Методическая разработка темы «Тригонометрические уравнения»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПЕНЗЕНСКИЙ ОБЛАСТНОЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ЗАНЯТИЯ

ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

для преподавателя

ТЕМА: «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»

Составлена для специальностей:

060109 «Сестринское дело»

Курс: первый

Преподаватель: Нурмухамедова И.В.

Составлена в соответствии с рабочей

программой по математике.

г. ПЕНЗА

2011 г.

Тема занятия: Тригонометрические уравнения.

Цель темы: После изучения темы студент должен

знать:

- способы решения простейших тригонометрических уравнений

Интеграция темы: с целью лучшего усвоения темы, студентам необходимо восстановить знания по теме:

Способы решения уравнений

Функции синус, косинус, тангенс, котангенс

Свойства и графики тригонометрических функций

Методическая разработка темы «Тригонометрические уравнения»

Цель:

- рассмотреть общий вид решений простейших тригонометрических уравнений

Вид урока: комбинированный

Время: 90 минут

Оснащение: методическая разработка для преподавателя,

методические указания для студентов,

раздаточный материал

Хронокарта занятия

1. Организационный момент - 2 мин

2. Контроль усвоения материала по теме «Свойства и графики обратных тригонометрических функций» (письменный опрос) - 15 мин

3. Изучение нового материала - 30 мин

4. Задание на уроке - 40 мин

5. Итоги урока - 1 мин

6. Домашнее задание - 2 мин

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Организационный момент

Приветствие. Отметка отсутствующих студентов. Проверка выполнения домашнего задания (письменные ответы на контрольные вопросы). Сообщение темы и цели занятия.

2. Контроль усвоения материала по теме «Свойства и графики обратных тригонометрических функций» (письменный опрос)

Вариант 1.

1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции

у = arctg x.

Вариант 2.

1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции

у = arсctg x.

3. Изучение нового материала

Для решения любого тригонометрического уравнения его надо свести к одному из четырех простейших (фактически методы решения тригонометрических уравнений являются способами сведения их к простейшим). Простейшими тригонометрическими уравнениями являются:

sin х = а, соs х = а, tg х = а, сtg х = а. Рассмотрим их решения.

Решения уравнения sin x = a

При а > 1 такое уравнение решений не имеет, так как функция синус ограничена и |sin x| < 1. На отрезке

функция sin x возрастает и принимает все значения от -1 до 1. Тогда по теореме о корне на этом промежутке при \а\ < 1 уравнение sin x =1 имеет единственное решение х₁ = arcsin a. На отрезке

функция sin x убывает и также принимает все значения от - 1 до 1. Поэтому и на этом промежутке при

|а| < 1 уравнение sin x = а тоже имеет единственное решение

х₂ = π - х₁ = π - агсsin а.

Действительно, sin х₂ = sin(π - х₁) = sin х₁ = а. Кроме того, поскольку

то есть х₂ принадлежит отрезку

Учитывая, что период синуса равен 2π, получаем две формулы для всех решений данного уравнения: х = агсsin а + 2πn и х = π - агсsin а + 2πn, где п ε Ζ. Такие решения удобно описывать не двумя, а одной формулой:

х = (-1)^к агсsin а + πк, к ε Ζ..

Действительно, при четных к = 2n из этой формулы получаем все решения, описываемые первой формулой; при нечетных к = 2п + 1 - решения, записываемые второй формулой.

В частных случаях а = 0; ±1 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности:
для

Пример 1. Решим уравнение

По приведенной формуле запишем решение уравнения

Пример 2.

Решения уравнения соs x = a

При а >1 такое уравнение решений не имеет, так как функция косинус ограничена и |соs х| < 1. На отрезке [0; π] функция соs х убывает и принимает все значения от -1 до 1. Поэтому по теореме о корне на этом промежутке при |а| < 1 уравнение соs х = а имеет единственное решение х₁ = агссоs а. Так как функция соs х четная, то на отрезке [-π; 0] данное уравнение также имеет единственное решение х₂ = - х₁ = - агссоs а. Итак, уравнение соs х = о на промежутке [-π; π] имеет два решения

х = ± агссоs а.

Учитывая, что период косинуса равен 2π, то получаем формулу для записи всех решений данного уравнения: х = ± агссоs а + 2πк, к ε Ζ.

В частных случаях а = 0; ±1 проще и удобнее использовать не общую формулу, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения

Пример 3. Решим уравнение соs х = -1/2

Используя приведенную формулу, запишем решения этого уравнения

Пример 4. Решим уравнение

Так как в данном случае имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решения

откуда найдем

Решения уравнения tg x = а

На отрезке

функция tg x возрастает и принимает все значения от

-∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при любом значении а на этом промежутке уравнение tg x = а имеет единственное решение, равное

х = arctg a. Так как функция тангенс имеет период π, то получаем формулу для всех решений данного уравнения: x = arctg a + πk, k є z

Пример 5. Решим уравнение 3tg x = √3.

Запишем уравнение в виде

Используя приведенную формулу, выпишем решения уравнения

Пример 6.

По приведенной формуле запишем решения уравнения

Решения уравнения ctg x = a

На отрезке (0; π) функция сtg x убывает и принимает все значения от

-∞ до ∞. Тогда по теореме о корне при любом значении а на этом промежутке уравнение сtg х = а имеет единственное решение

х = агссtg а. Учитывая, что период котангенса равен π, получим формулу для записи всех решений данного уравнения:

х = агссtg а + πк, к ε Ζ

Пример 7. Решим уравнение ctg

Учтем, что функция котангенс нечетная, и запишем уравнение в виде

ctg . Решения этого уравнения = . Теперь найдем х = .

4. Задание на уроке

№ 136 (а, г); 137 (в); 139 (б); 140 (а); 145 (а, в, г); 147 (а, в); 148 (б).

Решите уравнения (№ 136 - 147):

№ 136.

а) г)

№ 137.

в)

№ 139.

б)

№ 140.

а)

№ 145.

а) в) г)

№ 147.

а)

в)

№ 148. Для каждой из функций у = и у = найдите координаты общих точек ее графика с прямой:

б) у = -1.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание

Учебник Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа. Гл. 5, § 28. Ответить на

контрольные вопросы:

1. Выпишите решения простейших тригонометрических уравнений.

2. Приведите решения для частных случаев уравнений sin x = 0; ±1 и

cos x = 0;±1.