Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Министерство образования и науки Самарской области

ГОУ СПО Тольяттинский техникум технического и художественного образования






ЗАДАЧНИК - ПРАКТИКУМ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ



















г. Тольятти, 2010

ОДОБРЕНА

Составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальности СПО

Предметной (цикловой) комиссией естественно- научного цикла

Председатель:

Зам. директора по УМР

_______/ Самойлова Л.В.

____________/ УреневаИ.И.

Ерисова В.П преподаватель математики, ГОУ СПО Тольяттинский техникум технического и художественного образования

Учебно-методическое пособие по подготовке студентов к тематическому зачету. «Задачник-практикум по тригонометрии».(Для специальностей технического профиля 1-2 курса)

Рецензенты:

Ю.И. Вдовин -

Доктор технических наук , зав. кафедрой Тольяттинского государственного университета

Задачник-практикум по тригонометрии. - Тольятти: ТТТиХО, 2010, - С.

Сборник содержит задания раздела «Тригонометрия». Задачи подобраны с учетом требований государственного образования стандарта общего образования. Рекомендуется преподавателям математики и обучающимся учреждений начального и среднего профессионального образования.

Введение


Настоящий задачник-практикум составлен в соответствии с программой по математике для образовательных учреждений СПО. Также он может быть использован учебными заведениями, реализующими программы НПО.

Цель его - помочь обучающимся в изучении раздела математики «Тригонометрические преобразования», решать уравнения, уравнения с параметрами, с модулем, системы и неравенства.

Практикум составлен исходя из учета тех трудностей, с которыми встречаются обучающиеся.

Много заданий дано с подробным решением. Предлагаются задания для самоконтроля.

Настоящий задачник-практикум рассчитан для самостоятельного изучения данного раздела математики. Он поможет студентам подготовиться к контрольной работе, зачету.

При составлении задачника были использованы учебники, учебные пособия и сборники задач.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Основные формулы тригонометрии

Рассмотрим единичную тригонометрическую окружность.

Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Синусом угла Задачник-практикум по теме Тригонометрия называется ордината точки - конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол Задачник-практикум по теме Тригонометрия.

Косинусом угла Задачник-практикум по теме Тригонометрияназывается абсцисса точки - конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол Задачник-практикум по теме Тригонометрия.

Тангенсом угла Задачник-практикум по теме Тригонометрия называется отношение абсциссы к ординате точки - конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол Задачник-практикум по теме Тригонометрия.

Котангенсом угла Задачник-практикум по теме Тригонометрия называется отношение абсциссы к ординате точки - конца подвижного радиуса единичной тригонометрической окружности, повернутого на угол Задачник-практикум по теме Тригонометрия.

  1. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же угла: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. Формулы сложения: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. Формулы кратких аргументов: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  2. Формулы понижения степени:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. Формулы преобразования сумм и разностей в произведения:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. Формулы преобразования произведений в суммы или разности: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. Формул приведения

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

  1. Упростите выражение

Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. Упростите выражение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  2. Упростите выражение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия


  1. Упростите выражение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  2. Докажите тождество: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  3. Докажите тождество: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

7.Докажите тождество: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

8. Докажите тождество: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

9. Докажите тождество: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

10. Вычислите: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. Вычислите: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

12. Дано: Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Найдите:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. Упростите выражение и найдите его числовое значение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия


УПРАЖНЕНИЯ

1.1. Представить в виде произведения выражения:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

1.2. Доказать тождество:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

1.3. Упростить выражение:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Применяя различные преобразования при решении тригонометрических уравнений, мы приходим к простейшим уравнениям, формулы решения которых следует запомнить:

а) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Это уравнение имеет решения, если Задачник-практикум по теме Тригонометрия или Задачник-практикум по теме Тригонометрия Общее решение этого уравнения записывается в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Если же Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то данное уравнение не имеет решений, что следует запомнить, т.к. забывая об этом, учащиеся часто допускают ошибки.

Например, решая уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия и не учитывая, что Задачник-практикум по теме Тригонометрия, записывают «решение» этого уравнения в виде Задачник-практикум по теме Тригонометрия, несмотря на то, что функция arcsin x не определена в точке Задачник-практикум по теме Тригонометрия и приведенная запись не имеет смысла.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение.

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

но arcsin 0 = 0, следовательно решение этого уравнения можно записать так:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение.

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

но Задачник-практикум по теме Тригонометрия, тогда получаем

Задачник-практикум по теме Тригонометрия.

При четном к = 2n; Задачник-практикум по теме Тригонометрия;

при нечетном Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия.

Оба случая дают одну и ту же формулу

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

которая и является решением.

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение.

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то Задачник-практикум по теме Тригонометрия

При четном Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

при нечетном Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Оба случая дают одну и ту же формулу

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

которая является решением.

Решения, полученные в примерах 1 - 3, целесообразно запомнить, так как их запись является более удобной, чем запись решения в общем виде.

б) Задачник-практикум по теме Тригонометрия Это уравнение имеет решение, если Задачник-практикум по теме Тригонометрия илиЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Общее решение этого уравнения записывается в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

где Задачник-практикум по теме Тригонометрия, Задачник-практикум по теме Тригонометрия, Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Если Задачник-практикум по теме Тригонометрия, уравнение решения не имеет.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи, когда запись решения допускает упрощения.

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение:

ПЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

о общей формуле
но Задачник-практикум по теме Тригонометрия, поэтому решение уравнения Задачник-практикум по теме Тригонометрия записывается так:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение.

По общей формуле Задачник-практикум по теме Тригонометрия

но Задачник-практикум по теме Тригонометрия, поэтому решение уравнения Задачник-практикум по теме Тригонометрия записывается так:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия.

ПРИМЕР 6

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

По общей формуле Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Заменяя Задачник-практикум по теме Тригонометрия его значением, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Выражение Задачник-практикум по теме Тригонометрия обозначает множество чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1, а выражение Задачник-практикум по теме Тригонометрия обозначает множество чисел, дающих в остатке 3. Такими свойствами обладает множество нечетных чисел, следовательно, выражение Задачник-практикум по теме Тригонометрия может быть заменено выражением Задачник-практикум по теме Тригонометрия, обозначающим множество всех нечетных чисел. Поэтому решение уравнения Задачник-практикум по теме Тригонометрия записывают так:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Записи решений трех рассмотренных уравнений также следует запомнить.

в) Задачник-практикум по теме Тригонометрия Это уравнение имеет решения при любых значениях Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Общее решение этого уравнения записывается в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

где Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 7

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

но Задачник-практикум по теме Тригонометрия, следовательно,

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 8

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

но Задачник-практикум по теме Тригонометрия, следовательно, Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 9

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

но Задачник-практикум по теме Тригонометрия, поэтому

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Рассмотреть еще несколько примеров решения простейших тригонометрических уравнений.

Решить уравнения: 1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то общее решение уравнения запишется в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия общее решение уравнения запишется в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Используя тождество Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

или окончательно

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия, данное уравнение решений не имеет, т.е. Задачник-практикум по теме Тригонометрия

5) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

или

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА

Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Уравнения вида Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометриялегко сводятся к простейшим введением вспомогательного неизвестного Задачник-практикум по теме Тригонометрия а уравнение вида

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

сводятся к алгебраическим, путем соответствующих подстановок

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометриятак как Задачник-практикум по теме Тригонометрия, произведение Задачник-практикум по теме Тригонометрия, а это возможно лишь для Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то есть получим уравнение:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то выражение Задачник-практикум по теме Тригонометрия при любом Задачник-практикум по теме Тригонометрия, поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ ВИДУ ОТНОСИТЕЛЬНО КАКОЙ-ЛИБО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Один из приемов решения тригонометрических уравнений состоит в том, что различные тригонометрические функции, входящие в данное уравнение, выражаются через одну и ту же функцию с одинаковым аргументом. Тем самым тригонометрическое уравнение с помощью подстановки приводится к алгебраическому, которое и решается на основании общих методов решения алгебраических уравнений.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Пусть Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Применяя тождество Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Применив подстановку Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим квадратное уравнение, корни которого

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Применяя обратную подстановку, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Применим тождество: Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

тогда исходное уравнение можно записать в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Полагая Задачник-практикум по теме Тригонометрия, а уравнение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Если все функции, входящие в данное уравнение, имеют одинаковый аргумент, то тригонометрическое уравнение сводится к алгебраическому с помощью следующих тригонометрических тождеств:

Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Однако использование данных формул ведет к сужению области определения исходного уравнения, при этом возможна потеря решений. Поэтому после окончания решения необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение значение неизвестного

Задачник-практикум по теме Тригонометрияили Задачник-практикум по теме Тригонометрия

при которых правая часть указанных тождеств не имеет смысла.

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Заменяя Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия через тангенс половинного аргумента и применяя подстановку Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Корни этого уравнения Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия Тогда Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Полученные значения х являются сериями решений исходного уравнения, остается проверить, не являются ли корнями значения Задачник-практикум по теме Тригонометрия, подставляя это значение в левую часть исходного уравнения, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

то естьЗадачник-практикум по теме Тригонометрия не является корнем исходного уравнения.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 6

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Выражая Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия через Задачник-практикум по теме Тригонометрия, а Задачник-практикум по теме Тригонометрия, в свою очередь, обозначив через t, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Отсюда Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то есть Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Подставим теперь в левую часть исходного уравнения Задачник-практикум по теме Тригонометрия Имеем Задачник-практикум по теме Тригонометрия Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия - верное равенство, значение Задачник-практикум по теме Тригонометрия также является корнем исходного уравнения. После этого записываем ответ:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Отметим, что далеко не все тригонометрические уравнения, приводимые к алгебраическому виду относительно какой-либо функции, имеют простое решение. Покажем это на примерах.

ПРИМЕР 7

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Используем тождество Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Тогда

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

После подстановки Задачник-практикум по теме Тригонометрия получим Задачник-практикум по теме Тригонометрия, откуда Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Тогда Задачник-практикум по теме Тригонометрия Дискриминант этого квадратного относительно Задачник-практикум по теме Тригонометрия уравнения отрицателен, следовательно, Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Пусть теперь Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Рассмотрим еще один тип тригонометрических уравнений, которые можно свести к алгебраическим относительно какой-либо функции, так называемые однородные тригонометрические уравнения.

Определение. Тригонометрическое уравнение называется однородным, если левая часть его - однородный многочлен относительно Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия, а правая часть - нуль.

Например, Задачник-практикум по теме Тригонометрия- однородное тригонометрическое уравнение. Покажем общий способ решения таких уравнений.

ПРИМЕР 8

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Очевидно, значение Задачник-практикум по теме Тригонометрия не является решением этого уравнения, так как предположив, что Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия для одних и тех же х, что противоречит тождеству Задачник-практикум по теме Тригонометрия Следовательно, для данного уравнения Задачник-практикум по теме ТригонометрияТогда, не нарушая равносильности, можно обе части уравнения (8) поделить на Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 9

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Учитывая, что в данном уравнении Задачник-практикум по теме Тригонометрия, после деления на Задачник-практикум по теме Тригонометрия получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

откуда Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрияи Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 10

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Это уравнение не является однородным, но мы можем свести его к однородному, записав свободный член в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

тогда Задачник-практикум по теме Тригонометрия После деления на Задачник-практикум по теме Тригонометрия и приведения подобных членов, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 11

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Приведем это уравнение к однородному и решим его так же, как и предыдущее;

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

СПОСОБ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,

ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СВОЙСТВ

ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО

Если после переноса всех членов уравнения в левую часть полученное выражение можно разложить на множители, то можно воспользоваться свойством произведения: произведение двух или нескольких сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следует особо подчеркнуть, что корни какого-либо из сомножителей могут не входить в область определения другого сомножителя, то есть необходима проверка полученных решений. Посторонние корни могут появиться и в результате тождественных преобразований в частях уравнения. Например, уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия и уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия не является равносильным, так как уравнение (1) не имеет корней, а решением уравнения (2) является значение Задачник-практикум по теме Тригонометрия В этом случае также необходима проверка решений. Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Перенося единицу в левую часть уравнения и используя тождество Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Приравнивая к нулю каждый множитель, получим совокупность уравнений, которая в данном случае равносильна исходному

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Перенося все члены уравнения в левую часть и применяя тождество Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

откуда Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

но эти значения х не входят в область определения второго сомножителя, значит, являются посторонними. Приравнивая к нулю второй сомножитель, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Используя тождество Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Применяя тождество Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 6

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 7

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Условие, снимающее знак (*), Задачник-практикум по теме Тригонометрия, поэтому (в силу того, что Задачник-практикум по теме Тригонометрия)

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 8

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия




Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 9

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия перепишем уравнение в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ,

СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

С ЧЕТНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Если в тригонометрическое уравнение входят функции с четным показателем, очень часто приводит к цели применения формул понижения степени

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

В некоторых случаях возможность наиболее простого решения уравнения дает применение тождества Задачник-практикум по теме Тригонометрия Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Применяя формулы понижения степени, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Выражая Задачник-практикум по теме Тригонометрияи Задачник-практикум по теме Тригонометрия через тангенс половинного аргумента и применяя подстановку Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Подставляя в исходное уравнение значение Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Следовательно, потеря корней не произошла.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия



ПРИМЕР 3

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Приведем функции левой части уравнения к одному аргументу Задачник-практикум по теме Тригонометрия

откуда

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Применяя формулу понижения степени и формулы приведения, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 5

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия


Решение

Так как

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

получим

Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия


Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Второй способ. Прибавляя к левой и правой части уравнения выражение Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 6

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Применяя формулы понижения степени, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия


ПРИМЕР 7

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Преобразуем левую часть уравнения следующим образом:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Тогда исходное уравнение запишется в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА

Рассмотрим уравнение вида Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

где Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Это уравнение можно решить одним из следующих способов:

а) возведение обеих частей уравнения в квадрат;

б) выражение всех функций через тангенс половинного угла;

в) введение вспомогательного угла.

Применение первого способа может привести к приобретению посторонних корней, и проверка полученных решений бывает очень громоздкой. При использовании второго способа может произойти потеря решения вида Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Наиболее удобным является способ введения вспомогательного угла. Рассмотрим этот метод в общем виде.

Разделим обе части уравнения (1) на Задачник-практикум по теме Тригонометрия, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то существует угол такой, что

Задачник-практикум по теме Тригонометрияи Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

тогда уравнение (1) можно переписать в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрияили Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Последнее уравнение разрешимо только в том случае, когда

Задачник-практикум по теме Тригонометрияили Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Когда это условие выполнено, решение уравнения (1) запишется следующим образом:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

и угол Задачник-практикум по теме Тригонометрия определяется из формул (2) . Если же условие (3) не выполнено, то уравнение (1) решений не имеет.

Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Запишем уравнение в виде Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

тогда Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то в качестве угла Задачник-практикум по теме Тригонометрияможно взять Задачник-практикум по теме Тригонометрия , и уравнение запишем в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Умножая обе части уравнения на Задачник-практикум по теме Тригонометрия и перенося все члены уравнения в левую часть, получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Учитывая, что Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия, запишем уравнение в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Или, применяя формулу приведения,

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Приравнивая каждый сомножитель к нулю, получим две серии решений:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 3

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

В этом уравнении Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

следовательно, условие Задачник-практикум по теме Тригонометрия не выполняется, и уравнение не имеет решений. Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ОЦЕНКА ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ

При решении некоторых тригонометрических уравнений рассмотренные выше способы не приводят к цели. В этом случае предварительная оценка левой и правой частей уравнения иногда позволяет быстро установить, имеет ли оно корни, и существенно упростить решение.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Учитывая, что Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия, заключаем, что часть уравнения будет равна правой только тогда, когда

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

но синус и косинус одного и того же аргумента одновременно быть равными единицы не могут, так как это противоречит тождеству Задачник-практикум по теме Тригонометрия, поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Левая часть уравнения может быть равной трем только в том случае, когда

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Из первого уравнения системы имеем Задачник-практикум по теме Тригонометрия, подставляя это значение х в третье уравнение системы, получим Задачник-практикум по теме Тригонометрия, следовательно, данная система решений не имеет.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия




ПРИМЕР 3

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Очевидно, правая часть уравнения удовлетворяет условию Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Для оценки левой части уравнения воспользуемся свойствами числовых неравенств. Очевидно,

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

складывая эти неравенства, получим Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Отсюда следует, что исходное уравнение равносильно следующей системе:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Из второго уравнения системы имеем: Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Подставляя эти значения х в первое уравнение системы, получим Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то есть Задачник-практикум по теме Тригонометрия является решением исходного уравнения.

Пусть Задачник-практикум по теме Тригонометрия, тогда

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Значит, Задачник-практикум по теме Тригонометрия не является решением исходного уравнения.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 4

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Оценим левую часть уравнения. Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия, левая часть уравнения может быть равной единице только в том случае, если

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

а) Задачник-практикум по теме Тригонометрия б) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решая систему (а), получим Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Подставляя это значение х во второе уравнение системы (а), получим Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то есть Задачник-практикум по теме Тригонометрия является решением исходного уравнения.

Решим систему (б) Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Подставим это значение во второе уравнение системы (б), получим

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

то есть Задачник-практикум по теме Тригонометрия тоже является решением исходного уравнения. Тогда ответ для исходного уравнения запишется в виде Задачник-практикум по теме Тригонометрия


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

При решении иррациональных тригонометрических уравнений после возведения обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Рассмотрим примеры решения таких уравнений, выбирая метод проверки, адекватный полученному решению.

ПРИМЕР 1

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия решений не имеет. Остается Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Условие, снимающее знак (*) в первом переходе, Задачник-практикум по теме Тригонометрия, значит, решение уравнения Задачник-практикум по теме Тригонометрия должно принадлежать четвертой четверти, то есть

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ПРИМЕР 2

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

откуда Задачник-практикум по теме Тригонометрия или Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Условие равносильности Задачник-практикум по теме Тригонометрия, значит Задачник-практикум по теме Тригонометрия посторонний корень. Остается

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия








ПРИМЕР 3

Решить уравнение: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

откуда

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

откуда Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия Так как в решении знак (*) отсутствует, фиксируем ответ:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия.

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

С -1. Простейшие тригонометрические уравнения.

Вариант1

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

5) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

6) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

7) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 2

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

5) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

6) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

7) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

С - 2. Многовариантная самостоятельная работа на простейшие тригонометрические уравнения.

Решите тригонометрическое уравнение, если Задачник-практикум по теме Тригонометрия - один из его корней (см. таблицу).

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант6

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

5) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

6) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия


С - 3. Применение условий равенства двух одноименных тригонометрических функций.

Вариант 1

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия 2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия 3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия 4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 2

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия 2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия 3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия 4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 3

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия 2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия 3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия 4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

С - 4. Уравнения, решающиеся методом подстановки.

  1. Решите уравнение вида Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Решите уравнение вида Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если Задачник-практикум по теме Тригонометрия является корнем данного уравнения:

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4 вариант

5 вариант

6 вариант

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия


С - 5. Уравнения, решающиеся введением новой переменной.

Вариант 1

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если Задачник-практикум по теме Тригонометрияявляется корнем;

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если Задачник-практикум по теме Тригонометрияявляется корнем;

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если Задачник-практикум по теме Тригонометрияявляется корнем.

Вариант 2

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если Задачник-практикум по теме Тригонометрия является корнем;

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если Задачник-практикум по теме Тригонометрия является корнем;

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если Задачник-практикум по теме Тригонометрия является корнем.

Вариант 3

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если Задачник-практикум по теме Тригонометрия является корнем;

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, если Задачник-практикум по теме Тригонометрия является корнем;

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия,если Задачник-практикум по теме Тригонометрия является корнем.

С - 6. Однородные уравнения.

Вариант 1

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 2

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 3

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3)Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

С - 7. Уравнения, решающиеся разложением на множители.

Вариант 1

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 2

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

С - 8. Уравнения вида Задачник-практикум по теме Тригонометрия

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

5) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

6) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

С-9

Вариант 1

1) а) Решите уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

б) Решите уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 2

3) а) Найдите критические точки функции Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

б) Найдите критические точки функции Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 3

4) а) Найдите критические точки функции Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

б) Найдите критические точки функции Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 4

4) а) Решите уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

б) Решить уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 5

6) а) Найдите критические точки функции Задачник-практикум по теме Тригонометрия и укажите среди них одну из точек максимума.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия - точка максимума.

б) Найдите критические точки функции Задачник-практикум по теме Тригонометрия и укажите среди них одну из точек минимума.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия - точка минимума.

Вариант 6

4) а) Сколько корней имеет уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия на отрезке Задачник-практикум по теме Тригонометрия?

Ответ: 100.

б) Сколько корней имеет уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия на отрезке Задачник-практикум по теме Тригонометрия?

Ответ: 50.

Вариант 7

3) а) Вычислите абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функции Задачник-практикум по теме Тригонометрияи Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: точки вида Задачник-практикум по теме Тригонометрия

б) Вычислите абсциссы и ординаты точек пересечения графиков функций Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: точки вида Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Вариант 8

4) а) Найдите все значения х, при которых выражение Задачник-практикум по теме Тригонометрия имеет смысл и не обращается в нуль.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Простейшие уравнения с параметром.

В заданиях 1 - 7 нужно решить уравнения для всех значений а.

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2)Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

5) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

6) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

7) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

8) При каких значениях а уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия не имеет решения?

Данное уравнение не будет иметь решений, если парабола, задаваемая функцией Задачник-практикум по теме Тригонометрия, будет расположена одним из трех способов: см. рисунок.

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

1. Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Такого быть не может, так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия



Решить самостоятельно.

  1. При каких значениях параметра а уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия не имеет решений?

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. При каких значениях параметра а уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия имеет решения?

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. При каких значениях параметра а уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия имеет ровно один корень на отрезке Задачник-практикум по теме Тригонометрия?

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

  1. При каких значениях параметра а уравнение Задачник-практикум по теме Тригонометрия имеет ровно один корень на интервале Задачник-практикум по теме Тригонометрия?

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Системы тригонометрических уравнений

1. Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

В записи ответа участвует одна переменная.

2. Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Эту систему моно решать как линейную относительно Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия.

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4. Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Удобнее рассмотреть по отдельности четыре системы, совокупность которых равносильна исходной системе.

Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

5. Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Необходимо рассмотреть два случая:

а) Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

б) Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Следствием этой системы является уравнение

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Пусть Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Пусть Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Системы уравнений, в которых одно уравнение - алгебраическое, а другое тригонометрическое.

а)

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

б)

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Системы, в которых оба уравнения - тригонометрические уравненияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

1)

Задачник-практикум по теме Тригонометрияили Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2)

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрияили Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3)

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрияили Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4)

Задачник-практикум по теме Тригонометрияили Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

5)Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

6) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрияили Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ:Задачник-практикум по теме Тригонометрия

7)Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

8) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Пусть Задачник-практикум по теме Тригонометрия тогда Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Это уравнение равносильно следующей схеме

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия

Задачник-практикум по теме Тригонометриятак как Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Решить самостоятельно

а) Решить систему уравнений Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

б) Решите систему уравнений Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Примеры решения тригонометрических неравенств

1) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ссылаясь на формулу Задачник-практикум по теме Тригонометрия, преобразуем левую часть неравенства:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Значит, данное неравенство равносильно неравенству Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Отсюда Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Следовательно, Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Пусть Задачник-практикум по теме Тригонометрия, где Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Задачник-практикум по теме Тригонометрия при Задачник-практикум по теме Тригонометрия, т.е. при Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Значит, Задачник-практикум по теме Тригонометрия, следовательно, Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Предположим Задачник-практикум по теме Тригонометрия, откуда Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Решим неравенство Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Корни квадратного уравнения Задачник-практикум по теме ТригонометрияЗадачник-практикум по теме Тригонометрия. Отсюда Задачник-практикум по теме Тригонометрия при Задачник-практикум по теме Тригонометрия или Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Ограничение Задачник-практикум по теме Тригонометрия дает либо Задачник-практикум по теме Тригонометрия, либо Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Заменяя t на cos x, получим:

а) либо Задачник-практикум по теме Тригонометрия, т.е. Задачник-практикум по теме Тригонометрия

б) либо Задачник-практикум по теме Тригонометрия, т.е. Задачник-практикум по теме Тригонометрия.

Ответ: Задачник-практикум по теме Тригонометрия, или Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4) Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Область определения Задачник-практикум по теме Тригонометрия. Представив неравенство в виде

Задачник-практикум по теме Тригонометрия,

получим двойное неравенство Задачник-практикум по теме Тригонометрия, равносильное данному. Значит, Задачник-практикум по теме Тригонометрия

5) Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Так как Задачник-практикум по теме Тригонометрия, то данное неравенство сводится к равносильному неравенству Задачник-практикум по теме Тригонометрия Отсюда:

а) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, т.е. Задачник-практикум по теме Тригонометрия, или

б) Задачник-практикум по теме Тригонометрия, т.е. Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Упражнения

Решить уравнения:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

ВАРИАНТ 1

1. Упростить выражение:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Дано: Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Найдите:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Докажите тождество:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4. Доказать, что функция Задачник-практикум по теме Тригонометрия является чётной.

5. Вычислить:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ВАРИАНТ 2

1. Упростить:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Дано:Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Найдите:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Доказать тождество:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4. Доказать, что функция Задачник-практикум по теме Тригонометрия является чётной.

5. Вычислить:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ВАРИАНТ 3

1. Упростить:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Дано: Задачник-практикум по теме Тригонометрия и Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Найдите:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Докажите тождество:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4. Доказать, что функция Задачник-практикум по теме Тригонометрия является нечётной

5. Вычислить:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия


ВАРИАНТ 4

1. Упростить:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Дано: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Найдите:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Доказать тождество:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4. Доказать, что функция Задачник-практикум по теме Тригонометрия не является ни чётной, ни нечётной.

5. Вычислить:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ВАРИАНТ 5

1. Упростить

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Дано:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Найдите: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Доказать тождество:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4. Доказать, что функция Задачник-практикум по теме Тригонометрия является чётной.

5. Вычислить Задачник-практикум по теме Тригонометрия

ВАРИАНТ 6

1. Упростить:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Дано: Задачник-практикум по теме Тригонометрия

Найдите:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Доказать тождество:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

4. Доказать, что функция Задачник-практикум по теме Тригонометрияявляется нечетной

5. Вычислить:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ВАРИАНТ 1

1. Решить уравнение:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 2

1. Решите уравнение:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 3

1. Решите уравнение:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющее неравенству:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 4

1. Решите уравнение:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Укажите на тригонометрической окружности все точки, удовлетворяющие неравенству:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 5

1. Решите уравнение:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Решите неравенство:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания 2 одновременно.

ВАРИАНТ 6

1. Решите уравнение:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

2. Решите неравенство:

Задачник-практикум по теме Тригонометрия

3. Укажите какое-либо число, удовлетворяющее всем трем неравенствам задания одновременно.

Оглавление

Введение 3

Тригонометрические функции числового аргумента 4

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла 4

Формулы приведения 6

Преобразование тригонометрических выражений 6

Упражнения 8

Решение простейших тригонометрических уравнений 9

Решение тригонометрических уравнений вида sin f(x) = a 14

Приведение уравнений к алгебраическому виду относительно к какой -либо тригонометрической функции 15

Способы решения уравнений, основанных на использовании свойств произведения и частного 21

Решение уравнений. Тригонометрические функции с четным показателем 25

Решение тригонометрических уравнений методом вспомогательного угла 29

Оценка левой и правой частей уравнения 32

Иррациональные тригонометрические уравнения 34

Самостоятельные работы 37

Простейшие уравнения с параметром 43

Решить самостоятельно 45

Системы тригонометрических уравнений 45

Системы уравнений, в которых одно уравнение алгебраическое, а другое тригонометрическое 48

Решить самостоятельно 52

Примеры решений тригонометрических неравенств 52

Упражнения 55

Контрольные вопросы 56

Литература.

  1. Колмогоров «Алгебра и начала анализа». М., 1990.

  2. В.В. Кулешов «Задачи по элементарной математике» Тольятти, 1994.

  3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы (под редакцией М.И. Сканави М., 1998)

  4. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия М., 1991.

  5. Бородулл И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М., 1989.

65

© 2010-2022