Методическая статья по математике

Ямковая Людмила Ивановна

учитель математики

Донецкой ОШ № 88

2015год

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО АКТИВИЗАЦИИ ТВОРЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ

Олимпиадные задачи - это особый вид математических задач, требующих не только творческих способностей школьника, но и знания классических олимпиадных идей. Для этого необходимо формировать опыт обращения с задачами, отличными от стереотипных упражнений.

Как построить работу над настоящей задачей, чему следует научиться в процессе этой задачи, и как оценить свои успехи, - эти вопросы возникают при решении творческих задач. Не всегда удается решить подобную задачу. Но важно научить ученика устанавливать интересные закономерности, обобщать новые факты, подходы к решению.

Каждая творческая задача должна нести новую математическую информацию, обогащать опыт учащихся новыми методами решения, развивать логическое мышление.

Рассмотрим приемы работы над творческой задачей по теме «Разложение многочленов на множители».

При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный алгебраический многочлен представить в виде произведения двух или более многочленов. Если многочлен не допускает разложение на множители над полем действительных чисел, то такой многочлен называется неприводимым. Разложение на множители считается законченным, все полученные множители неприводимы.

При разложении многочленов на множители применяются различные приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения и др.

Например:

1. ++-9

Сгруппируем слагаемые:

+-9++=(-1)+(-8)+(+)=(+-)+(-2)(++4)+ +(++4)=(++4)(-2+1)+(+-5)=(++4)(-1)+(-+-5)= =(++4)(а-1)+(а-1)(4а+5)=(а-1)(++4+4а+5)=(а-1)(+6а+9)=(а-1)* *(а+3).

Анализ решения:

• Группировка многочлена на три группы слагаемых.

• Разность кубов - главная группа; третью группу дополняем до неполного квадрата суммы.

• Первую группу дополняем противоположными к веденным слагаемыми.

• Неполный квадрат суммы вынести за скобки, а оставшуюся сумму разложили на множители.

• (а-1) вынесли за скобки.

• (+6а+9)=(а+3) представили на множители по формуле квадрата двучлена.

Итак, в данном примере сконцентрировались все стандартные приемы разложения на множители. Самый сложный и не имеющий общей схемы - это группировка слагаемых, требующая такой расстановки слагаемых, которая бы разрешила все последующие шаги.

Нередко случается, что первая попытка группировки оказывается неудачной. Тогда следует строить вторую схему, третью и т.д., до тех пор, пока представление слагаемых даст одинаковые множители.

Рассмотрим пример:

+-+-+-4авс=(-)+(-)+(- авс+)=4в(а-с)+ас(с-а)+2в(-2ас+)=4(а-с)-ас(а-с)+2в(а-с)=(а-с)(-+2в(а-с))=(а-с)(-ас+2ав-2вс)=(а-с)((+2ав)-(ас+2вс))=(а-с)(2в(2в+а)-))=(а-с)(2в+а)(2в-с).

Анализ решения

• Группировку строили по сходным признакам - общим множителям (метод проб и анализа ситуации, основанный на интуиции).

• Дальнейшее преобразование приводятся по общей схеме.

Рассмотрим примеры конкурсных задач по данной теме:

3. Разложить на множители:

x(-)+у(-)+z(-)=x-x+у-у+z-z=(x-у)+(у-

-z+z-x)=xy(y-x)+((у-x)+(z-z))=xy(y-x)+((y-x)+z(-)=

=xy(y-x)+(y-x)-z(y-x)(y+x)=(y-x)(xy+-zy-zx)=(y-x)((xy-zу)+(-zх))=

=(y-x)(у(x-z)-z(x-z))=(y-x)(x-z)(y-z).

4. (ОО) Если а+в+с=0, то . Доказать.

Пусть с = -а-в;

Имеем

Разложим знаменатели на множители: 1) ; 2) -2ав+ав-=2в(в-а)+а(в-а)=(в-а)(2в+а);

3) ()+()=2а(а+2в)+в(2в+а)=(2в+а)(2а+в);

Получаем выражение:

Преобразование числитель:

далее,

5. (РО) Разложить на множители:

=-(а+ас-2авс)+()+() =-а(-2вс+)+(в-с)+вс(с-в)=-а+

+(в-с)-вс(в-с)=(в- с)(-а (в-с)+ -вс)=(в-с)(-ав+ас+-вс)=(в-с)((ас+)-(ав+вс))=

=(в-с)(а(с+а)-в(а+с))=(в-с)(с+а)(а-в).

6. Упростить выражение:

Разложение числителя на множители способом группировки:

1-ый этап:

2-ой этап:

3-ий этап:

7. Доказать, что сумма дробей тождественно равна их произведению:

Преобразуем левую часть тождества:

;

Докажем, что числители равны:

Сложим выражения 1), 2), 3). В результате имеем:

Итак, числители равны, следовательно, и дроби равны.

8. (РО) Доказать, что многочлен делится на многочлен

Разложим многочлен на множители способом группировки:

Итак, = делится на

9. (РО) Доказать неравенство

≥16, a,b,c,d>0

Если а≥b, то a-b≥0

≥0 /abcd, abcd≠0

≥0

+ac+ab+abcd-16abcd≥0

-

-12abc≥0

Группируем:

≥0

т.к. a,b,c,d>0 условию, а квадрат разности есть число положительное.

10. (РО) Показать, что для любого целого n число делится на 96.

=8n(6n+6)=8n*6(n+1)=48n(n+1);

Т.к. n(n+1) - число четное, то данное число делится на 96.

Итак, работая с многочленами, мы решаем две основные задачи: раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых, т. е. упрощаем выражение; и обратную задачу - разложение на множители многочлена. После таких непростых преобразований у школьников сформируются стойкие учебные навыки представления многочлена на множители, используя формулы сокращённого умножения, вынесение общего множителя за скобки и группировку слагаемых.