Материал по организации самостоятельной работы по теме Начала математического анализа

Типовой расчет по теме: «Производная и ее приложения» (12б)

Задание № 1( 2 б)

Найти значение производной данной функции в точке х₀:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 2

7. 0

8. ,0

9. ,

10. ,0

11. ,10

12. ,1

13. ,0

14. ,4

15. , -1

Задание № 2 (3 б)

Найти значение производной данной функции в точке х₀:

1. ,

2. ,

3. ,

-8-

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. , -

11. , -

12. ,

13. .

14. ,

15. , -

Задание № 3 ( 2 б)

Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) , проходящей через точку А:

1. , А(1;2)

2. , А(0;2)

3. , А(3;)

4. , А(3;6)

5. , А(4;3)

6. , А(;1)

7. , А(1;2)

8. , А(-1;0)
   
   

-9-

9. , А(
   
   

10. , А(-1;-2)

11. , А(4;0)

12. , А(

13. , А(0;-6)

14. , А(3;-5)

15. , А(2;2)

Задание № 4 ( 2 б)

Найдите промежутки монотонности и точки экстремума.

Задание № 5 ( 3 б)

Решите задачу.

1. Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало
   наибольшее количество света?

2. Требуется вырыть яму объемом 32 м, имеющую квадратное дно, так чтобы на облицовку ее дна и стен пошло наименьшее количество материала. Каковы должны быть размеры ямы?

3. Из круглого бревна радиуса 30 см требуется вырезать прямоугольную балку максимальной прочности. Известно, что прочность балки прямо пропорциональна произведению ее ширины на квадрат высоты. Какими должны быть размеры балки, чтобы ее прочность была максимальной?

4. Оросительный канал имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон площадь сечения канала является наибольшей?

5. Найдите , при каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим?

6. Из круглого бревна, толщина которого 26 см, следует вырезать балку прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна ав² ( а, в- измерения сечения балки в см) . При каких значениях а и в прочность балки будет наибольшей?

7. Из прямоугольного бревна, диаметр которого равен d, требуется вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы площадь сечения была наибольшей. Каковы должны быть размеры сечения?

8. Определить размеры открытого бассейна объемом 256 , имеющего квадратное дно, так чтобы на облицовку его стен и дна было израсходовано наименьшее количество материала.

9. Прилегающую к дому прямоугольную площадку нужно оградить решеткой длиной 120 м. Определить размеры площадки, так чтобы она имела наибольшую площадь.

10. Населенный пункт А расположен на расстоянии 5 км от магистрали и 5 км от города В, через который проходит эта магистраль. Под каким углом к автомагистрали нужно построить подъездную дорогу, чтобы затраты времени на перевозку грузов из А в В были наименьшими, если допустимая скорость движения автомобилей по магистрали- 90 км/ч, а на подъездной дороге- 45 км/ч?

11. Докажите , что на изготовление цилиндрической бочки заданной емкости пойдет наименьшее количество материала в том случае, если ее высота равна диаметру основания.

12. Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

13. Имеется проволока длиной 100 м. Требуется оградить этой
    проволокой прямоугольный участок земли, одна сторона которого примыкает к стене заводского здания, так , чтобы площадь огороженного участка была наибольшей.

14. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 так, чтобы на облицовку его стен пошло наименьшее количество материала.

15. На какой высоте h надо повесить фонарь над центром круговой площадки радиуса 8 м, чтобы она была максимально освещена?
    (Освещенность Е =, где - угол между перпендикуляром к поверхности с направлением светового потока)
    
    

На типовой расчет отведено дополнительно еще 2 балла, так как расчет содержит задачи повышенной сложности.

КСК

Типовой расчет по теме:

" Производная и ее применение"

Преподаватель Вахонина О. В.

2013 г

Данный типовой расчет может быть использован при организации самостоятельной работы студентов I курса при изучении темы « Начала математического анализа».