Программа элективного курса по математике для 10 класса

Пояснительная записка

В сложившейся системе обучения математике не заложено формирование навыков осознанного использования логических законов и операций, изучение теории построения правильных умозаключений и теории доказательств, что затрудняет усвоение математики. Учащиеся часто путаются в понятиях пересечения и объединения промежутков, системы и совокупности уравнений и неравенств, необходимого и достаточного условий, в употреблении союзов «и», «или» при формулировке математических утверждений, допускают логические ошибки в рассуждениях и доказательствах

В связи с этим целесообразно введение обобщающего и развивающего элективного курса, посвященного математическому языку и логике.

. Данный курс имеет общеобразовательный и развивающий потенциал, так как способствует формированию грамотности научного языка, внимательного отношения к слову и смыслу речи, приучает анализировать информацию, четко формулировать мысли

. Курс имеет прикладное значение, так как позволяет увидеть универсальность действий логических законов не только в математике, но и в других областях знаний и деятельности

(судебно-следственной практике)

Цели курса:

-повышение уровня математической культуры, развитие логичности и конструктивности мышления;

-формирование у выпускников представления о логике построения математической теории в целом, понимания универсальности законов логики, их применимости как в математике, так и в других областях человеческой деятельности;

-формирование умения аргументировать и доказывать, точно и кратко выражать свои мысли устно и письменно, свободно переходить с языка словесного на символический и наоборот.

Задачи курса:

-формирование умения правильно формулировать математические определения;

-формирование и развитие представлений о математическом языке(словесном, символическом, графическом), умения его использовать;

-формирование умения проведения математических рассуждений и доказательств.

Предлагаемый курс предназначен для учащихся старших классов различных профилей.

Курс рассчитан на 34 часа в 10(11) классе.

Форма занятий- лекции и практикумы-тренинги с использованием поисковых, исследовательских, игровых методов обучения.

Оценивание результатов обучения - контрольная работа или тестирование по каждой теме. Результаты выполнения текущих контрольных работ или тестирования оцениваются по традиционной пятибалльной системе. Итоговая аттестация учащихся осуществляется на основе накопленных оценок за каждую тему.

Примерный учебно-тематический план

Тема занятия

Количество часов

теория

практика

всего

формы контроля

Математическая логика и ее приложения

9

8

17

История возникновения и развития логики

2

сообщение

Основы математической логики

2

2

4

к/р

Приложения алгебры логики

2

2

4

Теория логического доказательства

2

2

4

зачет

Теоремы как сложные математические высказывания и их доказательство

1

2

4

к/р

Математический язык

4

13

17

История формирования математического языка, его разновидности. Виды математических предложений

2

4

6

сообщение

Определения математических понятий и требования к их формулировке

1

5

6

Пр/р

Математическая символика. Переход с языка словесного на символический и наоборот

1

4

5

зачет

Итого

9

25

34

Основное содержание курса

I. Математическая логика и ее приложения

Тема 1. История возникновения и развития логики.

Наука логика, ее зарождение в трудах Аристотеля и дальней-

шее развитие в математике. Традиционная формальная логика. Определение отношений между множествами с использованием диаграмм Эйлера-Венна.

Тема 2. Основы математической логики.

Высказывания. Логические операции (отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквиваленция), их символы и соответствующие им таблицы истинности. Основные законы алгебры логики. Сложные (составные) высказывания. Установление равносильности сложных высказываний. Тождественно-ложные и тождественно-истинные высказывания. Неопределенные высказывания (предикаты). Кванторы общности и существования как логические эквиваленты соответствующих слов естественного языка.

Тема 3. Приложения алгебры логики.

Использование алгебры логики в судебно-следственной практике.

Логика математических задач и теорий: уравнения, неравенства, их системы и совокупности и системы как математические предложения с переменными (предикаты), их равносильность и неравносильность; теоремы как сложные математические высказывания.

Тема 4. Теория логического доказательства.

Сущность и структура доказательства. Требования, предъявляемые к тезису, аргументу и демонстрации. Виды доказательства: прямое (дедуктивное, индуктивное) и косвенное (от противного, разделительное). Опровержение.

Основные ошибки, допускаемые в процессе доказательств. Софизмы. Приложения теории доказательства к математике.

Тема 5. Теоремы как сложные математические высказывания и их доказательство.

Понятие теоремы. Виды и структура теорем. Понятие необходимого, достаточного, необходимого и достаточного условий. Равносильность теорем: прямой и противоположной обратной, обратной и противоположной. Прием «доказательства от противного». Рекомендации и правила для доказательства теорем.

II .Математический язык.

Тема 6.История формирования математического языка, его разновидности. Виды математических предложений.

Возникновение букв, цифр, чисел, знаков, символов в процессе развития математической науки. Языки математики: словесный, символический, графический; области их использования. Виды математических предложений( определения, аксиомы, теоремы, предикаты) и их характеристики. Формы связи в сложных математических предложениях (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание). Вопросы корректности использования союзов «и», «или» при формулировке математических высказываний. Описание информации математического содержания в виде графиков, таблиц, диаграмм.

Тема 7.Определения математических понятий и требования к их формулировке.

Математические понятия. Содержание и объем понятия. Родовое понятие. Первичные (основные) понятия. Определения математических понятий и их разновидности. Основные требования к формулировке определений математических понятий. Классификация математических понятий.

Тема 8.Математическая символика. Переход с языка словесного на символический и наоборот.

Составляющие математической символики, используемые в школьной практике ( алгебраическая и геометрическая символики, символика теории множеств, алгебры логики, векторной и линейной алгебры). Запись математических высказываний и определений с помощью математической символики.

Литература

1.Александрова Н.В. Математические термины. М : Высшая школа, 1978г.

2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. Пособие для учащихся 4-8 кл. - М.: Просвещение, 1988г.

3. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2000г.

4. Столяр А.А. Элементарное введение в математическую логику

Пособие для учителей - М. Просвещение, 1965г.

5.Стойлова Л.П. Математика: Учебное пособие для студ. пед. учеб. заведений. _М., Издательский центр «Академия», 2004г.

6.Гетманова А.Д. Логические основы математики -М., Дрофа,2006г.

Тема 1.

История возникновения и развития логики.

Наука логика, ее зарождение в трудах Аристотеля и дальней-

шее развитие в математике. Традиционная формальная логика. Определение отношений между множествами с использованием диаграмм Эйлера-Венна.

Тема 2.

Основы математической логики.

Высказывания. Логические операции (отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквиваленция), их символы и соответствующие им таблицы истинности.

Основные законы алгебры логики. Сложные (составные) высказывания. Установление истинности и равносильности сложных высказываний.

Предикаты. Кванторы общности и существования.

Тема 3.

Приложения алгебры логики.

Использование алгебры логики в судебно-следственной практике.

Логика математических задач и теорий: уравнения, неравенства, их системы и совокупности как математические предложения с переменными (предикаты), их равносильность и неравносильность; теоремы как сложные математические высказывания

Тема 4.

Теория логического доказательства.

Сущность и структура доказательства. Требования, предъявляемые к тезису, аргументу и демонстрации. Виды доказательства: прямое (дедуктивное, индуктивное) и косвенное (от противного, разделительное). Опровержение.

Ошибки, допускаемые в процессе доказательств. Софизмы. Приложения теории доказательства к математике.

Тема 5.

Теоремы как сложные математические

высказывания и их доказательство.

Понятие теоремы. Виды и структура теорем. Понятие необходимого, достаточного, необходимого и достаточного условий. Равносильность теорем: прямой и противоположной обратной, обратной и противоположной. Прием «доказательства от противного». Рекомендации и правила для доказательства теорем.

Тема 6.

История формирования математического языка,

его разновидности. Виды математических

предложений.

Возникновение букв, цифр, чисел, знаков, символов в процессе развития математической науки. Языки математики: словесный, символический, графический. Виды математических предложений (определения, теоремы, предикаты) и их характеристики. Формы связи в сложных математических предложениях (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание). Вопросы корректности использования союзов «и», «или» при формулировке математических высказываний. Описание информации математического содержания в виде графиков, таблиц, диаграмм.

Тема 7.

Определения математических понятий и

требования к их формулировке.

Математические понятия. Содержание и объем понятия. Родовое понятие. Первичные (основные) понятия. Определения математических понятий и их разновидности. Основные требования к формулировке определений математических понятий.

Тема 8.

Математическая символика. Переход с языка

словесного на символический и наоборот.

Составляющие математической символики, используемые в школьной практике (алгебраическая и геометрическая символики, символика теории множеств, алгебры логики, векторной и линейной алгебры). Запись математических высказываний и определений с помощью математической символики.

С логической стороны юридическая оценка обстоятельств дела протекает, как правило, в форме силлогизма, где большей посылкой выступает определенная норма права, а меньшей- знание о конкретном факте.

Исходя из практической трудности предвидеть и перечислить в законе все , могущие возникнуть в будущем, конкретные виды правоотношений, законодатель предоставляет суду право оценивать непредусмотренные законом случаи по нормам, которые регулируют сходные правоотношения. В этом и состоит суть правового института аналогии закона.

В российской правовой системе аналогия уголовного закона не предусмотрена. Она действует лишь в гражданском праве, что объясняется сложностью хозяйственного оборота и практической трудностью предусмотреть в системе права все, могущие возникнуть в будущем, новые виды гражданско-правовых отношений.

Согласно теории и правовой практики оценка гражданско-правовых отношений по аналогии закона допускается лишь при соблюдении определенных условий: во-первых, требуется отсутствие в системе права нормы, которая бы прямо предусматривала данный вид отношений. Во-вторых, применяемая по аналогии норма права должна предусматривать сходные по своим существенным признакам отношения при несущественности различий.

Правовая оценка протекает в форме умозаключения по аналогии и в случае допущения в судопроизводстве прецедента, когда суд в своих выводах об обоснованиях и пределах правовой ответственности по конкретному делу опирается на ранее вынесенное судом решение по сходному делу.

Анализируя фактический материал, судья и следователь используют не только общие знания, полученные наукой и практикой, а обращаются и к индивидуальному опыту- своему и чужому. Сравнение конкретного дела с ранее исследованными единичными случаями помогает выяснить сходство между ними и на этой основе, уподобив одно событие другому, обнаружить ранее неизвестные признаки и обстоятельства преступления.

В наиболее отчетливой форме умозаключение по аналогии встречается при раскрытии преступлений по способу их совершения.

Например, по делу о квартирной краже следователь обратил внимание на тот факт, что преступники проникли в квартиру в то время, когда хозяйка развешивала белье. Оказалось, что несколько месяцев назад прокуратурой было приостановлено расследование по двум другим делам о квартирных кражах, где преступники использовали аналогичное обстоятельство для проникновения в квартиру. Догадка на основе аналогии в дальнейшем была подтверждена- оказалось, что квартирные кражи были совершены одной и той же группой.

Так, в процессе предварительного расследования и судебного следствия обращение к аналогии вполне правомерно, здесь она выполняет эвристическую функцию- служит стимулом к размышлению, выступает логической основой построения версий.

Умозаключение по аналогии часто используется при производстве отдельных видов криминалистических экспертиз, ставящих задачу идентификации личности или материальных предметов: установление личности по признакам внешности, по отпечаткам пальцев, по следам ног, зубов, рук и т.д.

С логической стороны вывод эксперта в таких случаях идентификации- это переход от знания об одном единичном предмете к знанию о другом, подобном предмете. Обнаружение сходства в устойчивых, повторяющихся признаках при случайном характере различий, а также выявление качественно неповторимой, индивидуальной зависимости между сходными признаками- таковы основные условия, выполнение которых обеспечивает обоснованный вывод по аналогии при производстве криминалистической экспертизы. Эти требования совпадают с теми правилами, которые предъявляются логикой к умозаключениям строгой аналогии. Эти умозаключения нередко играют важную эвристическую роль, оказывая неоценимую услугу следствию в поисках истины: при построении версий и их проверке, при выполнении оперативных действий.