Урок одной задачи

Лаптева Ольга Тихоновна,

учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №4»,

город Саянск Иркутской области

Тема: Обобщающий урок по геометрии за курс 8 класса (урок одной задачи)

Тип урока - урок-исследование

Используемый учебник: Л.С.Атанасян Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных классов. М.: Просвещение, 2013

Цель: Развитие личности школьника способной к саморазвитию, самосовершенствованию через формирование способностей к новому способу действий, через исследовательскую деятельность и многообразие подходов при решении одной геометрической задачи, позволяющей повторить весь теоретический курс геометрии 8 класса.

Планируемые результаты

Личностные: формировать положительное отношение к себе, одноклассникам с позиции восприятия теоретического материала, уверенности в необходимости помощи одноклассникам; оценка результатов собственной деятельности, позитивное отношение к процессу обучения

Метапредметные: формировать умения сравнивать, выделять главное в тексте, сравнивать ответ одноклассников с собственным ответом, умения формулировать собственное представление, умение переводить материал из одной знаковой системы в другую. выбирать способ решения в зависимости от конкретных условий; осуществлять контроль и оценку процесса и результатов деятельности.

Предметные: повторить основной теоретический материал курса геометрии, согласно разделам учебника: свойства четырехугольника, площадь фигур, теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора, подобие треугольников, соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике (тригонометрические зависимости).

Основные этапы организации учебной деятельности

Цель этапа

Действия учителя

Действия ученика

Новые результаты

1. Подготовительный

Создание благоприятного настроя на работу

Приветствие. Проверка готовности. Определяет место урока курса геометрии. Работа с учебником.

Учитель просит назвать основные разделы курса геометрии 8 класса.

Предлагает ребятам разбиться на 5 групп по желанию (4 группы-рабочие, 1группа - группа экспертов)

Каждая группа учащихся - маленькая «научная лаборатория», которая выбирает своего «научного руководителя», отвечающего за работу группы.

Всем группам выдается текст задачи, причем текст задачи один и тот же (ребята об этом не знают, секрет будет раскрыт в конце урока при афишировании)

Задача. Найти площадь трапеции, основания которой равны 20 см и 10 см, а боковые стороны 6 см и 8 см.

Включаются в деловой ритм урока.

Называют основные разделы: четырехугольники и их свойства; площади фигур; подобие треугольников; тригонометрические соотношения.

Ребята самостоятельно разбиваются на группы по темам. Группы формируются, согласно, тех разделов, которые изучали в курсе геометрии 8 класса.

1 группа: решить задачу алгебраическим способом, применив свойства параллелограмма (возможны три решения)

2 группа: решить задачу геометрическим способом, применив формулы площади фигур

3 группа: решить задачу, используя тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике

4 группа: решить задачу, используя подобие треугольников

5 группа - группа аналитиков (провести анализ задачи на видоизменив ее условие: найти площадь трапеции со сторонами 6, 8, 10, 20 см)

Сотрудничество с учителем и сверстниками (Л)

Прогнозирование своей деятельности (М)

2. Проектировочный

Создание проблемной ситуации.

Фиксация новых учебных задач.

Координация работы

Анализируют данные и приходят к выводу, что им необходимо решить задачу, применяя только тот раздел теоретического материала, который относится к данной группе.

Определяют учебную задачу, составляют план решения.

Формулируют основополагающие и проблемные вопросы

Анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения; выделяют необходимую информацию; производят логический анализ данных (Л, М, П).

Слушают учителя и товарищей, ставят вопросы, высказывают собственное мнение (М, Л).

Принимают и сохраняют учебную задачу (М).

Личностные: формирование устойчивой мотивации к обучению.

3. Практический

Поиск решения учебной задачи.

Координация работы.

Сбор материала. Оформление решения задачи

Анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения; осмысленно читают математический текст, извлекают нужную информацию (М, Л).

Осознанно строят речевые высказывания, входят в диалог, рефлексия своих действий (М, Л).

Обсуждают, предлагают способы решения задачи, внося коррективы в действия (М, П).

Личностные: формирование готовности к самообразованию, оценивание своих действий на этом этапе урока.

4. Контрольно-коррекционный

Обеспечение восприятия, осмысления и оценки

Координация работы.

Афиширование работ. Самооценка

Формулируют выводы и задают вопросы.

Участвуют в обсуждении (М,П).

Сравнение ответов, оценка (М)

Личностные:

формирование готовности к самообразованию

5. Заключительный

Многообразие подходов при решении одной геометрической задачи

Координация работы. Создание карты проекта.

Подведение итогов, рефлексия

Сбор материала в один проект.

Афиширование 5 группы-группы аналитиков.

Формирование интереса к данному предмету (М, П)

Уметь оформлять свои мысли в устной форме: слушать и понимать речь других (М, Л)

Повышение мотивации учебной деятельности

Личностные: ценностно-смысловая ориентация учащихся.

Приложение

Задача. Найти площадь трапеции, основания которой равны 20 см и 10см, а боковые стороны 6 см и 8 см.

1 группа. I подход к решению задачи

Дано: АВСД - трапеция

АВ = 6 см, ВС = 10 см,

СД = 8 см, АД = 20 см.

В С

Д

А М N

Найти: S АВСД - ?

Решение.

Так как S АВСД =, то задача сводится к нахождению высоты H.

Проведем отрезки ВМ и СN так, что ВМ┴АД и СN┴АД, тогда ВСNМ - прямоугольник. Поэтому ВМ = СN и ВС = МN.

Но в таком случае АМ + NД =10.

Пусть АМ = х (см), тогда NД = 10 - х (см).

По теореме Пифагора из ▲АВМ и ▲СNД: Н² = 6² - х² и Н² =8² - (10 - х) ².

Составим равенство 6² - х² = 8² - (10 - х) ², 36 - х² = 64 - 100 + 20х - х² , 20х = 72, х = 3,6 (см ).

Находим высоту Н: Н² = 36 - 3,6² = 36 - 12,96 = 23,04, Н = (см).

Тогда S АВСД =(см²)

Ответ: 72

Вопрос: можно ли провести только одну высоту для вычисления площади трапеции?

II подход к решению задачи

Дано: АВСД - трапеция

АВ = 6 см, ВС = 10 см,

СД = 8 см, АД = 20 см.

В С

Д

А N К

Найти: S АВСД - ?

Решение.

Пусть ВN ┴АД и ВК‌‌║СД, тогда ВСДК - параллелограмм.

Значит ВК = СД = 8 (см), КД = ВС = 10 (см).

Пусть АN = х (см), тогда NК = (10 -х) см.

Выразим высоту Н из треугольников АВN и ВNК по теореме Пифагора:

Н² = 6² - х² и Н² =8² - (10 - х) ².

Составим равенство 6² - х² = 8² - (10 - х) ², 36 - х² = 64 - 100 + 20х - х² , 20х = 72, х = 3,6 (см ).

Н = 4,8см.

Значит площадь трапеции S АВСД =(см²).

Ответ: 72 см²

На основании теоремы, обратной теореме Пифагора, пришли к выводу, что треугольник АВК - прямоугольный ( 10² = 6² + 8²). Так появилось новое решение.

III подход к решению задачи

Дано: АВСД - трапеция

АВ = 6 см, ВС = 10 см,

СД = 8 см, АД = 20 см.

В С

Д

А N К

Найти: S АВСД - ?

Решение.

Пусть ВN ┴АД и ВК‌‌║СД, тогда КВСД - параллелограмм и

ВК = СД = 8 (см), КД = ВС = 10 (см).

Рассмотрим треугольник АВК: АВ = 6 см, ВК= 8 см, АК = 10 см. Так как 10² = 6² + 8², то треугольник АВК - прямоугольный. Применим к нему одно из следствий теоремы Пифагора, в котором говорится о том, что квадрат катета равен длине проекции этого катета на гипотенузу, умноженной на длину гипотенузы. Для нашего случая: 6² = х ∙10, откуда х = 3,6 (см). Применим терему Пифагора к треугольнику АВN, вычислим Н:

Н² = 36 - 3,6² = 36 - 12,96 = 23,04, Н = (см).

Тогда S АВСД =(см²)

Ответ: 72 см²

Рассмотрели три подхода к решению одной задачи, в которых важную роль играют алгебраические выкладки.

2 группа. I подход к решению задачи (геометрически)

Дано: АВСД - трапеция

АВ = 6 см, ВС = 10 см,

СД = 8 см, АД = 20 см.

В С

Д

А N К

Найти: S АВСД - ?

Решение.

Проводим ВК║СД, тогда ВСДК - параллелограмм, откуда ВС = КД = 10 см, поэтому АК = АД - КД = 10 см. Тогда треугольник АВК - прямоугольный (угол АВN = 90° по теореме, обратной теореме Пифагора, так как 10² = 6² + 8²).

Площадь треугольника АВК вычисляется как полупроизведение его катетов, т.е.

В то же время, , откуда h =

Значит,

Ответ: 72 см²

II подход к решению задачи

Дано: АВСД - трапеция

АВ = 6 см, ВС = 10 см,

СД = 8 см, АД = 20 см.

А N K

Найти: S АВСД - ?

Решение.

В треугольнике АВК известны три стороны, поэтому для нахождения площади можно применить формулу Герона. Для этого сначала подсчитаем полупериметр треугольника АВК. По определению

Теперь найдем площадь треугольника АВК: S = .

Но площадь этого треугольника можно вычислить и по формуле S = , отсюда h = .

Тогда площадь трапеции .

Ответ: 72 см²

3 группа. Решение задачи (через тригонометрические зависимости)

Теперь попробую решить эту задачу, используя тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике. Для этого мне понадобились лишь фрагменты чертежа, которыми сопровождались первые четыре решения.

Дано: АВСД - трапеция

АВ = 6 см, ВС = 10 см,

СД = 8 см, АД = 20 см.

А N К

Найти: S АВСД - ?

Решение.

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВК - прямоугольный.

Тогда Sinα = . Но треугольник АВN - тоже прямоугольный (по построению ВN ┴АК).

Тогда ВN=АВ∙ Sinα = 6∙. Аналогичные выкладки можно проделать и для угла .

Дальнейшее решение очевидно.

Ответ: 72 см²

4 группа. I подход к решению задачи

Дано: АВСД - трапеция

АВ = 6 см, ВС = 10 см,

СД = 8 см, АД = 20 см.

М

В С

6 8

А 10 К 10 Д

Найти: S АВСД - ?

Решение.

Проведем ВК║СД и установим, что ВС=КД, тогда АК=10. По теореме, обратной теореме Пифагора, устанавливаю, что угол АВК=90°, но тогда и угол при вершине М равен 90° по теореме об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Треугольники АВК и АМД - подобны (по двум равным углам: угол А - общий, угол В равен углу М), коэффициент подобия k = 2, так как k=. Отсюда АМ=АВ∙ k = 12 см, ДМ = ВК∙ k = 16 см. Но тогда ВМ = 6см, МС = 8 см, так как В - середина отрезка АМ, С - середина МД. Поскольку треугольники АМД и ВМС прямоугольные,

,

.

Теперь легко найти площадь трапеции:

.

В этом решении была использована лишь часть того, что можно было извлечь из подобия треугольников (т.е. лишь зависимость между сторонами подобных треугольников). Но можно изменить последний фрагмент решения и воспользоваться тем фактом, что отношение площадей подобных треугольников равно k², т.е. . Тогда .

Последняя строка этого решения могла бы выглядеть иначе:

.

Ответ: 72 см²

Но, увидев, что , эту задачу можно решить еще одним способом.

II подход к решению задачи

Дано: АВСД - трапеция

АВ = 6 см, ВС = 10 см,

СД = 8 см, АД = 20 см.

А 10 К 10 Д

Найти: S АВСД - ?

Решение.

Проведем ВК║СД и соединим точки С и К. Треугольники АВК и СКВ равны по двум сторонам и углу между ними: <АВК=<КВС как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД, и секущей ВК. ВК - общая. Тогда АК=ВС. Аналогично доказывается равенство треугольников СКВ и КСД. Получили три равных треугольника АВК, ВКС и КСД.

Тогда .

Ответ: 72 см²

Вывод:

Для решения данной задачи надо было вспомнить:

1. определение трапеции и формулу нахождения ее площади;

2. свойства прямоугольника и параллелограмма;

3. теорему Пифагора;

4. пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольнике;

5. теорему, обратную теореме Пифагора;

6. площадь прямоугольного треугольника;

7. площадь треугольника через основание и высоту;

8. формулу Герона для вычисления площади треугольника;

9. подобие треугольников;

10. теорему об отношении площадей подобных треугольников;

11. тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике

А это и есть весь основной курс 8 класса по геометрии, который вот так легко вспомнить при решении одной задачи.

5 группа. Собственные наблюдения и выводы

Задача. Найти площадь трапеции со сторонами 20, 10, 8 и 6 см

Рассмотрим следующие случаи:

1. Основания трапеции равны 10 и 20см , боковые стороны 6 и 8см. Этот случай рассмотрели ребята, работая в группах

2. Основания трапеции равны 6 и 10см, боковые стороны 8 и 20см.

6

В

20Треугольник АВС со

8

8сторонами 8, 20 и 4 см

не существует, т.к

20>8+4

СЗначит, задача решения

не имеет.

6

4

А

3. Основания трапеции равны 8 и 10см, боковые стороны 6 и 20см.

8

В

Треугольник АВС со

6

20сторонами 2, 6 и 20 см

6не существует, т.к.

20>6+2

СЗначит, задача решения

не имеет.

8

2

А

4. Основания трапеции равны 6 и 8см, боковые стороны 10 и 20см.

6

В

Треугольник АВС со

10

10

20сторонами 10, 2 и 20 см

не существует, т.к.

20>10+2

СЗначит задача решения

не имеет.

6

2

А

5. Основания трапеции равны 6 и 20см, боковые стороны 8 и 10см.

6

Трапеция существует.

8

10Для решения задачи

8можно использовать

один из подходов,

приведенных выше.

6

14

6. Основания трапеции равны 8 и 20см, боковые стороны 6 и 10см.

8

Трапеция существует.

6

10

6Для решения задачи

можно использовать

один из подходов,

приведенных выше.

8

12

При решении задачи в 5 и 6 случаях, вычисления получаются уже сложными и громоздкими.

Заключение

После анализа всех подходов к решению задачи отметили, что лучшими из них оказались первое и последнее. Первое решение выигрывает потому, что кажется наиболее естественным, а последнее выглядит наиболее простым и оригинальным благодаря дополнительным построениям, в результате которых трапеция была разбита на три равных треугольника. Но в идейном смысле самым богатым оказалось предпоследнее, у 4 группы ребят. Здесь и дополнительное построение, неожиданное - достраивание трапеции до треугольника, - и два разных подхода к применению свойств подобных треугольников, и подсказка относительно равенства площадей треугольников, которые рассматривались в последнем решении.

5 группа ребят провела исследование этой же задачи, видоизменив ее условие. В трех случаях из шести задача будет иметь решение, но только при первоначальном условии числовые данные не влекут за собой громоздких математических выкладок.

В ходе решения одной геометрической задачи, ребята смогли повторить весь курс геометрии 8 класса. Проект получил название «Курс геометрии 8 класса в одной задаче».

4