Урок по геометрии в 8 классе

Составитель:

учитель математики

Кидалова Лариса Леонидовна

Тема: «Теорема Пифагора».

Цель урока: познакомиться с некоторыми доказательствами теоремы Пифагора.

Задача обучения: вывести соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, научиться применять и его при решении задач, формировать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.

Задача развития: развитие математической речи, логического мышления, пространственного воображения, творческих способностей учащихся, навыков построения чертежей по условиям задач и доказательства различных утверждений.

Задача воспитания: воспитание аккуратности, трудолюбия, самостоятельности, НОТ ученика.

Оборудование: раздаточный материал на карточках, линейка, компьютер, портрет Пифагора, выставка творческих работ учащихся.

Наглядно иллюстративный материал

а²

+

в²

с²

Заполните пустые ячейки таблицы:

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Надпись:

Пифагор

VI век до н. э.

(около 570-около500г.г. до н. э.)

Портрет Пифагора

Ход урока.

Предполагаемая деятельность учителя

Предполагаемая деятельность учащихся

1.

Организационный момент

На предыдущих уроках всем было дано творческое задание. Я благодарю тех, кто принял участие. На стенде вы можете познакомиться с лучшими творческими работами учащихся. В них можно увидеть как из треугольников и изученных нами четырехугольников можно составить различные многоугольники или фигуры. Все они получают за свои работы оценку «5».

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим сегодня замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора. Она является важнейшей теоремой геометрии.

2.

Открыли тетради, записали число и тему урока «Теорема Пифагора».

3.

Повторение.

Итак, теорема Пифагора связана с прямоугольным треугольником.

Какой треугольник называется прямоугольным? (на доске появляется карточка-треугольник).

Треугольник, у которого один угол прямой, а два острых называется прямоугольным.

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Обычно стороны треугольника обозначают малыми буквами противолежащих углов:

а, в - катеты; с - гипотенуза.

АВ - гипотенуза, лежащая напротив прямого угла.

АС и ВС - катеты, образующие прямой угол.

Какие свойства прямоугольного треугольника вы знаете?

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

Чему равны углы равнобедренного прямоугольного треугольника?

45⁰, т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰ и они равны.

Катет, лежащий напротив угла в 30⁰ равен половине гипотенузы (гипотенуза равна двум катетам).

4.

Практическая работа.

Следующим этапом нашего урока - практическая работа. Иван работает у доски, остальные - на местах.

У каждого из вас на столе лежит квадрат, сторона которого равна с.

Чему равна площадь данного квадрата?

ед².

Данный квадрат разделен на части. Две из них представляют прямоугольные треугольники с катетами а и в и гипотенузой с. Разрежьте данный квадрат на три части. Составьте новую фигуру так, чтобы разрезанные части совмещались по стороне с.

Какую фигуру мы получили?

Изменилась ли площадь полученной фигуры?

Какова зависимость между площадями большого квадрата и двух маленьких?

Чему равна площадь каждого из квадратов?

Заменим в данном равенстве площади квадратов, выраженных через их стороны.

Сформулируйте полученное утверждение, если с - гипотенуза, а а и в - катеты прямоугольного треугольника.

Проделав практическую работу: составление новой фигуры путем разрезания на части, мы установили замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, которое доказал вVI веке до н.э. древнегреческий ученый Пифагор. Это утверждение было названо в его честь: теорема Пифагора. В науке данное доказательство теоремы получило название - «шарнирное».

Запишем в тетрадь:

Теорема: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Фигуру, состоящую из двух квадратов со сторонами а и в.

Нет.

с²=а²+в²

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

5.

Историческая справка.

Эта теорема связана с именем древнегреческого ученого VI в. до н. э.

Послушаем сообщение об этом ученом. Внимание на монитор компьютера.

Презентация «Интересные страницы из жизни Пифагора».

6.

Доказательство теоремы.

Мы доказали теорему опытным путем, а сейчас докажем ее аналитически.

Внимание на монитор.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а и в и гипотенузой с.

Докажем, что с²=а²+в²

• Достроим треугольник до квадрата.

• Чему равна сторона нового квадрата?

• Чему равна площадь данного квадрата?

• Из каких фигур состоит этот квадрат?

• Докажите, что данные треугольники равны.

• Докажите, что данный четырехугольник является квадратом. Какой четырехугольник называется квадратом?

• Что для этого нужно доказать?

• Докажите, что все стороны равны.

• Докажите, что все углы равны по 90⁰.

• Выразите площадь нового квадрата через площади получившихся фигур.

• Чему равна площадь одного прямоугольного треугольника?

• А четырех?

• Чему равна площадь данного квадрата?

• Выразим площадь нового квадрата через площади получившихся фигур.

• Сравним равенства (2) и (7).

• Преобразуем полученное равенство, используя формулу сокращенного умножения.

• Упростим полученное выражение.

• Что и требовалось доказать!

• Еще раз сформулируйте полученное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

• Сформулируйте обратное утверждение.

1. а+в

2. S=(а+в)²

Четырех прямоугольных треугольников и одного квадрата со стороной с.

Треугольники равны по двум катетам (по построению).

Квадрат - это ромб, у которого все углы прямые.

Все стороны равны, а углы по 90⁰.

Все стороны равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников.

3. S = 4S_тр.+S_кв.

4. S = 1/2 (ав)

5. S = ав

6. S_кв.=c²

7. S=2ав+с²

8. (а+в)²=2ав+с²

9. а²+2ав+в²=2ав+с²

10. а²+в²=с²

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если в треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то треугольник будет прямоугольным.

7.

Работа с компьютером.

Расмотрим еще одно доказательство теоремы. Я думаю вы нераз слышали такое высказывание о теореме Пифагора: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Что же оно значит? (работаем с компьютером - презентация).

Дан прямоугольный треугольник, катеты которых равны 3 и 4, а гипотенуза 5 единицам. Возьмем квадрат со стороной 1 единица и составим из него квадраты состоронами 3; 4 и 5 единиц. Построим данные квадраты на сторонах треугольника. Докажем, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Для этого уместим средний квадрат в большом, а малый разгруппируем и по одной единице разместим в оставшейся части большего квадрата. Итак два малых квадрата уместились полностью в большем квадрате, значит площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей двух квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника. Так изначально рассматривалась известная теперь как теорема Пифагора. Попробуйте сформулировать это утверждение.

Отсюда и изречение: «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей двух квадратов, построенных на катетах.

8.

Историческая справка.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытныым путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим сведениям - сто быков. На протяжении последующих веков были найдены различные доказательства теоремы Пифагора.

В настоящее время их насчитывается более 150. многие известные мыслители и писатели прошлого обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои строки.

Работая над творческим заданием, Саша Демина, разыскивая интересный материал из жизни Пифагора нашла строки, посвященные теореме Пифагора. Сейчас она нам их прочитает.

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим -

И таким простым путем

К результату мы придем.

И.Дырченко

Теорема Пифагора - одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. В нашем курсе она будет служить основой многих дальнейших выводов. Поэтому ее твердо нужно усвоить!

9.

Домашнее задание:

• Востановить доказательство теоремы в тетради по памяти или обратившись к учебнику на стр. 130.

• Творческое задание: найти другие способы доказательства теоремы или попробовать доказать самим. Вы можете обратиться к научной литератеру или поработать в интернете. Можно найти строки или высказывания, посвященные теореме Пифагора известных мыслителей и философов или сочините свои стихи

10.

Закрепление.

Дан прямоугольный треугольник с катетами а и в и гипотенузой с.

• а=3; в=4; с=?

• а=8; с=10; в=?

• в=1; с=2; а=?

• Является ли треугольник прямоугольным, если его стороны равны 5; 12; 13? 1; 1; 2?

• Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 2 см.

Назовите формулу для вычисления площади данного квадрата.

S = x² ед²

По теореме Пифагора: х²+х²=2²; 2х²=4; х²=2; S=2ед²

11.

Самостоятельная работа (по карточкам).

Дан прямоугольный треугольник с катетами а и в и гипотенузой с. заполните пустые ячейки таблицы.

Заполните пустые ячейки таблицы:

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Прежде чем заполнять пустые клетки таблицы, давайте вспомним, как можно найти периметр и площадь прямоугольного треугольника.

Периметр треугольника равен сумме всех сторон.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

12.

Проверка результатов самостоятельной работы, обсуждение ошибок или невыполненного задания.

1. с²=3²+4²=25; с=5 P=3+4+5=12 S=

2. S=; 24=; в=6; с²=8²+6²=100; с=10; Р=6+8+10=24

13²=12²+а²; а=5 Р=5+12+13=30 S=

13.

Итог урока:

На сегодняшнем уроке мы познакомились с тремя доказательствами теоремы Пифагора; вывели соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника; научились применять его при решении задач; учились анализировать, обобщать, доказывать различные утверждения.

Оценки за урок:

Всем спасибо. Урок закончен.

Приложение

Заполните пустые клетки таблицы

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Заполните пустые клетки таблицы

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Заполните пустые клетки таблицы

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Заполните пустые клетки таблицы

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Заполните пустые клетки таблицы

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Заполните пустые клетки таблицы

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Заполните пустые клетки таблицы

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Заполните пустые клетки таблицы

а

в

с

Р

S

3

4

8

24

12

13

Задача индийского математика XII века Бхаскары

"На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?"

Задача из китайской
"Математики в девяти книгах"

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Задача из учебника "Арифметика"
Леонтия Магницкого

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

10