- Преподавателю
- Математика
- Задачник-практикум по теме Тригонометрия
Задачник-практикум по теме Тригонометрия
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Ерисова В.П. |
Дата | 28.09.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Министерство образования и науки Самарской области
ГОУ СПО Тольяттинский техникум технического и художественного образования
ЗАДАЧНИК - ПРАКТИКУМ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ
г. Тольятти, 2010
ОДОБРЕНА
Составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальности СПО
Предметной (цикловой) комиссией естественно- научного цикла
Председатель:
Зам. директора по УМР
_______/ Самойлова Л.В.
____________/ УреневаИ.И.
Ерисова В.П преподаватель математики, ГОУ СПО Тольяттинский техникум технического и художественного образования
Учебно-методическое пособие по подготовке студентов к тематическому зачету. «Задачник-практикум по тригонометрии».(Для специальностей технического профиля 1-2 курса)
Рецензенты:
Ю.И. Вдовин -
Доктор технических наук , зав. кафедрой Тольяттинского государственного университета
Задачник-практикум по тригонометрии. - Тольятти: ТТТиХО, 2010, - С.
Сборник содержит задания раздела «Тригонометрия». Задачи подобраны с учетом требований государственного образования стандарта общего образования. Рекомендуется преподавателям математики и обучающимся учреждений начального и среднего профессионального образования.
Введение
Настоящий задачник-практикум составлен в соответствии с программой по математике для образовательных учреждений СПО. Также он может быть использован учебными заведениями, реализующими программы НПО.
Цель его - помочь обучающимся в изучении раздела математики «Тригонометрические преобразования», решать уравнения, уравнения с параметрами, с модулем, системы и неравенства.
Практикум составлен исходя из учета тех трудностей, с которыми встречаются обучающиеся.
Много заданий дано с подробным решением. Предлагаются задания для самоконтроля.
Настоящий задачник-практикум рассчитан для самостоятельного изучения данного раздела математики. Он поможет студентам подготовиться к контрольной работе, зачету.
При составлении задачника были использованы учебники, учебные пособия и сборники задач.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Основные формулы тригонометрии
Рассмотрим единичную тригонометрическую окружность.
Синусом угла называется ордината точки - конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол .
Косинусом угла называется абсцисса точки - конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол .
Тангенсом угла называется отношение абсциссы к ординате точки - конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол .
Котангенсом угла называется отношение абсциссы к ординате точки - конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол .
-
Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла:
-
Формулы сложения:
-
Формулы кратких аргументов:
-
Формулы понижения степени:
-
Формулы преобразования сумм и разностей в произведения:
-
Формулы преобразования произведений в суммы или разности:
-
Формул приведения
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
-
Упростите выражение
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Упростите выражение:
-
Докажите тождество:
-
Докажите тождество:
7.Докажите тождество:
8. Докажите тождество:
9. Докажите тождество:
10. Вычислите:
-
Вычислите:
12. Дано: и
Найдите:
-
Упростите выражение и найдите его числовое значение:
УПРАЖНЕНИЯ
1.1. Представить в виде произведения выражения:
1.2. Доказать тождество:
1.3. Упростить выражение:
РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Применяя различные преобразования при решении тригонометрических уравнений, мы приходим к простейшим уравнениям, формулы решения которых следует запомнить:
а)
Это уравнение имеет решения, если или Общее решение этого уравнения записывается в виде
Если же , то данное уравнение не имеет решений, что следует запомнить, т.к. забывая об этом, учащиеся часто допускают ошибки.
Например, решая уравнение и не учитывая, что , записывают «решение» этого уравнения в виде , несмотря на то, что функция arcsin x не определена в точке и приведенная запись не имеет смысла.
ПРИМЕР 1
Решить уравнение:
Решение.
но arcsin 0 = 0, следовательно решение этого уравнения можно записать так:
ПРИМЕР 2
Решить уравнение:
Решение.
но , тогда получаем
.
При четном к = 2n; ;
при нечетном .
Оба случая дают одну и ту же формулу
,
которая и является решением.
ПРИМЕР 3
Решить уравнение:
Решение.
Так как , то
При четном
при нечетном
Оба случая дают одну и ту же формулу
которая является решением.
Решения, полученные в примерах 1 - 3, целесообразно запомнить, так как их запись является более удобной, чем запись решения в общем виде.
б) Это уравнение имеет решение, если или
Общее решение этого уравнения записывается в виде
,
где , ,
Если , уравнение решения не имеет.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи, когда запись решения допускает упрощения.
ПРИМЕР 4
Решить уравнение:
Решение:
П
о общей формуле
но , поэтому решение уравнения записывается так:
ПРИМЕР 5
Решить уравнение:
Решение.
По общей формуле
но , поэтому решение уравнения записывается так:
.
ПРИМЕР 6
Решить уравнение:
Решение
По общей формуле
Заменяя его значением, получим
Выражение обозначает множество чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1, а выражение обозначает множество чисел, дающих в остатке 3. Такими свойствами обладает множество нечетных чисел, следовательно, выражение может быть заменено выражением , обозначающим множество всех нечетных чисел. Поэтому решение уравнения записывают так:
Записи решений трех рассмотренных уравнений также следует запомнить.
в) Это уравнение имеет решения при любых значениях
Общее решение этого уравнения записывается в виде
где
ПРИМЕР 7
Решить уравнение:
Решение
но , следовательно,
ПРИМЕР 8
Решить уравнение:
Решение
,
но , следовательно,
ПРИМЕР 9
Решить уравнение:
Решение
,
но , поэтому
Рассмотреть еще несколько примеров решения простейших тригонометрических уравнений.
Решить уравнения: 1)
Решение
Так как , то общее решение уравнения запишется в виде
2)
Решение
Так как общее решение уравнения запишется в виде
3)
Решение
Используя тождество , получим
,
или окончательно
4)
Решение
Так как , данное уравнение решений не имеет, т.е.
5)
Решение
,
или
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА
Уравнения вида легко сводятся к простейшим введением вспомогательного неизвестного а уравнение вида
сводятся к алгебраическим, путем соответствующих подстановок
ПРИМЕР 1
Решить уравнение:
Решение
ПРИМЕР 2
Решить уравнение:
Решение
ПРИМЕР 3
Решить уравнение:
Решение
так как , произведение , а это возможно лишь для , то есть получим уравнение:
ПРИМЕР 4
Решить уравнение:
Решение
, то выражение при любом , поэтому данное уравнение решений не имеет.
Ответ:
ПРИМЕР 5
Решить уравнение:
Решение
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ ВИДУ ОТНОСИТЕЛЬНО КАКОЙ-ЛИБО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Один из приемов решения тригонометрических уравнений состоит в том, что различные тригонометрические функции, входящие в данное уравнение, выражаются через одну и ту же функцию с одинаковым аргументом. Тем самым тригонометрическое уравнение с помощью подстановки приводится к алгебраическому, которое и решается на основании общих методов решения алгебраических уравнений.
ПРИМЕР 1
Решить уравнение:
Решение
Пусть
Ответ:
ПРИМЕР 3
Решить уравнение:
Решение
Применяя тождество , получим
Применив подстановку , получим квадратное уравнение, корни которого
Применяя обратную подстановку, получим
Ответ:
ПРИМЕР 4
Решить уравнение:
Решение
Применим тождество: ,
тогда исходное уравнение можно записать в виде
Полагая , а уравнение
Ответ:
Если все функции, входящие в данное уравнение, имеют одинаковый аргумент, то тригонометрическое уравнение сводится к алгебраическому с помощью следующих тригонометрических тождеств:
Однако использование данных формул ведет к сужению области определения исходного уравнения, при этом возможна потеря решений. Поэтому после окончания решения необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение значение неизвестного
или
при которых правая часть указанных тождеств не имеет смысла.
ПРИМЕР 5
Решить уравнение:
Решение
Заменяя и через тангенс половинного аргумента и применяя подстановку , получим
Корни этого уравнения и Тогда
Полученные значения х являются сериями решений исходного уравнения, остается проверить, не являются ли корнями значения , подставляя это значение в левую часть исходного уравнения, получим
,
то есть не является корнем исходного уравнения.
Ответ:
ПРИМЕР 6
Решить уравнение:
Решение
Выражая и через , а , в свою очередь, обозначив через t, получим
Отсюда , то есть и
Подставим теперь в левую часть исходного уравнения Имеем Так как - верное равенство, значение также является корнем исходного уравнения. После этого записываем ответ:
Отметим, что далеко не все тригонометрические уравнения, приводимые к алгебраическому виду относительно какой-либо функции, имеют простое решение. Покажем это на примерах.
ПРИМЕР 7
Решить уравнение:
Решение
Используем тождество
Тогда
После подстановки получим , откуда
Тогда Дискриминант этого квадратного относительно уравнения отрицателен, следовательно,
Пусть теперь
Рассмотрим еще один тип тригонометрических уравнений, которые можно свести к алгебраическим относительно какой-либо функции, так называемые однородные тригонометрические уравнения.
Определение. Тригонометрическое уравнение называется однородным, если левая часть его - однородный многочлен относительно и , а правая часть - нуль.
Например, - однородное тригонометрическое уравнение. Покажем общий способ решения таких уравнений.
ПРИМЕР 8
Решить уравнение:
Решение
Очевидно, значение не является решением этого уравнения, так как предположив, что , получим и для одних и тех же х, что противоречит тождеству Следовательно, для данного уравнения Тогда, не нарушая равносильности, можно обе части уравнения (8) поделить на . Получим
Ответ:
ПРИМЕР 9
Решить уравнение:
Решение
Учитывая, что в данном уравнении , после деления на получим
,
откуда и
и
Ответ:
ПРИМЕР 10
Решить уравнение:
Решение
Это уравнение не является однородным, но мы можем свести его к однородному, записав свободный член в виде
,
тогда После деления на и приведения подобных членов, получим
Ответ:
ПРИМЕР 11
Решить уравнение:
Решение
Приведем это уравнение к однородному и решим его так же, как и предыдущее;
Ответ:
СПОСОБ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,
ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СВОЙСТВ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО
Если после переноса всех членов уравнения в левую часть полученное выражение можно разложить на множители, то можно воспользоваться свойством произведения: произведение двух или нескольких сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следует особо подчеркнуть, что корни какого-либо из сомножителей могут не входить в область определения другого сомножителя, то есть необходима проверка полученных решений. Посторонние корни могут появиться и в результате тождественных преобразований в частях уравнения. Например, уравнение и уравнение не является равносильным, так как уравнение (1) не имеет корней, а решением уравнения (2) является значение В этом случае также необходима проверка решений. Рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 1
Решить уравнение:
Решение
Перенося единицу в левую часть уравнения и используя тождество , получим
Приравнивая к нулю каждый множитель, получим совокупность уравнений, которая в данном случае равносильна исходному
Ответ:
ПРИМЕР 2
Решить уравнение:
Решение
Перенося все члены уравнения в левую часть и применяя тождество и получим
,
откуда
Ответ:
ПРИМЕР 3
Решить уравнение:
Решение
,
но эти значения х не входят в область определения второго сомножителя, значит, являются посторонними. Приравнивая к нулю второй сомножитель, получим
Ответ:
ПРИМЕР 4
Решить уравнение:
Решение
Используя тождество ,
получим
Ответ:
ПРИМЕР 5
Решить уравнение:
Решение
Применяя тождество ,
получим
Ответ:
ПРИМЕР 6
Решить уравнение:
Решение
Ответ:
ПРИМЕР 7
Решить уравнение:
Решение
Условие, снимающее знак (*), , поэтому (в силу того, что )
Ответ:
ПРИМЕР 8
Решить уравнение:
Решение
Ответ:
ПРИМЕР 9
Решить уравнение:
Решение
Так как перепишем уравнение в виде
Ответ:
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
С ЧЕТНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Если в тригонометрическое уравнение входят функции с четным показателем, очень часто приводит к цели применения формул понижения степени
В некоторых случаях возможность наиболее простого решения уравнения дает применение тождества Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
ПРИМЕР 1
Решить уравнение:
Решение
Применяя формулы понижения степени, получим
Ответ:
ПРИМЕР 2
Решить уравнение:
Решение
Выражая и через тангенс половинного аргумента и применяя подстановку , получим
Подставляя в исходное уравнение значение , получим
Следовательно, потеря корней не произошла.
Ответ:
ПРИМЕР 3
Решить уравнение:
Решение
Приведем функции левой части уравнения к одному аргументу
откуда
Ответ:
ПРИМЕР 4
Решить уравнение:
Решение
Применяя формулу понижения степени и формулы приведения, получим
Ответ:
ПРИМЕР 5
Решить уравнение:
Решение
Так как
,
получим
Ответ:
Второй способ. Прибавляя к левой и правой части уравнения выражение , получим
Ответ:
ПРИМЕР 6
Решить уравнение:
Решение
Применяя формулы понижения степени, получим
Ответ:
ПРИМЕР 7
Решить уравнение:
Решение
Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:
Тогда исходное уравнение запишется в виде
Ответ:
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА
Рассмотрим уравнение вида ,
где и . Это уравнение можно решить одним из следующих способов:
а) возведение обеих частей уравнения в квадрат;
б) выражение всех функций через тангенс половинного угла;
в) введение вспомогательного угла.
Применение первого способа может привести к приобретению посторонних корней, и проверка полученных решений бывает очень громоздкой. При использовании второго способа может произойти потеря решения вида . Наиболее удобным является способ введения вспомогательного угла. Рассмотрим этот метод в общем виде.
Разделим обе части уравнения (1) на , получим
Так как , то существует угол такой, что
и ,
тогда уравнение (1) можно переписать в виде
или
Последнее уравнение разрешимо только в том случае, когда
или
Когда это условие выполнено, решение уравнения (1) запишется следующим образом:
и угол определяется из формул (2) . Если же условие (3) не выполнено, то уравнение (1) решений не имеет.
Рассмотрим несколько примеров.
ПРИМЕР 1
Решить уравнение:
Решение
Запишем уравнение в виде ,
тогда
Так как и , то в качестве угла можно взять , и уравнение запишем в виде
Ответ:
ПРИМЕР 2
Решить уравнение:
Решение
Умножая обе части уравнения на и перенося все члены уравнения в левую часть, получим
Учитывая, что и , запишем уравнение в виде
Или, применяя формулу приведения,
Приравнивая каждый сомножитель к нулю, получим две серии решений:
Ответ:
ПРИМЕР 3
Решить уравнение:
Решение
В этом уравнении ,
следовательно, условие не выполняется, и уравнение не имеет решений. Ответ:
ОЦЕНКА ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ
При решении некоторых тригонометрических уравнений рассмотренные выше способы не приводят к цели. В этом случае предварительная оценка левой и правой частей уравнения иногда позволяет быстро установить, имеет ли оно корни, и существенно упростить решение.
ПРИМЕР 1
Решить уравнение:
Решение
Учитывая, что и , заключаем, что часть уравнения будет равна правой только тогда, когда
но синус и косинус одного и того же аргумента одновременно быть равными единицы не могут, так как это противоречит тождеству , поэтому данное уравнение решений не имеет.
Ответ:
ПРИМЕР 2
Решить уравнение:
Решение
Левая часть уравнения может быть равной трем только в том случае, когда
Из первого уравнения системы имеем , подставляя это значение х в третье уравнение системы, получим , следовательно, данная система решений не имеет.
Ответ:
ПРИМЕР 3
Решить уравнение:
Решение
Очевидно, правая часть уравнения удовлетворяет условию . Для оценки левой части уравнения воспользуемся свойствами числовых неравенств. Очевидно,
складывая эти неравенства, получим . Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно следующей системе:
Из второго уравнения системы имеем: и . Подставляя эти значения х в первое уравнение системы, получим , то есть является решением исходного уравнения.
Пусть , тогда
Значит, не является решением исходного уравнения.
Ответ:
ПРИМЕР 4
Решить уравнение:
Решение
Оценим левую часть уравнения. Так как и , левая часть уравнения может быть равной единице только в том случае, если
а) б)
Решая систему (а), получим . Подставляя это значение х во второе уравнение системы (а), получим , то есть является решением исходного уравнения.
Решим систему (б) . Подставим это значение во второе уравнение системы (б), получим
то есть тоже является решением исходного уравнения. Тогда ответ для исходного уравнения запишется в виде
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
При решении иррациональных тригонометрических уравнений после возведения обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Рассмотрим примеры решения таких уравнений, выбирая метод проверки, адекватный полученному решению.
ПРИМЕР 1
Решить уравнение:
Решение
Уравнение решений не имеет. Остается . Условие, снимающее знак (*) в первом переходе, , значит, решение уравнения должно принадлежать четвертой четверти, то есть
Ответ:
ПРИМЕР 2
Решить уравнение:
Решение
откуда или . Условие равносильности , значит посторонний корень. Остается
Ответ:
ПРИМЕР 3
Решить уравнение:
Решение
откуда
откуда и Так как в решении знак (*) отсутствует, фиксируем ответ:
.
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
С -1. Простейшие тригонометрические уравнения.
Вариант1
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Вариант 2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
С - 2. Многовариантная самостоятельная работа на простейшие тригонометрические уравнения.
Решите тригонометрическое уравнение, если - один из его корней (см. таблицу).
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант6
1)
2)
3)
4)
5)
6)
С - 3. Применение условий равенства двух одноименных тригонометрических функций.
Вариант 1
1) 2) 3) 4)
Вариант 2
1) 2) 3) 4)
Вариант 3
1) 2) 3) 4)
С - 4. Уравнения, решающиеся методом подстановки.
-
Решите уравнение вида , если
1 вариант
2 вариант
3 вариант
4 вариант
5 вариант
6 вариант
2) Решите уравнение вида , если является корнем данного уравнения:
1 вариант
2 вариант
3 вариант
4 вариант
5 вариант
6 вариант
С - 5. Уравнения, решающиеся введением новой переменной.
Вариант 1
1)
2) , если является корнем;
3) , если является корнем;
4) , если является корнем.
Вариант 2
1)
2) , если является корнем;
3) , если является корнем;
4) , если является корнем.
Вариант 3
1)
2) , если является корнем;
3) , если является корнем;
4) ,если является корнем.
С - 6. Однородные уравнения.
Вариант 1
1)
2)
3)
4)
Вариант 2
1)
2)
3)
4)
Вариант 3
1)
2)
3)
4)
С - 7. Уравнения, решающиеся разложением на множители.
Вариант 1
1)
2)
3)
4)
Вариант 2
1)
2)
3)
4)
С - 8. Уравнения вида
1)
2)
3)
4)
5)
6)
С-9
Вариант 1
1) а) Решите уравнение
Ответ:
б) Решите уравнение
Ответ:
Вариант 2
3) а) Найдите критические точки функции
Ответ:
б) Найдите критические точки функции
Ответ:
Вариант 3
4) а) Найдите критические точки функции
Ответ:
б) Найдите критические точки функции
Ответ:
Вариант 4
4) а) Решите уравнение
Ответ:
б) Решить уравнение
Ответ:
Вариант 5
6) а) Найдите критические точки функции и укажите среди них одну из точек максимума.
Ответ: - точка максимума.
б) Найдите критические точки функции и укажите среди них одну из точек минимума.
Ответ: - точка минимума.
Вариант 6
4) а) Сколько корней имеет уравнение на отрезке ?
Ответ: 100.
б) Сколько корней имеет уравнение на отрезке ?
Ответ: 50.
Вариант 7
3) а) Вычислите абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функции и
Ответ: точки вида
б) Вычислите абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функций и
Ответ: точки вида
Вариант 8
4) а) Найдите все значения х, при которых выражение имеет смысл и не обращается в нуль.
Ответ:
Простейшие уравнения с параметром.
В заданиях 1 - 7 нужно решить уравнения для всех значений а.
1)
Ответ:
2)
Ответ:
3)
Ответ:
4)
Ответ:
5)
Ответ:
6)
Ответ:
7)
Ответ:
8) При каких значениях а уравнение не имеет решения?
Данное уравнение не будет иметь решений, если парабола, задаваемая функцией , будет расположена одним из трех способов: см. рисунок.
1.
2. Так как , то
3. Такого быть не может, так как
Ответ:
Решить самостоятельно.
-
При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?
Ответ:
-
При каких значениях параметра а уравнение имеет решения?
Ответ:
-
При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно один корень на отрезке ?
Ответ:
-
При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно один корень на интервале ?
Ответ:
Системы тригонометрических уравнений
1.
Ответ:
В записи ответа участвует одна переменная.
2.
Ответ:
3.
Эту систему моно решать как линейную относительно и .
Ответ:
4.
Удобнее рассмотреть по отдельности четыре системы, совокупность которых равносильна исходной системе.
Ответ:
5.
Необходимо рассмотреть два случая:
а)
б)
Следствием этой системы является уравнение
Пусть
Пусть
Ответ:
Системы уравнений, в которых одно уравнение - алгебраическое, а другое тригонометрическое.
а)
б)
Системы, в которых оба уравнения - тригонометрические уравнения
1)
или
Ответ:
2)
или
Ответ:
3)
или
Ответ:
4)
или
Ответ:
5)
Ответ:
6)
Так как
или
Ответ:
7)
Ответ:
8)
Пусть тогда
Это уравнение равносильно следующей схеме
так как
Ответ:
Решить самостоятельно
а) Решить систему уравнений
Ответ:
б) Решите систему уравнений
Ответ:
Примеры решения тригонометрических неравенств
1)
Ссылаясь на формулу , преобразуем левую часть неравенства:
Значит, данное неравенство равносильно неравенству . Отсюда . Следовательно,
2)
Пусть , где . при , т.е. при . Значит, , следовательно,
3)
Предположим , откуда . Решим неравенство . Корни квадратного уравнения . Отсюда при или
Ограничение дает либо , либо . Заменяя t на cos x, получим:
а) либо , т.е.
б) либо , т.е. .
Ответ: , или
4) . Область определения . Представив неравенство в виде
,
получим двойное неравенство , равносильное данному. Значит,
5)
Так как , то данное неравенство сводится к равносильному неравенству Отсюда:
а) , т.е. , или
б) , т.е.
Упражнения
Решить уравнения:
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
ВАРИАНТ 1
1. Упростить выражение:
2. Дано: и
Найдите:
3. Докажите тождество:
4. Доказать, что функция является чётной.
5. Вычислить:
ВАРИАНТ 2
1. Упростить:
2. Дано: и
Найдите:
3. Доказать тождество:
4. Доказать, что функция является чётной.
5. Вычислить:
ВАРИАНТ 3
1. Упростить:
2. Дано: и
Найдите:
3. Докажите тождество:
4. Доказать, что функция является нечётной
5. Вычислить:
ВАРИАНТ 4
1. Упростить:
2. Дано:
Найдите:
3. Доказать тождество:
4. Доказать, что функция не является ни чётной, ни нечётной.
5. Вычислить:
ВАРИАНТ 5
1. Упростить
2. Дано:
Найдите:
3. Доказать тождество:
4. Доказать, что функция является чётной.
5. Вычислить
ВАРИАНТ 6
1. Упростить:
2. Дано:
Найдите:
3. Доказать тождество:
4. Доказать, что функция является нечетной
5. Вычислить:
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВАРИАНТ 1
1. Решить уравнение:
2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:
3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.
ВАРИАНТ 2
1. Решите уравнение:
2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:
3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.
ВАРИАНТ 3
1. Решите уравнение:
2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющее неравенству:
3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.
ВАРИАНТ 4
1. Решите уравнение:
2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:
3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.
ВАРИАНТ 5
1. Решите уравнение:
2. Решите неравенство:
3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.
ВАРИАНТ 6
1. Решите уравнение:
2. Решите неравенство:
3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания одновременно.
Оглавление
Введение 3
Тригонометрические функции числового аргумента 4
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла 4
Формулы приведения 6
Преобразование тригонометрических выражений 6
Упражнения 8
Решение простейших тригонометрических уравнений 9
Решение тригонометрических уравнений вида sin f(x) = a 14
Приведение уравнений к алгебраическому виду относительно к какой -либо тригонометрической функции 15
Способы решения уравнений, основанных на использовании свойств произведения и частного 21
Решение уравнений. Тригонометрические функции с четным показателем 25
Решение тригонометрических уравнений методом вспомогательного угла 29
Оценка левой и правой частей уравнения 32
Иррациональные тригонометрические уравнения 34
Самостоятельные работы 37
Простейшие уравнения с параметром 43
Решить самостоятельно 45
Системы тригонометрических уравнений 45
Системы уравнений, в которых одно уравнение алгебраическое, а другое тригонометрическое 48
Решить самостоятельно 52
Примеры решений тригонометрических неравенств 52
Упражнения 55
Контрольные вопросы 56
Литература.
-
Колмогоров «Алгебра и начала анализа». М., 1990.
-
В.В. Кулешов «Задачи по элементарной математике» Тольятти, 1994.
-
Сборник задач по математике для поступающих во втузы (под редакцией М.И. Сканави М., 1998)
-
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия М., 1991.
-
Бородулл И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М., 1989.
65