Обучение школьников доказательству при изучении первого раздела геометрии

Обучение школьников доказательству при изучении первого раздела геометрии

Введение

В настоящее время установки в системе образования предполагают направленность обучения на развитие личности, ее логического мышления, чему способствует обучение доказательству. Каждому человеку в жизни необходимо уметь доказывать, отстаивать свою точку зрения.

О Ньютоне рассказывают, что, будучи студентом, он начал изучение геометрии, как было принято в то время, с чтения «Геометрии Евклида». Знакомясь с формулировками теорем, он видел, что они справедливы, и не изучал их доказательства. Его удивляло, что люди затрачивают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное. Позднее Ньютон изменил свое мнение о необходимости доказательства в математике и других науках и очень хвалил Евклида за прочность и строгость его доказательств.

Проблема обучения учащихся доказательству при изучении первого раздела геометрии всегда являлась одной из центральных в методике преподавания математики. В настоящее время ее актуальность возросла. Дело в том, что осуществляемый процесс гуманизации образования предполагает направленность обучения на развитие личности, в частности на формирование нравственности, чему способствует обучение доказательству. Другими словами, обучение доказательству должно быть одной из целей математического образования и являться составляющей основы конструирования содержания обучения математике в средней школе.

Цель исследования заключается в исследовании методики обучения школьников доказательству при изучении первого раздела геометрии.

Для достижения цели потребовалось решить следующие задачи:

1. Проанализировать научную и учебную литературу по теме исследования.

2. Выявить цели и содержание обучения учащихся математическим доказательствам.

3. Охарактеризовать основы обучения учащихся математическим доказательствам.

1. Понятие «доказательство»

С незапамятных времен математические рассуждения считаются общепринятым эталоном доказательности. Изучение доказательства на конкретных его образцах интересно и полезно. Но также необходимо знакомство с основами логической теории доказательства, которая говорит о доказательствах безотносительно к области их применения.

Что же такое доказательство?

Вообще доказательство является объектом логики и описывается как процедура обоснования некоторого утверждения путем приведения тех истинных утверждений, из которых оно логически следует.

Одна из основных задач логики состоит в придании точного значения понятию доказательства. Понятие доказательства, - пишет логик и математик В. А. Успенский, - во всей его полноте принадлежит математике не более чем психологии: ведь доказательство - это простое рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы готовы убеждать других».

Определение доказательства включает два центральных понятия логики: истины и логического следования. Они не являются в достаточной мере ясными, и, значит, определяемое через них понятие доказательства также не может быть отнесено к ясным. Так, например, единого понятия логического следования не существует. Это понятие определяется через закон логики: из утверждений (или системы утверждений) А следует утверждение. В том случае, когда выражение «если А, то В» представляет собой закон логики. Это определение - только общая схема бесконечного множества возможных определений.

Конкретные определения логического следования получаются путем указания логической системы, задающей понятие логического закона. Логических же систем, претендующих на определение закона логики, в принципе может существовать бесконечно много. Хорошо известны, в частности, классическое определение логического следования, интуиционистское его определение, определение следования в релевантной логике и др. Ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободны от критики. Образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство.

Доказательство - совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с данным суждений. Можно выделить следующую структуру доказательства: тезис (суждение, истинность которого надо доказать), аргументы (истинные суждения, используемые при доказательстве тезиса), демонстрация, или форма доказательства (способ логической связи между тезисом и аргументами).

В качестве аргументов выступают:

• удостоверенные единичные факты, т.е. статистические данные, свидетельские показания, результаты эксперимента или наблюдения и др. (чтобы факты играли доказательную роль, необходимо анализировать их в совокупности, относящейся к рассматриваемому вопросу);

• определение понятий, которые даются в каждой науке;

• аксиомы (суждения, которые принимаются в качестве аргументов без доказательства) и постулаты (суждения, принимаемые в рамках какой-либо научной теории за истинные, хотя и недоказуемые ее средствами, и поэтому играющие в ней роль аксиом);

• законы науки (необходимые, существенные, устойчивые, повторяющиеся отношения, связи между явлениями) и теоремы.

1.1 Правила доказательственного рассуждения

При доказательстве необходимо соблюдать следующие правила доказательственного рассуждения. Тезис должен быть логически определенным, ясным, точным и оставаться тождественным на протяжении всего доказательства или опровержения. Аргументы должны быть истинными, не противоречащими друг другу и являться достаточным основанием для подтверждения тезиса; истинность аргументов должна быть доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Необходимо, чтобы тезис был исключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений, или был бы получен в соответствии с правилами косвенного доказательства.

Если эти правила нарушаются, то в доказательстве или опровержении возникают логические ошибки. Доказательство должно основываться на данных науки и социально-исторической практике, поэтому оно не тождественно убеждению, которое может опираться на религиозную веру, предрассудки, равно как и на неосведомленность. Доказательство является обязательным этапом в процессе аргументации.

Долгое время считалось, что математическое доказательство представляет собой ясный и бесспорный процесс. Но в XX в. отношение к математическому доказательству изменилось. Прежде всего, изменились представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Логицисты были убеждены, что логики достаточно для обоснования всей математики. По мнению формалистов, одной лишь логики для этого недостаточно и логические аксиомы необходимо дополнить чисто математическими аксиомами. Представители теоретико-множественного направления не особенно интересовались логическими принципами и не всегда их указывали в явном виде.

Подводя итог этому пересмотру понятия доказательства в математике, Р. Л. Уайлдер писал, что математическое доказательство есть не что иное, как «проверка продуктов нашей интуиции…Совершенно ясно, что мы никогда не обладали и, по-видимому, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий. В этих условиях самое разумное, пожалуй, признать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства, хотя широкая публика убеждена в обратном».

1.2 Прямые и косвенные доказательства

Все доказательства можно разделить на прямые и косвенные.

При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых, по логическим правилам, получается тезис.

Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360º. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180º. Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360º.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является «доказательством от противного».

В споре при умелом применении такие доказательства могут обладать особенной убедительностью.

В зависимости от того, как стремятся показать состоятельность его отрицания, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства.

1. Следствия, противоречащие фактам. Чаще всего должность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Например, врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом, рассуждает так. Если бы это действительно был грипп, то были бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т.д. Но ничего подобного нет. Значит пациент не болен гриппом.

2. Внутренне противоречивые следствия. По логическому закону непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий какого-либо положения встретились и утверждение и отрицание (одного и того же), можно сразу же заключить, что это положение ложно.

3. Истина логически вытекает из своего собственного отрицания. Этот прием опирается на закон Клавия, говорящий, что если из предположения ложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно.

4. Разделительное доказательство. Во многих косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис. Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к последовательному косвенному доказательству, или доказательству через исключение.

Косвенное доказательство - хорошее орудие исследования, но не всегда удачный прием изложения материала. Не случайно в практике преподавания нередок такой парадоксальный случай, когда после того, как косвенное доказательство проведено, ход его тут же забыт, в памяти остается только доказанное положение. Имеются также более серьезные возражения против косвенного доказательства. Они связаны с использованием в нем закона исключенного третьего. Как уже говорилось, не всеми он признается универсальным, используемым в любых без исключения случаях. Найденное косвенное доказательство какого-то утверждения обычно удается перестроить в прямое доказательство этого же утверждения. Обычно, но не всегда.

1.3 Цели обучения школьников математическим доказательствам

При разработке методики обучения учащихся доказательству следует ответить на вопросы:

1. Зачем надо доказывать?

2. Что надо доказывать?

3. Как надо доказывать?

Ответ на первый вопрос обусловлен мотивационным компонентом деятельности, который обеспечивается действиями целеполагания и мотивации. Второй вопрос актуализирует действия анализа теоремы - выделение условия, заключения теоремы, объектов, отношений между ними, построение графической модели ситуации, отраженной в теореме. С данным вопросом соотносится и открытие доказываемых фактов, что обеспечивается владением различными эвристиками. Ответ на третий вопрос предполагает поиск метода доказательства, его соотнесение с доказываемым утверждением, прогнозирование результатов использования метода, нахождение других методов доказательства, выбор наиболее оптимального из них и т.д.

Ответ на вопрос: «Зачем доказывать?» - в его широком понимании обусловлен целями обучения доказательству. Согласно Г. И. Саранцеву, «цели обучения математике могут быть рассмотрены на уровнях: 1) теоретического представления о математическом образовании; 2) учебного предмета математики; 3) учебных материалов; 4) реального процесса». На уровне теоретического представления цели обучения могут быть сформулированы в достаточно общем виде, на этом уровне они определяют содержание обучения. Но после того, как содержание учебного предмета будет сконструировано, уже оно будет обусловливать уели обучения. Таким образом, «цели и содержание обучения находятся в диалектической связи, и в зависимости от уровня анализа акцент делается либо на целях, либо на содержании обучения» [6].

Рассмотрение роли и места доказательства в обучении математике позволяет сформулировать следующие цели обучения доказательству: формирование у учащихся системы математических знаний и способов деятельности, формирование эристик, формирование у школьников умения правильно организовывать и оформлять свои рассуждения; обеспечение усвоения учащимися основных законов логики; формирование и развитие качеств мышления, необходимых современному образованному человеку, а именно, логического мышления, критической направленности мышления учащихся, собственных взглядов на окружающий мир.

2. Формирование умения доказывать на первых уроках геометрии

Первые уроки геометрии во многом определяют успех в изучении этой дисциплины. Они знакомят учащихся с понятиями и их свойствами, которые являются базой для построения геометрии. Цель первых уроков заключается в том, чтобы добиться полного усвоения каждым учеником основных терминов, формулировок; свойств простейших геометрических фигур, понимания необходимости и сути логического обоснования утверждений. (3)

Большая осторожность требуется в обучении учащихся первым доказательствам. Надо сказать, что в числе первых учащимся дается метод доказательства от противного, который вызывает у них наибольшие трудности. В процессе доказательства методом от противного необходимо выделить все его этапы, дать им характеристику, сделать соответствующую запись алгоритма рассуждений. Учитель должен знать, что в рассуждениях методом от противного используется формально-логический закон «исключенного третьего». [4]

В действующих учебниках геометрии основное внимание на первых уроках уделяется формированию умения обосновывать простейшие утверждения, что является пропедевтикой доказательства теорем, и осуществляется постепенная подготовка школьников к пониманию необходимости определений и их структуры. [3]

С введением термина «доказать» спешить не следует. Дело в том, что реализация требования доказать предполагает выполнение ряда действий, например преобразования требования задачи в равносильное ему, сопоставления условия задачи с ее требованиями и т.д. Без овладения этими действиями в мышлении ученика не возникает тех ассоциаций, которые позволили бы ему продвигаться в решении задачи или в доказательстве теоремы. К числу таких ассоциаций относятся следующие: доказать - выделить условие и заключение теоремы, зафиксировать их словесно и графически, доказать - преобразовать требование задачи (теоремы) в новое, из которого старое вытекает как следствие, и т.д. [5]

На первых уроках геометрии специальным предметом формирования должен быть прием переформулировки требования задачи (заключения теоремы), играющий большую роль в решении задач (доказательстве теорем). Основным средством формирования этого эвристического приема также являются специальные упражнения. Использование приема предполагает владение приемами выведения следствий подведения объекта под понятие, навыкам анализа ситуации. В процессе поиска решения задачи (доказательства теоремы) часто приходится осуществлять не только выведение следствий, замену требования задачи равносильным первоначальному, но и самостоятельно формулировать промежуточные задачи. [5]

В. А. Далингер выделяет следующие основные направления пропедевтической работы по подготовке учащихся к доказательству: [1,2]

• формировать у учащихся умения подмечать закономерности;

• воспитывать у школьников понимание необходимости доказательства;

• обучать учащихся умению выделять условие и заключение в математических утверждениях;

• знакомить учащихся с простыми и сложными высказываниями и значениями их истинности;

• знакомить школьников с понятиями «отрицание высказывания» и «противоречивые высказывания»;

• обучать учащихся умению выделять различные конфигурации на одном чертеже;

• обучать школьников умению пользоваться контрпримерами;

• обучать учащихся умению выполнять геометрические чертежи и читать их;

• формировать у учащихся умения выводить следствия из заданных условий;

• формировать у учащихся умения проводить доказательные рассуждения, делать выводы.

Важное значение в доказательстве теорем принадлежит умению читать чертеж. Актуальность умения обусловлена и тем, что в школьных учебниках условия многих задач на доказательство заданы чертежом. Под чтением чертежа понимают осознание чертежа в соответствии с условием задачи. [5]

Ошибка в доказательстве - вещь довольно обычная. Проводя доказательства, обычно опираются на логическую интуицию, на стихийно усвоенное знание законов логики. Как правило, оно не подводит. Но в отдельных и особенно сложных случаях может оказаться ненадежным.

Образование не только расширяет знания, но и в определенное мере способствует развитию умения рассуждать правильно. Тем не менее, примерно каждое десятое умозаключении, проводимое представителями теоретического знания, является, как говорят психологи, логически не вполне корректным. Теоремы с доказательствами составляют ядро теории. В курсе геометрии в основном рассматриваются теоремы, которые можно представить виде импликации. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа. [7]

К. Поппером и И. Лакатосом выделяются уровни понимания доказательства:

1. понимание аргументации и ее повторение;

2. самостоятельный разбор доказательства теоремы и его воспроизведение;

3. самостоятельное доказательство теоремы;

4. опровержение готовых доказательств.

Содержание выделенных уровней обнаруживает необходимость владения для понимания доказательства как логическими действиями, так и эвристическим приемам. Отсюда следует предположение, что обучение доказательству должно основываться на единстве логики и эвристики, что предполагает обучение процессам поиска, построения доказательства и опровержения готового доказательства.

Основу разработки методики обучения доказательству составляют следующие положения:

• обучение доказательству есть обучение анализу доказательства, его воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию его доказательства, а также опровержению предложенных доказательств;

• единство логики и эвристики в обучении доказательству;

• обучение доказательству - деятельность, имеющая специфическое строение, условия и формы осуществления.

Заключение

Математика, как учебный предмет, берет на себя, ввиду отсутствия предмета «логика», функцию формирования у школьников логического мышления, так как, прежде всего, на уроках математики учитель учит детей делать выводы, выстраивать доказательства, анализировать ситуации и критически мыслить. При обучении доказательству происходит становление и развитие нравственных черт личности - настойчивости и целеустремленности, познавательной активности, принципиальности, самокритичности, способности аргументировано отстаивать свои взгляды и убеждения, добросовестного отношения к своим обязанностям. Математические доказательства вносят свой вклад так же и в эстетическое воспитание человека.

Содержание процесса обучения учащихся доказательству при изучении первого раздела геометрии является формирование у них потребности в логических обоснованиях, умения выполнять дедуктивные выводы и добиваться понимания ими того факта, что из одних утверждений логическим путем можно выводить новые утверждения. Потребность в логических обоснованиях может быть сформирована лишь при условии, что ученик осознает необходимость этих обоснований. При разработке методики обучения учащихся доказательствам необходимо учитывать возрастные особенности учащихся.

Список использованной литературы

1. Далингер, В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений: кн. для учителя / В. А. Далингер - М. : Просвещение, 2006.-256 с.

2. Далингер, В. А. Примеры и контрпримеры по математике - средство развития критического мышления учащихся /В. А. Далингер. // Международный журнал экспериментального образования.-2009.-№ 6.-с. 47-48.

3. Капкаева Л. С. Лекции по теории и методике обучения математике: Частная методика: Учеб. Пособие для студентов мат. Спец. Пед. Вузов: В 2 ч Ч. 1/Л. С. Капкаева/ Мордов. Гос. пед. Ин-т.-Саранск, 2009.-262 с.

4. Мишин В. И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по физ-мат. / Блох А. Я., В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев и др. - М.: Просвещение, 1987.-416 с.

5. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам в школе: Кн. для учителя. - М. : Просвещение, 2000. - 173 с.

6. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г. И. Саранцев. М. : Гуманитар. Изд. Центр ВЛАДОС, 2006. - 184 с.

7. Стефанова Н. Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций : пособие для вузов/под научн. Ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. - М. : Дрофа, 2005. - 416 с.