О развитии математических способностей

О развитии математических способностей

Понятие «развитие математических способностей» является довольно сложным, комплексным и многоаспектным. Оно состоит из взаимосвязанных и взаимообусловленных представлений о пространстве, форме, величине, времени, количестве, их свойствах и отношениях, которые необходимы для формирования у ребенка «житейских» и «научных» понятий.

Под математическим развитием школьников понимаются качественные изменения в познавательной деятельности ребенка, которые происходят в результате формирования элементарных математических представлений и связанных с ними логических операций. Математическое развитие  значимый компонент в формировании «картины мира» ребенка.

В связи с проблемой формирования и развития способностей ряд исследований психологов направлен на выявление структуры способностей школьников к различным видам деятельности. При этом под способностями понимается комплекс индивидуально - психологических особенностей человека, отвечающих требованиям данной деятельности и являющиеся условием успешного выполнения. Таким образом, способности - сложное, интегральное, психическое образование, своеобразный синтез свойств.

Способности формируются и развиваются в процессе обучения, в процессе овладения соответствующей деятельностью, поэтому нужно формировать, развивать, воспитывать, совершенствовать способности детей.

Выделяют следующие основные компоненты, составляющие математические способности: гибкость ума, глубина ума, свернутость мышления.

Под гибкостью ума понимается свобода мысли от предвзятых предположений и шаблонных способов решения, способность находить новые решения при изменении обстановки и условий задачи.

Гибкость ума выражается не только в свободе от сковывающего влияния трафаретных приёмов, но и в способности разнообразить попытки решения, не повторять тех попыток, неправильность которых уже обнаружилась.

Для развития гибкости ума надо:

• применять упражнения, в которых встречаются взаимно обратные операции;

• решать задачи несколькими способами, доказывать теоремы различными методами;

• применять переформулировки условия задачи;

• учить переключению с прямого хода мыслей на обратный;

• учить тому, какие знания, умения, навыки и в каком порядке применять в конкретной задаче.

Рассмотрим примеры задач по теме «Квадратный трехчлен», способствующих развитию гибкости ума.

Задание 1. Доказать, что при любом значении а уравнение имеет два корня.

Задание 2. При каких значениях а корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку?

Задание 3. Найти все а, при которых неравенство справедливо для всех неотрицательных х.

Задание 4. Не решая уравнение определить знаки его корней: .

Задание 5. При каких значениях сумма квадратов корней уравнения является наименьшей? Чему равна эта сумма.

Для развития глубины ума на уроке надо учить:

• выделять главное в задаче;

• выделять существенные признаки понятия;

• вычленять ведущие закономерные отношения явлений;

• отделять главное от второстепенного, уметь извлекать из текста не только то, что там сказано прямо, но и то, что содержится «между строк»;

• видеть главные причины происходящего, объяснять их сущность.

Рассмотрим примеры задач, способствующих развитию данного качества.

На этапе проверки домашнего задания более сильным учащимся можно предложить задания на развитие гибкости, глубины ума по данной теме.

В то время как весь класс проверяет домашнее задание, сильным учащимся учитель раздает заранее приготовленные карточки с заданиями. Рассмотрим пример такой карточки.

Карточка №1

1. Разложить на множители .

2. Сократить дробь .

3. Парабола проходит через точку и имеет вершину . Найдите ординату такой точки данной параболы, абсцисса которой равна 5.

Свёрнутость мышления свойственна в основном учащимися среднего и старшего школьного возраста. Способные учащиеся 8 - 9 классов и в особенности старших классов мыслят уже свернутыми структурами, что обеспечивает им своеобразное «дальновидение» при решении задач и большую скорость переработки математической информа­ции. Когда ученик не свертывает рассуждение, а мыслит уже свернутыми структурами, он испытывает известные трудности, если сталкивается с необходимостью развернуть процесс рассужде­ния с возможной полнотой.

Задание 6. При каком значении а сумма квадратов корней уравнения равна квадрату разности корней этого уравнения?

Задание 7. Пусть и - корни уравнения . Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа и.

Задание 8. При каких a неравенство выполняется для всех x?

Не все компоненты математических способностей начинают формироваться одновременно. Развитие способностей к математике начинается с формирования первичного компонента - способности к обобщению математических объектов, отношений и действии. Способность к свертыванию процесса рассуждения, обобщенная память, стремление к рациональности решений формируется на более поздних этапах. Эти компоненты способностей формируются на основе первичной способности - способности к обобщению математического материала.