Урок алгебры в 8 классе по теме: Квадратные уравнения. Основные понятия. Методы решения. Решение неполных квадратных уравнений

Конспект урока

по теме:

«Квадратные уравнения.

Основные понятия».

8 класс

Учитель:

Елена Викторовна Лемешко

Тема: Квадратные уравнения. Основные понятия.

Цели: Повторить известные ранее и изучить новые понятия, связанные с темой: «Квадратные уравнения и методы их решения», ознакомить учащихся с аналитическим методом решения неполных квадратных уравнений; выявить необходимость алгоритмического решения квадратных уравнений, не зависящего от эвристик метода разложения на множители и от ненадежности и приблизительности графического метода.

Ход урока:

1. Повторение определения квадратного уравнения.

2. Введение новых понятий.

3. Разбор методов решения квадратных уравнений:

-графический (повторение)

-аналитический

• Аналитические метод решения квадратных уравнений.

• Выявление необходимости в универсальном способе решения любых квадратных уравнений

4. Итоги урока.

5. Домашнее задание.

Подробный конспект хода урока.

1.Вопросы классу:

1. Как называются многочлены вида , где коэффициенты a, b, c - любые действительные числа, причем, а=0?

2. Какое уравнение называют квадратным?

Устно (записи на доске):

Являются ли данные уравнения квадратными? Если да, то чему равны a, b и c?

1) 2) 3) 4)

5) ; 6) 7)*

2. Введение новых понятий.

Настало время изучить квадратные уравнения более детально.

Определение №1:

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1 и соответственно неприведенным, если он отличается от 1.

Примеры:

а) (неприведенное); б) (приведенное).

Вопрос:

Какие из следующих уравнений являются приведенными? В случае неприведенного квадратного уравнения, выполните такие его преобразования, чтобы оно стало приведенным.

Устно (запись на доске).

а) б) в)

г); д)

Определение №2:

Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, т.е. это уравнение вида где, а≠0; b≠0; c≠0.

Неполное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых (т.е. это уравнение с различными комбинациями равенства нулю коэффициентов b и c, но а).

Устно (записи на доске).

Какие из следующих уравнений являются неполными?

а) ; б) в) =; г) .

4. Итоги урока.

Итак, наши успехи в решении квадратных уравнений зависят от наличия двух благоприятных обстоятельств:

1. Квадратный трехчлен удается разложить на множители

2. Графики, которые мы используем для графического решения уравнения, пересекаются в «хороших» точках.

Но рассмотрим пример:

Пример:

3. Например, отыскание абсцисс точек пересечения гиперболы и прямой

Пример:

Недостатки метода:

В большинстве случаев даёт представление лишь о приближённых значениях корней, т.е. этот метод не даёт стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

Аналитический метод

Нам давно знаком метод разложения многочлена на множители, которые в ряде случаев также даёт возможность решить квадратное уравнение.

Остановимся сначала на аналитическом методе решения неполных квадратных уравнений:

• Если , то уравнение имеет вид: |

Ответ:

• Если , то уравнение имеет вид:

или

Ответ: ,

• Если , , , то уравнение имеет вид:

;

;

;

1. Если , то уравнение корней не имеет.

2. Если , то пусть , тогда

Примеры:

;

Ответ:

2. а)

или

Ответ:

б) Варианты оформления решения:

1 вариант 2 вариант

или

или

Ответ: ;

Ответ: ; .

3. a) б)
   
   
   Ответ: уравнение корней
   не имеет ;
   Ответ:

Теперь рассмотрим решение полного квадратного уравнения:

Пример:

1 способ Разложим многочлен на множители с помощью группировки.

Т.о.
или

Ответ:

2 способ Разложим квадратный трёхчлен на множители, используя метод выделения полного квадрата.

Т.о.

Далее аналогично.

Метод разложения на множители в данном случае не применим, да и графический метод дает представление лишь о приближенных значениях корней. Т.о. появляется необходимость найти алгоритм решения квадратных уравнений, не зависящий от эвристик метода разложения на множители и от ненадежности, приблизительности графического метода.

Итак, на следующем уроке, мы познакомимся с универсальным способом, пригодным для решения любых квадратных уравнений.

5. Домашнее задание (на доске):

№955 (устно)- подготовка к математическому диктанту

№966 (б) 1. Разложением на множители

2. Графически

№958-№962(в,г);

№963* (г) (прокомментирован учителем)