ГБУ КО ПОО « ОЗЁРСКИЙ ТЕХНИКУМ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА»

МАТЕМАТИКА

справочное пособие для студентов 2 курса

специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»

Озерск

2015г.

Методическое пособие одобрено цикловой комиссией математических и естественнонаучных дисциплин Озерского техникума природообустройства.

Составила Белякова Л.И., преподаватель математики Озерского техникума природообустройства.

Рассмотрено на заседании ПЦК

Протокол №___ от «___»_______ 20___г.

Председатель ПЦК _____________ М.С. Леончук

Введение.

Справочное пособие составлено на основе программы учебной дисциплины «Математика». Справочник формул окажет помощь студентам второго курса в организации работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы по математике.

При пользовании справочным пособием, студентам необходимо обратить внимание на то, что основные понятия и определения, формулы расположены в порядке изучения дисциплины «Математика» на втором курсе.

Данное справочное пособие не заменяет учебника, но помогает в освоении теоретических знаний и практических навыков при изучении дисциплины «Математика».

Предел функции

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Предел функции (предельное значение функции) - одно из основных понятий математического анализа, значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Определения

Рассмотрим функцию , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любойg последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов, последовательность значений функции сходится к .

Предел функции по Коши.

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции и .

• Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

• Предел суммы равен сумме пределов:

• Предел разности равен разности пределов:

• Предел произведения равен произведению пределов:

• Предел частного равен частному пределов.

Некоторые замечательные пределы.

Непрерывность функции.

функция f непрерывна в точке x₀, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x₀, и этот предел совпадает со значением функции f(x₀).

Производная функции.

Производной функции y = f ( x ) в точке x₀ называется предел:

Если этот предел существует, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x₀. Производная функции f(x) обозначается так:

Основные свойства производных и дифференциалов

Если u ( x ) ≡ const , то

u' ( x ) ≡ 0 , du ≡ 0.

Если u ( x ) и v ( x ) - дифференцируемые функции в точке x₀ , то:

( c u )' = c u' , d ( c u ) = c du , ( c - const );

( u ± v )' = u' ± v' , d ( u ± v ) = du ± dv ;

( u v )' = u' v + u v' , d ( u v ) = v du + u dv ;

Производная сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию, аргумент которой также является функцией:

h ( x ) = g ( f ( x ) ).

Если функция f имеет производную в точке x₀, а функция g имеет производную в точке f ( x₀ ), то сложная функция h также имеет производную в точке x₀ , вычисляемую по формуле:

h' ( x₀ ) = g' ( f ( x₀ ) ) · f' ( x₀ ) .

Исследование функции с помощью производной.

План исследования функции.

Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения и область значений функции,

2) установить, является ли функция чётной или нечётной,

3) определить, является ли функция периодической или нет,

4) найти нули функции, и её значения при x = 0,

5) найти интервалы знакопостоянства,

6) найти интервалы монотонности,

7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

8) проанализировать поведение функции вблизи "особых" точек и при больших значениях модуля x .

Производные основных элементарных функций

Неопределенный интеграл.

Неопределенный интеграл для функции - это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и - ее первообразная, то есть при , то

,

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Таблица основных неопределенных интегралов

Методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

то

где - непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

то

3. Метод подстановки. Если - непрерывна, то, полагая

где непрерывна вместе со своей производной , получим

4. Метод интегрирования по частям. Если и - некоторые дифференцируемые функции от , то

Определённый интеграл

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Площадь криволинейной трапеции

x=a

y

x

y=f(x)

x=b

y=0

x₁

y

x

y=g(x)

y=f(x)

x₂

Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм - интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция - положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на большую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

Где

Учитывая априорно большую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Метод парабол (метод Симпсона).

Используя три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

.

МАТЕМАТИКА

справочное пособие для студентов 2 курса

специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»

Составитель Л.И. Белякова

Озерский техникум природообустройства

238120, Калининградская область, г. Озерск, ул. Пограничная 23