Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:


Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Луганской Народной республики

«Луганский строительный колледж»








МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ

по дисциплине «Высшая математика»

специальность 5.03060101

«Организация производства»


на тему: Асимптоты графика функции. Нахождение асимптот






Разработал:

преподаватель - методист

Еськова Л.В.



2015

Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии естественно - математических дисциплин

Протокол от «____»___________2015 г.

№__________

Председатель цикловой комиссии

_____________ Л.Г.Поддубная










Тема: Асимптоти графіка функції. Знаходження асимптот.


Вид заняття: лекція з практичним закріпленням матеріалу.

Мета: Засвоєння студентами поняття асимптоти графіка функції, вміння знаходити асимптоти графіків функції.

Узагальнити та систематизувати знання знаходження границь функції.

Формувати творчій підхід до вирішення питань, культуру письма та креслення.

Вчити аналізувати, узагальнювати матеріал.

СТРУКТУРА ЗАНЯТТЯ

  1. Організаційна частина.

  2. Повідомлення теми, мети та основних завдань.

  3. Мотивація навчальної діяльності.

  4. Актуалізація опорних знань студентів.

  5. Викладення нового матеріалу.

5.1. Асимптоти графіків функції.

  1. Означення асимптоти.

  2. Види асимптот.

  3. Застосування програмного забезпечення

Advanced Grapher до побудови асимптот графіка функції.

  1. Знаходження асимптот графіка функції.

5.2 Розв'язування прикладів.

  1. Підведення підсумків заняття.

  2. Завдання для самостійної роботи.

Література:

  1. В.П. Лавренчук, Т.І. Готинчан, В.С Дронь, О.С. Кондур Вища математика. Курс лекцій у трьох частинах. Частина 1. Лінійна алгебра, аналітична геометрія, математичний аналіз: Навчальний посібник. - Чернівці: Рута, 2007. - 440 с.

  2. Крамар М.М., Швед О.П. Вища математика (конспект лекцій, частина І).-Луганськ: Вид-во НЦППРК «Ноулідж», 2008

  3. Соколенко О.І.Вища математика : Підручник. - К.: Видавничий центр "Академія", 2003. - 432 с. (Альма-матер)

  4. Крамар М.М., Швед О.П. Вища математика (конспект лекцій, частина І). - Луганськ: Вид-во НЦППРК «Ноулідж», 2008.


Зміст заняття


  1. Організаційна частина.

Привітання, позначення відсутніх.


  1. Повідомлення теми, мети та основних завдань.

Тема сьогоднішнього заняття «Асимптоти графіків функції. Знаходження асимптот». Метою нашого заняття є засвоєння поняття асимптоти графіка функції, видів асимптот, напрацювання вміння знаходити асимптоти графіків функції, повторення матеріалу, який ви вивчали протягом модуля, вдосконалення навичок знаходження границь функції.


  1. Мотивація навчальної діяльності.

Поняття границі та правила диференціювання, які ми вивчали протягом останніх занять мають бути застосовані нами в подальшому вивченні матеріалу, при дослідженні функції та побудові графіків. Раніше Ви вже зустрічались з поняттям асимптоти графіків функції, але як знаходити рівняння асимптоти і які існують види асимптот, вам було не відомо. Сьогодні мі розширюємо знання з цієї теми и застосування їх до розв'язування задач.


  1. Актуалізація опорних знань студентів.

Для вивчення нового матеріалу нам необхідно згадати означення границі і теореми про границі функції, а також пригадати чудові границі.

ОЗН. Число А називають границею функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика при Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, якщо вона визначена у деякому околі точки Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, крім можливо самої точки Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, і для будь - якого Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаможна знайти таке Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, що для всіх х, що задовольняють нерівності Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, (1)

функція Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика задовольняє нерівність Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. (2)

Це записують таким чином:

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика(3)

Умова Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика означає, що Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Теорема 1. Якщо для функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика існує границя приМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, то вона єдина.

Теорема 2. Нехай Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикафункції, для яких існують границі приМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаі Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика , Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, тоді

  1. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) границь цих функцій:

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

  1. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій:

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

  1. Границя частки двох функцій дорівнює частки границь цих функцій, при умові, що : Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

  1. Сталий множник можна виносити за знак границі:

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Дві важливі границі.

Перша важлива границя

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика; Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика; Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика; Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика; Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Друга важлива границя

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

  1. Викладення нового матеріалу.

5.1. Асимптоти графіків функції.

5.1.1.Означення асимптоти.

При дослідженні функції при Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, або в околі точок розриву другого роду, часто виявляється, що графік функції скільки завгодно близько наближається до тієї або іншої прямої. Такі прямі називаються асимптотами графіка функції. Якщо графік функціїМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика має нескінченну гілку, то графік функції можливо має асимптоти. Асимптоти - це прямі, до яких необмежено наближається крива графіка функції при прагненні аргументу функції до безкінечності. Перш ніж приступити до побудови графіка функції, потрібно знайти всі вертикальні і похилі (горизонтальні) асимптоти, якщо вони існують.

ВМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаизначення. Пряма L називається асимптотою графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, якщо відстань d від змінної точки Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаграфіка до прямої прямує до нуля при прямуванні точки М по кривій у нескінченність.

Визначення. Пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика називається асимптотою графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика при Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, якщо Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

  1. Види асимптот.

ІМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаснує три види асимптот: вертикальні, горизонтальні та похилі.

1. Вертикальна асимптота Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика .

Визначення. Пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математиканазивається вертикальною асимптотою графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика , якщо хоча б єдина з границь Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика (границя справа) або Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика(границя зліва) дорівнює Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика або Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, т. т. Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаОчевидно, пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика не може бути вертикальною асимптотою, якщо функція Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика неперервна в точці Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, тому що в цьому випадку Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Отже, вертикальні асимптоти Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика варто шукати у точках розриву функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика або на кінцях її області визначення Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, якщоМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика і Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика- скінченні числа.

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

2. Горизонтальна асимптота Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Визначення. Пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика називається горизонтальною асимптотою графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, якщо існують кінцеві границі Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика або Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Якщо скінчена тільки одна з границь Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика або Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, то функція має лише одну правобічнуМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика або лівобічну Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика горизонтальну асимптоту. ЯкщоМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика=Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика =Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, то говорять просто про горизонтальну асимптоту. У тому у випадку, коли Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, то функція не має відповідної горизонтальної асимптоти, але може мати похилу.

3.Похила асимптота Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

ВМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаизначення. Пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика називається похилою асимптотою графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, якщо функція визначена при достатньо великих Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика існують кінцеві границі Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Якщо, хоча б одна з границь не існує або нескінченна, то графік досліджуваної функції не має відповідної похилої асимптоти.


  1. Застосування програмного забезпечення Advanced Grapher до побудови асимптот графіка функції.

Advanced Grapher є потужним програмним графічним забезпеченням . Ви можете використовувати його для побудови графіків функцій, рівнянь, нерівностей та таблиць.

Програма також дозволяє виконувати побудову кривих, аналізувати функції, знаходити точки перетину графіків з осями координат, дотичні та нормалі графіків і багато іншого.

Ви можете вказати колір, стиль і ширину ліній, стиль і розмір точок, побудова по лініях та (або) точок, стиль затінювання (для нерівності) для кожного графіка. Ви також можете змінити додаткові властивості графів в залежності від типу графіка, наприклад, кількість точок, побудова інтервалів, сортування (для таблиць), і т.д. Програма має багатомовний інтерфейс.

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика


  1. Знаходження асимптот графіка функції.

Приклад № 1 . Знайти вертикальні та горизонтальні асимптоти графіка функціїМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Розв'язок.

Очевидно, що область визначення функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Вертикальні асимптоти Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика шукаємо у точках розриву функціїМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Таким чином, пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаможе бути вертикальною асимптотою даної функції. Обчислюємо границі

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаІз цього випливає, що пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика є вертикальною асимптотою графіка досліджуваної функції.

Знайдемо горизонтальну асимптоту Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Обчислюємо границі використовуючи правило Лопіталя.

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика =Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Тому, щоМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика=Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика =Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, то графік функції має тільки одну горизонтальну асимптоту. За допомогою програми Advanced Grapher легко побудувати графік функції та асимптоти.

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Приклад № 2. Знайти асимптоти графіка функціїМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Розв'язок.

Очевидно, що графік функції не має ні вертикальних асимптот

( немає точок розриву), ні горизонтальних асимптот (Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика).

Знайдемо похилу асимптоту. Обчислюємо границі Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Таким чином, права похила асимптота має вигляд Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Очевидно, що ліва похила асимптота буде мати ті ж значення, що й права, а це значить, що графік досліджуваної функції має одну похилу асимптоту.

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика


  1. Розв'язування прикладів.

Приклад № 1. Знайти асимптоти графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Рішення: Дослідимо функцію спочатку на наявність похилої асимптоти. Знайдемо Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика є похилою асимптотою графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикапри Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, а також пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика також є асимптотою графіка функції приМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Перевіримо наявність вертикальних асимптот.

Точка Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикає точка розриву функції. Знайдемо границю

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, тому пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика(вісьМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика) є вертикальною асимптотою.

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика




Приклад № 2. Знайти асимптоти графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Рішення: Знайдемо Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Підставляючи знайдені значення Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикав рівняння похилої асимптоти, отримаємо рівняння Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Точка Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикає точка розриву функції. Знайдемо границю Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, тому пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикає вертикальною асимптотою.

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Приклад № 3. Знайти асимптоти графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Рішення:

  1. Знайдемо Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Підставляючи знайдені значення Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикав рівняння похилої асимптоти, отримаємо рівняння Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Точка Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикає точка розриву функції.

Знайдемо границю Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика, тому пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикає вертикальною асимптотою.

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Приклад № 4. Знайти асимптоти графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Рішення:

  1. Знайдемо Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

  2. ЗнайдемоМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаТаким чином пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика є асимптотою графіка даної функції при Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика . Аналогічно пряма Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика також є асимптотою графіка даної функції при Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика .

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

Приклад № 5. Знайти асимптоти графіка функції Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Розглянемо точки Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика та Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика. Маємо Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

Тому прямі Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика та Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика є вертикальними асимптотами графіка даної функції. Знайдемо Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикатому вісь

Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математикаєМетодическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика

горизонтальною асимптотою.


  1. Підведення підсумків заняття.

Висновки: Отож, сьогодні ми ознайомились з означенням асимптоти графіка функції, видами асимптот.

Розглянули деякі приклади знаходження асимптот графіка функції.


  1. Завдання для самостійної роботи.

Опрацювати матеріал підручника Крамар М.М., Швед О.П. Вища математика 198-201 ст. Знайти асимптоти графіків функції:

1). Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика; 2). Методическая разработка занятия по дисциплине Высшая математика.

<[Введите текст]>


© 2010-2022