Выступление на МО система повторения геометрии за курс основной школы при помощи решения задач

Решение задач как одно из средств повторения геометрии за курс основной школы.

Заключительное повторение курса планиметрии преследует цель систематизировать и обобщить ранее изученные свойства плоских фигур. Как правило, при организации повторения я выделяю три этапа:

1. повторение свойств одной из основных фигур геометрии - треугольника, где повторяются теоремы о свойствах различных треугольников, в результате чего систематизируются и обобщаются умения обучающихся проводить доказательства, умения анализировать и рассуждать;

2. повторение свойств многоугольников, проводится отработка умений проводить поиск логических закономерностей и обоснований свойств геометрических фигур, и здесь же снова повторяются свойства треугольников;

3. повторяются свойства окружности(круга) и его элементов.

Как правило вначале повторения напоминается схему доказательств от противного, напоминаем о прямом и обратном утверждении, отличие свойства и признака. Основная формы организации повторения на данном этапе являются обзорные лекции, тест по теоретическим вопросам, зачёт и конечно же решение задач. В зависимости от уровня подготовки класса, я провожу разного типа уроков.

Вначале провожу обзорную лекцию по аксиомам планиметрии и основным определениям, теоремам, признакам равенства треугольников, решению треугольников. При проведении лекции обращаю внимание учащихся на выполнение чертежей. В результате повторения теории, все фиксируется на классной доске в виде чертежей, рисунков.

Вот пример записей получающихся на доскe.

Таблица1

Таблица 2.

по двум сторонам и углу между ними

По стороне и прилежащими к ней углам

По трем сторонам

Дано

Найти

I способ

II способ

Тест №1 «Углы, параллельные, перпендикулярные прямые».

1.Начертите и обозначьте точку.

2. Записать аксиомы планиметрии, сделать к ним чертежи

2.Сколько общих точек имеют две пересекающиеся прямые, выполните чертёж.

3.Может ли длина отрезка выражаться дробным положительным числом, почему?

4.Постройте острый угол. Начертите угол смежный с ним, укажите его вид.

5.Закончите предложение : «Если углы 1 и 2 смежные, то …».

6.Два угла с общей вершиной не равны. Вертикальны ли они?

7.Начертите две прямые и секущую. Отметьте какую-нибудь пару внутренних накрест лежащих углов. Отметьте их на чертеже.

8. «Если прямая а параллельна прямой в, а прямая в параллельна прямой с, то…».

9.Начертите какую-нибудь прямую к ней перпендикуляр и наклонную, запишите все обозначения и названия.

10.Величины смежных углов пропорциональны числам 5 и 7.Найдите разность между этими углами.

а) 24⁰; б) 30⁰ ; в) 36⁰ ; г) 40⁰.

11. Разность между двумя односторонними углами при параллельных а и в и секущей с равна 24⁰. Найдите больший из этих углов.

12. Прямые АВ и СД пересекаются в точке Е, причём сумма углов ВЕС и

АЕД равна 194⁰.Найдите угол АЕС.

а) 97⁰ ; б) 83⁰ ; в) 117⁰ ; г) 73⁰ .

13. Углы ВОД и СОД - смежные. ОЕ - биссектриса угла ВОД, причём угол

СОД на 21⁰ больше угла ДОЕ. Найти угол ВОЕ.

а) 67⁰ ; б) 74⁰ ; в) 46⁰ ; г) 56⁰ .

14.Прямые MN и PK пересекаются в точке Е, ЕС - биссектриса угла МЕР,

угол СЕК равен 137⁰. Найдите угол КЕМ

а) 108 ⁰ ; б) 84⁰ ; в) 94⁰ ; г) 82⁰ .

15. Дано:

СД АК, МТ АК,

МАТ= 28⁰, СЕ - биссектриса ВСД.

Найдите: угол АСЕ.

а) 92⁰ ; б) 104⁰ ; в) 114⁰ ; г) 98⁰.

Проверочная работа по повторению «Треугольники»

Вариант 1.

1. Дайте определение треугольника, и его основным элементам

2. Виды треугольников по углам, сторонам

3. Свойство медианы(высоты) равнобедренного треугольника

4. По указанным равенствам определите взаимное соотношение треугольников.

Сформулируйте и запишите теоремы, указывающие данное соотношение.

Даны АВС и МРN у них :

а) АВ = MP,/

б) = =

в) PN = BC, MN=AC, AB=MP;

г)

д) = ;

е) AC =MN ,BC =PN ,

5. Сумма углов треугольника, внешний угол треугольника

6. Средняя линия треугольника.

7. Теорема Пифагора и следствия .

7.Теорема косинусов(синусов)

8. Окружность вписанная(описанная) в треугольник, ее центр и радиус.

9. Формулы для вычисления площади треугольника.

Опыт показывает, что большинство старшеклассников нерационально решают планиметрические задачи. А если вспомнить, что в течении заключительных двух лет в школе планиметрия является вспомогательным материалом, то положение совсем становится безрадостным. А так как теперь у нас экзамен в 9 и 11 классах по математике и результаты ЕГЭ показывают, что часть обучающихся не приступает к решению геометрических задач, следовательно нам с вами необходимо исправлять положение.

Для того чтобы вспомнить решение задач я сделала подборку задач по геометрии, где условие сформулировано так: Реши задачу, заполняя пропуски.

Представляю вашему вниманию некоторые из них.

Задача 1.В прямоугольном треугольнике высот , проведённая к гипотенузе,

равна 24мм; отношение проекций катетов на гипотенузу равно

9:16.Найти стороны треугольника.

Дано : ………..

……………………..; …………………………..

Найти: ……?,………?; ……….

С

А В

Решение.

1.Пусть коэффициент пропорциональности равняется х, тогда а_с=9х, в_с=…..;

2. ….=……,(по свойству …………………………………………………) значит 24² = ………

3. х_1,2 = ……;

4. х₂ - не удовлетворяет условию задачи, т.к. ………..

5. а_с= ……..; в_с=……..;

6. с= ……….;

7. в= …………………………………………………………………………

8. а=…………………………………………………………………………………….

Ответ: ……………………………

Задача 2.В треугольнике две стороны равны 2см и 3см; а угол между ними 120⁰. Найти третью сторону.

Дано:

Найти :ВС

Решение.

1. ВС²=АВ² + АС²- ……………( по теореме …………….);

2. ВС² = 2²+ ….. - …….. ;

3. Cos 120⁰= ….. = …. ;

4. Следовательно ВС² = …………………. , ВС

Ответ: ………………….

Задача 3. В АВС . Найдите отношение а:в:с.

Решение:

1. ( по теореме о……………………..).

2.180⁰ - (….+…..)

3. а: в :с= sinA : …. : …..= : …. : ……

Задача 4.Втреугольнике АВС, проведена биссектриса СД., которая

поделила противолежащую сторону на отрезки равные

6мм и 4мм.Периметр треугольника равен 30мм.

Найдите стороны треугольника.

Чертеж.?? Дано:

АВС, СД - …………

……=….., ……= ….., …..= …….

------------------------------------------------

Найдите: ……., ……., ……. .

Решение.

1. = ,так как СД - ……..

2. АВ =АД+ДВ = ….+…..

3. Р = ….+....+ ….., АС + ВС =30 - ….=….;

4. Пусть АС = х, тогда ВС = ….. ;

5. Тогда = , решим полученное уравнение……………………………………………………………….

6. АС =…….;ВС= ……..

Ответ : ………………………………….. .

Задача 5 Две окружности радиусов 26см и 30см пересекаются,

расстояние между их центрами28см.Найдите их общую хорду.

Дано:

А Окружность (……..); окружность (……….)

ОА =26см, О₁А =30см; ОО₁ = 28см.

…………………………………………………….

Найти: ……………

Решение.

1. А… = ….., так как А…ОО₁ (ОО₁ - …………..двух окружностей).

2. S_ОАО1= …….., где А… - высота, ОО₁-

3. Следовательно А… = ………

4. По формуле …….. S_ОАО1 =…………………………, где р=………………….

5. S_ОАО1= ………………………………………………………………………………………..

6. А…. = ……………………

7. Следовательно А….= ……

Ответ : ……………………..

Дальше предлагаю решить практико-ориентированные задачи, по теме «Треугольники».

Задача 1.

1

Чтобы найти расстояние от доступной точки А до недоступной точки В (см.рис.1) , ученики вблизи точки А взяли вторую доступную точку С.Измерением нашли , что АС 19м, _.

_{Чему равно расстояние АВ?}

_{Задача 2. Два пункта А и В разделены лесом. При проведении между этими}

_{пунктами линии высоковольтной передачи понадобилось определить}

_{расстояние АВ. Для этого взяли пункт С, из которого видны пункты}

_{А и В, и измерениями нашли, что} АС 210м, ВС 180м _.

_{Найдите расстояние АВ.}

_{Задача 3. Откос насыпи железнодорожного полотна (см.рис 2) образует уклон}

_{в 40}⁰ , длина откоса 5,8м. С увеличением скорости поездов

понадобилось, не меняя высоты уклона на 30⁰.Для этого по бокам

насыпи присыпали грунт . Чему должен быть равен х ?

2.

Задача 4. Самолёт летит горизонтально на высоте 8,5км над уровнем моря со

скоростью720 км\ч. Пилот замечат ,что уровень понижения на вершину

горы равен 18⁰. Через 60сек он замечает, что угол понижения стал 81⁰.

Какова высота вершины над уровнем моря?

Задача 5.

3.

В горе прорубили тоннель (см рис 3) Вход В и выход А находятся на

одном уровне. По данным на чертеже найти длину туннеля АСВ.

Задача6. С парохода в некоторый момент виден маяк под углом в 28⁰ влево от

курса корабля, а когда пароход прошёл по курсу 7,8км, маяк стал виден

под углом 130⁰ влево от курса. Найти расстояние парохода от маяка в

момент, когда был измерен второй угол.

Задача7. Два самолёта вылетают одновременно с аэродрома. Скорость первого

650км\ч, курс 12⁰; скорость второго 500 км\ч, курс 178⁰. Какое будет

расстояние между ними через 15мин ?

Задача8.

4.

На кронштейне АВС (рис.4) подвешен в точке С фонарь весом Р. Найти

силы, действующие на стержни ВС и СА, если:

1) _{, , Р= 16кГ.}

_{2) ,Р = 24кГ.}

Задача9.

5.

На рисунке 5 дана схема подъемного крана, у которого часть стойки

ВС=3,5м, плечо ВД = 7,5м, угол между плечом и стойкой 138⁰.

Найдите длину подъемного троса СД.

Задача 10.

В некоторый момент с парохода Р отметили азимуты пунктов А и В на суше, азимут А оказался 31⁰, пункта В - 85⁰.По карте установили,что направление АВ - 130⁰, расстояние АВ = 650м . Найдите расстояние от парохода Р до пункта А в момент измерения углов.

6.

Примечание. Азимут точки А относительно точки В есть угол,

вершина которого находится в точке В, одна сторона

ВС направлена на север(черт7), другая проходит через

точку А.Сторона ВА отсчитывается от стороны ВС

по движению часовой стрелки.

Задача 10

Скорость парохода 25 км\ч, направление 50⁰, а

скорость морского течения 3,5 км\ч, направление 160⁰.

С

Найдите угол сноса и истинное направление движения

парохода.

Анализ Проведем прямую SN, дающую направление с юга S на север N.

Относительно этой прямой определяется направление скорости парохода

и направление скорости течения. В некоторой точке О прямой SN строим

вектор ОА, длина которого 25 единиц и_{,затем вектор ОВ,}

длина которого 3,5 единицы и _.

Тогда вектор ОС покажет истинное направление движения парохода, а

_{- угол сноса.}