ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ УД МАТЕМАТИКА

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА и НАЧАЛА АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ

(наименование дисциплины)

Специальность 23. 02. 03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

Уровень образования: базовая подготовка

35. 02. 07 Механизация сельского хозяйства

Уровень образования: углубленная подготовка

Волгоград

2015 г.

Занятие № 1

Многочлены от одной переменной. Число корней многочлена. Кратные корни.

Вид занятия: комбинированный.

Цели:

• Образовательные: Создать содержательные и организационные условия для восприятия, осмысления, коррекции и закрепления учащимися представлений о многочленах от одной переменной, числе корней многочлена, о кратных корнях многочлена, пополнить, обобщить, систематизировать и углубить знания обучающихся о многочленах от одной переменной, числе корней многочлена, о кратных корнях многочлена.

• Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически мыслить, делать выводы, расширять кругозор, развить умения

• Находить корни многочлена от одной переменной. Содействовать развитию навыков сопоставления, анализа, обобщения самостоятельной деятельности.

• Воспитательные: воспитание в учащихся активности, целеустремлённости, умения доводить дело до конца, чувство радости от проделанной работы побуждению интереса к математике, самостоятельности, умения работать в коллективе.

Образовательные результаты:

Студент должен:

-знать

Многочлены от одной переменной

Число корней многочлена

Кратные корни;

-уметь

Находить .

План занятия:

1. Устная работа: обозначение целей, результатов занятия, объяснение самого содержания темы занятия - 15 мин.;

2. Физкультминутка (здоровье сберегающий элемент занятия) - 10 мин.;

3. Объяснение нового материала - 30 мин.;

4. Домашнее задание:

1) изучить по учебнику Алимов Ш.А. и др. "Алгебра и начала анализа. 10 - 11 кл". - М., 2007 § 43 - 44, ответить на вопросы в конце параграфа.

2) решить по учебнику Башмаков М. И. "Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 - 11 кл". - М., 2005 §27 № 188 - 192.

5. Подведение итогов занятия.

Объяснение нового материала:

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся ка, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предел функции по Гейне, или "на языке последовательностей".

Определение 2. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε, значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε.

Это определение называют определением предел функции по Коши, или "на языке ε - δ".

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел, равный А, это записывается в виде (1):

В том случае, если последовательность {f(x_n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде (2):

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной.

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существует каждый предел

Замечание. Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0*∞, - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название "раскрытие неопределенностей".

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

₎

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы:

в частности предел,

Eсли x→ a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а. Чтобы существовал предел функции f(x) при x→a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если предел

.

Условие можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство нарушено, то говорят, что при x = x_o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x_o)= f(0) не определено, поэтому в точке x_o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x_o, если предел

,

и непрерывной слева в точке x_o, если предел

.

Непрерывность функции в точке x_o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x_o, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x_o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x_o), то говорят, что функция f(x) в точке x_o имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x_o функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Занятие № 2

Понятие производной и второй производной функции, их геометрический и физический смысл. Производная сложной функции. Основные правила и формулы дифференцирования.

Вид занятия: комбинированный.

Цели:

• Образовательные: Создать содержательные и организационные условия для восприятия, осмысления, коррекции и закрепления учащимися представлений о производной функции, второй производной функции, их геометрическом и физическом смысле, обобщить, систематизировать и углубить знания обучающихся о производной функции, второй производной функции, их геометрическом и физическом смысле.

• Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически мыслить, делать выводы, расширять кругозор, развить умения находить производную функции, вторую находить производную функции.

• Воспитательные: воспитание в учащихся активности, целеустремлённости, умения доводить дело до конца, чувства радости от проделанной работы, интереса к математике, самостоятельности, умения работать в коллективе.

Образовательные результаты:

Студент должен:

-знать

Понятие производной, второй производной функции, их геометрический и физический смысл.

Производная сложной функции

Основные правила и формулы дифференцирования.

-уметь

Вычислять производные функций.

План занятия:

1. Устная работа: обозначение целей, результатов занятия, объяснение самого содержания темы занятия - 15 мин.;

2. Физкультминутка (здоровье сберегающий элемент занятия) - 10 мин.;

3. Объяснение нового материала - 30 мин.;

4. Домашнее задание:

1) изучить по учебнику Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 - 11 кл. - М., 2005 - §5.1-5.3, ответить на вопросы в конце параграфа;

2) решить по учебнику Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 - 11 кл. - М., 2005 - §28 №197-201.

5. Подведение итогов занятия.

Объяснение нового материала:

Определение: Производной функции f(x) (f'(x₀)) в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

.

Понятие о второй производной. Производные высших порядков

Производная от производной у' функции у называется второй производной этой функции и обозначается у" или f"(х):

y" = (y')'; f"(х) = [ f(х)]'.

Рассмотрим несколько примеров.

1) Пусть у = 3x³ - 6x² + 7х - 1.

По правилу дифференцирования многочленов

у' = (3x³ - 6x² + 7х - 1)' = 9x² - 12x + 7;

y" = (у')' = (9x² - 12x + 7)' = 18x - 12.

2) Пусть у = sin х. Тогда

у' = (sin х)' = cos х; y" = (cos х)' = - sin x.

Вторая производная y" функции y, так же как и первая ее производная у', допускает простую физическую интерпретацию. Будучи производной от первой производной у', она характеризует скорость изменения этой производной. Первая же производнаяу' характеризует скорость изменения функции у. Таким образом, у" характеризует «скорость изменения скорости изменения» функции у. С подобным понятием мы уже сталкивались в физике. Изучая равноускоренное движение, мы вводили понятие ускорения как изменения скорости движения в единицу времени. Это понятие как раз и характеризует скорость изменения скорости движения. Поэтому, используя языкмеханики, можно сказать, что вторая производная у" функции у есть ускорение, с которым функция
у = f (х) изменяет свои значения при изменении значений аргумента х.

Третья производная функции у = f (х) есть производная от второй производной этой функции. Она обозначается у"' или f'"'(x) : у'" = (у")', f'"'(x) = [f'"(x)]'. Аналогично, четвертая производная функции у = f (х) обозначается y^IV или f' ^IVx) есть производная от ее третьей производной и т. д.

п-я производная функции f (х) иначе называется производной п-го порядка(обозначается f ⁿ(х)). Например, третья производная иначе называется производной третьего порядка, четвертая производная - производной четвертого порядка и т. д.

Примеры.

1) Для функции у = x² + х + 1 имеем:

у' = 2х+ 1;

у" = 2.

Занятие № 3

Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Способы вычисления определенных интегралов.

Вид занятия: комбинированный.

Цели:

• Образовательные: Создать содержательные и организационные условия для восприятия, осмысления, коррекции и закрепления учащимися представлений о неопределенном интеграле и его свойствах, о таблице неопределенных интегралов, об основных методах интегрирования; определенном интеграле, формуле Ньютона-Лейбница, способах вычисления определенных интегралов.

• Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически мыслить, делать выводы, расширять кругозор, развить умения находить неопределенный и определенный интегралы по различным методам интегрирования, определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

• Воспитательные: воспитание в учащихся активности, целеустремлённости, умения доводить дело до конца, чувства радости от проделанной работы, интереса к математике, самостоятельности, умения работать в коллективе.

Образовательные результаты:

Студент должен:

-знать

Неопределенный интеграл и его свойства

Основные методы интегрирования.

Определенный интеграл

Способы вычисления определенных интегралов.

-уметь

Вычислять неопределенные и определенные интегралы различными способами.

План занятия:

1. Устная работа: обозначение целей, результатов занятия, объяснение самого содержания темы занятия - 15 мин.;

2. Физкультминутка (здоровье сберегающий элемент занятия) - 10 мин.;

3. Объяснение нового материала - 30 мин.;

4. Домашнее задание:

1) изучить по учебнику Башмаков М.И. Математика: 11 кл. Сборник задач: учеб. пособие. - М., 2012, - §12.1-12.3, §13.1-13.7, ответить на вопросы в конце параграфа

2) решить по учебнику Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 - 11 кл. - М., 2005 - §28 №197-201.

5. Подведение итогов занятия.

Объяснение нового материала:

Занятие № 4

Практическая работа №1.

Вычисление пределов, интегралов различными способами, приближенные вычисления.

Вид занятия: практическая работа.

Цели:

• Образовательные: Создать содержательные и организационные условия для восприятия, осмысления, коррекции и закрепления учащимися представлений о неопределенном интеграле и его свойствах, о таблице неопределенных интегралов, об основных методах интегрирования; определенном интеграле, формуле Ньютона-Лейбница, способах вычисления определенных интегралов.

• Развивающие: развивать умения учебно-познавательной деятельности, умения выделять главное, логически мыслить, делать выводы, расширять кругозор, развить умения находить неопределенный и определенный интегралы по различным методам интегрирования, определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

• Воспитательные: воспитание в учащихся активности, целеустремлённости, умения доводить дело до конца, чувства радости от проделанной работы, интереса к математике, самостоятельности, умения работать в коллективе.

Образовательные результаты:

Студент должен:

-уметь

Вычислять пределы функций различными способами

Выполнять приближенные вычисления.

План занятия:

1. Устная работа: обозначение целей, результатов занятия, объяснение самого содержания темы занятия - 15 мин.;

2. Физкультминутка (здоровье сберегающий элемент занятия) - 10 мин.;

3. Решение упражнений - 30 мин.;

4. Домашнее задание:

Повторить теоретический материал по теме.

5. Подведение итогов занятия.