- Преподавателю
- Математика
- СУММА N-ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ». 9 КЛАССК
СУММА N-ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ». 9 КЛАССК
Раздел | Математика |
Класс | 9 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Авагян Э.С. |
Дата | 16.10.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Нет |
ТЕМА «СУММА N-ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ». 9 КЛАСС
Цель урока - познакомить учащихся с общим способом подсчета суммы нескольких слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии;
Задачи:
-
решение задач с применением полученной формулы для подсчета суммы нескольких слагаемых;
-
нахождение неизвестных элементов полученной формулы;
-
показать важность формулы для формирования статистических данных.
Ход урока I. Мотивационно-ориентированная часть.
Прежде чем начать урок, я хочу рассказать вам одну удивительную историю. Очень давно, еще до нашей эры, в Древней Греции один правитель задал Эвклиду вопрос: «Сколько времени нужно, чтобы изучить математику?» На это ученый ответил, что понадобится не год, не два, а целая жизнь. Правитель воскликнул: «Но я же не обычный смертный, а царь!» И тогда Эвклид произнес одну из своих знаменитых фраз. Он сказал: «Нет царского пути в математику!».
Итак, царского, быстрого пути в математику нет. Но есть другой путь, по которому можно постигать эту науку в течение всей жизни. Вы изучаете математику уже несколько лет. Не кажется ли вам, что вы блуждаете бесцельно? Есть ли у вас цель в рамках сегодняшнего урока?
Ученик формулирует цель: «Найти общий метод подсчета суммы нескольких членов арифметической прогрессии».
Итак, чтобы выполнить поставленные задачи, вы выступите в роли учеников XVIII века, которым похожую задачу поставил неизвестный учитель математики. В том классе три века назад находился Карл Гаусс (1777-1855 гг.) будучи учеником.
19
Сын садовника, он славился искусством быстро и легко считать. Отец говорил о сыне позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». В 14 лет Гаусс, ученик гимназии, часто развлекал придворных искусством счета во дворце герцога Брауншвейгского. В 1795 году тот помог Гауссу поступить в университет, но первый успех пришел к нему в 9 лет, когда школьный учитель велел найти ученикам сумму всех натуральных чисел от 1 до 40. Учитель рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ. Как ему это удалось?
Ученики высказывают предположения.
Учитель. Запишите эту сумму в тетрадях и попробуйте найти решение.
Решение: 41· 20 = 820.
II. Операционно-исполнительный этап.
Работа в группах.
Задача 1. Рассчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100.
(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 97) + …
Каждое слагаемое 101, слагаемых 1020 = 50.
S = 101 · 50 = 5050.
Задача 2. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + …
а1 = 3 d = 4 а20 = а1 + d(n - 1) = 3 + 4 · 19 = 79
3 + 7 + 11 + 15 + … + 71 + 75 + 79
S = (3 + 79) · 2 20 = 82 · 10 = 820.
Учитель. Нам необходимо записать общую формулу для нахождения суммы любого количества слагаемых для произвольно заданной арифметической прогрессии. Как мы действовали?
1. Записать слагаемые в виде общих членов арифметической прогрессии.
а1; а2; а3; а4; …аn; …
n al+an п
Sn = (a1 + an) ·
2 2
-
Сгруппируем слагаемые «гауссовским» способом. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + … +
-
Каждая пара в сумме дает a1 + an. Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an)
-
Слагаемых получаем n2
20
III. Первичное закрепление материала.
Работа по учебнику с проверкой у доски.
IV. Проверка результатов усвоения знаний (тест).
1. Найти сумму первых десяти натуральных чисел.
-
45 2. 55 3. 550 4. 11.
-
Найдите сумму двадцати четных положительных чисел, начиная с 10.
Сумма записывается так.
-
S2o = ((10+20)-20)/2
-
S20 = ((10+40)-20)/2
-
S20 = ((10+38)-20)/2
-
S20 = ((10+48)-20)/2
3. Сумма двенадцати чисел, кратных 5, начиная с 10, записывается так:
-
Si2 = ((10+70)-12)/2
-
Si2 = ((10+65)-12)/2
-
S12 = ((10-50)-12)/2
-
Si2 = ((10-45)-12)/2 V. Домашнее задание.
I группа: номера из учебника.
II группа: Получить формулу для нахождения суммы w-первых членов
арифметической прогрессии через ai и d. Номера: номера из учебника.