Проект научно-исследовательской работы. Способы решения квадратных уравнений

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Проект научно - исследовательской работы

ОШ с. Колхозное

Тема: СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Работу выполнила : ученица 8 класса

Жихарева Елена

Руководитель: Суворов Александр Сергеевич

учитель математики

с. Колхозное - 2014г.

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность -

Квадратные уравнения представляют собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью нестандартных .способов.

В учебниках мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно - методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Выбор способа должен оставаться за учащимся. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Так как в некоторых случаях можно их решать устно, только для этого необходимо помнить алгоритм решения квадратных уравнений, который может пригодиться на экзамене ЕНТ , при поступлении в ВУЗы и различных жизненных ситуациях.

Таким образом возникает необходимость изучения этих дополнительных способов решения.

Цель -

Рассмотрение некоторых нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

Задачи -

1. Произвести анализ учебно - методической литературы по решению квадратных уравнений.

2. Произвести анализ различных способов решения квадратных уравнений.

3. Изучить различные способы решения квадратных уравнений и апробировать материал на практике.

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Жихарева Е.

[email protected]

8,основная школа с Колхозное, Осакаровского района

руководитель Суворов А.С.

Великий учёный Михаил Васильевич Ломоносов призывал:" Старайся дать уму как можно больше пищи..." К этому сегодня стремится каждый, кто хочет занять в современном обществе достойное место, кто хочет быть полезным обществу. Желание найти более простые способы решения квадратных уравнений, научиться решать более сложные задания, побудило меня искать ответы на вопросы. И вот получилась работа, которую предлагаю вашему вниманию и, которая будет полезна всем, кто интересуется вопросами математики.

Квадратные уравнения представляют собой большой и важный класс уравнений, решающих как с помощью формул, так и с помощью нестандартных способов .

В учебниках мы знакомимся с несколькими способами решения квадратных уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно - методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Целью моей работы есть рассмотрение некоторых нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.

В данной работе мною рассмотрены одиннадцать способов решения квадратных уравнений. Знание этих способов позволяет решать задачи , которые предлагаются на математических олимпиадах, в заданиях ЕНТ и в заданиях вступительных экзаменов в ВУЗы. Выбор способа должен оставаться за учащимся. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения.

Основная часть работы состоит из пяти разделов.

1. Определение квадратного уравнения.

2. Виды квадратных уравнений.

3. Способы решения неполных квадратных уравнений.

4. Способы решения полных квадратных уравнений.

5. Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Раздел I. Определение квадратного уравнения.

Уравнение вида

ax²+bx+c=0, (1)

где a, b, и с - любые действительные числа, причём а≠0, а х переменная, называется квадратным уравнением.

В уравнении (1) а называют первым или старшим коэффициентом, b - вторым или коэффициентом при x и с -свободным членом.

Пример: 5х²+7х+3=0 (а=5, b=7, c=3.)

8х-3х²+5=0 (а=-3, b=8, с=5.)

Квадратное уравнение также называют уравнением второго порядка, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Раздел II. Виды квадратных уравнений.

Если в уравнении (1) b≠0, c≠0, тогда его называют полным квадратным уравнением.

Так, например уравнения

-3+7х+8х²=0;

x² - 2x-1=0,

являются полными квадратными уравнениями.

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1;

х² + рх+q=0

- стандартный вид приведенного квадратного уравнения. Здесь p и q - заданные числа.

Квадратное уравнение называют неприведенным , если старший коэффициент отличен от 1.

Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, или оба одновременно равны нулю.

Неполные квадратные уравнения могут быть только трех следующих видов:

1. ах² + bx = 0, где с=0 .

2. ах² + с = 0, где b=0

3. ax² = 0, где b=0, c=0.

Раздел III. Способы решения неполных квадратных уравнений.

Рассмотрим способы нахождения корней каждого из этих уравнений:

1) ax²+bx=0(c=0).

x(ax+b)=0

x₁=0 ax+b=0

ax= - b

x₂ = -

Пример 1: Решим уравнение 5х²+4х=0.

Решение: Здесь а=5, b=4, c=0, .т.е свободный член квадратного уравнения равен нулю. Тогда данное уравнение имеет два корня: х₁=0 , х₂= .

2) ах² + с = 0, (b=0)

ax²= - c

x²= - , имеет решение только при c < 0 , a > 0 если a и c имеют разные

c > 0, a < 0 знаки, то уравнение имеет 2 корня.

x_1;2= ;

Пример 2:Решим уравнение -х² + 3=0.

Решение: Здесь а=-1, b=0,c=3. Коэффициенты а и с имеют разные знаки, поэтому уравнение имеет два корня, определяемые выше указанной формулой, т.е х₁= и х₂= .

3) ax² =0 (b=0, c=0)

имеет равные между собой два корня x₁=x₂=0.

Учащиеся могут решать квадратные уравнения не только указанными способами, но и разложением на множители по формуле разности квадратов.

а) x²-25=0 б) x² -13=0

(x-5)(x+5)=0 (x - ) (x+ )=0

в) (x-2)² -49=0 г) 9(2x+3)-25=0

(x-2-7) (x-2+7)=0 (3(2x+3 -5) (3(2x+3+5)=0

Применение этого способа позволит решать на раннем этапе уравнения вида в) и г). Заменяя совокупностью уравнений, которая равносильна данному уравнению.

Раздел IV. Способы решения полных квадратных уравнений.

Не зная формул квадратного уравнения, можно решать уравнения:

- разложением на множители способом группировки.

x²-10x-24=0

x²- 12x+2x -24=0

(x² +2x) +(-12x-24)=0

x(x+ 2) -12(x+2)=0

(x-12)(x+2)=0

Совокупность простых уравнений x-12=0 и x+2=0, равносильно данному уравнению, где х₁= 12 и х₂=-2 корни уравнения.

При замене второго слагаемого суммой обращаем внимание на то, что слагаемые должны иметь делители со свободным членом.

Выделение квадрата двучлена с разложением по формуле разности квадратов.

x² -8x-84=0

x² -8x +16-16-84=0

(x-4)² -100=0

(x-4-10) (x-4+10)=0

x₁=14 x₂= -6

Знакомство с этим способом способствует выработке математической зоркости, когда учащиеся находят среди уравнений те, которые решаются устно.

4x²+4x+1=0

(2x+1)²=0

x= -

Учащиеся 7 класса могут решать квадратные уравнения не только указанными способами, но и графически, так как они знакомы функцией вида y=ax²:

ax²+bx+c=0

ax² = - bx-c

Строим графики y=ax² и y= - bx - c.

Пример 3:

Абсциссы точек пересечения графиков и являются корнями данного уравнения.

Теперь выведем формулу для определения корней квадратного уравнения общего вида. Для этого выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене

ax²+bx+c=0. (1)

ax²+bx+c=0 / :a

x² + + = 0

x² +2 + + - = 0

= -

, Тогда квадратное уравнение (1) записывается в виде:

.

Уравнения (1)и (2) равносильны. Так как 4а² 0, то количество корней зависит от выражения числа D=b²-4ac. Итак, квадратное уравнение (1) записывается в виде:

(3)

а) Пусть D0, тогда из уравнения (3) имеем

.

Отсюда получим формулу:

x_1;2=; D=b²-4ac. (4)

Следовательно, в этом случае квадратное уравнение имеет два корня:

x₁=; D=b²-4aс ; x₂=; D=b²-4ac. (5)

Пример 4: Решим уравнение: 4х²-5х-21=0.

Решение: Так как a=4, b=-5, c=-21, то

D=(-5)²-44=25+336=3610(2 корня)

x_1;2== =

x₁=;

x₂= = .

б) Пусть D=0, тогда из уравнения получим , что x=. В этом случае считается , сто уравнение имеет два равных корня

x₁=x₂=.

Пример 5: Решим уравнение 0,5х² +6х-18=0.

D=36- 40,5(-18)=0=0( 1корень)

x₁=x₂== = - 6.

в) В случае, когда D0 квадратное уравнение корней не имеет.

Пример 6: 3x²-2x+7=0.

Так как D=4- 43=4- 84= -800( корней нет)

Теперь выведем формулу для корней квадратного уравнения, когда b- является чётным числом. Действительно, если b=2k, то формулу D=b²-4ac можно упростить, тогда D=(2k)²-4ac=4k²-4ас. Поэтому из формулы (4) имеем:

x_1;2== = =, т.е.

x_1;2= (6)

или

D^/= k²-ac, x_1;2=.

Пример 7: Решим уравнение 9х²-14х+5=0.

Решение: Так как b=-14=-27 тогда по формуле (6) имеем:

D^/= k²-ac=(-7)²-95=49-45=40( 2 корня)

x_1;2===;

х₁= =1

х₂==

Рассмотрим ещё один из способов решения квадратных уравнений.

Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Доказательство: Нам дано приведённое квадратное уравнение:

х² + рх+q=0.

Дискриминант этого уравнения D равен p²-4q. Пусть D0, тогда уравнение имеет два корня:

x₁=; и x₂=;.

Найдём сумму и произведение корней:

х₁ + х₂ = + = = -р

х₁ х₂ = = = = =q

Итак,

х₁ + х₂= - р и х₁ х₂= q.

Доказанная нами теорема называется теоремой Виета.

Справедливо также обратное утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема 2: Если u+v=-p, u v=q,то u и v являются корнями квадратного уравнения х² + рх+q=0.

Доказательство: Пусть u+v=-p, u v=q, тогда из уравнения х² + рх+q=0 имеем:

u²+pu+q=u² -u(u+v) +uv=u²-u²-uv +uv =0,

v²+pv+q=v² -v(u+v) +uv=v²-v²-uv +uv =0, т.е числа u и v являются корнями уравнения х² + рх+q=0.

Решение по теореме обратной теореме Виета позволяет использовать связь между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения.

Пример 8: Решим уравнение х²-5х+6=0.

Решение: Так как х₁+х₂= - р, а х₁х₂= q, то корни уравнения соответственно равны x₁= 2_, x₂ =3.

Теорема запоминается легко , если её выучить в стихотворной форме:

В приведённом уравнении

Будь ты школьник иль доцент,

Сложишь корни и получишь

С минусом второй коэффициент.

Для решений уравнений

Способ есть вполне пригодный.

Если корни ты умножишь,

То получишь член свободный.

Данный способ позволяет намного быстрее решить квадратное уравнение в устной форме.

Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней неприведённого квадратного уравнения

Пусть нам дано квадратное уравнение общего вида ax²+bx+c=0, где а0.

Корни уравнения ax²+bx+c=0, где а0, как известно вычисляются по формулам:

x₁=; и x₂=;

Найдём сумму и произведение х₁ и х₂.:

х₁ + х₂ = + ==,

a х₁ х₂ = = = = .

Итак, х₁ + х₂ = и х₁ х₂ = .

В общем случае уравнение общего вида ax²+bx+c=0, где а0 равносильно приведённому квадратному уравнению x² + x + = 0.

Формула о связи корней и коэффициентов неприведённого квадратного уравнения запоминается надолго, если её выучить в стихотворной форме:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова:

В числителе с в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь -эта,

Что за беда-

В числителе b в знаменателе а.

Теперь рассмотрим случай, когда a b + c =0. Мало кому известно такое свойство коэффициентов квадратного уравнения.

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c=0 (а0) коэффициенты удовлетворяют условию a+b+c=0 , то числа x₁ = 1 и x₂ = являются корнями этого уравнения.

Если же для квадратного уравнения верно равенство a - b + c = 0, то числа x₁ = -1 и x₂ = являются корнями этого уравнения.

Пример 9: Решим уравнение "по коэффициентам" 7х²-13х+6=0.

Решение: Если a - b+c=0, то из этого следует, что 7-13+6=0 х₁=1; х₂=

Пример 10: Решим уравнение 12х²-7х-5=0.

Решение: 12-7-5=0х₁=1; х₂= .

Данное свойство коэффициентов легко будет запомнить, если выучить его в стихотворной форме:

"а" плюс, минус "b" плюс "с"

Приравнялись вдруг к нулю.

Вот такие уравнения

Я решать очень люблю.

Единицу запишу,

А потом деление.

Букву "с" делю на "а" вот и всё решение.

Рассмотрим следующий способ решения квадратных уравнений - метод "переброски" . Данный метод предназначен для устного решения квадратных уравнений. С помощью метода "переброски" мы можем заменить уравнение вида ax² + bx + c=0 (а0) **, уравнением y² +by+ac=0***,что значительно упрощает решение. Чтобы найти x₁ и x₂ достаточно знать, что х₁= и x₂ = , где и корни уравнения ***.

Покажем справедливость этого решения, сформулировав предложение. Если y₁ и y₂корни уравнения y² +by+ac=0, то и = являются корнями уравнения ax² + bx + c=0.

Обоснуем это предложение, подставив х₁= и x₂ = в уравнение**:

a + b +c=0, получим верное равенство

y² +by+ac=0.

Пример 11: Решим уравнение методом "переброски" 6х²-7х-3=0.

Решение: Выполним "переброску" и решим новое уравнение с помощью теоремы обратной теореме Виета.

y²-7y-18=0

y₁=9

y₂=-2

Теперь вернёмся к переменной х . Для этого разделим полученные результаты у₁ и у₂ на первый коэффициент уравнения, т.е. на 6.Получим:

х₁=1,5 , х₂=- .

Метод "переброски" легко будет запомнить, если выучить его в стихотворной форме:

Полезен "переброски" метод

В квадратном уравнении.

Запомни метод этот

Получишь облегчение.

Свободный член умножь на "а"

Вот уравнение приведённое,

А приведённое решить

Ведь дело не мудрённое.

А, чтоб уравнения данного

Корни получить,

Ты должен корни приведённого

На букву "а" вновь разделить!

Раздел V .Решение уравнений приводящихся к решению квадратных уравнений.

Теперь рассмотрим уравнения, приводящиеся к решению квадратных уравнений. Одним из таких видов уравнений является биквадратное уравнение.

Уравнение вида

ax⁴ + bx² + c=0 (а0),*

называется биквадратным уравнением.

Пример 12: Решим уравнение х⁴ +8х² -9 =0.

Введём обозначение х²=z. Подставив в уравнение *, получим квадратное уравнение: z² +8z- 9=0.

Решив квадратное уравнение получим

z₁ =-9, z₂= 1.

Для нахождения значения x возвращаемся в равенство х²=z и вместо z подставим его значения. Тогда получим уравнения

х²=z₁ и х²=z₂ т.е

х²= -9 и х²=1

Уравнение х²= -9 корней не имеет, а уравнение х²=1 имеет два корня:

х₁=1 и х₂=- 1.

Из рассмотренного примера видно, что для приведения исходного уравнения четвёртой степени к квадратному ввели другую переменную - z. Такой метод решения уравнений называют методом введения новой переменной.

Из решения примера видно, что для решений уравнений приводящихся к решению квадратных уравнений методом введения новой переменной, нужно использовать следующий алгоритм:

1.Введём в уравнение новую переменную путём обозначения какого-то выражения из этого уравнения;

2.Вместо этого выражения подставляем новую переменную и получим квадратное уравнение относительно новой переменной;

3.Решаем полученное квадратное уравнение изученными ранее способами;

4.Способом подстановки находим значение исходной переменной;

5.Выполняем проверку корней данного уравнения.

Решение не только биквадратных , но и некоторых других видов уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Рассмотрим следующий пример.

Решим уравнение x² +2x = - 5.

Решение: Введём новую переменную y= x² +2x.

Подставляя новую переменную у вместо выражения x² +2x в исходное уравнение, имеем: у =-5. Это уравнение сводится к квадратному уравнению:y²+5y-6=0. Полученное квадратное уравнение решаем известными нам способами и находим его корни. Корнями уравнения будут числа у₁=-6 и у₂=1.

Полученные корни квадратного уравнения подставляем, используя алгоритм и получаем два уравнения:

x² +2x=-6 и x² +2x=1

Уравнение x² + 2x = -6 корней не имеет так как D < 0. А уравнение x² +2x=1 имеет два корня х_1;2= -1 .

Ответ: х_1;2= -1 .

Заключение.

В итоге, выполнив, работу я пришла к выводу, что приступая к решению любого квадратного уравнения, следует не спешить приступать к вычислению дискриминанта и применению формул корней квадратного уравнения, а сначала нужно проверить какой из способов решения квадратных уравнений будет рациональным и применить алгоритм.

Рассмотренные в моей работе способы решения квадратных уравнений были апробированы всеми учениками моего класса. Замечу , что ими овладели все одноклассники кто лучше, а кто хуже, но я знаю точно, что польза от того, что мы их знаем есть, хотя бы потому что мы выигрываем во времени.

Я считаю, что материалы, рассмотренные в моей работе, могут быть, полезны всем, кто любит математику и находится в поиске рациональных способов решения квадратных уравнений.

Список используемых источников

1.Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. шк../А.Н.Шыныбеков/ 3-е изд.- Алматы:Атамұра ,2012.-288с.

2.Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. шк./А. Абылкасымова,И.Бекбоев,А.Абдиев, З.Жумагулова. -Алматы: Изд-во "Мектеп",2008.-144с.

3.Алгебра: Учебник для 8 кл. общеобразовательной школы/Ю.Н Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков.-2-е издание - Алматы : Просвещение-Казахстан, 2004.-200с.

4.Бекаревич А.Б. Уравнения в школьном курсе математики. - М., 1968.- 196 с.

5.Научно - методический журнал "Математика и физика в школах Казахстана".№5 2011г.стр 2.

6. Научно - методический журнал "Математика и физика в школах Казахстана".№6 2011г.стр 2.