а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости, б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает, в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны, г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны, д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

3.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ.

4. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости , прямая а перпендикулярна к плоскости . Каково взаимное расположение прямых с и в?

а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают, д) определить нельзя.

5.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:

а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости, в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г.

6.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ АВ, ВЕ ВС. Тогда прямая и плоскость ВСЕ:

а) параллельны, б) перпендикулярны, в) скрещиваются, г) прямая лежит в плоскости, д) перпендикулярны, но не пересекаются.

7.Какое из следующих утверждений неверно?

а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины, б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая, в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин, г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции, д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

8.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно?

а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны, б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны, в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны, г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны.

9.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно?

а) плоскости пересекаются, б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости, в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости, г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости, д) плоскости не перпендикулярны.

10.Какое из следующих утверждений верно?

а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°, б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны, г) угол между плоскостями всегда тупой, д) все линейные углы двугранного угла различны.

11.Какое из следующих утверждений верно?

а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы, б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые, в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом, г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений, д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию.

12.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются:

а) высотами прямоугольного параллелепипеда, б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда, в) измерениями прямоугольного параллелепипеда, г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.

4.Экзаменационные задачи.

(Примерные задачи из экзаменационных билетов по геометрии за курс среднего (полного) общего образования).

1.Стороны основания прямоугольного параллелепипеда АВСD А₁В₁С₁D₁ равны 6см и 8 см, а угол между диагональю АС₁ параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Найдите длину СС₁ (Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр и наклонная).

Указания к решению:

1.Из треугольника АВС найдите длину АС.

2.Треугольник АСС₁ -………….

3.Из треугольника АСС₁ найдите длину СС_1.

2.Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда АВСD А₁В₁С₁D₁ равно 6 см, сторона основания равна 6см. Найдите угол между прямыми АВ₁ и СD₁. (Угол между скрещивающимися прямыми)

Указания к решению:

1. Угол между прямыми АВ₁ и С D₁ - это угол между прямыми АВ₁ и ВА₁.

2. Из треугольника АВА₁ найдите ВА₁.

3. По свойству диагоналей прямоугольника АВВ₁А₁ длина АО (О - точка пересечения диагоналей прямоугольника) равна………………………………..

4. В треугольнике АВО длины АВ, ВО и АО ………………………
   Значит треугольник-………………………………………………..

5. Углы треугольника АВО равны … градусов.

6. Угол АОВ равен………………….., значит, угол АОА₁ равен……………..

4. Оценочный лист учащегося.

Фамилия:

5. Шкала баллов и оценок.